2023届高考一轮复习讲义（文科）第二章　函数概念与基本初等函数 第2讲　第2课时　高效演练 分层突破学案

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1．下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )
A．y＝－eq \f(1,x) B．y＝lg2|x|
C．y＝1－x2 D．y＝x3－1
解析：选C.函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A的函数为奇函数，不符合要求；选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合要求；选项D的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项C符合要求．
2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝( )
A．－3 B．－eq \f(5,4)
C.eq \f(5,4) D．3
解析：选A.由f(x)为R上的奇函数，知f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.
3．已知定义域为R的奇函数f(x)满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－x))，且当0≤x≤1时，f(x)＝x3，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝( )
A．－eq \f(27,8) B．－eq \f(1,8)
C.eq \f(1,8) D.eq \f(27,8)
解析：选B.因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－x))，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋1))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－1))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，又因为函数为奇函数，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝－eq \f(1,8).
4．已知定义域为[a－4，2a－2]的奇函数f(x)＝2 018x3－sin x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．不能确定
解析：选A.依题意得a－4＋2a－2＝0，所以a＝2.又f(x)为奇函数，故b＋2＝0，
所以b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝0.
5．已知函数f(x)＝eq \f(2|x|＋x3＋1,2|x|＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于( )
A．0 B．2
C．4 D．8
解析：选B.f(x)＝eq \f(2|x|＋x3＋1,2|x|＋1)＝1＋eq \f(x3,2|x|＋1).设g(x)＝eq \f(x3,2|x|＋1)，因为g(x)定义域为R，关于原点对称，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因为M＝f(x)max＝1＋g(x)max，m＝f(x)min＝1＋g(x)min，所以M＋m＝1＋g(x)max＋1＋g(x)min＝2.
6．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于 ．
解析：f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2①，
f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4②，
由①②得，2g(1)＝6，即g(1)＝3.
答案：3
7．设函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x＋1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝ ．
解析：依题意得，f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，
则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
8．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg3（x＋1），x≥0，,g（x），x<0，))则g(f(－8))＝ ．
解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－8)＝－f(8)＝－lg39＝－2，
所以g(f(－8))＝g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－lg33＝－1.
答案：－1
9．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．
解：(1)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．又f(x)的定义域为R，
所以f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x，x∈[－1，0]，,x，x∈（0，1），,－x＋2，x∈[1，2].))
10．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数．
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)
＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2×1))＝4.
[综合题组练]
1．(2020·福建龙岩期末)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x－1)，若f(－1)>1，f(5)＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析：选A.由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)>1，所以f(1)<－1，所以a2－2a－4<－1，解得－12．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是 ．
解析：在f(x)－g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)中，用－x替换x，得f(－x)－g(－x)＝2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此得－f(x)－g(x)＝2x.联立方程组解得f(x)＝eq \f(2－x－2x,2)，g(x)＝－eq \f(2－x＋2x,2)，于是f(1)＝－eq \f(3,4)，g(0)＝－1，g(－1)＝－eq \f(5,4)，故f(1)>g(0)>g(－1)．
答案：f(1)>g(0)>g(－1)
3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0))是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－2>－1，,a－2≤1，))所以1故实数a的取值范围是(1，3]．
4．(应用型)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－x))成立．
(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．
解：(1)由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－x))，
且f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋3)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))))＝－f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期函数，且3是其一个周期．
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
且f(－1)＝－f(1)＝－2，
又T＝3是y＝f(x)的一个周期，
所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.