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广东省广州市海珠区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）
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这是一份广东省广州市海珠区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知△ABO∽△DEO，且BO：EO＝1：3，则△ABO与△DEO的面积比是（ ）
A．1：3B．3：1C．1：9D．9：1
3．如图，抛物线对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A（﹣1，0），则另一交点的坐标是（ ）
A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（1，0）D．（2，0）
4．社区医院十月份接种了新冠疫苗100份，十二月份接种了392份．设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．100（1+x）2＝392B．392（1﹣x）2＝100
C．100（1+2x）2＝392D．100（1+x2）＝392
5．已知：如图，在△ABC中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
6．如何平移抛物线y＝﹣（x+4）2﹣1得到抛物线y＝﹣x2（ ）
A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
7．若关于x的一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0的一个实数根为0，则m等于（ ）
A．1B．±1C．﹣1D．0
8．如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．3D．5
9．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA＝8cm，则△PFG的周长是（ ）
A．8cmB．12cmC．16cmD．20cm
10．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于点D，AD＝4，P是半径为1的⊙A上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（ ）
A．3.5B．4.5C．4D．3
二、填空题（共6小题，共18分）
11．函数y＝x2﹣5的最小值是 ．
12．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB＝80°，则∠ACB的度数为 ．
13．圆锥底面的半径为5cm，高为12cm，则圆锥的侧面积为 cm2．
14．二次函数y＝（x﹣1）2，当x＜1时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
15．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E，连接AD、BE交于点M，过点D作DF⊥AC于点F，DH⊥AB于点H，交BE于点G：下列结论：①△CDF≌△BDH，②DG＝DM，③CF＝FE，④BE＝2DH，其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（共9小题，共72分）
17．解方程．
（1）x2＝4x；
（2）x（x﹣2）＝3x﹣6．
18．如图，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上，坐标分别为（﹣2，4）、（﹣2，0）、（﹣4，1）．
（1）画出△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到的△AB1C1；
（2）写出点B1、C1的坐标．
19．如图，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4交x轴于A、B两点，交y轴于点C．
（1）求点A、B、C坐标；
（2）若直线y＝kx+b经过B、C两点，直接写出不等式﹣（x﹣1）2+4＞kx+b的解集．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
21．如图，D为⊙O上一点，点C是直径BA延长线上的一点，连接CD，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DC＝4，AC＝2，求OC的长．
22．如图，AB＝4，CD＝6，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF．
（1）若AE＝3，求ED的长．
（2）求EF的长．
23．如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是y轴上一点，当∠APB＝90°时，求点P的坐标．
24．如图，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊥CD，垂足为E，P为上的动点（不与端点重合），连接PD．
（1）求证：∠APD＝∠BPD；
（2）利用尺规在PD上找到点I，使得I到AB、AP的距离相等，连接AD（保留作图痕迹，不写作法）．求证：∠AIP+∠DAI＝180°；
（3）在（2）的条件下，连接IC、IE，若∠APB＝60°，试问：在P点的移动过程中，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
25．已知抛物线G：y1＝mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3，直线h：y2＝mx+3﹣2m，其中m≠0．
（1）当m＝1时，求抛物线G与直线h交点的坐标；
（2）求证：抛物线G与直线h必有一个交点A在坐标轴上；
（3）在（2）的结论下，解决下列问题：
①无论m怎样变化，求抛物线G一定经过的点坐标；
②将抛物线G关于原点对称得到的图象记为抛物线G'，试结合图象探究：若在抛物线G与直线h，抛物线G'与直线h均相交，在所有交点的横坐标中，点A横坐标既不是最大值，也不是最小值，求此时抛物线G的对称轴的取值范围．
参考答案
一、选择题（共10小题，共30分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：选项A、B、C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以不是中心对称图形；
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以是中心对称图形；
故选：D．
2．已知△ABO∽△DEO，且BO：EO＝1：3，则△ABO与△DEO的面积比是（ ）
A．1：3B．3：1C．1：9D．9：1
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方直接得到答案即可．
