2021年北京市通州区高考一模数学试卷

2021北京通州高三一模

数    学

2021年4月

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，，则

 （A） （B） （C）         （D）

（2）已知，则

（A）               （B）               （C）              （D）

（3）下列函数中，是偶函数且值域为的是

（A）      （B）         （C）      （D）

（4）某三棱柱的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱柱的体积为

（A）

（B）

（C）

（D）

（5）已知等比数列的公比，前项和，则

（A）              （B）               （C）               （D）

（6）已知在圆上到直线的距离为的点恰有一个，则

（A）               （B）               （C）                （D）

（7）已知，，，则“”的一个充分而不必要条件是

（A）            （B）            （C）           （D） 

（8）已知函数（，）的图象如图所示，则

（A）函数的最小正周期是

（B）函数在区间上单调递减

（C）函数在区间上的最小值是

（D）曲线关于直线对称

（9）已知点是抛物线上一点，且点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为，则

（A）               （B）               （C）               （D）

（10著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则后物体的温度（单位：）满足：（其中为常数，）．现有某物体放在的空气中冷却，后测得物体的温度为，再经过后物体的温度冷却到，则该物体初始温度是

（A）            （B）               （C）             （D）

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）已知复数，则______．

（12）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点作轴的垂线交双曲线于，两点，则双曲线的渐近线方程为______；的面积为______．

（13）设向量，是两个不共线的向量，已知，，，且，，三点共线，则______（用，表示）；实数______．

（14）已知函数（）有个零点，且过点，则常数的一个取值为______．

（15）已知函数，设曲线在第一象限内的部分为，过点作斜率为的直线交于，过点作斜率为的直线交轴于，再过点作斜率为的直线交于，过点作斜率为的直线交轴于，，依这样的规律继续下去，得到一系列等腰直角三角形，如图所示.  给出下列四个结论：

①的长为；

②点的坐标为；

③与的面积之比是；

④在直线与轴之间有个三角形.  

其中，正确结论的序号是______．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（16）（本题13分）

如图，三棱锥中，平面，，，点，分别是，的

中点. 

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

（17）（本题13分）

在中，角，，的对边分别为，，，已知，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.  

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值.

条件①：；条件②：的面积为．

注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分．

（18）（本题14分）

我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响. 某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的评分数据按照，，，，，，分组，绘制成评分频率分布直方图，如下：

（Ⅰ）从该校高中生中随机抽取的学生的测试评分不低于分

的学生有人，求此次抽取的学生人数；

（Ⅱ）在测试评分不低于分的名学生中随机选取人作为航空航天知识宣传大使，记这名学生中测试评分不低于分的人数为，求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）观察频率分布直方图，判断该校高中生测试评分的均值和评分的中位数的大小关系.（直接写出结论）

（19）（本题15分）

已知函数，，. 

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）设函数，当时，求在区间上的最小值.

（20）（本题15分）

已知椭圆的短轴长为，离心率为. 

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）点是椭圆上一点，且在第一象限内，过作直线与交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，与椭圆C的另一个交点为，且，点是关于轴的对称点，直线与椭圆C的另一个交点为.

（）证明：直线，的斜率之比为定值；

（）求直线的斜率的最小值.

（21）（本题15分）

已知有限数列：，，，为单调递增数列．若存在等差数列：，，，，对于中任意一项，都有，则称数列是长为的数列.

（Ⅰ）判断下列数列是否为数列（直接写出结果）：

①数列，，，； ②数列，，，.

（Ⅱ）若（，，），证明：数列，，为数列；

（Ⅲ）设是集合的子集，且至少有个元素，证明：中的元素可以构成一个长为的数列.

2021北京通州高三一模数学

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

（1）B             （2）C             （3）D             （4）C            （5）D

（6）A             （7）D             （8）C             （9）D           （10）C

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

（11）           （12）；  （13）； （14）（不唯一） （15）②④

三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）因为平面，平面，

所以.

因为，

所以. 

因为，

所以平面.                                         …………………… 5分

（Ⅱ）因为平面，

所以．                                              …………………… 6分

以点为坐标原点，分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系. 

设，则. 

因为点，分别是，的中点，

所以，，，，，. 

