第8章 第6节　双曲线教案

这是一份第8章 第6节　双曲线教案，共13页。教案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。

一、教材概念·结论·性质重现
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当a(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线．
(3)当a>c时，点P不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
3.常用结论
(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq \f(2b2,a)，也叫通径．
(2)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同的渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(4)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)平面内到点F1(0,2)，F2(0，－2)距离之差的绝对值等于4的点的轨迹是双曲线．(×)
(2)方程eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在y轴上的双曲线．(×)
(3)双曲线方程eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝0，即eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.(√)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq \r(2).(√)
2．双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的焦点坐标是( )
A．(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0) B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－eq \r(2))，(0，eq \r(2)) D．(0，－2)，(0,2)
B 解析：由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．
3．若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,4)＝1(a>0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，则a＝________.
4 解析：由题意可得，e2＝eq \f(a2＋4,a2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))eq \s\up8(2)，即a2＝16.又a>0，所以a＝4.
4．经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为__________．
eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1 解析：设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1.
5．已知双曲线x2－eq \f(y2,16)＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
6 解析：设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2.又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝eq \r(17)－1，故|PF2|＝6.
考点1 双曲线的定义——基础性
(1)(2020·浙江卷)已知点O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．设点P满足|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝3eq \r(4－x2)图象上的点，则|OP|＝( )
A．eq \f(\r(22),2) B．eq \f(4\r(10),5) C．eq \r(7) D．eq \r(10)
D 解析：由双曲线定义可知，点P在以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上．设P(x，y)，则x2－eq \f(y2,3)＝1(x≥1)，
将y＝3eq \r(4－x2)代入可得x2＝eq \f(13,4)，
所以y2＝3(x2－1)＝eq \f(27,4)，所以|OP|＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(10).
故选D．
(2)(2020·肥东县综合高中高三三模)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左焦点为F1，点Q(0，eq \r(3)c)(c为半焦距)．P是双曲线C的右支上的动点，且|PF1|＋|PQ|的最小值为6，则双曲线C的方程为______________．
x2－eq \f(y2,3)＝1 解析：设双曲线右焦点为F2，则|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋|PQ|，而|PF2|＋|PQ|的最小值为|QF2|＝eq \r(c2＋\r(3)c2)＝2c，所以|PF1|＋|PQ|最小值为2a＋2c＝6.又eq \f(c,a)＝2，解得a＝1，c＝2，于是b2＝3，故双曲线C的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
利用双曲线的定义求方程要注意的问题
(1)距离之差的绝对值．
(2)2a＜|F1F2|.
(3)焦点所在坐标轴的位置．
1．(2020·咸阳市高三三模)设F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上一点．若∠F1PF2＝90°，c＝2，Seq \s\d4(△PF2F1)＝3，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±eq \r(2)x
C．y＝±eq \f(\r(3),3)x D．y＝±eq \r(3)x
D 解析：由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|2＋|PF2|2＝16，,\f(1,2)|PF1||PF2|＝3，))
所以(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，|PF1|－|PF2|＝2＝2a，得a＝1，b＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)，所以渐近线方程为y＝±eq \r(3)x.
2．(2020·深圳市高三二模)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点分别为F1(－5,0)，F2(5，0)，P为双曲线C上一点，PF1⊥PF2，tan ∠PF1F2＝eq \f(3,4)，则双曲线C的方程为( )
A．x2－eq \f(y2,24)＝1 B．eq \f(x2,24)－y2＝1
C．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1 D．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1
A 解析：如图，因为PF1⊥PF2，tan ∠PF1F2＝eq \f(3,4)，|F1F2|＝10，所以|PF1|＝8，|PF2|＝6.根据双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，即a＝1，所以b2＝c2－a2＝25－1＝24，所以双曲线C的方程为x2－eq \f(y2,24)＝1.
考点2 双曲线的方程——综合性
(1)已知方程eq \f(x2,m2＋n)－eq \f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3) B．(－1，eq \r(3)) C．(0,3) D．(0，eq \r(3))
A 解析：因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，即m2＋n＋3m2－n＝4，解得m2＝1.
