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广东省广州市白云区2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试卷（word版 含答案）
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这是一份广东省广州市白云区2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试卷（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．在如图的各事件中，是随机事件的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A，B，已知∠P＝60°，OA＝3，则∠AOB所对的弧长为（ ）
A．2πB．3πC．5πD．6π
4．如果反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞B．m＜C．m≤D．m≥
5．方程x2+8x+17＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
6．点（3，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，则下列说法正确的是（ ）
A．k＝6
B．函数的图象关于y＝x对称
C．函数的图象经过点（6，1）
D．函数的图象关于原点对称
7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（ ）
A．2B．4C．4D．8
8．用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形．设长方形的长为xcm，则可列方程为（ ）
A．x（20+x）＝64B．x（20﹣x）＝64C．x（40+x）＝64D．x（40﹣x）＝64
9．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（ ）
A．2rB．rC．rD．3r
10．已知抛物线y＝ax2﹣bx+c如图，下列说法正确的有（ ）
①a+b+c＝0，②a﹣b+c＞0，③b＞0，④c＝﹣1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）
11．抛物线y＝x2﹣2x+3有最 点（填写“高”或“低”），这个点的坐标是 ．
12．点A是反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，△OAB的面积是1，则k＝ ．
13．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成3个大小相同的扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三个数字．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．指针指向扇形Ⅰ的概率是 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，则∠EBC＝ °．
15．为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞100条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞10条鱼．如果在这10条鱼中有1条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为 条．
16．如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，AE是中线，BF和CD是高，则下列结论中，正确的是 （填序号）．
①BC＝2DF；
②∠CEF＝2∠CDF；
③△DEF是等边三角形；
④（CF+CD）：（BD+BF）＝（BD﹣BF）：（CF﹣CD）．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．解方程：（x+3）2﹣25＝0．
18．一个二次函数的图象经过（﹣1，0），（0，6），（3，0）三点．
求：这个二次函数的解析式．
19．如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．
求证：CD是⊙O的切线．
20．已知函数y＝（k﹣2）xk+2为反比例函数．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）这个函数的图象位于第 象限；在每一个象限内，y随x的增大而 ；
（3）当﹣3≤x≤﹣时，函数的最大值为 ，最小值为 ．
21．如图，△ABC是以AB＝a为斜边的等腰直角三角形．其内部的4段弧均等于以BC为直径的圆周．求图中阴影部分的面积．
22．为落实“双减”，进一步深化白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，2021年12月3日开展“双减”背景下白云区初中数学提升工程成果展示现场会，其中活动型作业展示包括以下项目：①数独挑战；②数学谜语；③一笔画；①24点；⑤玩转魔方．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图．
（1）木次随机抽查的学生人数为 人，补全图（Ⅰ）；
（2）参加活动的学生共有500名，可估计出其中最喜爱“①数独挑战”的学生人数为 人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为 度；
（3）计划在“①，②，③，④”四项活动中随机选取两项作为重点直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“①，④”这两项活动的概率．
23．一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积是12cm2，求菱形的周长．
24．已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴的负、正半轴分别交于A，B两点，与y轴的负半轴交于点D，点C是抛物线的顶点．
（1）若OA﹣OB＝2，求该抛物线的对称轴；
（2）在（1）的条件下，连接AD，CD，若AD⊥CD，求该抛物线的解析式；
（3）若OA﹣OB＝2p，点D的坐标为（0，﹣|p|），请判断点C是否存在最高点或最低点，若存在，求该点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，已知在△ABC中，∠A是钝角，以AB为边作正方形ABDE，使△ABC正方形ABDE分居在AB两侧，以AC为边作正方形ACFG，使△ABC正方形ACFG分居在AC两侧，BG与CE交于点M，连接AM．
