中考数学课时复习（含答案）：45 特殊的平行四边形

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45特殊的平行四边形
一．选择题（共19小题）
1．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：
①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．
其中会随点P的移动而变化的是（　　）

　 A． ②③ B． ②⑤ C． ①③④ D． ④⑤

考点： 三角形中位线定理；平行线之间的距离．
分析： 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．
解答： 解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，
∴MN是△PAB的中位线，
∴MN=AB，
即线段MN的长度不变，故①错误；
PA、PB的长度随点P的移动而变化，
所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；
∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，
∴△PMN的面积不变，故③错误；
直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；
∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．
综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．
故选B．
点评： 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关键．
　
2．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（　　）

　 A． 8 B． 10 C． 12 D． 14

考点： 三角形中位线定理．
分析： 首先根据点D、E分别是边AB，BC的中点，可得DE是三角形BC的中位线，然后根据三角形中位线定理，可得DE=AC，最后根据三角形周长的含义，判断出△ABC的周长和△DBE的周长的关系，再结合△DBE的周长是6，即可求出△ABC的周长是多少．
解答： 解：∵点D、E分别是边AB，BC的中点，
∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE，
∴DE∥BC且DE=AC，
又∵AB=2BD，BC=2BE，
∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE），
即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，
∵△DBE的周长是6，
∴△ABC的周长是：
6×2=12．
故选：C．
点评： （1）此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）此题还考查了三角形的周长和含义的求法，要熟练掌握．
　
3．如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（　　）

　 A． DE=DF B． EF=AB C． S△ABD=S△ACD D． AD平分∠BAC

考点： 三角形中位线定理．
分析： 根据三角形中位线定理逐项分析即可．
解答： 解：A、∵点D、E、F分别为△ABC各边中点，
∴DE=AC，DF=AB，
∵AC≠AB，
∴DE≠DF，故该选项错误；
B、由A选项的思路可知，B选项错误、
C、∵S△ABD=BD•h，S△ACD=CD•h，BD=CD，
∴S△ABD=S△ACD，故该选项正确；
D、∵BD=CD，AB≠AC，
∴AD不平分∠BAC，
故选C．
点评： 本题考查了三角形中位线定理的运用，解题的根据是熟记其定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
　
4．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（　　）

　 A． 3：2 B． 3：1 C． 1：1 D． 1：2

考点： 平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．
解答： 解：∵▱ABCD，故AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴=，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=DE=AD，
∴=．
故选：D．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF是解题关键．
　
5．如图，在▱ABCD中，已知AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于（　　）

　 A． 8cm B． 6cm C． 4cm D． 2cm

考点： 平行四边形的性质．
分析： 由平行四边形的性质得出BC=AD=12cm，AD∥BC，得出∠DAE=∠BEA，证出∠BEA=∠BAE，得出BE=AB，即可得出CE的长．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=12cm，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴BE=AB=8cm，
∴CE=BC﹣BE=4cm；
故答案为：C．
点评： 本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
　
6．如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，▱ABCD的周长是在14，则DM等于（　　）

　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 平行四边形的性质．
分析： 根据BM是∠ABC的平分线和AB∥CD，求出BC=MC=2，根据▱ABCD的周长是14，求出CD=5，得到DM的长．
解答： 解：∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM=∠CBM，
∵AB∥CD，
∴∠ABM=∠BMC，
∴∠BMC=∠CBM，
∴BC=MC=2，
∵▱ABCD的周长是14，
∴BC+CD=7，
∴CD=5，
则DM=CD﹣MC=3，
故选：C．
点评： 本题考查的是平行四边形的性质和角平分线的定义，根据平行四边形的对边相等求出BC+CD是解题的关键，注意等腰三角形的性质的正确运用．
　
7．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（　　）

　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
分析： 由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正确．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB=BC，
∴AE=BC，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，
∵AB=BC，OB=BD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③错误；
∵CE=BE，CO=OA，
∴OE=AB，
∴OE=BC，故④正确．
故选C．
点评： 本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
　
8．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（　　）

　 A． 4 B． 6 C． 8 D． 10

考点： 平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；作图—基本作图．
专题： 计算题．
分析： 由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO=BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．
解答： 解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AB=AF，AO平分∠BAD，
∴AO⊥BF，BO=FO=BF=3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
而BO⊥AE，
∴AO=OE，
在Rt△AOB中，AO===4，
∴AE=2AO=8．
故选C．

点评： 本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图．
　
9．如图，▱ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是（　　）

　 A． 10cm B． 8cm C． 6cm D． 4cm

考点： 平行四边形的性质．
分析： 根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠BAE，求出∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，得出方程x+x+2=10，求出方程的解即可．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，
∵▱ABCD的周长为20cm，
∴x+x+2=10，
解得：x=4，
即AB=4cm，
故选D．
点评： 本题考查了平行四边形的在，平行线的性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是能推出AB=BE，题目比较好，难度适中．
　
10．如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（　　）

　 A． AB∥CD B． AB=CD C． AC=BD D． OA=OC

考点： 平行四边形的性质．
分析： 根据平行四边形的性质推出即可．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，OA=OC，
但是AC和BD不一定相等，
故选C．
点评： 本题考查了平行四边形的性质的应用，能熟记平行四边形的性质是解此题的关键，注意：平行四边形的对边相等且平行，平行四边形的对角线互相平分．
　
11．在▱ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（　　）
　 A． 7 B． 4或10 C． 5或9 D． 6或8

考点： 平行四边形的性质；勾股定理；正方形的性质．
专题： 分类讨论．
分析： 设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可得到AE的长．
解答： 解：如图：