解：∵△ABO∽△DEO，且BO：EO＝1：3，
∴△ABO与△DEO的面积比是1：9，
故选：C．
3．如图，抛物线对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A（﹣1，0），则另一交点的坐标是（ ）
A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（1，0）D．（2，0）
【分析】根据抛物线对称性及对称轴为直线x＝1求解．
解：抛物线对称轴为直线x＝1，点A坐标为（﹣1，0），
由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为（3，0），
故选：A．
4．社区医院十月份接种了新冠疫苗100份，十二月份接种了392份．设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．100（1+x）2＝392B．392（1﹣x）2＝100
C．100（1+2x）2＝392D．100（1+x2）＝392
【分析】设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为x，根据该社区医院十二月接种疫苗的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为x，
根据题意得：100（1+x）2＝392．
故选：A．
5．已知：如图，在△ABC中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】先根据相似三角形的判定定理求出△ADE∽△ACB，再根据其对应边成比例解答即可．
解：∵在△ABC中，∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴．
故选：B．
6．如何平移抛物线y＝﹣（x+4）2﹣1得到抛物线y＝﹣x2（ ）
A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝﹣（x+4）2﹣1的顶点坐标为（﹣4，﹣1），然后通过顶点平移的情况来判断抛物线平移的情况．
解：抛物线y＝﹣x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝﹣（x+4）2﹣1的顶点坐标为（﹣4，﹣1），
∵点（﹣4，﹣1）向右平移4个单位，再向上平移1个单位可得到（0，0），
∴将抛物线y＝﹣（x+4）2﹣1向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y＝﹣x2．
故选：B．
7．若关于x的一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0的一个实数根为0，则m等于（ ）
A．1B．±1C．﹣1D．0
【分析】把x＝0代入方程得到关于m的方程，再解关于m的方程，然后利用一元二次方程的定义确定m的值．
解：把x＝0代入（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0，得m2﹣1＝0，
解得m1＝﹣1，m2＝1，
而m+1≠0，即m≠﹣1．
所以m＝1．
故选：A．
8．如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．3D．5
【分析】由垂径定理得AE＝AB＝4，再由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：设⊙O的半径为r，
∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，
∴AE＝AB＝4，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：AE2+OE2＝OA2，
即42+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径为5，
故选：D．
9．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA＝8cm，则△PFG的周长是（ ）
A．8cmB．12cmC．16cmD．20cm
【分析】由于PA、FG、PB都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△ABC的周长转化为切线长求解．
解：根据切线长定理可得：PA＝PB，FA＝FE，GE＝GB；
所以△PFG的周长＝PF+FG+PG，
＝PF+FE+EG+PG，
＝PF+FA+GB+PG，
＝PA+PB
＝16cm，
故选：C．
10．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于点D，AD＝4，P是半径为1的⊙A上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（ ）
A．3.5B．4.5C．4D．3
【分析】连接PB，根据等腰三角形的三线合一得到CD＝DB，根据三角形中位线定理得到DE＝PB，则当PB取最大值时，DE的长最大，求得PB的最大值，即可求得DE长的最大值．
解：连接PB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝DB＝BC＝3，
∵点E为AC的中点，
∴DE是△PBC的中位线，
∴DE＝PB，
∴当PB取最大值时，DE的长最大，
∵P是半径为1的⊙A上一动点，
∴当PB过圆心A时，PB最大，
∵BD＝3，AD＝4，
∴AB＝＝5，
∵⊙A的半径为1，
∴PB的最大值为5+1＝6，
∴DE长的最大值为3，
故选：D．
二、填空题（共6小题，共18分）
11．函数y＝x2﹣5的最小值是 ﹣5 ．
【分析】由x2≥0可得x＝0时，函数值最小．
解：∵x2≥0，
∴x＝0时，函数值最小为﹣5．
故答案为：﹣5．
12．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB＝80°，则∠ACB的度数为 40° ．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求得∠ACB的度数．
解：∵∠AOB＝80°，
∴∠ACB＝∠AOB＝40°．
故答案为：40°
13．圆锥底面的半径为5cm，高为12cm，则圆锥的侧面积为 65π cm2．
【分析】根据圆锥的侧面积公式：S＝πrl，直接代入数据求出即可．
解：由圆锥底面半径r＝5cm，高h＝12cm，
根据勾股定理得到母线长l＝＝13cm，
根据圆锥的侧面积公式：πrl＝π×5×13＝65π，
故答案为：65π．
14．二次函数y＝（x﹣1）2，当x＜1时，y随x的增大而 减小 ．（填“增大”或“减小”）
【分析】利用二次函数的解析式画出示意图，根据图象解答即可．
解：在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x﹣1）2的示意图如下：
抛物线y＝（x﹣1）2的对称轴为直线x＝1，由图象可以看出：
当x＜1时，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