（1）求证：BG＝CE；
（2）求：∠AMC的度数；
（3）若BG＝a，MG＝b，ME＝c，求：S△ABM：S△ACM（结果可用含有a，b，c的式子表示）．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：选项A、B、C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以不是中心对称图形；
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以是中心对称图形；
故选：D．
2．在如图的各事件中，是随机事件的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据随机事件的概率值即可判断．
解：因为不可能事件的概率为0，0＜随机事件的概率＜1，必然事件的概率为1，
所以在如图的各事件中，是随机事件的有：事件B和事件C，共有2个，
故选：B．
3．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A，B，已知∠P＝60°，OA＝3，则∠AOB所对的弧长为（ ）
A．2πB．3πC．5πD．6π
【分析】由切线的性质可以求出∠OAP＝∠OBP＝90°，再由条件就可以求出∠AOB的度数，再由弧长公式就可以求出其值．
解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝60°，
∴∠AOB＝120°
∵OA＝3，
∴＝＝2π．
故选：A．
4．如果反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞B．m＜C．m≤D．m≥
【分析】根据反比例函数的性质可得1﹣2m＞0，再解不等式即可．
解：∵反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，
∴1﹣2m＞0，
解得：m＜，
故选：B．
5．方程x2+8x+17＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【分析】先求出根的判别式Δ的值，再判断出其符号即可得到结论．
解：∵x2+8x+17＝0，
∴Δ＝82﹣4×1×17＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根．
故选：A．
6．点（3，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，则下列说法正确的是（ ）
A．k＝6
B．函数的图象关于y＝x对称
C．函数的图象经过点（6，1）
D．函数的图象关于原点对称
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对A、C进行判断；根据反比例函数的性质对B、D进行判断．
解：A、点（3，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，则k＝3×（﹣2）＝﹣6，故错误；
B、函数的图象关于y＝﹣x对称，故错误；
C、函数图象经过点（6，﹣1）或（﹣6，1），故错误；
D、函数图象关于原点成中心对称，故正确，
故选：D．
7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（ ）
A．2B．4C．4D．8
【分析】根据圆周角定理得∠BOC＝2∠A＝45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE＝DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE＝OC＝2，然后利用CD＝2CE进行计算．
解：∵∠A＝22.5°，
∴∠BOC＝2∠A＝45°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴CE＝OC＝2，
∴CD＝2CE＝4．
故选：C．
8．用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形．设长方形的长为xcm，则可列方程为（ ）
A．x（20+x）＝64B．x（20﹣x）＝64C．x（40+x）＝64D．x（40﹣x）＝64
【分析】本题可根据长方形的周长可以用x表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程．
解：设长为xcm，
∵长方形的周长为40cm，
∴宽为＝（20﹣x）（cm），
得x（20﹣x）＝64．
故选：B．
9．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（ ）
A．2rB．rC．rD．3r
【分析】首先求得围成的圆锥的母线长，然后利用勾股定理求得其高即可．
解：∵圆的半径为r，扇形的弧长等于底面圆的周长得出2πr．
设圆锥的母线长为R，则＝2πr，
解得：R＝3r．
根据勾股定理得圆锥的高为2r，
故选：A．
10．已知抛物线y＝ax2﹣bx+c如图，下列说法正确的有（ ）
①a+b+c＝0，②a﹣b+c＞0，③b＞0，④c＝﹣1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由抛物线经过（1，0）判断①，由x＝﹣1时y＞0可判断②，根据抛物线开口方向及对称轴位置可判断③，由抛物线与y轴交点判断④．
解：∵抛物线经过点（1，0），
∴a﹣b+c＝0，②错误．
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，②正错误，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，③正确．
∵抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1），
∴c＝﹣1，④正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）
11．抛物线y＝x2﹣2x+3有最 低 点（填写“高”或“低”），这个点的坐标是 （1，2） ．
【分析】根据二次函数的性质，a＞0，二次函数有最小值解答．
解：抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∵a＝1＞0，
∴该抛物线有最小值，
即抛物线有最低点，
此点坐标为（1，2），
故答案为：低，（1，2）．
12．点A是反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，△OAB的面积是1，则k＝ 2 ．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行解答即可．
