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第2章 第4节 二次函数与幂函数教案
展开这是一份第2章 第4节 二次函数与幂函数教案，共11页。教案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。
一、教材概念·结论·性质重现
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
幂函数的特征
(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；
(2)xα的系数为1；
(3)解析式只有一项．
2．常见的五种幂函数的图象
3．幂函数的性质
(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义．
(2)当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增．
(3)当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
4．二次函数解析式的三种形式
一般式：f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：f (x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
两根式：f (x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
5．二次函数的图象与性质
(1)二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．
(2)若f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0))时，恒有f (x)>0；当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0))时，恒有f (x)<0.
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)函数y＝2xeq \s\up8(eq \f(1,2))是幂函数．(×)
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(√)
(3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(×)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是eq \f(4ac－b2,4a)．(×)
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．(×)
(6)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(√)
2．已知幂函数y＝f (x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,2)))，则f (2)＝( )
A．eq \f(1,4) B．4 C．eq \f(\r(2),2) D．eq \r(2)
C 解析：设f (x)＝xα，因为图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,2)))，所以f (4)＝4α＝eq \f(1,2)，解得α＝－eq \f(1,2)，所以f (2)＝2eq \s\up8(－eq \f(1,2))＝eq \f(\r(2),2).
3．如图是①y＝xa，②y＝xb，③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )
A．c
4．已知函数f (x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,20))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,20))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,20)，＋∞)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,20)，0))
C 解析：由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,1－20a<0，))解得a>eq \f(1,20).
5．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是________．
－1 解析：因为函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝eq \f(3,2)>1，所以函数y＝2x2－6x＋3在[－1，1]上单调递减，所以ymin＝2－6＋3＝－1.
6．函数f (x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上单调递增，则实数m的值为________．
2 解析：因为f (x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，
所以m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.
又因为f (x)在(0，＋∞)上单调递增，所以m＝2.
考点1 幂函数的图象与性质——基础性
1．函数y＝xeq \s\up8(eq \f(1,2))－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
B 解析：y＝xeq \s\up8(eq \f(1,2))的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝xeq \s\up8(eq \f(1,2))－1的图象可看作由y＝xeq \s\up8(eq \f(1,2))的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图象所示)．将y＝xeq \s\up8(eq \f(1,2))－1的图象关于x轴对称后即为选项B．
2．已知幂函数f (x)＝(n2＋2n－2)xeq \s\up6(n2－3n) (n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为( )
A．－3 B．1 C．2 D．1或2
B 解析：因为幂函数f (x)＝(n2＋2n－2)xeq \s\up6(n2－3n)在(0，＋∞)上单调递减，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2＋2n－2＝1，,n2－3n<0，))所以n＝1.又n＝1时，f (x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n＝1.故选B．
3．(2021·衡水中学调研)已知点(m,8)在幂函数f (x)＝(m－1)xn的图象上．设a＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))，b＝f (ln π)，c＝f (2eq \s\up8(－eq \f(1,2)))，则a，b，c的大小关系是( )
A．a
所以m－1＝1，则m＝2，f (x)＝xn.
又点(2,8)在函数f (x)＝xn的图象上，
所以8＝2n，知n＝3，故f (x)＝x3，且在R上是增函数．
又ln π>1>2eq \s\up8(－eq \f(1,2))＝eq \f(\r(2),2)>eq \f(1,3)，
所以f (ln π)>f (2eq \s\up8(－eq \f(1,2)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))，则b>c>a.
幂函数的图象的应用注意点
(1)对于幂函数图象，要抓住直线x＝1，y＝1，y＝x将第一象限分成的六个区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由幂函数的奇偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
考点2 二次函数的解析式——综合性
已知二次函数f (x)满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，求二次函数f (x)的解析式．
解：(方法一：利用二次函数的一般式)
设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))
故f (x)＝－4x2＋4x＋7.
(方法二：利用二次函数的顶点式)
设f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x＝eq \f(2＋－1,2)＝eq \f(1,2).所以m＝eq \f(1,2).
又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，
所以y＝f (x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up8(2)＋8.
因为f (2)＝－1，所以aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)))eq \s\up8(2)＋8＝－1，
解得a＝－4，
所以f (x)＝－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up8(2)＋8＝－4x2＋4x＋7.
(方法三：利用二次函数的零点式)
由已知f (x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f (x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f (x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，
即当a≠0时，eq \f(4a－2a－1－a2,4a)＝8，
解得a＝－4；
当a＝0时，f (x)＝－1，不符合题意，舍去．
故f (x)＝－4x2＋4x＋7.
