第8章 第6节 双曲线教案
展开一、教材概念·结论·性质重现
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.
(1)当a
(3)当a>c时,点P不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质
3.常用结论
(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq \f(2b2,a),也叫通径.
(2)与双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)有共同的渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=λ(λ≠0).
(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(4)若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
二、基本技能·思想·活动体验
1.判断下列说法的正误,对的打“√”,错的打“×”.
(1)平面内到点F1(0,2),F2(0,-2)距离之差的绝对值等于4的点的轨迹是双曲线.(×)
(2)方程eq \f(x2,m)-eq \f(y2,n)=1(mn>0)表示焦点在y轴上的双曲线.(×)
(3)双曲线方程eq \f(x2,m2)-eq \f(y2,n2)=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是eq \f(x2,m2)-eq \f(y2,n2)=0,即eq \f(x,m)±eq \f(y,n)=0.(√)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于eq \r(2).(√)
2.双曲线eq \f(x2,3)-y2=1的焦点坐标是( )
A.(-eq \r(2),0),(eq \r(2),0) B.(-2,0),(2,0)
C.(0,-eq \r(2)),(0,eq \r(2)) D.(0,-2),(0,2)
B 解析:由题可知双曲线的焦点在x轴上,又c2=a2+b2=3+1=4,所以c=2,故焦点坐标为(-2,0),(2,0).
3.若双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,4)=1(a>0)的离心率为eq \f(\r(5),2),则a=________.
4 解析:由题意可得,e2=eq \f(a2+4,a2)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))eq \s\up8(2),即a2=16.又a>0,所以a=4.
4.经过点A(3,-1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为__________.
eq \f(x2,8)-eq \f(y2,8)=1 解析:设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),把点A(3,-1)代入,得λ=8,故所求双曲线方程为eq \f(x2,8)-eq \f(y2,8)=1.
5.已知双曲线x2-eq \f(y2,16)=1上一点P到它的一个焦点的距离等于4,那么点P到另一个焦点的距离等于________.
6 解析:设双曲线的焦点为F1,F2,|PF1|=4,则||PF1|-|PF2||=2,故|PF2|=6或2.又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c-a=eq \r(17)-1,故|PF2|=6.
考点1 双曲线的定义——基础性
(1)(2020·浙江卷)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3eq \r(4-x2)图象上的点,则|OP|=( )
A.eq \f(\r(22),2) B.eq \f(4\r(10),5) C.eq \r(7) D.eq \r(10)
D 解析:由双曲线定义可知,点P在以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的右支上.设P(x,y),则x2-eq \f(y2,3)=1(x≥1),
将y=3eq \r(4-x2)代入可得x2=eq \f(13,4),
所以y2=3(x2-1)=eq \f(27,4),所以|OP|=eq \r(x2+y2)=eq \r(10).
故选D.
(2)(2020·肥东县综合高中高三三模)已知双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的离心率为2,左焦点为F1,点Q(0,eq \r(3)c)(c为半焦距).P是双曲线C的右支上的动点,且|PF1|+|PQ|的最小值为6,则双曲线C的方程为______________.
x2-eq \f(y2,3)=1 解析:设双曲线右焦点为F2,则|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|+|PQ|=2a+|PF2|+|PQ|,而|PF2|+|PQ|的最小值为|QF2|=eq \r(c2+\r(3)c2)=2c,所以|PF1|+|PQ|最小值为2a+2c=6.又eq \f(c,a)=2,解得a=1,c=2,于是b2=3,故双曲线C的方程为x2-eq \f(y2,3)=1.
利用双曲线的定义求方程要注意的问题
(1)距离之差的绝对值.
(2)2a<|F1F2|.
(3)焦点所在坐标轴的位置.
1.(2020·咸阳市高三三模)设F1,F2是双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上一点.若∠F1PF2=90°,c=2,Seq \s\d4(△PF2F1)=3,则双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±2x B.y=±eq \r(2)x
C.y=±eq \f(\r(3),3)x D.y=±eq \r(3)x
D 解析:由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|2+|PF2|2=16,,\f(1,2)|PF1||PF2|=3,))
所以(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,|PF1|-|PF2|=2=2a,得a=1,b=eq \r(22-12)=eq \r(3),所以渐近线方程为y=±eq \r(3)x.