解：由题意得，
S△AOB＝|k|＝1，
又∵k＞0，
∴k＝2，
故答案为：2．
13．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成3个大小相同的扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三个数字．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．指针指向扇形Ⅰ的概率是 ．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
解：∵转盘分成3个大小相同的扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三个数字，
∴指针指向扇形Ⅰ的概率是
故答案为：．
14．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，则∠EBC＝ 22.5 °．
【分析】先根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，则∠ABE＝45°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝67.5°，再计算∠ABC﹣∠ABE即可．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝67.5°﹣45°＝22.5°．
故答案为：22.5．
15．为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞100条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞10条鱼．如果在这10条鱼中有1条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为 1000 条．
【分析】根据样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
解：估计鱼塘中鱼的条数为100÷＝1000（条），
故答案为：1000．
16．如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，AE是中线，BF和CD是高，则下列结论中，正确的是 ①②③④ （填序号）．
①BC＝2DF；
②∠CEF＝2∠CDF；
③△DEF是等边三角形；
④（CF+CD）：（BD+BF）＝（BD﹣BF）：（CF﹣CD）．
【分析】通过证明点B，点C，点F，点D四点在以BC为直径的圆上，由圆周角定理可得∠CEF＝2∠CDF，故②正确，通过证明△ABC∽△AFD，可得＝，由直角三角形的性质可得AC＝2AD，可得BC＝2DF，故①正确；由直角三角形的性质可得DE＝EF＝DF，可证△DEF是等边三角形，故③正确；由勾股定理可得BD2+CD2＝BC2＝CF2+BF2，可判断④正确，即可求解．
解：∵AE是中线，
∴BE＝EC，
∵BF⊥AC，CD⊥AB，
∴∠BFC＝∠BDC＝90°，
∴点B，点C，点F，点D四点在以BC为直径的圆上，
∴点E是圆心，
∴∠CEF＝2∠CDF，故②正确，
∵四边形BDFC是圆内接四边形，
∴∠ADF＝∠ACB，∠AFD＝∠ABC，
∴△ABC∽△AFD，
∴＝，
∵∠BAC＝60°，CD⊥AB，
∴∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD，
∴，
∴BC＝2DF，故①正确；
∵∠BFC＝∠BDC＝90°，BE＝EC，
∴DE＝EF＝BC，
∴DE＝EF＝DF，
∴△DEF是等边三角形，故③正确；
∵∠BFC＝∠BDC＝90°，
∴BD2+CD2＝BC2＝CF2+BF2，
∴CF2﹣CD2＝BD2﹣BF2，
∴（CF+CD）（CF﹣CD）＝（BD+BF）（BD﹣BF），
∴（CF+CD）：（BD+BF）＝（BD﹣BF）：（CF﹣CD），故④正确，
故答案为①②③④．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．解方程：（x+3）2﹣25＝0．
【分析】先把方程变形为解（x+3）2＝25，然后利用直接开平方法解方程．
解：（x+3）2＝25，
x+3＝±5，
所以x1＝2，x2＝﹣8．
18．一个二次函数的图象经过（﹣1，0），（0，6），（3，0）三点．
求：这个二次函数的解析式．
【分析】设一般式y＝ax2+bx+c，再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可．
解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
根据题意得：，
解得：，
所以抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．
19．如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．
求证：CD是⊙O的切线．
【分析】连接OC，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠ACO，根据平行线的判定得出OC∥AD，根据平行线的性质得出OC⊥DC，再根据切线的判定得出即可．
【解答】证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥DC，
∵OC过圆心O，
∴CD是⊙O的切线．
20．已知函数y＝（k﹣2）xk+2为反比例函数．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）这个函数的图象位于第 二、四 象限；在每一个象限内，y随x的增大而 增大 ；
（3）当﹣3≤x≤﹣时，函数的最大值为 10 ，最小值为 ．
【分析】（1）首先根据反比例函数的定义可得k+2＝﹣1，且k﹣2≠0，解出k的值即可；
（2）根据k﹣2＜0，结合反比例函数的性质可得答案；
（3）根据y随x增大而增大可得当x＝﹣3时，y最小，当x＝﹣时，y最大，代入求值即可．
解：（1）由题意得：k+2＝﹣1，且k﹣2≠0，
解得：k＝﹣3，
∴k﹣2＝﹣5，
∴这个反比例函数的解析式为；
（2）∵﹣5＜0，
∴图象在第二、四象限，在各象限内，y随x增大而增大；
故答案为：二、四；增大；
（3）当x＝﹣3时，y最小＝＝；
当x＝﹣时，y最大＝＝10；
故答案为：10；．
21．如图，△ABC是以AB＝a为斜边的等腰直角三角形．其内部的4段弧均等于以BC为直径的圆周．求图中阴影部分的面积．
【分析】根据题意得出阴影部分的面积等于半圆的面积﹣正方形CEDF的面积的2倍．
解：连接AC的中点F与弧的交点D，BC的中点E与弧的交点D，如图，
∵△ABC 是等腰直角三角形，AB＝a，
∴AC＝BC＝a，
∴CE＝CF＝a，