设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，
在△ABE中，根据勾股定理可得x2+（14﹣x）2=102，
解得x1=6，x2=8．
故AE的长为6或8．
故选：D．
点评： 考查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得到关于AE的方程．
　
12．▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（　　）

　 A． 61° B． 63° C． 65° D． 67°

考点： 平行四边形的性质．
分析： 由平行四边形的性质可知：AD∥BC，进而可得∠DAC=∠BCA，再根据三角形外角和定理即可求出∠COD的度数．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA=42°，
∴∠COD=∠CBD+∠BCA=65°，
故选C．
点评： 本题考查了平行四边形的性质以及三角形的外角和定理，题目比较简单，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，将四边形的问题转化为三角形问题．
　
13．如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2．若S=3，则S1+S2的值为（　　）

　 A． 24 B． 12 C． 6 D． 3

考点： 平行四边形的性质；三角形中位线定理．
分析： 过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积=△CPQ面积+△PBQ面积，即为△PDC面积+△PAB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．
解答： 解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，
∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，
∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，
∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，
∵EF为△PCB的中位线，
∴EF∥BC，EF=BC，
∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，
∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=3，
∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=12．
故选：B．

点评： 此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
　
14．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（　　）

　 A． AO=OD B． AO⊥OD C． AO=OC D． AO⊥AB

考点： 平行四边形的性质．
分析： 根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．
解答： 解：对角线不一定相等，A错误；
对角线不一定互相垂直，B错误；
对角线互相平分，C正确；
对角线与边不一定垂直，D错误．
故选：C．
点评： 本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．
　
15．如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B，A，E在一条直线上，CE交AD于点F，则图中等边三角形共有（　　）

　 A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个

考点： 平行四边形的性质；等边三角形的判定；翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据折叠的性质可得∠E=∠B=60°，进而可证明△BEC是等边三角形，再根据平行四边形的性质可得：AD∥BC，所以可得∠EAF=60°，进而可证明△EFA是等边三角形，由等边三角形的性质可得∠EFA=∠DFC=60°，又因为∠D=∠B=60°，进而可证明△DFC是等边三角形，问题得解．
解答： 解：∵将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，
∴∠E=∠B=60°，
∴△BEC是等边三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠D=∠B=60°，
∴∠B=∠EAF=60°，
∴△EFA是等边三角形，
∵∠EFA=∠DFC=60°，∠D=∠B=60°，
∴△DFC是等边三角形，
∴图中等边三角形共有3个，
故选B．

点评： 本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟记等边三角形的各种判定方法特别是经常用到的判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形．
　
16．已知四边形ABCD，下列说法正确的是（　　）
　 A． 当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形
　 B． 当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形
　 C． 当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形
　 D． 当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形

考点： 平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定．
分析： 由平行四边形的判定方法得出A不正确、B正确；由矩形和正方形的判定方法得出C、D不正确．
解答： 解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴A不正确；
∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴B正确；
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴C不正确；
∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，
∴D不正确；
故选：B．
点评： 本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定方法是解决问题的关键．
　
17．坐标平面上，二次函数y=﹣x2+6x﹣9的图形的顶点为A，且此函数图形与y轴交于B点．若在此函数图形上取一点C，在x轴上取一点D，使得四边形ABCD为平行四边形，则D点坐标为何？（　　）
　 A． （6，0） B． （9，0） C． （﹣6，0） D． （﹣9，0）

考点： 平行四边形的判定；二次函数的性质．
分析： 首先将二次函数配方求得顶点A的坐标，然后求得抛物线与y轴的交点坐标，根据电C和点B的纵坐标相同求得点C的坐标，从而求得线段BC的长，根据平行四边形的性质求得AD的长即可求得点D的坐标．
解答： 解：∵y=﹣x2+6x﹣9=﹣（x﹣3）2，
∴顶点A的坐标为（3，0），
令x=0得到y=﹣9，
∴点B的坐标为（0，﹣9），
令y=﹣x2+6x﹣9=﹣9，解得：x=0或x=6，
∴点C的坐标为（6，﹣9），
∴BC=AD=6，
∴OD=OA+AD=3+6=9，
∴点D的坐标为（9，0），
故选B．

点评： 本题考查了平行四边形的判定、二次函数的性质等知识，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的对边平行且相等的性质，综合题，但难度不大．
　
18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（　　）

　 A． 6 B． 12 C． 20 D． 24

考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
分析： 根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．
解答： 解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得
CE===5．
∵BE=DE=3，AE=CE=5，
∴四边形ABCD是平行四边形．
四边形ABCD的面积为BC•BD=4×（3+3）=24，
故选：D．
点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了勾股定理得出CE的长，又利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，最后利用了平行四边形的面积公式．
　
19．如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（　　）

　 A． 6 B． 7 C． 8 D． 10

考点： 三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AB=3，则结合已知条件CE=CD可以求得ED=4．然后由三角形中位线定理可以求得BF=2ED=8．
解答： 解：如图，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，
∴CD=AB=3．
又CE=CD，
∴CE=1，
∴ED=CE+CD=4．
又∵BF∥DE，点D是AB的中点，
∴ED是△AFB的中位线，
∴BF=2ED=8．
故选：C．

点评： 本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线．根据已知条件求得ED的长度是解题的关键与难点．