2.(2020·深圳市高三二模)已知双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),P为双曲线C上一点,PF1⊥PF2,tan ∠PF1F2=eq \f(3,4),则双曲线C的方程为( )
A.x2-eq \f(y2,24)=1 B.eq \f(x2,24)-y2=1
C.eq \f(x2,9)-eq \f(y2,16)=1 D.eq \f(x2,16)-eq \f(y2,9)=1
A 解析:如图,因为PF1⊥PF2,tan ∠PF1F2=eq \f(3,4),|F1F2|=10,所以|PF1|=8,|PF2|=6.根据双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=2,即a=1,所以b2=c2-a2=25-1=24,所以双曲线C的方程为x2-eq \f(y2,24)=1.
考点2 双曲线的方程——综合性
(1)已知方程eq \f(x2,m2+n)-eq \f(y2,3m2-n)=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
A.(-1,3) B.(-1,eq \r(3)) C.(0,3) D.(0,eq \r(3))
A 解析:因为双曲线的焦距为4,所以c=2,即m2+n+3m2-n=4,解得m2=1.
又由所给方程表示双曲线得(1+n)(3-n)>0,解得-1
A.eq \f(x2,4)-eq \f(y2,4)=1 B.x2-eq \f(y2,4)=1
C.eq \f(x2,4)-y2=1 D.x2-y2=1
D 解析:由题意知双曲线的两条渐近线互相垂直,所以双曲线C为等轴双曲线,渐近线的斜率分别为1和-1.因为直线l与一条渐近线平行,抛物线y2=4x的焦点为(1,0),所以eq \f(b-0,0-1)=-1,即b=1.所以双曲线C的方程为x2-y2=1.故选D.
求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出关于参数a,b,c的方程并求出a,b,c的值;与双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1有相同渐近线时,可设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=λ(λ≠0).
(2)定义法:依定义得出距离之差的等量关系式,求出a的值,由定点位置确定c的值.
1.已知双曲线C:eq \f(y2,16)-eq \f(x2,9)=1,则双曲线C的焦点坐标为( )
A.(±5,0) B.(±eq \r(7),0) C.(0,±5) D.(0,±eq \r(7))
C 解析:双曲线的焦点坐标在y轴上,又a2=16,b2=9,则c2=a2+b2=25,即c=5,故双曲线的焦点坐标为(0,±5).
2.与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2)的双曲线方程为____________.
eq \f(y2,2)-eq \f(x2,4)=1 解析:设与双曲线eq \f(x2,2)-y2=1有公共渐近线的双曲线方程为eq \f(x2,2)-y2=k.将点(2,-2)代入得k=eq \f(22,2)-(-2)2=-2,所以双曲线的标准方程为eq \f(y2,2)-eq \f(x2,4)=1.
3.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为____________.
x2-eq \f(y2,8)=1(x≤-1) 解析:如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.
因为|MA|=|MB|,
所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,
即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,所以点M到两定点C2,C1的距离的差是常数且小于|C1C2|=6.根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a=1,c=3,则b2=8.故点M的轨迹方程为x2-eq \f(y2,8)=1(x≤-1).
考点3 双曲线的几何性质——综合性
考向1 双曲线的渐近线
双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的离心率为eq \r(3),则其渐近线方程为( )
A.y=±eq \r(2)x B.y=±eq \r(3)x C.y=±eq \f(\r(2),2)x D.y=±eq \f(\r(3),2)x
A 解析:(方法一)由题意知,e=eq \f(c,a)=eq \r(3),所以c=eq \r(3)a,所以b=eq \r(c2-a2)=eq \r(2)a,即eq \f(b,a)=eq \r(2),所以该双曲线的渐近线方程为y=±eq \f(b,a)x=±eq \r(2)x.
(方法二)由e=eq \f(c,a)=eq \r(1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))eq \s\up8(2))=eq \r(3),得eq \f(b,a)=eq \r(2),所以该双曲线的渐近线方程为y=±eq \f(b,a)x=±eq \r(2)x.
求双曲线的渐近线的方法
已知双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)或eq \f(y2,a2)-eq \f(x2,b2)=1(a>0,b>0)的方程,求渐近线的方程时,可令eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=0,得y=±eq \f(b,a)x;或令eq \f(y2,a2)-eq \f(x2,b2)=0,得y=±eq \f(a,b)x.反之,已知渐近线方程为y=±eq \f(b,a)x,可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=λ(a>0,b>0,λ≠0).