S阴影＝2（S半圆﹣S正方形CEDF）
＝2×[π×（a）2﹣a×a]
＝2×（a2﹣a2）
＝（﹣）a2．
22．为落实“双减”，进一步深化白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，2021年12月3日开展“双减”背景下白云区初中数学提升工程成果展示现场会，其中活动型作业展示包括以下项目：①数独挑战；②数学谜语；③一笔画；①24点；⑤玩转魔方．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图．
（1）木次随机抽查的学生人数为 60 人，补全图（Ⅰ）；
（2）参加活动的学生共有500名，可估计出其中最喜爱“①数独挑战”的学生人数为 125 人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为 90 度；
（3）计划在“①，②，③，④”四项活动中随机选取两项作为重点直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“①，④”这两项活动的概率．
【分析】（1）由②的人数除以所占百分比求出抽查的学生人数，即可解决问题；
（2）由该校人数乘以最喜爱“①数独挑战”的人数所占的比例得出该校学生最喜爱“①数独挑战”的人数，再用360°乘以最喜爱“①数独挑战”的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
解：（1）本次随机抽查的学生人数为：18÷30%＝60（人），
则喜爱⑤玩转魔方游戏的人数为：60﹣15﹣18﹣9﹣6＝12（人），
补全图（Ⅰ）如下：
故答案为：60；
（2）估计该校学生最喜爱“①数独挑战”的人数为：500×＝125（人），
图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为：360°×＝90°，
故答案为：125，90；
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好选中“①，④”这两项活动的结果有2个，
∴恰好选中“①，④”这两项活动的概率为＝．
23．一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积是12cm2，求菱形的周长．
【分析】先设菱形的一条对角线为xcm，则另一条对角线为（10﹣x）cm，再利用菱形的面积＝对角线乘积的一半，即可列方程，解出得到两条对角线长，再利用菱形的性质和勾股定理即可求得边长，从而得到周长．
解：如图设菱形的一条对角线为xcm，则另一条对角线为（10﹣x）cm，
x（10﹣x）＝12，
解得x1＝4，x2＝6，
即BD＝4，AC＝6，
在Rt△AOB中，AB＝＝＝，
所以菱形的周长为4．
24．已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴的负、正半轴分别交于A，B两点，与y轴的负半轴交于点D，点C是抛物线的顶点．
（1）若OA﹣OB＝2，求该抛物线的对称轴；
（2）在（1）的条件下，连接AD，CD，若AD⊥CD，求该抛物线的解析式；
（3）若OA﹣OB＝2p，点D的坐标为（0，﹣|p|），请判断点C是否存在最高点或最低点，若存在，求该点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令y＝0，则x2+mx+n＝0，则x1+x2＝﹣m，再由OA﹣OB＝﹣（x1+x2）＝m＝2，即可求m的值；
（2）过点C作CE⊥y轴交于点E，求出D（0，n），C（﹣1，n﹣1），则可求∠CDE＝∠ADO＝45°，得到A（n，0），再将A点代入解析式可得n＝﹣3，即可求y＝x2+2x﹣3；
（3）由题意可得y＝x2+mx+n＝（x+p）2﹣p2﹣|p|，则C（﹣p，﹣p2﹣|p|），所以当p＝0时，﹣p2﹣|p|有最大值0，此时抛物线为y＝x2，抛物线与x轴只有一个交点，不符合题意，故点C不存在最高点或最低点．
解：（1）令y＝0，则x2+mx+n＝0，
∴x1+x2＝﹣m，
∵OA﹣OB＝2，
∴﹣（x1+x2）＝m＝2，
∴y＝x2+2x+n＝（x+1）2+﹣1+n，
∴对称轴为直线x＝﹣1；
（2）过点C作CE⊥y轴交于点E，
∵y＝x2+2x+n，
∴D（0，n），C（﹣1，n﹣1），
∴DE＝n﹣n+1＝1，
∴∠CDE＝45°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADO＝45°，
∴AO＝DO，
∴A（n，0），
∴n2+2n+n＝0，
∴n＝0（舍）或n＝﹣3，
∴y＝x2+2x﹣3；
（3）不存在，理由如下：
∵OA﹣OB＝2p，
∴m＝2p，
∵点D的坐标为（0，﹣|p|），
∴n＝﹣|p|，
∴y＝x2+mx+n＝x2+2px﹣|p|＝（x+p）2﹣p2﹣|p|，
∴C（﹣p，﹣p2﹣|p|），
∵|p|≥0，
∴﹣p2﹣|p|≤0，
∴当p＝0时，﹣p2﹣|p|有最大值0，
此时抛物线为y＝x2，抛物线与x轴只有一个交点，不符合题意，
∴点C不存在最高点或最低点．
25．如图，已知在△ABC中，∠A是钝角，以AB为边作正方形ABDE，使△ABC正方形ABDE分居在AB两侧，以AC为边作正方形ACFG，使△ABC正方形ACFG分居在AC两侧，BG与CE交于点M，连接AM．
（1）求证：BG＝CE；
（2）求：∠AMC的度数；
（3）若BG＝a，MG＝b，ME＝c，求：S△ABM：S△ACM（结果可用含有a，b，c的式子表示）．
【分析】（1）由题意画出图形，利用SAS公理判定△BAG≌△EAC即可得出结论；
（2）利用全等三角形的性质可得∠BGA＝∠ECA，利用三角形的内角和定理可得∠GMN＝∠CAN＝90°，利用正方形的性质可得∠AGC＝45°，证明A，M，G．C四点共圆，利用同弧所对的圆周角相等即可得出结论；
（3））由△BAG≌△EAC可得BG＝EC＝a，S△BAG＝S△EAC；利用同高的三角形的面积比等于底的比可得用a，b，c的式子表示出的S△ABM：S△BAG和S△ACM：S△EAC，将两个式子联立即可得出结论．
【解答】证明：（1）由题意画出图形，如下图，
∵四边形ABDE是正方形，
∴AB＝AE，∠BAE＝90°．
∵四边形ACFG是正方形，
∴AG＝AC，∠GAC＝90°．
∵∠BAG＝∠BAE＝∠EAG＝90°+∠EAG，
∠EAC＝∠GAC+∠EAG＝90°+∠EAG，
∴∠BAG＝∠EAG．
在△BAG和△EAC中，
，
∴△BAG≌△EAC（SAS）．
∴BG＝CE．
解：（2）∵△BAG≌△EAC，
∴∠BGA＝∠ECA．
设EC与AG交于点N，
∵∠MNG＝∠ANC，
∴∠GMN＝∠CAN．
∵四边形ACFG是正方形，
∴∠GAC＝90°，
∴∠GMC＝90°．
∴∠BMC＝90°．
连接GC，如图，
∵四边形ACFG是正方形，
∴∠AGC＝45°．
∵∠GMC＝∠GAC＝90°，