又由所给方程表示双曲线得(1＋n)(3－n)>0，解得－1(2)(2020·天津卷)设双曲线C的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为( )
A．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1 B．x2－eq \f(y2,4)＝1
C．eq \f(x2,4)－y2＝1 D．x2－y2＝1
D 解析：由题意知双曲线的两条渐近线互相垂直，所以双曲线C为等轴双曲线，渐近线的斜率分别为1和－1.因为直线l与一条渐近线平行，抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，所以eq \f(b－0,0－1)＝－1，即b＝1.所以双曲线C的方程为x2－y2＝1.故选D．
求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值；与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
1．已知双曲线C：eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1，则双曲线C的焦点坐标为( )
A．(±5,0) B．(±eq \r(7)，0) C．(0，±5) D．(0，±eq \r(7))
C 解析：双曲线的焦点坐标在y轴上，又a2＝16，b2＝9，则c2＝a2＋b2＝25，即c＝5，故双曲线的焦点坐标为(0，±5)．
2．与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为____________．
eq \f(y2,2)－eq \f(x2,4)＝1 解析：设与双曲线eq \f(x2,2)－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为eq \f(x2,2)－y2＝k.将点(2，－2)代入得k＝eq \f(22,2)－(－2)2＝－2，所以双曲线的标准方程为eq \f(y2,2)－eq \f(x2,4)＝1.
3．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________．
x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1) 解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B．
根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)．
考点3 双曲线的几何性质——综合性
考向1 双曲线的渐近线
双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(3)，则其渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(2)x B．y＝±eq \r(3)x C．y＝±eq \f(\r(2),2)x D．y＝±eq \f(\r(3),2)x
A 解析：(方法一)由题意知，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)，所以c＝eq \r(3)a，所以b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(2)a，即eq \f(b,a)＝eq \r(2)，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(2)x.
(方法二)由e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))eq \s\up8(2))＝eq \r(3)，得eq \f(b,a)＝eq \r(2)，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(2)x.
求双曲线的渐近线的方法
已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的方程，求渐近线的方程时，可令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，得y＝±eq \f(b,a)x；或令eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝0，得y＝±eq \f(a,b)x.反之，已知渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
考向2 求双曲线的离心率
(1)(2020·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,5)＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝eq \f(\r(5),2)x，则该双曲线的离心率是________．
eq \f(3,2) 解析：因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,5)＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(5),a)x，所以eq \f(\r(5),a)＝eq \f(\r(5),2)，所以a＝2，则离心率e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋\f(5,4))＝eq \f(3,2).
(2)(2020·浏阳一模)已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋eq \f(3,4)a2＝0.若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，＋∞)) C．(1,2) D．(2，＋∞)
A 解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋eq \f(3,4)a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝eq \f(1,4)a2，圆心C2的坐标为(a,0)，半径r＝eq \f(1,2)a.由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得eq \f(|ab|,\r(a2＋b2))2b，即c2>4b2.又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c21，所以双曲线C1的离心率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3))).
求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)求a，b，c的值，由eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
考向3 与双曲线有关的最值和范围问题
已知M(x0，y0)是双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))<0，则y0的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))
A 解析：因为F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)，eq \f(x\\al(2,0),2)－yeq \\al(2,0)＝1，
所以eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)－x0，－y0)·(eq \r(3)－x0，－y0)＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－3<0，
即3yeq \\al(2,0)－1<0，解得－eq \f(\r(3),3)与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换求解．
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决．
1．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则双曲线C的离心率为( )
A．eq \f(4,3) B．eq \f(5,4) C．eq \f(16,9) D．eq \f(25,16)
B 解析：由题意知，双曲线C的渐近线方程为by±ax＝0，结合图形(图略)易知与圆相切的只可能是by－ax＝0.又圆心坐标为(2,1)，则eq \f(|b－2a|,\r(a2＋b2))＝1，得3a＝4b，所以9a2＝16b2＝16(c2－a2)，则e2＝eq \f(25,16).又e>1，故e＝eq \f(5,4).
2．已知焦点在x轴上的双曲线eq \f(x2,8－m)＋eq \f(y2,4－m)＝1，求它的焦点到渐近线的距离的取值范围．
解：对于焦点在x轴上的双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，它的一个焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为eq \f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b.双曲线eq \f(x2,8－m)＋eq \f(y2,4－m)＝1，即eq \f(x2,8－m)－eq \f(y2,m－4)＝1，其焦点在x轴上，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8－m>0，,m－4>0，))解得4已知A，F，P分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点、右焦点以及右支上的动点．若∠PFA＝2∠PAF恒成立，则双曲线的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2 D．1＋eq \r(3)
[四字程序]
思路参考：特殊值法，不妨设∠PFA＝90°求解．
C 解析：因为∠PFA＝2∠PAF恒成立，
不妨令∠PFA＝90°，则∠PAF＝45°.
在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1中，令x＝c，易得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，±\f(b2,a))).