考向2 求双曲线的离心率
(1)(2020·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,5)=1(a>0)的一条渐近线方程为y=eq \f(\r(5),2)x,则该双曲线的离心率是________.
eq \f(3,2) 解析:因为双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,5)=1(a>0)的渐近线方程为y=±eq \f(\r(5),a)x,所以eq \f(\r(5),a)=eq \f(\r(5),2),所以a=2,则离心率e=eq \r(1+\f(b2,a2))=eq \r(1+\f(5,4))=eq \f(3,2).
(2)(2020·浏阳一模)已知双曲线C1:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0),圆C2:x2+y2-2ax+eq \f(3,4)a2=0.若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,则双曲线C1的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(2\r(3),3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3),+∞)) C.(1,2) D.(2,+∞)
A 解析:由双曲线方程可得其渐近线方程为y=±eq \f(b,a)x,即bx±ay=0,圆C2:x2+y2-2ax+eq \f(3,4)a2=0可化为(x-a)2+y2=eq \f(1,4)a2,圆心C2的坐标为(a,0),半径r=eq \f(1,2)a.由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,得eq \f(|ab|,\r(a2+b2))
求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)求a,b,c的值,由eq \f(c2,a2)=eq \f(a2+b2,a2)=1+eq \f(b2,a2)直接求e.
(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
考向3 与双曲线有关的最值和范围问题
已知M(x0,y0)是双曲线C:eq \f(x2,2)-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))<0,则y0的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(\r(3),3),\f(\r(3),3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(\r(3),6),\f(\r(3),6)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2\r(2),3),\f(2\r(2),3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2\r(3),3),\f(2\r(3),3)))
A 解析:因为F1(-eq \r(3),0),F2(eq \r(3),0),eq \f(x\\al(2,0),2)-yeq \\al(2,0)=1,
所以eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))=(-eq \r(3)-x0,-y0)·(eq \r(3)-x0,-y0)=xeq \\al(2,0)+yeq \\al(2,0)-3<0,
即3yeq \\al(2,0)-1<0,解得-eq \f(\r(3),3)
(1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接变换求解.
(2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
1.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:eq \f(y2,a2)-eq \f(x2,b2)=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-1)2=1相切,则双曲线C的离心率为( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,4) C.eq \f(16,9) D.eq \f(25,16)
B 解析:由题意知,双曲线C的渐近线方程为by±ax=0,结合图形(图略)易知与圆相切的只可能是by-ax=0.又圆心坐标为(2,1),则eq \f(|b-2a|,\r(a2+b2))=1,得3a=4b,所以9a2=16b2=16(c2-a2),则e2=eq \f(25,16).又e>1,故e=eq \f(5,4).
2.已知焦点在x轴上的双曲线eq \f(x2,8-m)+eq \f(y2,4-m)=1,求它的焦点到渐近线的距离的取值范围.
解:对于焦点在x轴上的双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0),它的一个焦点(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离为eq \f(|bc|,\r(b2+a2))=b.双曲线eq \f(x2,8-m)+eq \f(y2,4-m)=1,即eq \f(x2,8-m)-eq \f(y2,m-4)=1,其焦点在x轴上,则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8-m>0,,m-4>0,))解得4
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.2 D.1+eq \r(3)
[四字程序]
思路参考:特殊值法,不妨设∠PFA=90°求解.
C 解析:因为∠PFA=2∠PAF恒成立,
不妨令∠PFA=90°,则∠PAF=45°.
在双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1中,令x=c,易得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c,±\f(b2,a))).
因为tan∠PAF=1,所以eq \f(b2,a)=a+c,
所以c2-ac-2a2=0,
所以(c+a)(c-2a)=0,
解得c=2a,即e=2.
思路参考:利用诱导公式表示出直线PA,PF之间斜率的关系求解.
C 解析:设∠PAF=α,∠PFA=2α,kPA=k1,kPF=k2,k2=tan(π-2α)=eq \f(-2tan α,1-tan2α)=eq \f(-2k1,1-k\\al(2,1)).
