2023届高考一轮复习讲义（文科）第二章　函数概念与基本初等函数 第4讲　高效演练 分层突破学案

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1．若实数a>0，则下列等式成立的是( )
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝eq \f(1,2a3)
C．(－2)0＝－1 D．(a－eq \s\up6(\f(1,4)))4＝eq \f(1,a)
解析：选D.对于A，(－2)－2＝eq \f(1,4)，故A错误；对于B，2a－3＝eq \f(2,a3)，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a－eq \s\up6(\f(1,4)))4＝eq \f(1,a).
2．如果2lga(P－2Q)＝lgaP＋lgaQ，那么eq \f(P,Q)的值为( )
A.eq \f(1,4) B．4
C．1 D．4或1
解析：选B.由2lga(P－2Q)＝lgaP＋lgaQ，得lga(P－2Q)2＝lga(PQ)．由对数运算性质得(P－2Q)2＝PQ，即P2－5PQ＋4Q2＝0，所以P＝Q(舍去)或P＝4Q，解得eq \f(P,Q)＝4.故选B.
3．若lg 2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差数列，则x的值等于( )
A．1 B．0或eq \f(1,8)
C.eq \f(1,8) D．lg23
解析：选D.由题意知lg 2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x)2－9＝0，2x＝3，x＝lg23，故选D.
4．(2020·福建厦门期末质检)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x，x≤0，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x>0，))则f(f(lg23))＝( )
A．－9 B．－1
C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(1,27)
解析：选B.由函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x，x≤0，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x>0))以及lg23>1，则f(lg23)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(lg23)＝－2eq \s\up12(lg23)eq \s\up6(\f(1,3))＝－eq \f(1,3)，所以f(f(lg23))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝－1，故选B.
5.eq \f(a3,\r(a)·\r(5,a4))(a>0)的值是 ．
解析：eq \f(a3,\r(a)·\r(5,a4))＝eq \f(a3,a\s\up6(\f(1,2))·a\s\up6(\f(4,5)))＝a3－eq \s\up6(\f(1,2))－eq \s\up6(\f(4,5))＝aeq \s\up6(\f(17,10)).
答案：aeq \s\up6(\f(17,10))
6．已知2x＝3，lg4eq \f(8,3)＝y，则x＋2y的值为 ．
解析：由2x＝3，lg4eq \f(8,3)＝y，
得x＝lg23，y＝lg4eq \f(8,3)＝eq \f(1,2)lg2eq \f(8,3)，
所以x＋2y＝lg23＋lg2eq \f(8,3)＝lg28＝3.
答案：3
7.eq \f(（1－lg63）2＋lg62·lg618,lg64)＝ ．
解析：原式＝eq \f(（lg62）2＋lg62·（2－lg62）,2lg62)
＝eq \f(2lg62,2lg62)＝1.
答案：1
8．化简下列各式：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(7,9)))eq \s\up12(0.5)＋0.1－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(10,27)))eq \s\up12(－\f(2,3))－3π0＋eq \f(37,48)；
(2) eq \r(3,a\s\up6(\f(7,2))·\r(a－3))÷ eq \r(3,\r(a－3)·\r(a－1))；
(3)eq \f(lg 3＋\f(2,5)lg 9＋\f(3,5)lg \r(27)－lg\r(3),lg 81－lg 27).
解：(1)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(25,9)))eq \s\up6(\f(1,2))＋eq \f(1,0.12)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(64,27)))eq \s\up12(－\f(2,3))－3＋eq \f(37,48)
＝eq \f(5,3)＋100＋eq \f(9,16)－3＋eq \f(37,48)＝100.
(2)原式＝ eq \r(3,a\s\up6(\f(7,2))·aeq \s\up6(-\f(3,2)))÷ eq \r(3,a\s\up6(-\f(3,2))·aeq \s\up6(-\f(1,2)))
＝eq \r(3,a2)÷eq \r(3,a－2)
＝aeq \s\up6(\f(2,3))÷aeq \s\up12(－\f(2,3))＝aeq \s\up6(\f(4,3)).
(3)法一：原式＝eq \f(lg 3＋\f(4,5)lg 3＋\f(9,10)lg 3－\f(1,2)lg 3,4lg 3－3lg 3)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4,5)＋\f(9,10)－\f(1,2)))lg 3,（4－3）lg 3)＝eq \f(11,5)；
法二：原式＝eq \f(lg\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3×9\s\up6(\f(2,5))×27\s\up6(\f(1,2))\s\up6(×\f(3,5))×3\f(,)) eq \s\up5(－\f(1,2))),lg \f(81,27))＝eq \f(lg 3\s\up6(\f(11,5)),lg 3)＝eq \f(11,5).
[综合题组练]
1．定义a·b＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a·b，a·b≥0，,\f(a,b)，a·b<0，))设函数f(x)＝ln x·x，则f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝( )
A．4ln 2 B．－4ln 2
C．2 D．0
解析：选D.因为2×ln 2>0，所以f(2)＝2×ln 2＝2ln 2.
因为eq \f(1,2)×ln eq \f(1,2)<0，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(ln\f(1,2),\f(1,2))＝－2ln 2.
则f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝2ln 2－2ln 2＝0.
2．化简：eq \f(（a\s\up6(\f(2,3))·b－1）\s\up6(-\f(1,2))·a\s\up6(-\f(1,2))·b\s\up6(\f(1,3)),\r(6,a·b5))＝ ．
解析：原式＝eq \f(a\s\up6(-\f(1,3))·b\s\up6(\f(1,2))·a\s\up6(-\f(1,2))·b\s\up6(\f(1,3)),a\s\up6(\f(1,6))·b\s\up6(\f(5,6)))＝a eq \s\up5(－\f(1,3))eq \s\up5(－\f(1,2))eq \s\up5(－\f(1,6))·beq \s\up5(\f(1,2))eq \s\up5(+\f(1,3))eq \s\up5(－\f(5,6))＝eq \f(1,a).
答案：eq \f(1,a)
3．(2020·洛阳市第一次统考)若函数f(x)＝ln(ex＋1)＋ax为偶函数，则实数a＝ ．
解析：法一(定义法)：因为函数f(x)＝ln(ex＋1)＋ax为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
即ln(e－x＋1)－ax＝ln(ex＋1)＋ax，
所以2ax＝ln(e－x＋1)－ln(ex＋1)＝lneq \f(e－x＋1,ex＋1)＝lneq \f(1,ex)＝－x，
所以2a＝－1，解得a＝－eq \f(1,2).
法二(取特殊值)：由题意知函数f(x)的定义域为R，由f(x)为偶函数得f(－1)＝f(1)，
所以ln(e－1＋1)－a＝ln(e1＋1)＋a，
所以2a＝ln(e－1＋1)－ln(e1＋1)＝lneq \f(e－1＋1,e＋1)＝lneq \f(1,e)＝－1，所以a＝－eq \f(1,2).
答案：－eq \f(1,2)
4．已知2x＝72y＝A，且eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝2，则A的值是 ．
解析：由2x＝72y＝A得x＝lg2A，y＝eq \f(1,2)lg7A，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(1,lg2A)＋eq \f(2,lg7A)＝lgA2＋2lgA7＝lgA98＝2，A2＝98.
又A>0，故A＝eq \r(98)＝7eq \r(2).
答案：7eq \r(2)