15．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 t＝或﹣1≤t＜1 ．
【分析】若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）．
当直线和半圆相切于点C时，根据直线的解析式知直线与x轴所形成的锐角是45°，从而求得∠DOC＝45°，即可求出点C的坐标，进一步求得t的值；当直线过点B时，直接根据待定系数法求得t的值．
解：若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）．
直线y＝x+t与x轴所形成的锐角是45°．
当直线和半圆相切于点C时，则OC垂直于直线，∠COD＝45°．
又OC＝1，则CD＝OD＝，即点C（﹣，），
把点C的坐标代入直线解析式，得
t＝y﹣x＝，
当直线过点A时，把点A（﹣1，0）代入直线解析式，得t＝y﹣x＝1．
当直线过点B时，把点B（1，0）代入直线解析式，得t＝y﹣x＝﹣1．
即当t＝或﹣1≤t＜1时，直线和圆只有一个公共点；
故答案为t＝或﹣1≤t＜1．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E，连接AD、BE交于点M，过点D作DF⊥AC于点F，DH⊥AB于点H，交BE于点G：下列结论：①△CDF≌△BDH，②DG＝DM，③CF＝FE，④BE＝2DH，其中正确结论的序号是 ①②④ ．
【分析】①根据AB为半圆O的直径，求出∠ADB＝90°，然后利用等腰三角形的三线合一性质证明BD＝CD，进而易证△CDF≌△BDH；
②要证明DG＝DM，可以先证明∠DGM＝∠DMG，而∠DGM＝∠DBM+∠BDG，∠DMG＝∠ABM+∠DAB，根据已知DH⊥AB，易证∠DAB＝∠BDG，所以只要证明∠DBM和∠ABM相等即可解答；
③根据已知易证DF∥BE，由①可得BD＝DC，然后利用平行线分线段成比例即可解答；
④利用三角形的中位线定理证明BE＝2DF，由①可得DF＝DH，即可解答．
解：①∵AB为半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴△CDF≌△BDH（AAS），
故①正确；
②∵∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠DHB＝90°，
∴∠BDH+∠DBA＝90°，
∴∠BDH＝∠DAB，
∵∠DGM＝∠DBM+∠BDG，∠DMG＝∠ABM+∠DAB，∠DBM≠∠ABM，
∴∠DGM≠∠DMG，
∴DG≠DM，
故②不正确；
③∵AB为半圆O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴BE⊥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF∥BE，
∴，
∵CD＝BD，
∴CF＝FE，
故③正确；
④由③可得：CD＝BD，CF＝FE，
∴DF是△CBE的中位线，
∴BE＝2DF，
由①可得：△CDF≌△BDH，
∴DF＝DH，
∴BE＝2DH，
故④正确；
所以：其中正确结论的序号是①②④，
故答案为：①②④．
三、解答题（共9小题，共72分）
17．解方程．
（1）x2＝4x；
（2）x（x﹣2）＝3x﹣6．
【分析】（1）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解即可；
（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解即可．
解：（1）∵x2＝4x，
∴x2﹣4x＝0，
则x（x﹣4）＝0，
∴x＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝0，x2＝4；
（2）∵x（x﹣2）＝3x﹣6，
∴x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
18．如图，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上，坐标分别为（﹣2，4）、（﹣2，0）、（﹣4，1）．
（1）画出△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到的△AB1C1；
（2）写出点B1、C1的坐标．
【分析】（1）根据旋转的性质画出点B、C的对应点即可；
（2）根据点B1、C1的位置，即可写出坐标．
解：（1）如图所示，△AB1C1即为所求；
（2）根据图形可知：B1（2，4），C1（1，2）．
19．如图，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4交x轴于A、B两点，交y轴于点C．
（1）求点A、B、C坐标；
（2）若直线y＝kx+b经过B、C两点，直接写出不等式﹣（x﹣1）2+4＞kx+b的解集．
【分析】（1）令x＝0可得点A，B坐标，令y＝0可得点C坐标．
（2）通过观察图象，BC之间的部分抛物线在直线上方，从而求解．
解：（1）令y＝0，则0＝﹣（x﹣1）2+4，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0），
令x＝0，y＝﹣1+4＝3，
∴点C坐标为（0，3）．
（2）由图象可得，0＜x＜3时，抛物线在直线上方，
∴﹣（x﹣1）2+4＞kx+b的解集为0＜x＜3．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
【分析】（1）利用判别式得到Δ＝（﹣1）2﹣4（2m﹣4）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝2m﹣4，（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1变形得到x1x2﹣3（x1+x2）+9＝m2﹣1，代入得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．
解：（1）根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4（2m﹣4）≥0，
解得m≤；
（2）根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝2m﹣4，
∵（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，
∴x1x2﹣3（x1+x2）+9＝m2﹣1，
∴2m﹣4﹣3×1+9＝m2﹣1，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
解得m1＝﹣1，m2＝3（不合题意，舍去）．
故m的值是﹣1．
21．如图，D为⊙O上一点，点C是直径BA延长线上的一点，连接CD，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DC＝4，AC＝2，求OC的长．
【分析】（1）根据圆周角定理和等腰三角形的性质，得出∠ODA+∠CDA＝90°，即OD⊥CD即可得出结论；
（2）利用相似三角形的判定和性质，求出BC，进而求出半径OA，再求出OC即可．
