2022届高考数学二轮专题测练-平面向量

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-平面向量，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知 ∣a∣=1，∣b∣=2，a 与 b 的夹角为 π3，则 a⋅b 等于
A. 1B. 2C. 3D. 4

2. 下列说法中正确的是
A. 若 a∥b，则 a 与 b 方向相同
B. 若 ab>0 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且 PF1⋅OF1+OP=0（O 为坐标原点）．若 ∣PF1∣=2∣PF2∣，则椭圆的离心率为
A. 6−3B. 6−32C. 6−5D. 6−52

20. 给出下列六个命题：
① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
② 若 a=b，则 a=b；
③ 若 AB=DC，则四边形 ABCD 是平行四边形；
④ 平行四边形 ABCD 中，一定有 AB=DC；
⑤ 若 m=n，n=k，则 m=k；
⑥ a⊥b，b⊥c，则 a⊥c．
其中不正确的命题的个数为
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 思考辨析，判断正误
功是力 F 与位移 s 的数量积．

22. 已知 A3,0，B0,1，坐标原点 O 在直线 AB 上的射影为点 C，则 OA⋅OC= ．

23. 若向量 a，b，c 满足 a+b+c=0，且 a=3，b=1，c=4，则 a⋅b+b⋅c+c⋅a= ．

24. 在边长为 1 的等边 △ABC 中，D 为 BC 边上一动点，则 AB⋅AD 的取值范围是 ．

25. 下列命题：
①如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反，那么 a+b 的方向必与 a，b 之一的方向相同；
②如果 a，b 均为非零向量，则 a+b 与 a+b 一定相等；
③ x=2 时，向量 a=x,1，b=4,x 共线且方向相同；
④ a≠0，a⋅b=a⋅c，则 b=c．
其中为假命题的是 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 已知 a=4，b=8，a 与 b 的夹角是 120∘，计算：
（1）a+b；
（2）4a−2b．

27. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A−1,−2，B2,3，C−2,−1．
（1）设实数 t 满足 AB−tOC⊥OC，求 t 的值；
（2）若以线段 AB，AC 为邻边作平行四边形 ABDC，求向量 AD 与 CB 所夹角的余弦值．

28. 已知复数 z 满足 z=2，z2 的虚部为 2．
（1）求复数 z；
（2）设 z，z2，z−z2 在复平面内对应的点分别为 A，B，C，求 △ABC 的面积．

29. 设椭圆 x2m2+1+y2m2=1m>0 的两个焦点分别是 F1，F2，M 是椭圆上任意一点，△F1MF2 的周长为 2+22．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆在 y 轴负半轴上的顶点 B 及椭圆右焦点 F2 作一直线交椭圆于另一点 N，求 ∠F1NB 的大小（结果用反三角函数值表示）．