∴A，M，G．C四点共圆．
∴∠AMC＝∠AGC＝45°．
解：（3）∵△BAG≌△EAC，
∴BG＝EC＝a，S△BAG＝S△EAC．
∵，
，
∴S△ABM＝S△BAG，S△ACM＝S△EAC．
∴＝．
1．下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．在如图的各事件中，是随机事件的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A，B，已知∠P＝60°，OA＝3，则∠AOB所对的弧长为（ ）
A．2πB．3πC．5πD．6π
4．如果反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞B．m＜C．m≤D．m≥
5．方程x2+8x+17＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
6．点（3，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，则下列说法正确的是（ ）
A．k＝6
B．函数的图象关于y＝x对称
C．函数的图象经过点（6，1）
D．函数的图象关于原点对称
7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（ ）
A．2B．4C．4D．8
8．用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形．设长方形的长为xcm，则可列方程为（ ）
A．x（20+x）＝64B．x（20﹣x）＝64C．x（40+x）＝64D．x（40﹣x）＝64
9．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（ ）
A．2rB．rC．rD．3r
10．已知抛物线y＝ax2﹣bx+c如图，下列说法正确的有（ ）
①a+b+c＝0，②a﹣b+c＞0，③b＞0，④c＝﹣1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）
11．抛物线y＝x2﹣2x+3有最 点（填写“高”或“低”），这个点的坐标是 ．
12．点A是反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，△OAB的面积是1，则k＝ ．
13．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成3个大小相同的扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三个数字．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．指针指向扇形Ⅰ的概率是 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，则∠EBC＝ °．
15．为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞100条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞10条鱼．如果在这10条鱼中有1条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为 条．
16．如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，AE是中线，BF和CD是高，则下列结论中，正确的是 （填序号）．
①BC＝2DF；
②∠CEF＝2∠CDF；
③△DEF是等边三角形；
④（CF+CD）：（BD+BF）＝（BD﹣BF）：（CF﹣CD）．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．解方程：（x+3）2﹣25＝0．
18．一个二次函数的图象经过（﹣1，0），（0，6），（3，0）三点．
求：这个二次函数的解析式．
19．如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．
求证：CD是⊙O的切线．
20．已知函数y＝（k﹣2）xk+2为反比例函数．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）这个函数的图象位于第 象限；在每一个象限内，y随x的增大而 ；
（3）当﹣3≤x≤﹣时，函数的最大值为 ，最小值为 ．
21．如图，△ABC是以AB＝a为斜边的等腰直角三角形．其内部的4段弧均等于以BC为直径的圆周．求图中阴影部分的面积．
22．为落实“双减”，进一步深化白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，2021年12月3日开展“双减”背景下白云区初中数学提升工程成果展示现场会，其中活动型作业展示包括以下项目：①数独挑战；②数学谜语；③一笔画；①24点；⑤玩转魔方．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图．
（1）木次随机抽查的学生人数为 人，补全图（Ⅰ）；
（2）参加活动的学生共有500名，可估计出其中最喜爱“①数独挑战”的学生人数为 人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为 度；
（3）计划在“①，②，③，④”四项活动中随机选取两项作为重点直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“①，④”这两项活动的概率．
23．一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积是12cm2，求菱形的周长．
24．已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴的负、正半轴分别交于A，B两点，与y轴的负半轴交于点D，点C是抛物线的顶点．
（1）若OA﹣OB＝2，求该抛物线的对称轴；
（2）在（1）的条件下，连接AD，CD，若AD⊥CD，求该抛物线的解析式；
（3）若OA﹣OB＝2p，点D的坐标为（0，﹣|p|），请判断点C是否存在最高点或最低点，若存在，求该点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，已知在△ABC中，∠A是钝角，以AB为边作正方形ABDE，使△ABC正方形ABDE分居在AB两侧，以AC为边作正方形ACFG，使△ABC正方形ACFG分居在AC两侧，BG与CE交于点M，连接AM．
（1）求证：BG＝CE；
（2）求：∠AMC的度数；