解：（1）如图，连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即∠ODB+∠ODA＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
又∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠ODA+∠CDA＝90°，
即OD⊥CD，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠CDA＝∠CBD，∠ACD＝∠DCB，
∴△ACD∽△DCB，
∴＝，
即＝，
∴CB＝8，
∴OA＝
＝
＝3，
∴OC＝OA+AC
＝3+2
＝5．
22．如图，AB＝4，CD＝6，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF．
（1）若AE＝3，求ED的长．
（2）求EF的长．
【分析】（1）证明△AEB∽△DEC，得到＝，把已知数据代入计算即可；
（2）根据△BEF∽△BCD，得到＝，同理得到＝，两个比例式相加再代入计算，得到答案．
解：（1）∵AB∥CD，
∴△AEB∽△DEC，
∴＝，
∵AB＝4，CD＝6，AE＝3，
∴＝，
解得：DE＝；
（2）∵CD∥EF，
∴△BEF∽△BCD，
∴＝，
同理：＝，
∴+＝+＝1，
∴+＝1，
解得：EF＝．
23．如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是y轴上一点，当∠APB＝90°时，求点P的坐标．
【分析】（1）将点A（1，4）代入y＝﹣2x+m，确定直线解析式即可求出B点坐标，再设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将所求的B点坐标代入即可求a的值；
（2）（2）设P（0，t），则可求AB＝2，AB的中点M（2，2），再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得4+（t﹣2）2＝5，即可求P点坐标为（0，1）或（0，3）．
解：（1）将点A（1，4）代入y＝﹣2x+m，
∴﹣2+m＝4，
∴m＝6，
∴y＝﹣2x+6，
令y＝0，则x＝3，
∴B（3，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
将B（3，0）代入y＝a（x﹣1）2+4，
∴4a+4＝0，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）设P（0，t），
∵A（1，4），B（3，0），
∴AB＝2，AB的中点M（2，2），
∵∠APB＝90°，
∴MP＝，
∴4+（t﹣2）2＝5，
∴t＝1或t＝3，
∴P点坐标为（0，1）或（0，3）．
24．如图，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊥CD，垂足为E，P为上的动点（不与端点重合），连接PD．
（1）求证：∠APD＝∠BPD；
（2）利用尺规在PD上找到点I，使得I到AB、AP的距离相等，连接AD（保留作图痕迹，不写作法）．求证：∠AIP+∠DAI＝180°；
（3）在（2）的条件下，连接IC、IE，若∠APB＝60°，试问：在P点的移动过程中，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理可证明；
（2）作∠BAP的平分线交BP于I，证明∠DAI＝∠AID，进而命题可证；
（3）连接BI，AC，先计算得∠AIB＝120°，从而确定I在以D为圆心，AD为半径的圆上运动，根据“射影定理”得AD2＝DE•CD，进而证明△DI′E∽△DCI′，从而求得结果．
【解答】（1）证明：∵直径CD⊥弦AB，
∴＝，
∴∠APD＝∠BPD；
（2）解：如图，
作∠BAP的平分线，交PD于I，
证：∵AI平分∠BAP，
∴∠PAI＝∠BAI，
∴∠AID＝∠APD+∠PAI＝∠APD+BAI，
∵＝，
∴∠DAB＝∠APD，
∴∠DAI＝∠DAB+∠BAI＝∠APD+∠BAI，
∴∠AID＝∠DAI，
∵∠AIP+∠DAI＝180°，
∴∠AIP+∠DAI＝180°；
（3）如图2，
连接BI，AC，
∵AI平分∠BAP，PD平分∠APB，
∴BI平分∠ABP，∠BAI＝，
∴∠ABI＝，
∵∠APB＝60°，
∴∠PAB+∠PBA＝120°，
∴∠BAI+∠ABI＝（∠BAP+∠ABP）＝60°，
∴∠AIB＝120°，
∴I在以D为圆心，AD为半径的圆上运动，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠CAD，
∵∠ADC＝∠ADE，
∴△ADE∽△CDA，
∴，
∴AD2＝DE•CD，
∵DI′＝DI＝AD，
∴DI′2＝DE•CD，
∵∠I′DE是公共角，
∴△DI′E∽△DCI′，
∴＝＝2，
即
25．已知抛物线G：y1＝mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3，直线h：y2＝mx+3﹣2m，其中m≠0．
（1）当m＝1时，求抛物线G与直线h交点的坐标；
（2）求证：抛物线G与直线h必有一个交点A在坐标轴上；
（3）在（2）的结论下，解决下列问题：
①无论m怎样变化，求抛物线G一定经过的点坐标；
②将抛物线G关于原点对称得到的图象记为抛物线G'，试结合图象探究：若在抛物线G与直线h，抛物线G'与直线h均相交，在所有交点的横坐标中，点A横坐标既不是最大值，也不是最小值，求此时抛物线G的对称轴的取值范围．
【分析】（1）把m＝1代入抛物线及直线解析式，并联立即可求解；
（2）联立方程组求解即可求证；
（3）①由（2）可直接得到；
②先求出抛物线G′，再联立抛物线G′和直线h，求出交点，再进行分类讨论即可．
【解答】（1）解：当m＝1时，抛物线G：y1＝x2﹣1，直线h：y2＝x+1，
令x2﹣1＝x+1，解得x＝﹣1或x＝0，
∴抛物线G与直线h交点的坐标为（﹣1，0）或（0，1）；
（2）证明：令mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3＝mx+3﹣2m，整理得mx2﹣（4m﹣3）x+4m﹣6＝0，
即（x﹣2）（mx﹣2m+3）＝0，解得x＝2或x＝，
当x＝2时，y＝3；当x＝时，y＝0；
∴抛物线G与直线h的交点分别为（2，3）和（，0），
∴必有一个交点在x轴上．
（3）①证明：由（2）可知，抛物线一定过点（2，3）；
②解：抛物线G：y1＝mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3＝（mx﹣2m+3）（x﹣1），
则抛物线G与x轴的交点为（1，0），（，0），
∵抛物线G与抛物线G′关于原点对称，
∴抛物线G′过点（﹣1，0），（﹣，0），
∴抛物线G′的解析式为：y′＝﹣m（x+1）（x+）＝﹣mx2﹣（3m﹣3）x﹣2m+3，
令﹣mx2﹣（3m﹣3）x﹣2m+3＝mx+3﹣2m，整理得mx2+（4m﹣3）x＝0，
∴x＝0或x＝，
即四个交点分别为：（0，3﹣2m），（2，3），A（，0），（，6﹣6m），
当0≤≤2时，即时，0为最小值，2为最大值，
∴0＜＜2（m＞0），不等式无解，这种情况不成立；
当＜0时，则0＜m＜，
