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巩固练习_基础_等差数列及其前n项和
展开【巩固练习】
一、选择题
1.在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=( )
A. 5 B.8 C. 10 D. 14
2.数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列( )
A.是公差为2的递增等差数列 B.是公差为5的递增等差数列
C.是首项为7的递减等差数列 D.是公差为2的递减等差数列
3.已知{an}是等差数列,a3+a11=40,则a6-a7+a8等于( )
A.20 B.48
C.60 D.72
4.(2016年全国Ⅰ高考)已知等差数列前9项的和为27,,则
A.100 B.99 C.98 D.97
5.(2015 新课标Ⅱ) 设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )
A.5 B.7 C.9 D.11
6. 设Sn是等差数列{an}的前n项和,若,则等于( )
A. B.
C. D.
二、填空题
7. 若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n= 时,{an}的前n项和最大.
8.在公差d=的等差数列{an}中,已知S100=145,则a1+a3+a5+……+a99的值为_____.
9.把20分成四个数成等差数列,使第一项与第四项的积同第二项与第三项的积的比为2∶3,则这四个数从小到大依次为____________.
10.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5<ak<8,则k=________.
11. 在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=________.
三、解答题
12.在等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8.
13.已知数列{an}是等差数列,令,求证:{bn}也是等差数列.
14.已知等差数列{an}满足,Sp=q,Sq=p,(p≠q),求Sp+q.
15.已知等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,求Sn何时取最小值.
16. (2016 全国II卷高考)等差数列{}中,.
(Ⅰ)求{}的通项公式;
(Ⅱ) 设,求数列的前10项和,其中表示不超过的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
【答案与解析】
1.答案:B
解析:∵等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10
∴2+2d+2+4d=10,解得d=1,
∴a7=2+6×1=8.
故选:B.
2. 答案: A
解析: ∵an-an-1=(2n+5)-[2(n-1)+5]=2(n≥2),
∴{an}是公差为2的递增等差数列.
3. 答案: A
解析: ∵a6+a8=2a7,
又a3+a11=2a7=40.∴a7=20.
∴a6-a7+a8=2a7-a7=a7=20,故选A.
4. 答案: C
解析:由已知,所以故选C.
5. 答案: A
解析:,.故选A.
6. 答案: A
解析: 设S3=m,∵,
∴S6=3m,∴S6-S3=2m,
由等差数列依次每k项之和仍为等差数列,
得S3=m,S6-S3=2m,S9-S6=3m,S12-S9=4m,
∴S6=3m,S12=10m,
∴,故选A.
7.答案:8
解析:由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8>0,
∴a8>0,又a7+a10=a8+a9<0,∴a9<0,
∴等差数列{an}的前8项为正数,从第9项开始为负数,
∴等差数列{an}的前8项和最大,
故答案为:8.
8. 答案60;
解析:设,
,
由题有
故B=(145-50d)×=60.
9. 答案2,4,6,8;
解析:设这四个数依次为:x-3d, x-d, x+d, x+3d.易知x=5,d=1或-1
10. 答案: 8
解析: 由Sn=n2-9n,得此数列为等差数列,计算得an=2n-10,由5<2k-10<8,得7.5<k<9,故k=8.
11. 答案: 13
解析: 由已知得,解得,
所以a6=a1+5d=13.
12. 解析:
解法一:统一成关于a1,n,d的表达式.
设{an}的首项和公差分别为a1和d,则
a3+a4+a5+a6+a7=5a1+20d=450
.
解法二:am+an=ap+aqm+n=p+q
由等差数列的性质可知
a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5
∴.
13.证明:
设{an}公差为d,则
=(an+2+an+1)·d-(an+1+an)·d
=d·[(an+2+an+1)-(an+1+an)]
=d·(an+2-an)
=d·2d
=2d2
∵2d2是与n无关常数
∴{bn}是等差数列.
14.解析:
①
②
①-②得
即
p≠q,∴
15.解析:
S12-S9=a10+a11+a12=0 ∴3a1+30d=0 ∴a1=-10d,a1<0,∴d>0
,d>0,
∴是开口向上的二次函数且
∴的图象对称轴为,∴
又n∈N*,故n=10或11时Sn最小
∴S10和S11最小.
16. 解析:(Ⅰ)设数列的公差为d,由题意有,解得,
所以的通项公式为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
当1,2,3时,;
当4,5时,;
当6,7,8时,;
当9,10时,,
所以数列的前10项和为.
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