因为tan∠PAF＝1，所以eq \f(b2,a)＝a＋c，
所以c2－ac－2a2＝0，
所以(c＋a)(c－2a)＝0，
解得c＝2a，即e＝2.
思路参考：利用诱导公式表示出直线PA，PF之间斜率的关系求解．
C 解析：设∠PAF＝α，∠PFA＝2α，kPA＝k1，kPF＝k2，k2＝tan(π－2α)＝eq \f(－2tan α,1－tan2α)＝eq \f(－2k1,1－k\\al(2,1)).
设点P(x0，y0)，故eq \f(x\\al(2,0),a2)－eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1.①
因为k2＝eq \f(y0,x0－c)，k1＝eq \f(y0,x0＋a)，
所以eq \f(y0,x0－c)＝eq \f(－2y0x0＋a,x0＋a2－y\\al(2,0)).②
联立①②消去y0得：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(c2,a2)))xeq \\al(2,0)＋(4a－2c)x0＋c2－2ac＝0，(*)
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－\f(c2,a2)＝0，,4a－2c＝0，,c2－2ac＝0))时，(*)式恒成立，
此时e＝eq \f(c,a)＝2.
思路参考：造构相似三角形，结合平面几何知识求解．
C 解析：如图1，∠ACB＝2∠ABC，由平面几何知识，
△ACD∽△BAD，故eq \f(b,c)＝eq \f(c,a＋b)，
所以c2－b2＝ab，反之亦然．
图1
图2
在双曲线中，设点P(x0，y0)，
过点P作PM⊥AF，如图2.
因为∠PFA＝2∠PAF，
同理可得|PA|2－|PF|2＝|AF|·|PF|，
又|PA|2－|PF|2＝(|AM|2＋|MP|2)－(|MF|2＋|MP|2)＝(|AM|＋|MF|)(|AM|－|MF|)＝|AF|·(2x0＋a－c)，
所以|PF|＝2x0＋a－c.
由双曲线的焦半径公式知，|PF|＝ex0－a，
所以2x0＋a－c＝ex0－a，此时e＝eq \f(c,a)＝2.
思路参考：设出点P(m，n)，利用过两点的斜率公式与倾斜角关系求解．
C 解析：如图，作PM⊥AF于M，
设∠PAF＝α，∠PFA＝2α，设点P(m，n)．
在Rt△PAM中，tan α＝eq \f(n,m＋a)，
在Rt△PFM中，tan 2α＝eq \f(n,c－m).
因为tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2 α)，
所以eq \f(n,c－m)＝eq \f(2nm＋a,m＋a2－n2)，
所以2(m＋a)(c－m)＝(m＋a)2－n2，
所以2(m＋a)(c－m)＝(m＋a)2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m2,a2)－1))b2，
所以－2m2＋2(c－a)m＋2ac＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(b2,a2)))m2＋2am＋c2恒成立．
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2＝1－\f(b2,a2)，,c－a＝a，,2a＝c，))所以e＝eq \f(c,a)＝2.
1．本题考查双曲线的离心率的计算，其基本策略是根据双曲线的几何性质寻找a，c的关系式．
2．基于课程标准，解答本题要熟练掌握双曲线的定义，直线的斜率公式和正切的二倍角公式，体现了数学运算的核心素养．
3．基于高考数学评价体系，本题通过知识间的相互联系和转化，体现了基础性和综合性的统一．
已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(2)，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )
A.eq \r(2) B．2 C.eq \f(3\r(2),2) D．2eq \r(2)
D 解析：(方法一)由离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)，得c＝eq \r(2)a.又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4,0)到双曲线C的渐近线的距离为eq \f(4,\r(1＋1))＝2eq \r(2).
(方法二)离心率e＝eq \r(2)的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，所以点(4,0)到双曲线C的渐近线的距离为eq \f(4,\r(1＋1))＝2eq \r(2).
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
实虚轴
实轴|A1A2|＝2a；虚轴|B1B2|＝2b；实半轴长a，虚半轴长b
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
读
想
算
思
A，F分别是双曲线的左顶点和右焦点，P是双曲线上的动点
1.双曲线的离心率的表达式是什么？
2.如何把几何条件∠PFA＝2∠PAF转化为代数式子？
设∠PAF＝α，建立∠PAF和∠PFA之间的联系
数形结合
∠PFA＝2∠PAF，求双曲线的离心率
1.e＝eq \f(c,a)＝
eq \r(1＋\f(b2,a2))；
2.转化为直线的倾斜角，进而用直线的斜率表示二者之间的关系
tan∠PFA＝tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)
利用特殊值法或者代数运算，都要结合图形解决问题