则＜＜2，解得m＞1，不成立；
当＞2时，得0＜m＜，
此时0＜＜，解得得0＜m＜，
∴﹣＜＜．
即抛物线G对称轴的取值范围为：﹣＜＜．
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知△ABO∽△DEO，且BO：EO＝1：3，则△ABO与△DEO的面积比是（ ）
A．1：3B．3：1C．1：9D．9：1
3．如图，抛物线对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A（﹣1，0），则另一交点的坐标是（ ）
A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（1，0）D．（2，0）
4．社区医院十月份接种了新冠疫苗100份，十二月份接种了392份．设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．100（1+x）2＝392B．392（1﹣x）2＝100
C．100（1+2x）2＝392D．100（1+x2）＝392
5．已知：如图，在△ABC中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
6．如何平移抛物线y＝﹣（x+4）2﹣1得到抛物线y＝﹣x2（ ）
A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
7．若关于x的一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0的一个实数根为0，则m等于（ ）
A．1B．±1C．﹣1D．0
8．如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．3D．5
9．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA＝8cm，则△PFG的周长是（ ）
A．8cmB．12cmC．16cmD．20cm
10．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于点D，AD＝4，P是半径为1的⊙A上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（ ）
A．3.5B．4.5C．4D．3
二、填空题（共6小题，共18分）
11．函数y＝x2﹣5的最小值是 ．
12．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB＝80°，则∠ACB的度数为 ．
13．圆锥底面的半径为5cm，高为12cm，则圆锥的侧面积为 cm2．
14．二次函数y＝（x﹣1）2，当x＜1时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
15．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E，连接AD、BE交于点M，过点D作DF⊥AC于点F，DH⊥AB于点H，交BE于点G：下列结论：①△CDF≌△BDH，②DG＝DM，③CF＝FE，④BE＝2DH，其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（共9小题，共72分）
17．解方程．
（1）x2＝4x；
（2）x（x﹣2）＝3x﹣6．
18．如图，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上，坐标分别为（﹣2，4）、（﹣2，0）、（﹣4，1）．
（1）画出△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到的△AB1C1；
（2）写出点B1、C1的坐标．
19．如图，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4交x轴于A、B两点，交y轴于点C．
（1）求点A、B、C坐标；
（2）若直线y＝kx+b经过B、C两点，直接写出不等式﹣（x﹣1）2+4＞kx+b的解集．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
21．如图，D为⊙O上一点，点C是直径BA延长线上的一点，连接CD，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DC＝4，AC＝2，求OC的长．
22．如图，AB＝4，CD＝6，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF．
（1）若AE＝3，求ED的长．
（2）求EF的长．
23．如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是y轴上一点，当∠APB＝90°时，求点P的坐标．
24．如图，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊥CD，垂足为E，P为上的动点（不与端点重合），连接PD．
（1）求证：∠APD＝∠BPD；
（2）利用尺规在PD上找到点I，使得I到AB、AP的距离相等，连接AD（保留作图痕迹，不写作法）．求证：∠AIP+∠DAI＝180°；
（3）在（2）的条件下，连接IC、IE，若∠APB＝60°，试问：在P点的移动过程中，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
25．已知抛物线G：y1＝mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3，直线h：y2＝mx+3﹣2m，其中m≠0．
（1）当m＝1时，求抛物线G与直线h交点的坐标；
（2）求证：抛物线G与直线h必有一个交点A在坐标轴上；
（3）在（2）的结论下，解决下列问题：
①无论m怎样变化，求抛物线G一定经过的点坐标；
②将抛物线G关于原点对称得到的图象记为抛物线G'，试结合图象探究：若在抛物线G与直线h，抛物线G'与直线h均相交，在所有交点的横坐标中，点A横坐标既不是最大值，也不是最小值，求此时抛物线G的对称轴的取值范围．
参考答案
一、选择题（共10小题，共30分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：选项A、B、C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以不是中心对称图形；
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以是中心对称图形；
故选：D．
2．已知△ABO∽△DEO，且BO：EO＝1：3，则△ABO与△DEO的面积比是（ ）
A．1：3B．3：1C．1：9D．9：1
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方直接得到答案即可．
解：∵△ABO∽△DEO，且BO：EO＝1：3，
∴△ABO与△DEO的面积比是1：9，
故选：C．
3．如图，抛物线对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A（﹣1，0），则另一交点的坐标是（ ）
