2022届高考大一轮复习知识点精练：圆与圆的公共弦

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：圆与圆的公共弦，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2y−6=0 的公共弦长为
A. 1B. 2C. 3D. 23

2. 圆 x2+y2−2x+F=0 和圆 x2+y2+2x+Ey−4=0 的公共弦所在的直线方程是 x−y+1=0，则
A. E=−4，F=8B. E=4，F=−8
C. E=−4，F=−8D. E=4，F=8

3. 过圆 x2+y2−4=0 与圆 x2+y2−4x+4y−12=0 交点的直线为
A. x+y−3=0B. x−y+3=0C. x−y+2=0D. x+y−4=0

4. 圆 x2+y2+4x−4y=0 与圆 x2+y2+2x−12=0 的相交弦所在直线的方程为
A. x+2y−6=0B. x−3y+5=0C. x−2y+6=0D. x+3y−8=0

5. 圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2−4x+4y−12=0 的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为
A. 1B. 2C. 4D. 8

6. 若点 A 在圆 C1:x2+y2=1 上，点 B 在圆 C2:x2+y2=4 上，则 ∣AB∣ 的最大值为
A. 3B. 2C. 3D. 1

7. 圆 x2+y2=50 与圆 x2+y2−12x−6y+40=0 的公共弦长为
A. 5B. 6C. 25D. 26

8. 已知圆 C1:x2+y2+2x−4y+1=0，圆 C2:x−32+y+12=1，则这两个圆的公切线条数为
A. 1B. 2C. 3D. 4

9. 圆 x−22+y2=4 与圆 x2+y−22=4 的公共弦所对的圆心角是
A. π3B. π4C. 2π3D. π2

10. 已知 p：m=1，q：圆 x+m2+y2−6−m2=0 与圆 x2+y2=4 的公共弦长为 23，则 p 是 q 的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

11. 若圆 x−a2+y−b2=b2+1 始终平分圆 x+12+y+12=4 的周长，则 a 、 b 应满足的关系式是
A. a2−2a−2b−3=0B. a2+2a+2b+5=0
C. a2+2b2+2a+2b+1=0D. 3a2+2b2+2a+2b+1=0

12. 圆 x2+y2−2x−5=0 与圆 x2+y2+2x−4y−4=0 的交点为 A，B，则线段 AB 的垂直平分线的方程是
A. x+y−1=0B. 2x−y+1=0C. x−2y+1=0D. x−y+1=0

13. 圆 x2＋y2−2x−5＝0 与圆 x2＋y2+2x−4y−4＝0 的交点为 A，B，则线段 AB 的垂直平分线的方程是
A. x+y−1=0B. 2x−y+1=0C. x−2y+1=0D. x−y+1=0

14. 已知两圆相交于 A1,3，Bm,−1，两圆的圆心均在直线 x−y+c=0 上，则 m+2c 的值为
A. −1B. 1C. 3D. 0

15. 已知抛物线的准线是圆 x2+y2−4=0 与圆 x2+y2+y−3=0 的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为
A. y2=4xB. y2=−4xC. x2=4yD. x2=−4y

16. 若圆 x2+y2=a2 与圆 x2+y2+ay−6=0 的公共弦长为 23，则 a 的值为
A. 2B. ±2C. 1D. ±1

17. 若圆 x−a2+y−b2=b2+1 始终平分圆 x+12+y+12=4 的周长，则 a，b 满足的关系是
A. a2+2a+2b−3=0B. a2+b2+2a+2b+5=0
C. a2+2a+2b+5=0D. a2−2a−2b+5=0

18. 圆 x2+y2−4=0 与圆 x2+y2−4x+4y−12=0 的公共弦长为
A. 2B. 3C. 22D. 32

19. 已知圆 x−72+y+42=9 与圆 x+52+y−62=9 关于直线 l 对称，则直线 l 的方程是
A. 5x+6y−11=0B. 6x−5y−1=0C. 6x+5y−11=0D. 5x−6y+1=0

20. 过点 P2,3 向圆 x2+y2=1 作两条切线 PA，PB，则弦 AB 所在直线方程为
A. 2x−3y−1=0B. 2x+3y−1=0C. 3x+2y−1=0D. 3x−2y−1=0

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知两圆 x2+y2=10 和 x−12+y−32=20 相交于 A，B 两点，则直线 AB 的方程是 ．