所以，，．

设平面的法向量为，

则即

令，则，．

所以．                                       

设直线与平面所成角为.

所以．

所以直线与平面所成角的正弦值.                …………………… 13分

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）选条件①：. 

因为，由正弦定理，得.                     …………………… 3分

因为，解方程组，得，.                        …………………… 4分

由余弦定理，得，

所以.                                                   …………………… 8分

选条件②：的面积为．

因为，所以.                    …………………… 2分

因为的面积为，所以.

所以.                                                 …………………… 4分

因为，解方程组，得，.                        …………………… 5分

由余弦定理，得，            

所以.                                                   …………………… 8分

（Ⅱ）由余弦定理，得.                         …………………… 10分

所以.                                 …………………… 11分

所以.                                     …………………… 13分

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）由图知，学生的测试评分不低于分的频率．　　

设抽取的学生人数为，

所以.  解得．　　

        所以此次抽取的学生人数为.                                 …………………… 3分

（Ⅱ）由图知，学生的测试评分在的频率，在的频率

所以，.                                 …………………… 4分

所以学生的测试评分不低于分的名学生中，评分在的有人，在的有人，

所以的可能取值为0，1，2，3．                              …………………… 5分

；；

；．                     …………………… 9分

所以的分布列为

                                                           …………………… 10分 

所以的数学期望．        …………………… 11分

（Ⅲ）.                                                      …………………… 14分

（19）（共15分）

解：（Ⅰ）因为，所以.  

所以，．

所以曲线在点处的切线方程为．          …………………… 3分

（Ⅱ）因为，定义域为，

所以．                                           …………………… 4分

①当时，.

所以在上单调递增.                                     …………………… 6分

②当时，令，得，

所以当时，与在上的变化情况如下：

所以在内单调递减，在内单调递增.        …………………… 7分

由①②可知，当时，在上单调递增. 

当时，在内单调递减，在内单调递增

（Ⅲ）因为，

所以，

所以. 

令，所以.                    …………………… 9分

所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增. 

                                                           …………………… 10分

所以.                                    …………………… 12分

因为，所以.                                     …………………… 13分

所以在区间上单调递增.                           …………………… 14分

所以.                                        …………………… 15分

所以当时，在区间上的最小值是.            

（20）（共15分）

解：（Ⅰ）由题意得解得

所以椭圆的方程为．                               …………………… 3分

（Ⅱ）（i）设点的坐标为，

因为点是关于轴的对称点，，

所以，.

所以直线的斜率为，的斜率为.  

所以.                                                …………………… 7分

所以直线，的斜率之比为定值.                          

（ii）设直线的方程为. 

联立方程组 化简得．

设点的坐标是，

所以.  所以. 

所以. 

所以点的坐标是.                  …………………… 10分

由（Ⅱ）可知，直线的方程是. 

所以点的坐标是.                …………………… 12分

所以直线的斜率.…………………… 13分

因为，所以. 

当且仅当，即时，有最小值.   

所以直线的斜率的最小值是.                           …………………… 15分

（21）（共15分）

解：（Ⅰ）数列，，，是数列；数列，，，是数列.     …………………… 3分

（Ⅱ）证明：①当时，令，，，，

所以数列，，，为等差数列，且，

所以数列，，为数列.

②当时，令，，，，

所以数列，，， 为等差数列，且.

所以数列，，为数列. 

③当时，令，，，，

所以数列，，， 为等差数列，且. 

所以数列，，为数列.

综上，若，数列，，为数列.                    …………………… 7分

（Ⅲ）假设中没有长为的数列，

考虑集合，，，，.  

因为数列，，，，是一个共有5项的等差数列，

所以存在一个，使得中没有一个元素属于.

对于其余的，

再考虑集合，，，，.  

因为，，，，是一个共有5项的等差数列，

所以存在一个，使得中没有一个元素属于.

因为中个数成等差数列，

所以每个中至少有一个元素不属于.

所以集合中至少有个元素不属于集合. 

所以集合中至多有个元素，这与中至少有个元素矛盾. 

所以假设不成立. 

所以中的元素必能构成长为4的数列.                      …………………… 15分