二．填空题（共11小题）
20．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为　20　．


考点： 三角形中位线定理；勾股定理；矩形的性质．
分析： 根据M是边AD的中点，得AM=DM=6，根据勾股定理得出BM=CM=10，再根据E、F分别是线段BM、CM的中点，即可得出EM=FM=5，再根据N是边BC的中点，得出EM=FN，EN=FM，从而得出四边形EN，FM的周长．
解答： 解：∵M、N分别是边AD、BC的中点，AB=8，AD=12，
∴AM=DM=6，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴BM=CM=10，
∵E、F分别是线段BM、CM的中点，
∴EM=FM=5，
∴EN，FN都是△BCM的中位线，
∴EN=FN=5，
∴四边形ENFM的周长为5+5+5+5=20，
故答案为20．
点评： 本题考查了三角形的中位线，勾股定理以及矩形的性质　
21．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连结DH，则线段DH的长为　1　．


考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．
分析： 首先证明△ACF是等腰三角形，则AF=AC=3，HF=CH，则DH是△BCF的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．
解答： 解：∵AE为△ABC的角平分线，CH⊥AE，
∴△ACF是等腰三角形，
∴AF=AC，
∵AC=3，
∴AF=AC=3，HF=CH，
∵AD为△ABC的中线，
∴DH是△BCF的中位线，
∴DH=BF，
∵AB=5，
∴BF=AB﹣AF=5﹣3=2．
∴DH=1，
故答案为：1．
点评： 本题考查了等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明HF=CH是关键．
　
22．如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、DF．若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为　5　．


考点： 三角形中位线定理．
分析： 由于D、E分别是AB、BC的中点，则DE是△ABC的中位线，那么DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，于是易求△DEF的周长．
解答： 解：如上图所示，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AC，
同理有EF=AB，DF=BC，
∴△DEF的周长=（AC+BC+AB）=×10=5．
故答案为5．
点评： 本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．
　
23．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，则AC的长等于　　．


考点： 三角形中位线定理；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 延长AD至F，使DF=AD，过点F作平行BE与AC延长线交于点G，过点C作CH∥BE，交AF于点H，连接BF，如图所示，在直角三角形AGF中，利用勾股定理求出AG的长，利用SAS证得△BDF≌△CDA，利用全等三角形对应角相等得到∠ACD=∠BFD，证得AG∥BF，从而证得四边形EBFG是平行四边形，得到FG=BE=6，利用AAS得到三角形BOD与三角形CHD全等，利用全等三角形对应边相等得到OD=DH=3，得出AH=9，然后根据△AHC∽△AFG，对应边成比例即可求得AC．
解答： 解：延长AD至F，使DF=AD，过点F作FG∥BE与AC延长线交于点G，过点C作CH∥BE，交AF于点H，连接BF，如图所示，
在Rt△AFG中，AF=2AD=12，FG=BE=6，
根据勾股定理得：AG==6，
在△BDF和△CDA中，

∴△BDF≌△CDA（SAS），
∴∠ACD=∠BFD，
∴AG∥BF，
∴四边形EBFG是平行四边形，
∴FG=BE=6，
在△BOD和△CHD中，
，
∴△BOD≌△CHD（AAS），
∴OD=DH=3，
∵CH∥FG，
∴△AHC∽△AFG，
∴=，即=，
解得：AC=，
故答案为：

点评： 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形和平行四边形是解题的关键．
　
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为　5　．


考点： 三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
分析： 已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．
解答： 解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，
∴CD=AB，
又∵EF是△ABC的中位线，
∴AB=2CD=2×5=10cm，
∴EF=×10=5cm．
故答案为：5．
点评： 此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到的知识点为：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于对应边的一半．
　
25．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　3　．


考点： 三角形中位线定理；勾股定理．
专题： 动点型．
分析： 根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN=DB=6，从而求得EF的最大值为3．
解答： 解：∵ED=EM，MF=FN，
∴EF=DN，
∴DN最大时，EF最大，
∵N与B重合时DN最大，
此时DN=DB==6，
∴EF的最大值为3．
故答案为3．
点评： 本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．
　
26．如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为　　（n为正整数）．


考点： 三角形中位线定理．
专题： 规律型．
分析： 根据中位线的定理得出规律解答即可．
解答： 解：在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，
可得：P1M1=，P2M2=，故PnMn=，
故答案为：
点评： 此题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答．
　
27．如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为　1　．


考点： 三角形中位线定理．
专题： 规律型．
分析： 由三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的．
解答： 解：∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，
∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，
∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16=1．
故答案为：1
点评： 本题主要考查了三角形的中位线定理，关键是根据三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半．
　
28．如图，小聪与小慧玩跷跷板，跷跷板支架高EF为0.6米，E是AB的中点，那么小聪能将小慧翘起的最大高度BC等于　1.2　米．


考点： 三角形中位线定理．
专题： 应用题．
分析： 先求出F为AC的中点，根据三角形的中位线求出BC=2EF，代入求出即可．
解答： 解：∵EF⊥AC，BC⊥AC，
∴EF∥BC，
∵E是AB的中点，
∴F为AC的中点，
∴BC=2EF，
∵EF=0.6米，
∴BC=1.2米，
故答案为：1.2．
点评： 本题考查了三角形的中位线性质，平行线的性质和判定的应用，解此题的关键是求出BC=2EF，注意：垂直于同一直线的两直线平行．
　
29．如图，在△ABC中，AB=8，点D、E分别是BC、CA的中点，连接DE，则DE=　4　．


考点： 三角形中位线定理．
分析： 根据三角形的中位线等于第三边的一半即可得出DE=AB=4．
解答： 解：∵在△ABC中，点D、E分别是BC、CA的中点，AB=8，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB=×8=4．
故答案为4．
点评： 本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
　
30．如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是　3　．