30. 设双曲线 C:x2a2−y2=1 的左顶点为 D，且以点 D 为圆心的圆 D:x+22+y2=r2r>0 与双曲线 C 分别相交于点 A，B，如图所示．
（1）求双曲线 C 的方程；
（2）求 DA⋅DB 的最小值，并求出此时圆 D 的方程；
（3）设点 P 为双曲线 C 上异于点 A，B 的任意一点，且直线 PA，PB 分别与 x 轴相交于点 M，N．求证：OM⋅ON 为定值（其中 O 为坐标原点）．
答案
第一部分
1. A【解析】a⋅b=∣a∣∣b∣csπ3=1×2×csπ3=1．
2. C
3. C【解析】∵ a⊥a+b，∴ a⋅a+b=a⋅a+a⋅b=0，可得 cs=−22，∴ a 与 b 的夹角为 3π4．
4. A
5. D
6. B【解析】如图，
设 AC=m，AB=n，
根据已知得，DF=34m，
所以 AF=AD+DF=34m+12n，BC=AC−AB=m−n，
AF⋅BC=34m+12n⋅m−n=34m2−12n2−12m⋅n=34−12−18=18.
7. C【解析】由题意，非零向量 a，b 满足 b=4，a=2 且 a 与 b 夹角为 θ，
若 b−a=23，即
b−a2=b−a2=b2+a2−2a⋅b=16+4−2×4×2csθ=12,
解得 csθ=12，又因为 θ∈0,π，可得 θ=π3，即充分性是成立的；
若 θ=π3，由
b−a2=b−a2=b2+a2−2a⋅b=16+4−2×4×2csπ3=12,
可得 b−a=23，即必要性是成立的，
所以“b−a=23”是“θ=π3”的充分必要条件．
8. A
9. D【解析】由 OA⋅OB=OB⋅OC 可得 OB⋅OA−OC=0，即 OB⋅CA=0，所以点 O 在 AC 的高线上，同理可得点 O 在 AB 、 BC 的高线上，所以点 O 是 △ABC 的三条高的交点．
10. A
【解析】由题图知，AB 与上底面垂直，因此 AB⊥BPii=1,2,⋯,8，AB⋅APi=ABAPics∠BAPi=AB⋅AB=1i=1,2,⋯,8．
11. B【解析】2a−b=2a−b2=4a⋅a−4a⋅b+b⋅b=22．
12. D【解析】由 ∣a+b∣=∣a−b∣ 可知 a⊥b，设 AB=b，AD=a，如图，作矩形 ABCD，连接 AC，BD，
可知 AC=a+b，BD=a−b，设 AC 与 BD 的交点为 O，结合题意可知 OA=OD=AD，
所以 ∠AOD=π3，
所以 ∠DOC=2π3，又向量 a+b 与 a−b 的夹角为 AC 与 BD 的夹角，
故所求夹角为 2π3．
13. B
14. A【解析】∣a+b∣2=a+b2=a2+b2+2a⋅b,
∣a∣+∣b∣2=a2+b2+2∣a∣∣b∣，
∣a+b∣2∣a∣∣b∣cs⟨a,b⟩，
即 cs⟨a,b⟩50a2>0，
S2=a2+2ab⋅csθ+2b2>a2−8a2csθ+32a2=a233−8csθ>0,
S3=4ab⋅csθ+b2>−16a2csθ+16a2=16a21−csθ≥0,
所以 Smin=S3>0，故③正确；
若 b=2a，则 S1=2a2+12a2=14a2，
S2=4a2⋅csθ+9a2，
S3=8a2⋅csθ+4a2，
因为 S1−S3=10a2−8a2⋅csθ=2a25−4csθ>0，
S2−S3=5a2−4a2⋅csθ=a25−4csθ>0，
所以 Smin=S3=8a2⋅csθ+4a2=8a2，
解得 csθ=12，又 θ∈0,π，
所以 θ=π3，即 a 与 b 夹角为 π3，故④正确；
故正确的为②③④．
19. A【解析】以 OF1，OP 为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，及 PF1⋅OF1+OP=0 知此平行四边形的对角线互相垂直，即此平行四边形为菱形，
所以 ∣OP∣=∣OF1∣，
所以 △F1PF2 是直角三角形，即 PF1⊥PF2．
设 ∣PF2∣=x, 则 2x+x=2a,2x2+x2=2c2, 得 ca=32+1，
所以离心率 e=ca=32+1=6−3．
20. C
【解析】对于①相等向量只需向量的方向相同、模长相等，与起点、终点无关；② a=b，但两向量方向不一定相同，所以 a=b 不一定成立；③ AB=DC，若两向量共线，则不能构成平行四边形．④ 是对的，平行四边形 ABCD 中 AB 与 DC 长度相等、方向相同，故 AB=DC 成立．⑤正确；⑥错误，在一个平面内，垂直于同一个向量的两向量平行．
第二部分
21. √
22. 34
23. −13
【解析】因为 a+b+c2=a2+b2+c2+2a⋅b+b⋅c+c⋅a，
所以 a⋅b+b⋅c+c⋅a=a+b+c2−a2+b2+c22=0−32+12+422=−13.
24. 12,1
25. ①②④
【解析】对于①，当 a+b 为零向量时，不成立；对于②，如果 a，b 不同向，那么 a+b≠a+b；对于④，当 a⊥b−c 时，b=c 不一定成立．
第三部分
26. （1） 由已知得，a⋅b=4×8×−12=−16．
因为 a+b2=a2+2a⋅b+b2=16+2×−16+64=48，
所以 a+b=43．
（2） 因为 4a−2b2=16a2−16a⋅b+4b2=16×16−16×−16+4×64=768，
所以 4a−2b=163．
27. （1） 由题设知 OC=−2,−1，AB=3,5，AB−tOC=3+2t,5+t．
由 AB−tOC⊥OC，得 AB−tOC⋅OC=0，
即 3+2t,5+t⋅−2,−1=0，所以 t=−115．
（2） 由题设知 AC=−1,1，
则 AD=AB+AC=2,6，CB=AB−AC=4,4，
故 AD=210，CB=42．设向量 AD 与 CB 所夹角为 θ，
故所求余弦值 csθ=AD⋅CBAD⋅CB=32210×42=255．
28. （1） 设 z=a+bia,b∈R，
由已知条件得 a2+b2=2，
z2=a2−b2+2abi，
所以 2ab=2，
所以 a=b=1 或 a=b=−1，
即 z=1+i 或 z=−1−i．
（2） 当 z=1+i 时，z2=1+i2=2i，z−z2=1−i，
所以点 A1,1，B0,2，C1,−1，
所以 S△ABC=12AC×1=12×2×1=1，
当 z=−1−i 时，z2=−1−i2=2i，
z−z2=−1−3i，
所以点 A−1,−1，B0,2，C−1,−3，
所以 S△ABC=12AC×1=12×2×1=1，
即 △ABC 的面积为 1．
29. （1） 由题意知，椭圆焦点在 x 轴上，
设椭圆的长轴、短轴、焦距的长分别为 2a，2b，2c，
则 a=m2+1，b=m，c=1，
由已知，2a+2c=2+22，m2+1+1=1+2，
解得 m=1，
所以所求椭圆的方程为 x22+y2=1．
（2） 由（1）知，B0,−1，F21,0，
所以直线的方程为 y=x−1，
由 y=x−1,x22+y2=1 解得 N43,13，于是 NB=432，
由于 ∠F1BN=π2，且 F1B=2，
所以由 tan∠F1NB=F1BNB=34，得 ∠F1NB=arctan34．
30. （1） 由条件知：双曲线 C 的左焦点为 D−2,0，于是 a=2．
故双曲线 C 的方程为 x24−y2=1．
（2） 易知点 A，B 关于 x 轴对称，设 Ax1,y1，Bx1,−y1x10，
则由点 A 在双曲线 C 上，得 y12=x124−1，
由于 DA=x1+2,y1，DB=x1+2,−y1，所以
DA⋅DB=x1+2,y1⋅x1+2,−y1=x1+22−y12=34x12+4x1+5=34x1+832−13,
因 x1