22. 已知圆 C1:x−a2+y+22=4 与圆 C2:x+b2+y+22=1 相交”，则公共弦所在的直线方程为 ．

23. 已知圆 M:x2+y2−2ax−2by+a2−1=0 与圆 N:x2+y2+2x+2y−2=0 交于 A，B 两点，且这两点平分圆 N 的圆周，则圆 M 半径最小时圆 M 的方程为 ．

24. 已知圆 C:x2+y2=4 与圆 D:x2+y2−4x+2y+4=0 交于 A，B 两点，则两圆连心线 CD 的方程为 ，两圆公共弦 AB 的长为 ．

25. 已知两圆 C1:x2+y2−2x+10y+10=0 和 C2:x2+y2+2x+2y+1=0 交于 A，B 两点，则线段 AB 的垂直平分线方程是 ，公共弦 AB 长度为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 已知两圆 x2+y2−2x−6y−1=0 和 x2+y2−10x−12y+m=0．
（1）m 取何值时两圆外切?
（2）m 取何值时两圆内切?
（3）求 m=45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

27. 已知圆 O：x2+y2=4 与圆 B：x+22+y−22=4．
（1）求两圆的公共弦长；
（2）过平面上一点 Qx0,y0 向圆 O 和圆 B 各引一条切线，切点分别为 C，D，设 QDQC=2，求证：平面上存在一定点 M 使得 Q 到 M 的距离为定值，并求出该定值．

28. 求经过两条曲线 x2+y2−3x+y=0 和 3x2+3y2+4x−y=0 的交点的直线方程．

29. 已知圆 C1:x2+y2−3x−3y+3=0，圆 C2:x2+y2−2x−2y=0．
（1）求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
（2）求过两圆交点且面积最小的圆的方程．