（3）若BG＝a，MG＝b，ME＝c，求：S△ABM：S△ACM（结果可用含有a，b，c的式子表示）．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：选项A、B、C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以不是中心对称图形；
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以是中心对称图形；
故选：D．
2．在如图的各事件中，是随机事件的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据随机事件的概率值即可判断．
解：因为不可能事件的概率为0，0＜随机事件的概率＜1，必然事件的概率为1，
所以在如图的各事件中，是随机事件的有：事件B和事件C，共有2个，
故选：B．
3．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A，B，已知∠P＝60°，OA＝3，则∠AOB所对的弧长为（ ）
A．2πB．3πC．5πD．6π
【分析】由切线的性质可以求出∠OAP＝∠OBP＝90°，再由条件就可以求出∠AOB的度数，再由弧长公式就可以求出其值．
解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝60°，
∴∠AOB＝120°
∵OA＝3，
∴＝＝2π．
故选：A．
4．如果反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞B．m＜C．m≤D．m≥
【分析】根据反比例函数的性质可得1﹣2m＞0，再解不等式即可．
解：∵反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，
∴1﹣2m＞0，
解得：m＜，
故选：B．
5．方程x2+8x+17＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【分析】先求出根的判别式Δ的值，再判断出其符号即可得到结论．
解：∵x2+8x+17＝0，
∴Δ＝82﹣4×1×17＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根．
故选：A．
6．点（3，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，则下列说法正确的是（ ）
A．k＝6
B．函数的图象关于y＝x对称
C．函数的图象经过点（6，1）
D．函数的图象关于原点对称
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对A、C进行判断；根据反比例函数的性质对B、D进行判断．
解：A、点（3，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，则k＝3×（﹣2）＝﹣6，故错误；
B、函数的图象关于y＝﹣x对称，故错误；
C、函数图象经过点（6，﹣1）或（﹣6，1），故错误；
D、函数图象关于原点成中心对称，故正确，
故选：D．
7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（ ）
A．2B．4C．4D．8
【分析】根据圆周角定理得∠BOC＝2∠A＝45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE＝DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE＝OC＝2，然后利用CD＝2CE进行计算．
解：∵∠A＝22.5°，
∴∠BOC＝2∠A＝45°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴CE＝OC＝2，
∴CD＝2CE＝4．
故选：C．
8．用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形．设长方形的长为xcm，则可列方程为（ ）
A．x（20+x）＝64B．x（20﹣x）＝64C．x（40+x）＝64D．x（40﹣x）＝64
【分析】本题可根据长方形的周长可以用x表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程．
解：设长为xcm，
∵长方形的周长为40cm，
∴宽为＝（20﹣x）（cm），
得x（20﹣x）＝64．
故选：B．
9．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（ ）
A．2rB．rC．rD．3r
【分析】首先求得围成的圆锥的母线长，然后利用勾股定理求得其高即可．
解：∵圆的半径为r，扇形的弧长等于底面圆的周长得出2πr．
设圆锥的母线长为R，则＝2πr，
解得：R＝3r．
根据勾股定理得圆锥的高为2r，
故选：A．
10．已知抛物线y＝ax2﹣bx+c如图，下列说法正确的有（ ）
①a+b+c＝0，②a﹣b+c＞0，③b＞0，④c＝﹣1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由抛物线经过（1，0）判断①，由x＝﹣1时y＞0可判断②，根据抛物线开口方向及对称轴位置可判断③，由抛物线与y轴交点判断④．
解：∵抛物线经过点（1，0），
∴a﹣b+c＝0，②错误．
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，②正错误，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，③正确．
∵抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1），
∴c＝﹣1，④正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）
11．抛物线y＝x2﹣2x+3有最 低 点（填写“高”或“低”），这个点的坐标是 （1，2） ．
【分析】根据二次函数的性质，a＞0，二次函数有最小值解答．
解：抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∵a＝1＞0，
∴该抛物线有最小值，
即抛物线有最低点，
此点坐标为（1，2），
故答案为：低，（1，2）．
12．点A是反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，△OAB的面积是1，则k＝ 2 ．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行解答即可．
解：由题意得，
S△AOB＝|k|＝1，
又∵k＞0，
∴k＝2，
故答案为：2．
