2022届高考数学二轮专题测练-数列

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-数列，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=n3，则 a4 的值为
A. 15B. 37C. 27D. 64

2. 设等比数列 an 的公比 q=2，前 n 项和为 Sn，则 S4a2 等于
A. 2B. 4C. 152D. 172

3. 某种产品平均每三年价格降低 25%，目前售价为 640 元，则 9 年后此产品的价格为
A. 210B. 240C. 270D. 360

4. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数
他们研究过图 ① 中的 1 ,3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，类似地，图 ② 中 1，4，9，16，⋯，这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是
A. 289B. 1024C. 1225D. 1378

5. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn=n2，则 a5=
A. 5B. 9C. 16D. 25

6. 在数列 an 中，an+1−an=2，Sn 为 an 的前 n 项和．若 S10=50，则数列 an+an+1 的前 10 项和为
A. 100B. 110C. 120D. 130

7. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729 块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）
A. 3699 块B. 3474 块C. 3402 块D. 3339 块

8. 已知等差数列 an 满足 a1+a2+⋅⋅⋅+a101=0，则有
A. a1+a101>0B. a2+a1020，lg2 是 lg4a 与 lg2b 的等差中项，则 2a+1b 的最小值为
A. 22B. 3C. 4D. 9

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 夏季某高山上的温度从山脚起，每升高 100 米降低 0.7 ∘C ，已知山顶处的温度是 14.8 ∘C ，山脚温度是 26 ∘C ，则该山的山顶相对于山脚处的高度是 ．

22. 计算 \（\lim\limits \limits_{n\t \infty}{\left（3-\dfrac{2}{ n}+\dfrac{3}{ n^{2}}\right）}=\） ．

23. 在无穷等比数列 an 中，limn→∞a1+a2+⋯+an=12，则 a1 的取值范围是 ．

24. 函数 y=lgax+3−4（a>0，且 a≠1）图象恒过定点 P，点 P 的坐标为 ．

25. 设 a1，a2，⋯，an 是各项不为零的 n（n≥4）项等差数列，且公差 d≠0．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对 n,a1d 所组成的集合为 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 已知 Sn 是首项为 a 的等比数列 an 的前 n 项的和， S3,S9,S6 成等差数列，
（1）求证： a2,a8,a5 成等差数列；
（2）若 Tn=a1+2a4+3a7+⋯+na3n−2 ，求 Tn ．

27. 某区为推动教育现代化，计划从 2012 年至 2016 年为中小学每年新购置的电脑台数均按 25% 的比率增长．其中 2014，2015 年两年新购置的电脑数之和为 1800，该区 2016 年为中小学新购置的电脑台数为多少?

28. 一家污水处理厂有A，B两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水．A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的 10%，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的 19%．
（1）A池要用多长时间才能把污物的量减少一半（精确到 1 小时）；
（2）如果污物减少为原来的 10% 便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流．若A，B两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定（精确到 1 小时）．

29. 某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款 10 万元，第一年便可获利 1 万元，以后每年比前一年增加 30% 的利润；乙方案：每年贷款 1 万元，第一年可获利 1 万元，以后每年的获利比前一年增加 0.5 万元．两种方案的持续年限都是 10 年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年利率 5% 的复利计算，则两种方案中，哪种获利更多?
（参考数据：1.0510≈1.629，1.310≈13.786）