30. 求过两圆 x2+y2+2x+8y−8=0，x2+y2−4x−4y−2=0 的交点且面积最小的圆的方程．

31. 两个圆 C1:x2+y2+2x+2y−2=0 与 C2:x2+y2−4x−2y+1=0．
（1）这两个圆的公共切线有几条?
（2）求两圆公共弦所在的直线方程．
答案
第一部分
1. D【解析】两圆方程相减公共弦所在直线方程为 y=1，与前一个圆距离 d=1，半径 R=2，则弦长 l=2R2−d2=23．
2. C
3. C
4. C
5. B
【解析】圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2−4x+4y−12=0 的公共弦所在直线的方程为 x−y+2=0，它与两坐标轴分别交于 −2,0，0,2，所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为 12×2×2=2．
6. A【解析】根据题意知圆 C1 与圆 C2 为同心圆，圆心都在原点 r1=1，r2=2，
所以 r2−r1≤∣AB∣≤r1+r2，
即 ∣AB∣ 的最大值为 3．
故选A．
7. C
8. D【解析】根据题意，圆 C1:x2+y2+2x−4y+1=0，即 x+12+y−22=4，
其圆心为 −1,2，半径 r1=2；
圆 C2:x−32+y+12=1，
其圆心为 3,−1，半径 r2=1．
则有 ∣C1C2∣=42+32=5>r1+r2，
故两圆外离，有 4 条公切线．
9. D【解析】圆 x−22+y2=4 的圆心为 M2,0 、半径为 r=2；
圆 x2+y−22=4 的圆心为 N0,2 、半径为 r=2，故圆心距 MN=22+22=22，弦心距 d=∣MN∣2=2．
设公共弦所对的圆心角是 2θ，则 csθ=dr=22，
所以 θ=π4，
所以 2θ=π2．
10. A
【解析】由题意知 m≠0，由 x+m2+y2−6−m2=0 可得其圆心为 −m,0，半径为 6+m2>2，由 x+m2+y2−6−m2=0，得 x2+y2+2mx−6=0，故两个圆的公共弦所在的直线方程为 x2+y2+2mx−6−x2+y2=−4，即 x=1m，所以 1m2+y2=4，故 ∣y∣=4−1m2．由题意得，24−1m2=23，解得 m=1或−1，故 p⇒q，反过来不成立，所以 p 是 q 的充分不必要条件．
11. B【解析】利用公共弦始终经过圆 x+12+y+12=4 的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：2a+2x+2b+2y−a2−1=0，它过圆心 −1,−1，代入得 a2+2a+2b+5=0．
12. A【解析】因为两圆的圆心坐标分别为 1,0，−1,2，那么过两圆圆心的直线 x+y−1=0，与公共弦垂直且平分．
13. A【解析】因为两圆的圆心坐标分别为 1,0，−1,2，那么过两圆圆心的直线 x+y−1=0 与公共弦垂直且平分
14. B【解析】由题意知，直线 x−y+c=0 为线段 AB 的垂直平分线，且线段 AB 的中点 1+m2,1 在直线 x−y+c=0 上，
所以 1+m2−1+c=0，即 m+2c=1．
15. C
【解析】因为 x2+y2−4=0, ⋯⋯①x2+y2+y−3=0, ⋯⋯②
① − ②：x2+y2−4−x2+y2+y−3=0，
−4−y+3=0，
y=−1，
所以 y=−1 为 2 圆的公共弦，
准线：y=−1，
所以抛物线为 x2=4y．
16. B【解析】设圆 x2+y2=a2 的圆心为 O，半径 r=∣a∣，将 x2+y2=a2 与 x2+y2+ay−6=0 联立，可得 a2+ay−6=0，即公共弦所在的直线方程为 a2+ay−6=0，原点 O 到直线 a2+ay−6=0 的距离为 6a−a，根据勾股定理可得 a2=3+6a−a2，解得 a=±2．
17. C【解析】即两圆的公共弦必过 x+12+y+12=4 的圆心，
两圆相减得相交弦所在的直线方程为 −2a+1x−2b+1y+a2+1=0，
将圆心坐标 −1,−1 代入可得 a2+2a+2b+5=0 .
18. C【解析】圆 x2+y2−4=0 与圆 x2+y2−4x+4y−12=0 的方程相减得 x−y+2=0．
因为圆心 0,0 到直线 x−y+2=0 的距离 d=22=2，r=2，
则公共弦长为 2r2−d2=22．
19. B【解析】因为两圆 x−72+y+42=9 与圆 x+52+y−62=9 关于直线 l 对称，且两圆的圆心距为 7+52+−4−62=261>6，
所以两圆外离，将两个圆的方程相减可得 24x−20y−4=0，即 6x−5y−1=0．
故直线 l 的方程为 6x−5y−1=0．
20. B
【解析】以 PO 为直径的圆 x−12+y−322=134 与圆 x2+y2=1 的公共弦即为所求，直线方程为 2x+3y−1=0．
第二部分
21. x+3y=0
【解析】圆的方程 x−12+y−32=20 可化为 x2+y2−2x−6y=10．又另一圆的方程为 x2+y2=10，两式相减得 2x+6y=0，即 x+3y=0．所以直线 AB 的方程为 x+3y=0．
22. 2a+2bx+3+b2−a2=0
【解析】由题意将圆 C1，圆 C2 的方程都化为一般方程，得圆 C1:x2+y2−2ax+4y+a2=0, ⋯⋯①
圆 C2:x2+y2+2bx+4y+b2+3=0, ⋯⋯②
由② − ①得 2a+2bx+3+b2−a2=0，
即所求公共弦所在直线方程为 2a+2bx+3+b2−a2=0．
23. x+12+y+22=5
【解析】两圆公共弦 AB 所在直线方程为：2+2ax+2+2by−a2−1=0，
又圆心 N−1,−1 为弦 AB 的中点，
代入上式可得 a+12=−2b+2，
所以 a+12=−2b+2≥0，
于是有 b≤−2．
所以圆 M 半径 r=b2+1≥5，
所以当 r=5 时，b=−2，a=−1，此时圆 M 半径最小，
故所求圆 M 的方程为 x+12+y+22=5．
24. x+2y=0，455
【解析】由题意知，圆 C 的圆心坐标为 0,0，圆 D 的圆心坐标为 2,−1，
可得两圆连心线 CD 的方程为 x+2y=0，
联立两圆方程 x2+y2=4,x2+y2−4x+2y+4=0,
易知两圆公共弦 AB 所在直线的方程为 2x−y−4=0，
圆 C 的圆心到直线 AB 的距离 d=−422+12=45，
根据勾股定理，可知弦长为 24−165=455．
25. 2x+y+3=0，112
第三部分
26. （1） 两圆的标准方程为 x−12+y−32=11，x−52+y−62=61−m，
圆心分别为 M1,3，N5,6，
半径分别为 11 和 61−m．
当两圆外切时，5−12+6−32=11+61−m，解得 m=25+1011．
（2） 当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心距 5，故只有 61−m−11=5，解得 m=25−1011．
（3） 当 m=45 时，4−11