13．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成3个大小相同的扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三个数字．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．指针指向扇形Ⅰ的概率是 ．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
解：∵转盘分成3个大小相同的扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三个数字，
∴指针指向扇形Ⅰ的概率是
故答案为：．
14．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，则∠EBC＝ 22.5 °．
【分析】先根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，则∠ABE＝45°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝67.5°，再计算∠ABC﹣∠ABE即可．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝67.5°﹣45°＝22.5°．
故答案为：22.5．
15．为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞100条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞10条鱼．如果在这10条鱼中有1条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为 1000 条．
【分析】根据样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
解：估计鱼塘中鱼的条数为100÷＝1000（条），
故答案为：1000．
16．如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，AE是中线，BF和CD是高，则下列结论中，正确的是 ①②③④ （填序号）．
①BC＝2DF；
②∠CEF＝2∠CDF；
③△DEF是等边三角形；
④（CF+CD）：（BD+BF）＝（BD﹣BF）：（CF﹣CD）．
【分析】通过证明点B，点C，点F，点D四点在以BC为直径的圆上，由圆周角定理可得∠CEF＝2∠CDF，故②正确，通过证明△ABC∽△AFD，可得＝，由直角三角形的性质可得AC＝2AD，可得BC＝2DF，故①正确；由直角三角形的性质可得DE＝EF＝DF，可证△DEF是等边三角形，故③正确；由勾股定理可得BD2+CD2＝BC2＝CF2+BF2，可判断④正确，即可求解．
解：∵AE是中线，
∴BE＝EC，
∵BF⊥AC，CD⊥AB，
∴∠BFC＝∠BDC＝90°，
∴点B，点C，点F，点D四点在以BC为直径的圆上，
∴点E是圆心，
∴∠CEF＝2∠CDF，故②正确，
∵四边形BDFC是圆内接四边形，
∴∠ADF＝∠ACB，∠AFD＝∠ABC，
∴△ABC∽△AFD，
∴＝，
∵∠BAC＝60°，CD⊥AB，
∴∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD，
∴，
∴BC＝2DF，故①正确；
∵∠BFC＝∠BDC＝90°，BE＝EC，
∴DE＝EF＝BC，
∴DE＝EF＝DF，
∴△DEF是等边三角形，故③正确；
∵∠BFC＝∠BDC＝90°，
∴BD2+CD2＝BC2＝CF2+BF2，
∴CF2﹣CD2＝BD2﹣BF2，
∴（CF+CD）（CF﹣CD）＝（BD+BF）（BD﹣BF），
∴（CF+CD）：（BD+BF）＝（BD﹣BF）：（CF﹣CD），故④正确，
故答案为①②③④．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．解方程：（x+3）2﹣25＝0．
【分析】先把方程变形为解（x+3）2＝25，然后利用直接开平方法解方程．
解：（x+3）2＝25，
x+3＝±5，
所以x1＝2，x2＝﹣8．
18．一个二次函数的图象经过（﹣1，0），（0，6），（3，0）三点．
求：这个二次函数的解析式．
【分析】设一般式y＝ax2+bx+c，再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可．
解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
根据题意得：，
解得：，
所以抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．
19．如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．
求证：CD是⊙O的切线．
【分析】连接OC，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠ACO，根据平行线的判定得出OC∥AD，根据平行线的性质得出OC⊥DC，再根据切线的判定得出即可．
【解答】证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥DC，
∵OC过圆心O，
∴CD是⊙O的切线．
20．已知函数y＝（k﹣2）xk+2为反比例函数．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）这个函数的图象位于第 二、四 象限；在每一个象限内，y随x的增大而 增大 ；
（3）当﹣3≤x≤﹣时，函数的最大值为 10 ，最小值为 ．
【分析】（1）首先根据反比例函数的定义可得k+2＝﹣1，且k﹣2≠0，解出k的值即可；
（2）根据k﹣2＜0，结合反比例函数的性质可得答案；
（3）根据y随x增大而增大可得当x＝﹣3时，y最小，当x＝﹣时，y最大，代入求值即可．
解：（1）由题意得：k+2＝﹣1，且k﹣2≠0，
解得：k＝﹣3，
∴k﹣2＝﹣5，
∴这个反比例函数的解析式为；
（2）∵﹣5＜0，
∴图象在第二、四象限，在各象限内，y随x增大而增大；
故答案为：二、四；增大；
（3）当x＝﹣3时，y最小＝＝；
当x＝﹣时，y最大＝＝10；
故答案为：10；．
21．如图，△ABC是以AB＝a为斜边的等腰直角三角形．其内部的4段弧均等于以BC为直径的圆周．求图中阴影部分的面积．
【分析】根据题意得出阴影部分的面积等于半圆的面积﹣正方形CEDF的面积的2倍．
解：连接AC的中点F与弧的交点D，BC的中点E与弧的交点D，如图，
∵△ABC 是等腰直角三角形，AB＝a，
∴AC＝BC＝a，
∴CE＝CF＝a，
S阴影＝2（S半圆﹣S正方形CEDF）
＝2×[π×（a）2﹣a×a]
＝2×（a2﹣a2）
＝（﹣）a2．