设点P(x0,y0),故eq \f(x\\al(2,0),a2)-eq \f(y\\al(2,0),b2)=1.①
因为k2=eq \f(y0,x0-c),k1=eq \f(y0,x0+a),
所以eq \f(y0,x0-c)=eq \f(-2y0x0+a,x0+a2-y\\al(2,0)).②
联立①②消去y0得:
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4-\f(c2,a2)))xeq \\al(2,0)+(4a-2c)x0+c2-2ac=0,(*)
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4-\f(c2,a2)=0,,4a-2c=0,,c2-2ac=0))时,(*)式恒成立,
此时e=eq \f(c,a)=2.
思路参考:造构相似三角形,结合平面几何知识求解.
C 解析:如图1,∠ACB=2∠ABC,由平面几何知识,
△ACD∽△BAD,故eq \f(b,c)=eq \f(c,a+b),
所以c2-b2=ab,反之亦然.
图1
图2
在双曲线中,设点P(x0,y0),
过点P作PM⊥AF,如图2.
因为∠PFA=2∠PAF,
同理可得|PA|2-|PF|2=|AF|·|PF|,
又|PA|2-|PF|2=(|AM|2+|MP|2)-(|MF|2+|MP|2)=(|AM|+|MF|)(|AM|-|MF|)=|AF|·(2x0+a-c),
所以|PF|=2x0+a-c.
由双曲线的焦半径公式知,|PF|=ex0-a,
所以2x0+a-c=ex0-a,此时e=eq \f(c,a)=2.
思路参考:设出点P(m,n),利用过两点的斜率公式与倾斜角关系求解.
C 解析:如图,作PM⊥AF于M,
设∠PAF=α,∠PFA=2α,设点P(m,n).
在Rt△PAM中,tan α=eq \f(n,m+a),
在Rt△PFM中,tan 2α=eq \f(n,c-m).
因为tan 2α=eq \f(2tan α,1-tan2 α),
所以eq \f(n,c-m)=eq \f(2nm+a,m+a2-n2),
所以2(m+a)(c-m)=(m+a)2-n2,
所以2(m+a)(c-m)=(m+a)2-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m2,a2)-1))b2,
所以-2m2+2(c-a)m+2ac=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(b2,a2)))m2+2am+c2恒成立.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-2=1-\f(b2,a2),,c-a=a,,2a=c,))所以e=eq \f(c,a)=2.
1.本题考查双曲线的离心率的计算,其基本策略是根据双曲线的几何性质寻找a,c的关系式.
2.基于课程标准,解答本题要熟练掌握双曲线的定义,直线的斜率公式和正切的二倍角公式,体现了数学运算的核心素养.
3.基于高考数学评价体系,本题通过知识间的相互联系和转化,体现了基础性和综合性的统一.
已知双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的离心率为eq \r(2),则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )
A.eq \r(2) B.2 C.eq \f(3\r(2),2) D.2eq \r(2)
D 解析:(方法一)由离心率e=eq \f(c,a)=eq \r(2),得c=eq \r(2)a.又b2=c2-a2,得b=a,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x.由点到直线的距离公式,得点(4,0)到双曲线C的渐近线的距离为eq \f(4,\r(1+1))=2eq \r(2).
(方法二)离心率e=eq \r(2)的双曲线是等轴双曲线,其渐近线方程是y=±x,所以点(4,0)到双曲线C的渐近线的距离为eq \f(4,\r(1+1))=2eq \r(2).
标准方程
eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)
eq \f(y2,a2)-eq \f(x2,b2)=1(a>0,b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
x∈R,y≤-a或y≥a
对称性
对称轴:坐标轴,对称中心:原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线
y=±eq \f(b,a)x
y=±eq \f(a,b)x
离心率
e=eq \f(c,a),e∈(1,+∞),其中c=eq \r(a2+b2)
实虚轴
实轴|A1A2|=2a;虚轴|B1B2|=2b;实半轴长a,虚半轴长b
a,b,c
的关系
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
读
想
算
思
A,F分别是双曲线的左顶点和右焦点,P是双曲线上的动点
1.双曲线的离心率的表达式是什么?
2.如何把几何条件∠PFA=2∠PAF转化为代数式子?
设∠PAF=α,建立∠PAF和∠PFA之间的联系
数形结合
∠PFA=2∠PAF,求双曲线的离心率
1.e=eq \f(c,a)=
eq \r(1+\f(b2,a2));
2.转化为直线的倾斜角,进而用直线的斜率表示二者之间的关系
tan∠PFA=tan 2α=eq \f(2tan α,1-tan2α)
利用特殊值法或者代数运算,都要结合图形解决问题
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