考点： 三角形中位线定理；等腰直角三角形；圆周角定理．
分析： 根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
解答： 解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN=AC，
∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，
当AC时直径时，最大，
如图，

∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，
∴AD=6，
∴MN=AD=3
故答案为：3．
点评： 本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．
　
1．如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为　27　．


考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的性质；轴对称的性质．
分析： 先根据点A、D关于点F对称可知点F是AD的中点，再由CD⊥AB，FG∥CD可知FG是△ACD的中位线，故可得出CG的长，再根据点E是AB的中点可知GE是△ABC的中位线，故可得出GE的长，由此可得出结论．
解答： 解：∵点A、D关于点F对称，
∴点F是AD的中点．
∵CD⊥AB，FG∥CD，
∴FG是△ACD的中位线，AC=18，BC=12，
∴CG=AC=9．
∵点E是AB的中点，
∴GE是△ABC的中位线，
∵CE=CB=12，
∴GE=BC=6，
∴△CEG的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27．
故答案为：27．
点评： 本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．
　
2．如图，∠ACB=9O°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F．若BF=10，则AB的长为　8　．


考点： 三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
分析： 先根据点D是AB的中点，BF∥DE可知DE是△ABF的中位线，故可得出DE的长，根据CE=CD可得出CD的长，再根据直角三角形的性质即可得出结论．
解答： 解：∵点D是AB的中点，BF∥DE，
∴DE是△ABF的中位线．
∵BF=10，
∴DE=BF=5．
∵CE=CD，
∴CD=5，解得CD=4．
∵△ABC是直角三角形，
∴AB=2CD=8．
故答案为：8．
点评： 本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．
　
3．如图，A，B两地被一座小山阻隔，为测量A，B两地之间的距离，在地面上选一点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D、E，测得DE的长度为360米，则A、B两地之间的距离是　720　米．


考点： 三角形中位线定理．
专题： 应用题．
分析： 首先根据D、E分别是CA，CB的中点，可得DE是△ABC的中位线，然后根据三角形的中位线定理，可得DE∥AB，且DE=，再根据DE的长度为360米，求出A、B两地之间的距离是多少米即可．
解答： 解：∵D、E分别是CA，CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，且DE=，
∵DE=360（米），
∴AB=360×2=720（米）．
即A、B两地之间的距离是720米．
故答案为：720．
点评： 此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
　
4．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则▱ABCD的周长等于　20　．


考点： 平行四边形的性质．
分析： 根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．
解答： 解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴AE+DE=AD=BC=6，
∴AE+2=6，
∴AE=4，
∴AB=CD=4，
∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20，
故答案为：20．
点评： 本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AEB．
　
5．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC，则OB=　　cm．


考点： 平行四边形的性质；勾股定理．
分析： 由平行四边形的性质得出BC=AD=8cm，OA=OC=AC，由勾股定理求出AC，得出OC，再由勾股定理求出OB即可．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8cm，OA=OC=AC，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴AC===6，
∴OC=3，
∴OB===；
故答案为：．
点评： 本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
　
6．如图，以▱ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A的反比例函数y=的图象交BC于D，连接AD，则四边形AOCD的面积是　9　．


考点： 平行四边形的性质；反比例函数系数k的几何意义．
分析： 先求出反比例函数和直线BC的解析式，再求出由两个解析式组成方程组的解，得出点D的坐标，得出D为BC的中点，△ABD的面积=平行四边形ABCD的面积，即可求出四边形AOCD的面积．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），
∴点B的坐标为：（5，4），
把点A（2，4）代入反比例函数y=得：k=8，
∴反比例函数的解析式为：y=；
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把点B（5，4），C（3，0）代入得：，
解得：k=2，b=﹣6，
∴直线BC的解析式为：y=2x﹣6，
解方程组 得：
，或 （不合题意，舍去），
∴点D的坐标为：（4，2），
即D为BC的中点，
∴△ABD的面积=平行四边形ABCD的面积，
∴四边形AOCD的面积=平行四边形ABCO的面积﹣△ABD的面积=3×4﹣×3×4=9；
故答案为：9．
点评： 本题考查了平行四边形的性质、用待定系数法求一次函数的解析式、平行四边形和三角形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
　
7．在▱ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为　55°或35°　．

考点： 平行四边形的性质．
分析： 首先求出∠ADB的度数，再利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，得出∠A的度数．
解答： 解：情形一：当E点在线段AD上时，如图所示，

∵BE是AD边上的高，∠EBD=20°，
∴∠ADB=90°﹣20°=70°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD==55°．
情形二：当E点在AD的延长线上时，如图所示，

∵BE是AD边上的高，∠EBD=20°，
∴∠BDE=70°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=∠BDE=70°=35°．
故答案为：55°或35°．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质等知识，得出∠ADB的度数是解题关键．
　
8．如图，在▱ABCD中，连接BD，AD⊥BD，AB=4，sinA=，则▱ABCD的面积是　3　．


考点： 平行四边形的性质；解直角三角形．
分析： 先由三角函数求出BD，再根据勾股定理求出AD，▱ABCD的面积=AD•BD，即可得出结果．
解答： 解：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵AB=4，sinA=，
∴BD=AB•sinA==4×=3，
∴AD===，
∴▱ABCD的面积=AD•BD=3；
故答案为：3．
点评： 本题考查了平行四边形的性质、三角函数、勾股定理以及平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
　
9．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是　120　度．