求二次函数解析式的策略
已知二次函数f (x)＝x2－bx＋c满足f (0)＝3，对∀x∈R，都有f (1＋x)＝f (1－x)成立，则f (x)＝________.
x2－2x＋3 解析：由f (0)＝3，得c＝3.又f (1＋x)＝f (1－x)，
所以函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，
所以eq \f(b,2)＝1，所以b＝2，所以f (x)＝x2－2x＋3.
考点3 二次函数的图象与性质——综合性
考向1 二次函数的图象
(1)已知函数f (x)＝ax2－x－c，且f (x)>0的解集为(－2,1)，则函数y＝f (－x)的图象为( )
D 解析：因为函数f (x)＝ax2－x－c，且f (x)>0的解集为(－2,1)，所以－2,1是方程ax2－x－c＝0的两根．所以a＝－1，c＝－2.所以f (x)＝－x2－x＋2.所以函数y＝f (－x)＝－x2＋x＋2，可知其图象开口向下，与x轴的交点坐标分别为(－1,0)和(2,0)．故选D．
(2)(多选题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.
下面四个结论中正确的是( )
A． b2>4acB．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0D．5a
(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；
(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．
2．分析二次函数图象问题的要点
一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图象上的一些特殊点．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也能从图象中得到如上信息.
考向2 二次函数的单调性
若函数f (x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为( )
A．[－3,0)B．(－∞，－3]
C．[－2,0]D．[－3,0]
D 解析：当a＝0时，f (x)＝－3x＋1，在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a≠0时，f (x)的图象对称轴为x＝eq \f(3－a,2a).由f (x)在[－1，＋∞)上单调递减知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,\f(3－a,2a)≤－1，))解得－3≤a＜0.
综上，a的取值范围为[－3,0]．
若函数f (x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.
－3 解析：由题意知f (x)必为二次函数且a<0.
又eq \f(3－a,2a)＝－1，所以a＝－3.
利用二次函数的单调性解题时的注意点
(1)对于二次函数的单调性，关键是看图象的开口方向与对称轴的位置．若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数(或式)通过二次函数的图象的对称性转化到同一单调区间上比较．
考向3 二次函数的最值
已知函数f (x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．
解：f (x)＝a(x＋1)2＋1－a.
①当a＝0时，函数f (x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
②当a＞0时，函数f (x)在区间[－1,2]上单调递增，最大值为f (2)＝8a＋1＝4，解得a＝eq \f(3,8)；
③当a＜0时，函数f (x)在区间[－1,2]上单调递减，最大值为f (－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
综上可知，a的值为eq \f(3,8)或－3.
将本例改为：求函数f (x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最大值．
解： f (x)＝(x＋a)2＋1－a2，
f (x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a.
①当－a＜eq \f(1,2)，即a＞－eq \f(1,2)时，
f (x)max＝f (2)＝4a＋5；
②当－a≥eq \f(1,2)，即a≤－eq \f(1,2)时，
f (x)max＝f (－1)＝2－2a.
综上，f (x)max＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＋5，a＞－\f(1,2)，,2－2a，a≤－\f(1,2).))
二次函数的最值问题的类型
轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系．当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
考向4 二次函数中的恒成立问题
已知函数f (x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上不等式f (x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________．
(－∞，－1) 解析：f (x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0.
令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．
因为g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，
所以g(x)min＝g(1)＝－m－1.
由－m－1>0，得m<－1.
因此实数m的取值范围是(－∞，－1)．
由不等式恒成立求参数取值范围
都是将问题归结为求函数的最值，依据是：a≥f (x)恒成立⇔a≥f (x)max，a≤f (x)恒成立⇔a≤f (x)min.
1．(2020·九江一中模拟)对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是( )
A 解析：若0
2．若函数y＝x2－3x＋4的定义域为[0，m]，值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,4)，4))，则m的取值范围为( )
A．(0,4] B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，4)) C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3)) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
C 解析：y＝x2－3x＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up8(2)＋eq \f(7,4)的定义域为[0，m]，显然，在x＝0时，y＝4.又值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,4)，4))，根据二次函数图象的对称性知eq \f(3,2)≤m≤3.故选C．
3．(2020·唐山模拟)设函数f (x)＝x2＋x＋a(a>0)．已知f (m)<0，则( )
A．f (m＋1)≥0B．f (m＋1)≤0
C．f (m＋1)>0D．f (m＋1)<0
C 解析：因为f (x)图象的对称轴为x＝－eq \f(1,2)，f (0)＝a>0，所以f (x)的大致图象如图所示．
由f (m)<0，得－1
4．设函数f (x)＝ax2－2x＋2，对于满足1
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) 解析：由题意得a>eq \f(2,x)－eq \f(2,x2)对1
解析式
f (x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f (x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
R
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
单调性
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增；
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减
奇偶性
当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
对称性
图象关于直线x＝－eq \f(b,2a)成轴对称图形
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