22．为落实“双减”，进一步深化白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，2021年12月3日开展“双减”背景下白云区初中数学提升工程成果展示现场会，其中活动型作业展示包括以下项目：①数独挑战；②数学谜语；③一笔画；①24点；⑤玩转魔方．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图．
（1）木次随机抽查的学生人数为 60 人，补全图（Ⅰ）；
（2）参加活动的学生共有500名，可估计出其中最喜爱“①数独挑战”的学生人数为 125 人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为 90 度；
（3）计划在“①，②，③，④”四项活动中随机选取两项作为重点直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“①，④”这两项活动的概率．
【分析】（1）由②的人数除以所占百分比求出抽查的学生人数，即可解决问题；
（2）由该校人数乘以最喜爱“①数独挑战”的人数所占的比例得出该校学生最喜爱“①数独挑战”的人数，再用360°乘以最喜爱“①数独挑战”的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
解：（1）本次随机抽查的学生人数为：18÷30%＝60（人），
则喜爱⑤玩转魔方游戏的人数为：60﹣15﹣18﹣9﹣6＝12（人），
补全图（Ⅰ）如下：
故答案为：60；
（2）估计该校学生最喜爱“①数独挑战”的人数为：500×＝125（人），
图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为：360°×＝90°，
故答案为：125，90；
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好选中“①，④”这两项活动的结果有2个，
∴恰好选中“①，④”这两项活动的概率为＝．
23．一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积是12cm2，求菱形的周长．
【分析】先设菱形的一条对角线为xcm，则另一条对角线为（10﹣x）cm，再利用菱形的面积＝对角线乘积的一半，即可列方程，解出得到两条对角线长，再利用菱形的性质和勾股定理即可求得边长，从而得到周长．
解：如图设菱形的一条对角线为xcm，则另一条对角线为（10﹣x）cm，
x（10﹣x）＝12，
解得x1＝4，x2＝6，
即BD＝4，AC＝6，
在Rt△AOB中，AB＝＝＝，
所以菱形的周长为4．
24．已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴的负、正半轴分别交于A，B两点，与y轴的负半轴交于点D，点C是抛物线的顶点．
（1）若OA﹣OB＝2，求该抛物线的对称轴；
（2）在（1）的条件下，连接AD，CD，若AD⊥CD，求该抛物线的解析式；
（3）若OA﹣OB＝2p，点D的坐标为（0，﹣|p|），请判断点C是否存在最高点或最低点，若存在，求该点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令y＝0，则x2+mx+n＝0，则x1+x2＝﹣m，再由OA﹣OB＝﹣（x1+x2）＝m＝2，即可求m的值；
（2）过点C作CE⊥y轴交于点E，求出D（0，n），C（﹣1，n﹣1），则可求∠CDE＝∠ADO＝45°，得到A（n，0），再将A点代入解析式可得n＝﹣3，即可求y＝x2+2x﹣3；
（3）由题意可得y＝x2+mx+n＝（x+p）2﹣p2﹣|p|，则C（﹣p，﹣p2﹣|p|），所以当p＝0时，﹣p2﹣|p|有最大值0，此时抛物线为y＝x2，抛物线与x轴只有一个交点，不符合题意，故点C不存在最高点或最低点．
解：（1）令y＝0，则x2+mx+n＝0，
∴x1+x2＝﹣m，
∵OA﹣OB＝2，
∴﹣（x1+x2）＝m＝2，
∴y＝x2+2x+n＝（x+1）2+﹣1+n，
∴对称轴为直线x＝﹣1；
（2）过点C作CE⊥y轴交于点E，
∵y＝x2+2x+n，
∴D（0，n），C（﹣1，n﹣1），
∴DE＝n﹣n+1＝1，
∴∠CDE＝45°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADO＝45°，
∴AO＝DO，
∴A（n，0），
∴n2+2n+n＝0，
∴n＝0（舍）或n＝﹣3，
∴y＝x2+2x﹣3；
（3）不存在，理由如下：
∵OA﹣OB＝2p，
∴m＝2p，
∵点D的坐标为（0，﹣|p|），
∴n＝﹣|p|，
∴y＝x2+mx+n＝x2+2px﹣|p|＝（x+p）2﹣p2﹣|p|，
∴C（﹣p，﹣p2﹣|p|），
∵|p|≥0，
∴﹣p2﹣|p|≤0，
∴当p＝0时，﹣p2﹣|p|有最大值0，
此时抛物线为y＝x2，抛物线与x轴只有一个交点，不符合题意，
∴点C不存在最高点或最低点．
25．如图，已知在△ABC中，∠A是钝角，以AB为边作正方形ABDE，使△ABC正方形ABDE分居在AB两侧，以AC为边作正方形ACFG，使△ABC正方形ACFG分居在AC两侧，BG与CE交于点M，连接AM．
（1）求证：BG＝CE；
（2）求：∠AMC的度数；
（3）若BG＝a，MG＝b，ME＝c，求：S△ABM：S△ACM（结果可用含有a，b，c的式子表示）．
【分析】（1）由题意画出图形，利用SAS公理判定△BAG≌△EAC即可得出结论；
（2）利用全等三角形的性质可得∠BGA＝∠ECA，利用三角形的内角和定理可得∠GMN＝∠CAN＝90°，利用正方形的性质可得∠AGC＝45°，证明A，M，G．C四点共圆，利用同弧所对的圆周角相等即可得出结论；
（3））由△BAG≌△EAC可得BG＝EC＝a，S△BAG＝S△EAC；利用同高的三角形的面积比等于底的比可得用a，b，c的式子表示出的S△ABM：S△BAG和S△ACM：S△EAC，将两个式子联立即可得出结论．
【解答】证明：（1）由题意画出图形，如下图，
∵四边形ABDE是正方形，
∴AB＝AE，∠BAE＝90°．
∵四边形ACFG是正方形，
∴AG＝AC，∠GAC＝90°．
∵∠BAG＝∠BAE＝∠EAG＝90°+∠EAG，
∠EAC＝∠GAC+∠EAG＝90°+∠EAG，
∴∠BAG＝∠EAG．
在△BAG和△EAC中，
，
∴△BAG≌△EAC（SAS）．
∴BG＝CE．
解：（2）∵△BAG≌△EAC，
∴∠BGA＝∠ECA．
设EC与AG交于点N，
∵∠MNG＝∠ANC，
∴∠GMN＝∠CAN．
∵四边形ACFG是正方形，
∴∠GAC＝90°，
∴∠GMC＝90°．
∴∠BMC＝90°．
连接GC，如图，
∵四边形ACFG是正方形，
∴∠AGC＝45°．
∵∠GMC＝∠GAC＝90°，
∴A，M，G．C四点共圆．
∴∠AMC＝∠AGC＝45°．
解：（3）∵△BAG≌△EAC，
∴BG＝EC＝a，S△BAG＝S△EAC．
∵，
，
∴S△ABM＝S△BAG，S△ACM＝S△EAC．
∴＝．
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