考点： 平行四边形的性质．
分析： 根据平行四边形的性质得出AB∥CD，推出∠B+∠C=180°，根据∠B：∠C=1：2，求出∠C即可．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B：∠C=1：2，
∴∠C=×180°=120°，
故答案为：120．

点评： 本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质的应用，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．
　
10．如图，▱ABCD中，E为AD的中点，BE，CD的延长线相交于点F，若△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积等于　4　．


考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析： 通过△ABE≌△DFE求得△ABE的面积为1，通过△FBC∽△FED，求得四边形BCDE的面积为3，然后根据▱ABCD的面积=四边形BCDE的面积+△ABE的面积即可求得．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠EDF，
在△ABE和△DFE中，
，
∴△ABE≌△DFE（SAS），
∵△DEF的面积为1，
∴△ABE的面积为1，
∵AD∥BC，
∴△FBC∽△FED，
∴=（）2
∵AE=ED=AD．
∴ED=BC，
∴=，
∴四边形BCDE的面积为3，
∴▱ABCD的面积=四边形BCDE的面积+△ABE的面积=4．
故答案为4．
点评： 本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形全等的性质和三角形相似的性质是解题的关键．
　
11．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BC=9，AC=8，BD=14，则△AOD的周长为　20　．


考点： 平行四边形的性质．
分析： 首先根据平行四边形的对边相等、对角线互相平分，求出AD、OA、OD的长度，代入AD+OA+OD计算即可求出所填答案．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，OA=OC，OB=OD，
∵BC=9，BD=14，AC=8，
∴AD=9，OA=4，OD=7，
∴△AOD的周长为：AD+OA+OD=20．
故答案为：20．
点评： 本题用到的知识点是平行四边形的性质，利用性质（平行四边形的对边相等、对角线互相平分）进行计算是解此题的关键．
　
12．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当=　　时，四边形ADFE是平行四边形．


考点： 平行四边形的判定；等边三角形的性质．
分析： 由三角形ABE为等边三角形，EF垂直于AB，利用三线合一得到EF为角平分线，得到∠AEF=30°，进而确定∠BAC=∠AEF，再由一对直角相等，及AE=AB，利用AAS即可得证△ABC≌△EAF；由∠BAC与∠DAC度数之和为90°，得到DA垂直于AB，而EF垂直于AB，得到EF与AD平行，再由全等得到EF=AC，而AC=AD，可得出一组对边平行且相等，即可得证．
解答： 解：当=时，四边形ADFE是平行四边形．
理由：∵=，
∴∠CAB=30°，
∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，
∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，
∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°，
∴∠FEA=∠BAC，
在△ABC和△EAF中，
，
∴△ABC≌△EAF（AAS）；
∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，
∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，
∵EF⊥AB，
∴AD∥EF，
∵△ABC≌△EAF，
∴EF=AC=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
故答案为：．

点评： 此题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
　
13．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件　BO=DO　（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．


考点： 平行四边形的判定．
专题： 开放型．
分析： 根据题目条件结合平行四边形的判定方法：对角线互相平分的四边形是平行四边形分别进行分析即可．
解答： 解：∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：BO=DO．
点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．
　
14．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC上一点，连接BE并延长交AD延长线于点F，请你只添加一个条件：　BD∥FC　使得四边形BDFC为平行四边形．


考点： 平行四边形的判定．
分析： 利用两组对边互相平行的四边形是平行四边形，进而得出答案．
解答： 解：∵AD∥BC，当BD∥FC时，
∴四边形BDFC为平行四边形．
故答案为：BD∥FC．
点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
三．解答题（共16小题）
15．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点．求证：DEBC．


考点： 三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 根据D、E分别是AB、AC边的中点，得出=，即可证明△ADE∽△ABC，从而得出结论即可．
解答： 证明：∵D是AB中点E是AC中点
∴=，=，
∴=，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴==，∠ADE=∠B
∴BC=2DE，BC∥DE，
即：DEBC．
点评： 本题考查了三角形的中位线定理以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
　
16．补充完整三角形中位线定理，并加以证明：
（1）三角形中位线定理：三角形的中位线　平行于第三边，且等于第三边的一半　；
（2）已知：如图，DE是△ABC的中位线，求证：DE∥BC，DE=BC．


考点： 三角形中位线定理．
分析： （1）根据三角形的中位线定理填写即可；
（2）延长DE到F，使FE=DE，连接CF，利用“边角边”证明△ADE和△CFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠ECF，全等三角形对应边相等可得AD=CF，然后求出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可．
解答： （1）解：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；
故答案为：平行于第三边，且等于第三边的一半；

（2）证明：如图，延长DE到F，使FE=DE，连接CF，
在△ADE和△CFE中，，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠A=∠ECF，AD=CF，
∴CF∥AB，
又∵AD=BD，
∴CF=BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF∥BC，DF=BC，
∴DE∥BC，DE=BC．

点评： 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形和平行四边形．
　
17．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE=CF；
（2）求EF的长．


考点： 三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质．
分析： （1）直接利用三角形中位线定理得出DEBC，进而得出DE=FC；
（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．
解答： （1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DEBC，
∵延长BC至点F，使CF=BC，
∴DEFC，
即DE=CF；

（2）解：∵DEFC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC=EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，
∴DC=EF=．

点评： 此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理等知识，得出DEBC是解题关键．
　
18．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE=CF．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，无需说明理由．