30. 已知集合 Sn=x1,x2,⋯,xnx1,x2,⋯,xn 是正整数 1,2,3,⋯,n 的一个排列（n≥2），函数
gx=1, x>0,−1,xa2n−1，n 为奇数时，an+2−an=1nn+2±1n+1n+3．
综上：n 为偶数时，an+1−an=−1nn+2；
n 为奇数时，an+1−an=1nn+2．
S2018=−a1+a2−a3+a4−⋯−a2017−a2018=a2−a1+a4−a3+⋯+a2018−a2017=11×3+13×5+⋯+12017×2019=12×1−12019=10092019.
20. D
【解析】因为 lg2 是 lg4a 与 lg2b 的等差中项，
所以 2lg2=lg4a+lg2b，
即 lg2=lg4a×2b=lg22a+b，
所以 2a+b=1，
因为 a>0，b>0，
所以 2a+1b=2a+1b2a+b=5+2ba+2ab≥5+24=9，
当且仅当 2ba=2ab，即 a=b=13 时取等号，
所以 2a+1b 的最小值为 9．
第二部分
21. 1600 米
22. 3
23. 0,12∪12,1
24. −2,−4
【解析】y=lgax+3−4，
因为 lga1=0，
所以当 x+3=1，即 x=−2 时，
y=lgax+3−4=0−4=−4.
所以定点 P 为 −2,−4．
25. 4,−4,4,1
【解析】假设去掉第一项，则有 a1+da1+3d=a1+2d2，解得 d=0，不合题意；
去掉第二项，有 a1a1+3d=a1+2d2，化简得，d4d+a1=0，解得 d=−a14．因为数列的各项不为零，所以数列不会出现第五项（a1+4d=0），所以数对
n,a1d=4,−4;
去掉第三项，有 a1a1+3d=a1+d2，化简得，d2−a1d=0，解得 d=a1．则此数列为：a1，2a1，3a1，4a1，⋯ 此数列仍然不会出现第五项，因为出现第五项，数列不为等比数列，所以数对
n,a1d=4,1;
去掉第四项时，有 a1a1+2d=a1+d2，化简得，d=0，不合题意；
当去掉第五项或更远的项时，必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况，即 d=0，不合题意．
所以满足题意的数对有两个，组成的集合为 4,−4,4,1．
第三部分
26. （1） 由题意， 2S9=S3+S6 ，显然 q≠1
∴2a1−q91−q=a1−q31−q+a1−q61−q ，解得 q3=−12
由 a2+a5=a21+q3=12a2 ， 2a8=2a2⋅q6=12
∴a2+a5=2a8 ∴a2,a8,a5 成等差数列
（2） Tn=a+2a⋅−12+3a⋅−122+⋯+na⋅−12n−1
∴−12Tn=a⋅−12+2a⋅−122+⋯+n−1a⋅−12n−1+na⋅−12n
两式相减，得
32Tn=a+a⋅−12+a⋅−122+⋯+a⋅−12n−1−na⋅−12n=a⋅1−−12n1−−12−na⋅−12n=23a⋅1−−12n−na⋅−12n
∴Tn=49−49+23n⋅−12n⋅a
27. 1250 台．
28. （1） 设开始时每个池中的污物为 a0，
用 an，bn 表示 n 小时后，A，B两池剩余的污物量，
则 an+1=an−0.1an=0.9an，
所以 an=0.9na0，
同理 bn=0.81na0，
由题意 an=0.9na0=a02，
两边取对数得 n=ln0.5ln0.9≈6.58≈7 小时．
（2） 设 n 小时后，A池污物余 ra0，则B池污物余 0.2−ra0，
由题意 an=0.9na0=ra0,bn=0.81na0=0.2−ra0,
化简得 0.81n+0.9n=0.2 或 0.81n+0.9n≤0.2，
即 0.9n2+0.9n−0.2=0，
解得 0.9n=−1+1.82，
两边取对数得 n=ln−1+1.82ln0.9≈16.77≈17．
答：A池要用 7 小时才能把污物的量减少一半；要经过 17 小时后把两池水混合才能符合环保规定．
29. 易知甲方案中每年的获利数构成等比数列，乙方案中每年的获利数构成等差数列．
①甲方案获利：1+1+30%+1+30%2+⋯+1+30%9=1.310−10.3≈42.62（万元），
银行贷款本息和：101+5%10≈16.29（万元），
故甲方案纯利：42.62−16.29=26.33（万元）．
②乙方案获利：1+1+0.5+1+2×0.5+⋯+1+9×0.5=10×1+10×92×0.5=32.50（万元），
银行贷款本息和：1.05×1+1+5%+1+5%2+⋯+1+5%9=1.05×1.0510−10.05≈13.21（万元），
故乙方案纯利：32.50−13.21=19.29（万元）．
综上可知，甲方案获利更多．
30. （1） 当 n=6 时，排列 3,5,1,4,6,2 的生成列为 0,1,−2,1,4,3．
（2） 设 a1,a2,⋯,an 的生成列是 b1,b2,⋯,bn；aʹ1,aʹ2,⋯,aʹn 的生成列是 bʹ1,bʹ2,⋯,bʹn．
从右往左数，设排列 a1,a2,⋯,an 与 aʹ1,aʹ2,⋯,aʹn 第一个不同的项为 ak 与 aʹk，即：an=aʹn，an−1=aʹn−1，⋯，ak+1=aʹk+1，ak≠aʹk．
显然 bn=bʹn，bn−1=bʹn−1，⋯，bk+1=bʹk+1，下面证明：bk≠bʹk．
由满意指数的定义知，ai 的满意指数为排列 a1,a2,⋯,an 中前 i−1 项中比 ai 小的项的个数减去比 ai 大的项的个数．
由于排列 a1,a2,⋯,an 的前 k 项各不相同，设这 k 项中有 l 项比 ak 小，则有 k−l−1 项比 ak 大，从而 bk=l−k−l−1=2l−k+1．
同理，设排列 aʹ1,aʹ2,⋯,aʹn 中有 lʹ 项比 aʹk 小，则有 k−lʹ−1 项比 aʹk 大，从而 bʹk=2lʹ−k+1．
因为 a1,a2,⋯,ak 与 aʹ1,aʹ2,⋯,aʹk 是 k 个不同数的两个不同排列，且 ak≠aʹk，所以 l≠lʹ，从而 bk≠bʹk．所以排列 a1,a2,⋯,an 和 aʹ1,aʹ2,⋯,aʹn 的生成列也不同．
（3） 设排列 a1,a2,⋯,an 的生成列为 b1,b2,⋯,bn，且 ak 为 a1,a2,⋯,an 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 b1≥0,b2≥0,⋯,bk−1≥0,bk≤−1．
依题意进行操作，排列 a1,a2,⋯,an 变为排列 ak,a1,a2,⋯,ak−1,ak+1,⋯,an，设该排列的生成列为 bʹ1,bʹ2,⋯,bʹn，所以
bʹ1+bʹ2+⋯+bʹn−b1+b2+⋯+bn=ga1−ak+ga2−ak+⋯+gak−1−ak−gak−a1+gak−a2+⋯+gak−ak−1=−2gak−a1+gak−a2+⋯+gak−ak−1=−2bk≥2.
所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加 2．