A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（1，0）D．（2，0）
【分析】根据抛物线对称性及对称轴为直线x＝1求解．
解：抛物线对称轴为直线x＝1，点A坐标为（﹣1，0），
由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为（3，0），
故选：A．
4．社区医院十月份接种了新冠疫苗100份，十二月份接种了392份．设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．100（1+x）2＝392B．392（1﹣x）2＝100
C．100（1+2x）2＝392D．100（1+x2）＝392
【分析】设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为x，根据该社区医院十二月接种疫苗的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为x，
根据题意得：100（1+x）2＝392．
故选：A．
5．已知：如图，在△ABC中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】先根据相似三角形的判定定理求出△ADE∽△ACB，再根据其对应边成比例解答即可．
解：∵在△ABC中，∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴．
故选：B．
6．如何平移抛物线y＝﹣（x+4）2﹣1得到抛物线y＝﹣x2（ ）
A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝﹣（x+4）2﹣1的顶点坐标为（﹣4，﹣1），然后通过顶点平移的情况来判断抛物线平移的情况．
解：抛物线y＝﹣x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝﹣（x+4）2﹣1的顶点坐标为（﹣4，﹣1），
∵点（﹣4，﹣1）向右平移4个单位，再向上平移1个单位可得到（0，0），
∴将抛物线y＝﹣（x+4）2﹣1向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y＝﹣x2．
故选：B．
7．若关于x的一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0的一个实数根为0，则m等于（ ）
A．1B．±1C．﹣1D．0
【分析】把x＝0代入方程得到关于m的方程，再解关于m的方程，然后利用一元二次方程的定义确定m的值．
解：把x＝0代入（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0，得m2﹣1＝0，
解得m1＝﹣1，m2＝1，
而m+1≠0，即m≠﹣1．
所以m＝1．
故选：A．
8．如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．3D．5
【分析】由垂径定理得AE＝AB＝4，再由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：设⊙O的半径为r，
∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，
∴AE＝AB＝4，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：AE2+OE2＝OA2，
即42+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径为5，
故选：D．
9．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA＝8cm，则△PFG的周长是（ ）
A．8cmB．12cmC．16cmD．20cm
【分析】由于PA、FG、PB都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△ABC的周长转化为切线长求解．
解：根据切线长定理可得：PA＝PB，FA＝FE，GE＝GB；
所以△PFG的周长＝PF+FG+PG，
＝PF+FE+EG+PG，
＝PF+FA+GB+PG，
＝PA+PB
＝16cm，
故选：C．
10．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于点D，AD＝4，P是半径为1的⊙A上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（ ）
A．3.5B．4.5C．4D．3
【分析】连接PB，根据等腰三角形的三线合一得到CD＝DB，根据三角形中位线定理得到DE＝PB，则当PB取最大值时，DE的长最大，求得PB的最大值，即可求得DE长的最大值．
解：连接PB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝DB＝BC＝3，
∵点E为AC的中点，
∴DE是△PBC的中位线，
∴DE＝PB，
∴当PB取最大值时，DE的长最大，
∵P是半径为1的⊙A上一动点，
∴当PB过圆心A时，PB最大，
∵BD＝3，AD＝4，
∴AB＝＝5，
∵⊙A的半径为1，
∴PB的最大值为5+1＝6，
∴DE长的最大值为3，
故选：D．
二、填空题（共6小题，共18分）
11．函数y＝x2﹣5的最小值是 ﹣5 ．
【分析】由x2≥0可得x＝0时，函数值最小．
解：∵x2≥0，
∴x＝0时，函数值最小为﹣5．
故答案为：﹣5．
12．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB＝80°，则∠ACB的度数为 40° ．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求得∠ACB的度数．
解：∵∠AOB＝80°，
∴∠ACB＝∠AOB＝40°．
故答案为：40°
13．圆锥底面的半径为5cm，高为12cm，则圆锥的侧面积为 65π cm2．
【分析】根据圆锥的侧面积公式：S＝πrl，直接代入数据求出即可．
解：由圆锥底面半径r＝5cm，高h＝12cm，
根据勾股定理得到母线长l＝＝13cm，
根据圆锥的侧面积公式：πrl＝π×5×13＝65π，
故答案为：65π．
14．二次函数y＝（x﹣1）2，当x＜1时，y随x的增大而 减小 ．（填“增大”或“减小”）
【分析】利用二次函数的解析式画出示意图，根据图象解答即可．
解：在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x﹣1）2的示意图如下：
抛物线y＝（x﹣1）2的对称轴为直线x＝1，由图象可以看出：
当x＜1时，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
15．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 t＝或﹣1≤t＜1 ．
【分析】若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）．