考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析： （1）先证出OE=OF，再由SAS即可证明△BOE≌△DOF；
（2）由对角线互相平分证出四边形EBFD是平行四边形，再由对角线相等，即可得出四边形EBFD是矩形．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，∴OE=OF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（SAS）；
（2）解：四边形EBFD是矩形；理由如下：
∵OB=OD，OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BD=EF，
∴四边形EBFD是矩形．
点评： 本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、矩形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
　
19．如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由．


考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
分析： （1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO=∠FCO，由ASA即可得出结论；
（2）由△AOE≌△COF，得出对应边相等AE=CF，证出四边形AFCE是平行四边形，再由对角线EF⊥AC，即可得出四边形AFCE是菱形．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵O是OA的中点，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）解：EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形；理由如下：
∵△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
点评： 本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
　
20．在▱ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH=EH．


考点： 平行四边形的性质．
专题： 证明题．
分析： 根据平行四边形的性质和已知条件易证△EBC是等腰三角形，由等腰三角形的性质：三线合一即可证明CH=EH．
解答： 证明：∵在□ABCD中，BE∥CD，
∴∠E=∠2，
∵CE平分∠BCD，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠E，
∴BE=BC，
又∵BH⊥BC，
∴CH=EH（三线合一）．
点评： 本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质，证题的关键是得到△EBC是等腰三角形．
　
21．如图，已知点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O．
（1）请直接写出点C、D的坐标；
（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；
（3）直接写出平行四边形ABCD的面积．


考点： 平行四边形的性质；坐标与图形性质；平移的性质．
分析： （1）利用中心对称图形的性质得出C，D两点坐标；
（2）利用平行四边形的性质以及结合平移的性质得出即可；
（3）利用SABCD的可以转化为边长为；5和4的矩形面积，进而求出即可．
解答： 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD关于O中心对称，
∵A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），
∴C（4，﹣2），D（1，2）；

（2）线段AB到线段CD的变换过程是：绕点O旋转180°；

（3）由（1）得：A到y轴距离为：4，D到y轴距离为：1，
A到x轴距离为：2，B到x轴距离为：2，
∴SABCD的可以转化为边长为；5和4的矩形面积，
∴SABCD=5×4=20．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及中心对称图形的性质，根据题意得出SABCD的可以转化为矩形面积是解题关键．
　
22．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．


考点： 平行四边形的性质；角平分线的性质；勾股定理的逆定理；矩形的判定．
专题： 证明题．
分析： （1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA=∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC===5，
∴AD=BC=DF=5，
∴∠DAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠FAB，
即AF平分∠DAB．
点评： 本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．
　
23．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若∠DEB=90°，求证：四边形DEBF是矩形．


考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．
专题： 证明题．
分析： （1）由在▱ABCD中，AE=CF，可利用SAS判定△ADE≌△CBF．
（2）由在▱ABCD中，且AE=CF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DEBF是平行四边形，又由∠DEB=90°，可证得四边形DEBF是矩形．
解答： 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AE=CF，
∴BE=DF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠DEB=90°，
∴四边形DEBF是矩形．
点评： 此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意有一个角是直角的平行四边形是矩形，首先证得四边形ABCD是平行四边形是关键．
　
24．求证：平行四边形的对角线互相平分（要求：根据题意先画出图形并写出已知、求证，再写出证明过程）．

考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 首先根据题意画出图形，再写出命题的已知和求证，最后通过证明三角形全等即可证明命题是正确的．
解答： 已知：平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
求证：OA=OC，OB=OD
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠1=∠2，
在△AOD和△COB中，

∴△AOD≌△COB（AAS），
∴OA=OC，OB=OD．

点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟记平行四边形的各种性质以及全等三角形的各种判定的各种方法．
　
25．如图，▱ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（6，0），D（0，3），反比例函数的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将▱ABCD向上平移，使点B恰好落在双曲线上，此时A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′，且C′D′与双曲线交于点E，求线段AA′的长及点E的坐标．


考点： 平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式．
专题： 计算题．
分析： （1）由A与B的坐标求出AB的长，根据四边形ABCD为平行四边形，求出DC的长，进而确定出C坐标，设反比例解析式为y=，把C坐标代入求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）根据平移的性质得到B与B′横坐标相同，代入反比例解析式求出B′纵坐标得到平移的距离，即为AA′的长，求出D′纵坐标，即为E纵坐标，代入反比例解析式求出E横坐标，即可确定出E坐标．
解答： 解：（1）∵▱ABCD中，A（2，0），B（6，0），D（0，3），
∴AB=CD=4，DC∥AB，
∴C（4，3），
设反比例解析式为y=，把C坐标代入得：k=12，
则反比例解析式为y=；
（2）∵B（6，0），
∴把x=6代入反比例解析式得：y=2，即B′（6，2），
∴平行四边形ABCD向上平移2个单位，即AA′=2，
∴D′（0，5），
把y=5代入反比例解析式得：x=，即E（，5）．

点评： 此题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
　
26．如图，在平行四边形ABCD中，若AB=6，AD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．


考点： 平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质．
分析： 首先根据平行四边形的性质可得AB=DC=6，AD=BC=10，AB∥DC，再根据平行线的性质与角平分线的性质证明∠2=∠3，根据等角对等边可得BC=CF=10，再用CF﹣CD即可算出DF的长．
解答： 解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=DC=6，AD=BC=10，AB∥DC．
∵AB∥DC，
∴∠1=∠3，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴BC=CF=10，
∴DF=CF﹣DC=10﹣6=4．

点评： 此题主要考查了平行线的性质，以及平行线的性质，关键是证明∠2=∠3推出BC=CF．
　
27．如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上的两点，且AE=CF，连接DE、BF，
（1）写出图中所有的全等三角形；
（2）求证：DE∥BF．


