2023届高考一轮复习讲义（文科）第二章　函数概念与基本初等函数 第1讲　高效演练 分层突破学案

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1．函数y＝eq \f(1,ln（x－1）)的定义域为( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(1，2)∪(2，＋∞) D．(1，2)∪[3，＋∞)
解析：选C.由ln(x－1)≠0，得x－1>0且x－1≠1.由此解得x>1且x≠2，即函数y＝eq \f(1,ln（x－1）)的定义域是(1，2)∪(2，＋∞)．
2．已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－1))＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )
A．－eq \f(7,4) B.eq \f(7,4)
C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
解析：选B.令t＝eq \f(1,2)x－1，则x＝2t＋2，
所以f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，
所以f(a)＝4a－1＝6，即a＝eq \f(7,4).
3．(2020·江西南昌一模)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x（x≤0），,f（x－3）（x>0），))
则f(5)的值为( )
A．－7 B．－1
C．0 D.eq \f(1,2)
解析：选D.f(5)＝f(5－3)＝f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝(－1)2－2－1＝eq \f(1,2).故选D.
4．已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(x2＋1,x2)＋eq \f(1,x)，则f(x)等于( )
A．(x＋1)2(x≠1) B．(x－1)2(x≠1)
C．x2－x＋1(x≠1) D．x2＋x＋1(x≠1)
解析：选C.feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(x2＋1,x2)＋eq \f(1,x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,x)))eq \s\up12(2)－eq \f(x＋1,x)＋1，令eq \f(x＋1,x)＝t(t≠1)，则f(t)＝t2－t＋1，即f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
5．设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x>1，,－x－2，x≤1，))则f(f(2))＝ ，函数f(x)的值域是 ．
解析：因为f(2)＝eq \f(1,2)，
所以f(f(2))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \f(1,2)－2＝－eq \f(5,2).
当x>1时，f(x)∈(0，1)，
当x≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，
所以f(x)∈[－3，＋∞)．
答案：－eq \f(5,2) [－3，＋∞)
6．若函数f(x)在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为 ．
解析：由题图可知，当－1≤x<0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝－eq \f(1,2)x，所以f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，－1≤x<0，,－\f(1,2)x，0≤x≤2.))
答案：f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，－1≤x<0，,－\f(1,2)x，0≤x≤2))
7．已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋1，x≤0，,－（x－1）2，x＞0，))则使f(x)≥－1成立的x的取值范围是 ．
解析：由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤0，,\f(1,2)x＋1≥－1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞0，,－（x－1）2≥－1，))
解得－4≤x≤0或0＜x≤2，故x的取值范围是[－4，2]．
答案：[－4，2]
8．设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax＋b，x<0，,2x，x≥0，))且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图象．
解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2a＋b＝3，,－a＋b＝2，))解得a＝－1，b＝1，所以f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x＋1，x<0，,2x，x≥0.))
(2)f(x)的图象如图所示．
[综合题组练]
1．(2020·海淀期末)下列四个函数：①y＝3－x；②y＝2x－1(x>0)；③y＝x2＋2x－10；④y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x（x≤0），,\f(1,x)（x>0）.))其中定义域与值域相同的函数的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.①y＝3－x的定义域与值域均为R，②y＝2x－1(x>0)的定义域为(0，＋∞)，值域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，③y＝x2＋2x－10的定义域为R，值域为[－11，＋∞)，④y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x（x≤0），,\f(1,x)（x>0）))的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，故选B.
2．(创新型)设f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(f·g)(x)：∀x∈R，(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，x>0，,x2，x≤0，))g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ex，x≤0，,ln x，x>0，))则( )
A．(f·f)(x)＝f(x) B．(f·g)(x)＝f(x)
C．(g·f)(x)＝g(x) D．(g·g)(x)＝g(x)
解析：选A.对于A，(f·f)(x)＝f(f(x))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x），f（x）>0，,f 2（x），f（x）≤0，))当x>0时，f(x)＝x>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x；当x<0时，f(x)＝x2>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x2；当x＝0时，(f·f)(x)＝f 2(x)＝0＝02，因此对任意的x∈R，有(f·f)(x)＝f(x)，故A正确，选A.
3．(2020·宁夏银川一中一模)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－x＋1，x≤0，,－\r(x)，x>0，))则f(x＋1)－9≤0的解集为 ．
解析：因为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－x＋1，x≤0，,－\r(x)，x>0，))
所以当x＋1≤0时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤－1，,2－（x＋1）－8≤0，))解得－4≤x≤－1；
当x＋1>0时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>－1，,－\r(x＋1)－9≤0，))解得x>－1.
综上，x≥－4，即f(x＋1)－9≤0的解集为[－4，＋∞)．
答案：[－4，＋∞)
4．(创新型)设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：
①f(x)＝x2；②f(x)＝eq \f(1,x－1)；
③f(x)＝ln(2x＋3)；④f(x)＝2sin x－1.
其中是“美丽函数”的序号有 ．
解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)＝－f(x)．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．
①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；
②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；
③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；
④中函数f(x)＝2sin x－1的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故④不符合题意．故本题正确答案为②③.
答案：②③