当直线和半圆相切于点C时，根据直线的解析式知直线与x轴所形成的锐角是45°，从而求得∠DOC＝45°，即可求出点C的坐标，进一步求得t的值；当直线过点B时，直接根据待定系数法求得t的值．
解：若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）．
直线y＝x+t与x轴所形成的锐角是45°．
当直线和半圆相切于点C时，则OC垂直于直线，∠COD＝45°．
又OC＝1，则CD＝OD＝，即点C（﹣，），
把点C的坐标代入直线解析式，得
t＝y﹣x＝，
当直线过点A时，把点A（﹣1，0）代入直线解析式，得t＝y﹣x＝1．
当直线过点B时，把点B（1，0）代入直线解析式，得t＝y﹣x＝﹣1．
即当t＝或﹣1≤t＜1时，直线和圆只有一个公共点；
故答案为t＝或﹣1≤t＜1．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E，连接AD、BE交于点M，过点D作DF⊥AC于点F，DH⊥AB于点H，交BE于点G：下列结论：①△CDF≌△BDH，②DG＝DM，③CF＝FE，④BE＝2DH，其中正确结论的序号是 ①②④ ．
【分析】①根据AB为半圆O的直径，求出∠ADB＝90°，然后利用等腰三角形的三线合一性质证明BD＝CD，进而易证△CDF≌△BDH；
②要证明DG＝DM，可以先证明∠DGM＝∠DMG，而∠DGM＝∠DBM+∠BDG，∠DMG＝∠ABM+∠DAB，根据已知DH⊥AB，易证∠DAB＝∠BDG，所以只要证明∠DBM和∠ABM相等即可解答；
③根据已知易证DF∥BE，由①可得BD＝DC，然后利用平行线分线段成比例即可解答；
④利用三角形的中位线定理证明BE＝2DF，由①可得DF＝DH，即可解答．
解：①∵AB为半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴△CDF≌△BDH（AAS），
故①正确；
②∵∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠DHB＝90°，
∴∠BDH+∠DBA＝90°，
∴∠BDH＝∠DAB，
∵∠DGM＝∠DBM+∠BDG，∠DMG＝∠ABM+∠DAB，∠DBM≠∠ABM，
∴∠DGM≠∠DMG，
∴DG≠DM，
故②不正确；
③∵AB为半圆O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴BE⊥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF∥BE，
∴，
∵CD＝BD，
∴CF＝FE，
故③正确；
④由③可得：CD＝BD，CF＝FE，
∴DF是△CBE的中位线，
∴BE＝2DF，
由①可得：△CDF≌△BDH，
∴DF＝DH，
∴BE＝2DH，
故④正确；
所以：其中正确结论的序号是①②④，
故答案为：①②④．
三、解答题（共9小题，共72分）
17．解方程．
（1）x2＝4x；
（2）x（x﹣2）＝3x﹣6．
【分析】（1）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解即可；
（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解即可．
解：（1）∵x2＝4x，
∴x2﹣4x＝0，
则x（x﹣4）＝0，
∴x＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝0，x2＝4；
（2）∵x（x﹣2）＝3x﹣6，
∴x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
18．如图，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上，坐标分别为（﹣2，4）、（﹣2，0）、（﹣4，1）．
（1）画出△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到的△AB1C1；
（2）写出点B1、C1的坐标．
【分析】（1）根据旋转的性质画出点B、C的对应点即可；
（2）根据点B1、C1的位置，即可写出坐标．
解：（1）如图所示，△AB1C1即为所求；
（2）根据图形可知：B1（2，4），C1（1，2）．
19．如图，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4交x轴于A、B两点，交y轴于点C．
（1）求点A、B、C坐标；
（2）若直线y＝kx+b经过B、C两点，直接写出不等式﹣（x﹣1）2+4＞kx+b的解集．
【分析】（1）令x＝0可得点A，B坐标，令y＝0可得点C坐标．
（2）通过观察图象，BC之间的部分抛物线在直线上方，从而求解．
解：（1）令y＝0，则0＝﹣（x﹣1）2+4，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0），
令x＝0，y＝﹣1+4＝3，
∴点C坐标为（0，3）．
（2）由图象可得，0＜x＜3时，抛物线在直线上方，
∴﹣（x﹣1）2+4＞kx+b的解集为0＜x＜3．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
【分析】（1）利用判别式得到Δ＝（﹣1）2﹣4（2m﹣4）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝2m﹣4，（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1变形得到x1x2﹣3（x1+x2）+9＝m2﹣1，代入得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．
解：（1）根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4（2m﹣4）≥0，
解得m≤；
（2）根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝2m﹣4，
∵（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，
∴x1x2﹣3（x1+x2）+9＝m2﹣1，
∴2m﹣4﹣3×1+9＝m2﹣1，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
解得m1＝﹣1，m2＝3（不合题意，舍去）．
故m的值是﹣1．
21．如图，D为⊙O上一点，点C是直径BA延长线上的一点，连接CD，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DC＝4，AC＝2，求OC的长．
【分析】（1）根据圆周角定理和等腰三角形的性质，得出∠ODA+∠CDA＝90°，即OD⊥CD即可得出结论；
（2）利用相似三角形的判定和性质，求出BC，进而求出半径OA，再求出OC即可．
解：（1）如图，连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即∠ODB+∠ODA＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
又∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠ODA+∠CDA＝90°，
即OD⊥CD，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠CDA＝∠CBD，∠ACD＝∠DCB，
∴△ACD∽△DCB，
∴＝，
即＝，
∴CB＝8，
∴OA＝
＝
＝3，
∴OC＝OA+AC
＝3+2
＝5．
22．如图，AB＝4，CD＝6，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF．
（1）若AE＝3，求ED的长．
（2）求EF的长．
【分析】（1）证明△AEB∽△DEC，得到＝，把已知数据代入计算即可；
（2）根据△BEF∽△BCD，得到＝，同理得到＝，两个比例式相加再代入计算，得到答案．
解：（1）∵AB∥CD，
∴△AEB∽△DEC，
∴＝，
∵AB＝4，CD＝6，AE＝3，
∴＝，
解得：DE＝；
（2）∵CD∥EF，
∴△BEF∽△BCD，
∴＝，
同理：＝，
∴+＝+＝1，
∴+＝1，
解得：EF＝．
23．如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是y轴上一点，当∠APB＝90°时，求点P的坐标．
【分析】（1）将点A（1，4）代入y＝﹣2x+m，确定直线解析式即可求出B点坐标，再设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将所求的B点坐标代入即可求a的值；
（2）（2）设P（0，t），则可求AB＝2，AB的中点M（2，2），再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得4+（t﹣2）2＝5，即可求P点坐标为（0，1）或（0，3）．
解：（1）将点A（1，4）代入y＝﹣2x+m，
∴﹣2+m＝4，
∴m＝6，
∴y＝﹣2x+6，
令y＝0，则x＝3，
∴B（3，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
将B（3，0）代入y＝a（x﹣1）2+4，
∴4a+4＝0，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）设P（0，t），
∵A（1，4），B（3，0），
∴AB＝2，AB的中点M（2，2），
∵∠APB＝90°，
∴MP＝，
∴4+（t﹣2）2＝5，
∴t＝1或t＝3，
∴P点坐标为（0，1）或（0，3）．
24．如图，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊥CD，垂足为E，P为上的动点（不与端点重合），连接PD．
（1）求证：∠APD＝∠BPD；
（2）利用尺规在PD上找到点I，使得I到AB、AP的距离相等，连接AD（保留作图痕迹，不写作法）．求证：∠AIP+∠DAI＝180°；
（3）在（2）的条件下，连接IC、IE，若∠APB＝60°，试问：在P点的移动过程中，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理可证明；
（2）作∠BAP的平分线交BP于I，证明∠DAI＝∠AID，进而命题可证；
（3）连接BI，AC，先计算得∠AIB＝120°，从而确定I在以D为圆心，AD为半径的圆上运动，根据“射影定理”得AD2＝DE•CD，进而证明△DI′E∽△DCI′，从而求得结果．
【解答】（1）证明：∵直径CD⊥弦AB，
∴＝，
∴∠APD＝∠BPD；
（2）解：如图，
作∠BAP的平分线，交PD于I，
证：∵AI平分∠BAP，
∴∠PAI＝∠BAI，
∴∠AID＝∠APD+∠PAI＝∠APD+BAI，
∵＝，
∴∠DAB＝∠APD，
∴∠DAI＝∠DAB+∠BAI＝∠APD+∠BAI，
∴∠AID＝∠DAI，
∵∠AIP+∠DAI＝180°，
∴∠AIP+∠DAI＝180°；
（3）如图2，
连接BI，AC，
∵AI平分∠BAP，PD平分∠APB，
∴BI平分∠ABP，∠BAI＝，
∴∠ABI＝，
∵∠APB＝60°，
∴∠PAB+∠PBA＝120°，
∴∠BAI+∠ABI＝（∠BAP+∠ABP）＝60°，
∴∠AIB＝120°，
∴I在以D为圆心，AD为半径的圆上运动，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠CAD，
∵∠ADC＝∠ADE，
∴△ADE∽△CDA，
∴，
∴AD2＝DE•CD，
∵DI′＝DI＝AD，
∴DI′2＝DE•CD，
∵∠I′DE是公共角，
∴△DI′E∽△DCI′，
∴＝＝2，
即
25．已知抛物线G：y1＝mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3，直线h：y2＝mx+3﹣2m，其中m≠0．
（1）当m＝1时，求抛物线G与直线h交点的坐标；
（2）求证：抛物线G与直线h必有一个交点A在坐标轴上；
（3）在（2）的结论下，解决下列问题：
①无论m怎样变化，求抛物线G一定经过的点坐标；
②将抛物线G关于原点对称得到的图象记为抛物线G'，试结合图象探究：若在抛物线G与直线h，抛物线G'与直线h均相交，在所有交点的横坐标中，点A横坐标既不是最大值，也不是最小值，求此时抛物线G的对称轴的取值范围．
【分析】（1）把m＝1代入抛物线及直线解析式，并联立即可求解；
（2）联立方程组求解即可求证；
（3）①由（2）可直接得到；
②先求出抛物线G′，再联立抛物线G′和直线h，求出交点，再进行分类讨论即可．
【解答】（1）解：当m＝1时，抛物线G：y1＝x2﹣1，直线h：y2＝x+1，
令x2﹣1＝x+1，解得x＝﹣1或x＝0，
∴抛物线G与直线h交点的坐标为（﹣1，0）或（0，1）；
（2）证明：令mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3＝mx+3﹣2m，整理得mx2﹣（4m﹣3）x+4m﹣6＝0，
即（x﹣2）（mx﹣2m+3）＝0，解得x＝2或x＝，
当x＝2时，y＝3；当x＝时，y＝0；
∴抛物线G与直线h的交点分别为（2，3）和（，0），
∴必有一个交点在x轴上．
（3）①证明：由（2）可知，抛物线一定过点（2，3）；
②解：抛物线G：y1＝mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3＝（mx﹣2m+3）（x﹣1），
则抛物线G与x轴的交点为（1，0），（，0），
∵抛物线G与抛物线G′关于原点对称，
∴抛物线G′过点（﹣1，0），（﹣，0），
∴抛物线G′的解析式为：y′＝﹣m（x+1）（x+）＝﹣mx2﹣（3m﹣3）x﹣2m+3，
令﹣mx2﹣（3m﹣3）x﹣2m+3＝mx+3﹣2m，整理得mx2+（4m﹣3）x＝0，
∴x＝0或x＝，
即四个交点分别为：（0，3﹣2m），（2，3），A（，0），（，6﹣6m），
当0≤≤2时，即时，0为最小值，2为最大值，
∴0＜＜2（m＞0），不等式无解，这种情况不成立；
当＜0时，则0＜m＜，
则＜＜2，解得m＞1，不成立；
当＞2时，得0＜m＜，
此时0＜＜，解得得0＜m＜，
∴﹣＜＜．
即抛物线G对称轴的取值范围为：﹣＜＜．
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