考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析： （1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD=CB，AB∥CD，AD∥CB，证出内错角相等∠BAF=∠DCE，∠DAE=∠BCF，由SSS证明△ABC≌△CDA；由SAS证明△ABF≌△CDE；由SAS证明△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）由△ABF≌△△CDE，得出对应角相等∠AFB=∠CED，即可证出DE∥BF．．
解答： （1）解：△ABC≌△CDA，△ABF≌△△CDE，△ADE≌△CBF；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=CB，AB∥CD，AD∥CB，
∴∠BAF=∠DCE，∠DAE=∠BCF，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SSS）；
∵AE=CF，
∴AF=CE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS）；
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）证明：∵△ABF≌△△CDE，
∴∠AFB=∠CED，
∴DE∥BF．
点评： 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
　
28．如图，△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF=AB，连接EF，判断四边形ADEF的形状，并加以证明．


考点： 平行四边形的判定；三角形中位线定理．
分析： 根据三角形中位线的性质可得DE∥BF，DE=AB，再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形ADEF的形状．
解答： 解：∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴DE∥BF，DE=AB，
∵AF=AB，
∴DE=AF，
∴四边形ADEF是平行四边形．
点评： 本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
　
29．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE=　4　 时，四边形BFCE是菱形．


考点： 平行四边形的判定；菱形的判定．
分析： （1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易证得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四边形BFCE是平行四边形；
（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，根据菱形的性质即可得到结果．
解答： （1）证明：∵AB=DC，
∴AC=DF，
在△AEC和△DFB中
，
∴△AEC≌△DFB（SAS），
∴BF=EC，∠ACE=∠DBF
∴EC∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形；

（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，
∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，
∴BC=10﹣3﹣3=4，
∵∠EBD=60°，
∴BE=BC=4，
∴当BE=4 时，四边形BFCE是菱形，
故答案为：4．
点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
　
30．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE．
求证：四边形ABCD为平行四边形．


考点： 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 首先证明△AEB≌△CFD可得AB=CD，再由条件AB∥CD可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD为平行四边形．
解答： 证明：∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵DF∥BE，
∴∠DFA=∠BEC，
∴∠AEB=∠DFC，
在△AEB和△CFD中，
∴△AEB≌△CFD（ASA），
∴AB=CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
　

1．如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①当AE=　3.5　cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE=　2　cm时，四边形CEDF是菱形．
（直接写出答案，不需要说明理由）


考点： 平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定．
专题： 动点型．
分析： （1）证△CFG≌△EDG，推出FG=EG，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）①求出△MBA≌△EDC，推出∠CED=∠AMB=90°，根据矩形的判定推出即可；
②求出△CDE是等边三角形，推出CE=DE，根据菱形的判定推出即可．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥ED，
∴∠FCG=∠EDG，
∵G是CD的中点，
∴CG=DG，
在△FCG和△EDG中，
，
∴△FCG≌△EDG（ASA）
∴FG=EG，
∵CG=DG，
∴四边形CEDF是平行四边形；

（2）①解：当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形，
理由是：过A作AM⊥BC于M，
∵∠B=60°，AB=3，
∴BM=1.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，
∵AE=3.5，
∴DE=1.5=BM，
在△MBA和△EDC中，
，
∴△MBA≌△EDC（SAS），
∴∠CED=∠AMB=90°，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是矩形，
故答案为：3.5；

②当AE=2时，四边形CEDF是菱形，
理由是：∵AD=5，AE=2，
∴DE=3，
∵CD=3，∠CDE=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE=DE，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是菱形，
故答案为：2．


点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
　
2．如图1，▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）如图2，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD除外）．


考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
分析： （1）由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，根据平行四边形的性质得到∠EAO=∠FCO，证出△OAE≌△OCF，得到OE=OF，同理OG=OH，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到结论；
（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到结论．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△OAE与△OCF中，
∴△OAE≌△OCF，
∴OE=OF，
同理OG=OH，
∴四边形EGFH是平行四边形；

（2）解：与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有▱GBCH，▱ABFE，▱EFCD，▱EGFH；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵EF∥AB，GH∥BC，
∴四边形GBCH，ABFE，EFCD，EGFH为平行四边形，
∵EF过点O，GH过点O，
∵OE=OF，OG=OH，
∴▱GBCH，▱ABFE，▱EFCD，▱EGFH，▱ACHD它们面积=▱ABCDA的面积，
∴与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有▱GBCH，▱ABFE，▱EFCD，▱EGFH．
点评： 本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
　
3．如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．
（1）求证：四边形BCED′是平行四边形；
（2）若BE平分∠ABC，求证：AB2=AE2+BE2．


考点： 平行四边形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．
专题： 证明题．
分析： （1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形，进而求出四边形BCED′是平行四边形；
（2）利用平行线的性质结合勾股定理得出答案．
解答： 证明：（1）∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，
∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，
∵DE∥AD′，
∴∠DEA=∠EAD′，
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，
∴∠DAD′=∠DED′，
∴四边形DAD′E是平行四边形，
∴DE=AD′，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABDC，
∴CED′B，
∴四边形BCED′是平行四边形；

（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠EBA，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵∠DAE=∠BAE，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AB2=AE2+BE2．

点评： 此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，得出四边形DAD′E是平行四边形是解题关键．
　
4．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．
（1）求证：四边形EBFD为平行四边形；
（2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM．


考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： （1）根据平行四边形的性质：平行四边的对边相等，可得AB∥CD，AB=CD；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；
（2）根据平行四边的性质：平行四边形的对边相等，可得AB∥CD，AB=CD，∠CDM=∠CFN；根据全等三角形的判定，可得答案．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE=DF，
∵BE∥DF，
∴四边形EBFD为平行四边形；
（2）证明：∵四边形EBFD为平行四边形，
∴DE∥BF，
∴∠CDM=∠CFN．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴∠BAC=∠DCA，∠ABN=∠CFN，
∴∠ABN=∠CDM，
在△ABN与△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM （ASA）．
点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定，根据条件选择适当的判定方法是解题关键．
　
5．如图，▱ABCD中，点E，F在直线AC上（点E在F左侧），BE∥DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB=4，BC=2，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．


考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
分析： （1）通过全等三角形△BEC≌△DFA的对应边相等推知BE=DF，则结合已知条件证得结论；
（2）根据矩形的性质计算即可．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAF=∠BCE．
又∵BE∥DF，
∴∠BEC=∠DFA．
在△BEC与△DFA中，
，
∴△BEC≌△DFA（AAS），
∴BE=DF．
又∵BE∥DF，
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）连接BD，BD与AC相交于点O，如图：

∵AB⊥AC，AB=4，BC=2，
∴AC=6，
∴AO=3，
∴Rt△BAO中，BO=5，
∵四边形BEDF是矩形，
∴OE=OB=5，
∴点E在OA的延长线上，且AE=2．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
　
6．如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．


考点： 平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．
分析： （1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；
（2）分①BC=BD时，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；②BC=CD时，过点C作CG⊥AF于G，判断出四边形AGCB是矩形，再根据矩形的对边相等可得AG=BC=3，然后求出DG=2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解；③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾．
解答： （1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE=∠DFE，
在△BEC与△FED中，
，
∴△BEC≌△FED，
∴BE=FE，
又∵E是边CD的中点，
∴CE=DE，
∴四边形BDFC是平行四边形；

（2）①BC=BD=3时，由勾股定理得，AB===2，
所以，四边形BDFC的面积=3×2=6；
②BC=CD=3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，
所以，AG=BC=3，
所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，
由勾股定理得，CG===，
所以，四边形BDFC的面积=3×=3；
③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成了；
综上所述，四边形BDFC的面积是6或3．

点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．
　
7．如图，▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证：
（1）AE=CF；
（2）四边形AECF是平行四边形．


考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，然后可证明∠ABE=∠CDF，再利用SAS来判定△ABE≌△DCF，从而得出AE=CF．
（2）首先根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠CFD，根据等角的补角相等可得∠AEF=∠CFE，然后证明AE∥CF，从而可得四边形AECF是平行四边形．
解答： 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
∴AE=CF．

（2）∵△ABE≌△DCF，
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
　
8．如图，将▱ABCD的AD边延长至点E，使DE=AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB=3，AD=4，∠A=60°，求CE的长．


考点： 平行四边形的判定与性质．
分析： （1）利用平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，进而利用已知得出DE=FC，DE∥FC，进而得出答案；
（2）首先过点D作DN⊥BC于点N，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出DF的长，进而得出答案．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=AD，F是BC边的中点，
∴DE=FC，DE∥FC，
∴四边形CEDF是平行四边形；

（2）解：过点D作DN⊥BC于点N，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=60°，
∴∠BCD=∠A=60°，
∵AB=3，AD=4，
∴FC=2，NC=DC=，DN=，
∴FN=，则DF=EC==．

点评： 此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键．
　
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．
（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？
（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？


考点： 平行四边形的判定与性质；勾股定理的逆定理；直角梯形．
专题： 动点型．
分析： （1）已知AD∥BC，添加PD=CQ即可判断以PQDC为顶点的四边形是平行四边形．
（2）点P处可能为直角，点Q处也可能是直角，而后求解即可．
解答： 解：（1）当PQ∥CD时，四边形PDCB是平行四边形，
此时PD=QC，
∴12﹣2t=t，
∴t=4．
∴当t=4时，四边形PQDC是平行四边形．

（2）过P点，作PE⊥BC于E，DF⊥BC，
∴DF=AB=8．
FC=BC﹣AD=18﹣12=6．
①当PQ⊥BC，
则BE+CE=18．即：2t+t=18，
∴t=6；
②当QP⊥PC，
∴PE=4，CE=3+t，QE=12﹣2t﹣（3+t）=9﹣3t，
∴16=（3+t）（9﹣3t），
解得：t=，
③情形：当PC⊥BC时，因∠DCB＜90°，此种情形不存在．
∴当t=3或时，△PQC是直角三角形．

点评： 此题主要考查了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形以及圆与圆的位置关系等知识，注意分情况讨论和常见知识的应用．
　
10．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．


考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
专题： 证明题．
分析： （1）由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用ASA即可得证；
（2）过D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到AD=2DH，在直角三角形DEB中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到EB=2DH，易得四边形EBFD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到EB=DF，等量代换即可得证．
解答： 证明：（1）∵平行四边形ABCD，
∴AD=CB，∠A=∠C，AD∥CB，
∴∠ADB=∠CBD，
∵ED⊥DB，FB⊥BD，
∴∠EDB=∠FBD=90°，
∴∠ADE=∠CBF，
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB（ASA）；
（2）作DH⊥AB，垂足为H，
在Rt△ADH中，∠A=30°，
∴AD=2DH，
在Rt△DEB中，∠DEB=45°，
∴EB=2DH，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴FD=EB，
∴DA=DF．

点评： 此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．