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2020年江西省中等学校中考数学第二次模拟测试试卷 含解析
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这是一份2020年江西省中等学校中考数学第二次模拟测试试卷 含解析，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年中考数学第二次模拟试卷
一、选择题
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣ B．﹣3 C． D．3
2．一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2 B．（a+2b）2＝a2+4b2
C．a2•a3＝a6 D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6
4．下列说法正确的是（ ）
A．要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用普查方式
B．一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4
C．必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1
D．若甲组数据的方差s甲2＝0.128，乙组数据的方差s乙2＝0.036，则甲组数据更稳定
5．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y＝（x＞0）的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，若△OAB的面积为3，则k的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
6．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是（ ）
A． B．﹣1 C． D．
二、填空题（共6小题）
7．分解因式：a3﹣a＝ ．
8．中国“神威•太湖之光”计算机最高运行速度为1250 000 000亿次/秒，将数1250 000 000用科学记数法可表示为 ．
9．若x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，则x12x2+x1x22的值是 ．
10．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为x，乙持钱数为y，可列方程组为 ．
11．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为 ．
12．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中点，P在射线BD上运动，若△BEP为等腰三角形，则线段BP的长度等于 ．
三、解答题（共5小题）
13．（1）计算：（）﹣1﹣（2020﹣π）0+2sin30°．
（2）如图，AB与CD相交于点E，AE＝CE，DE＝BE．求证：∠A＝∠C．
14．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
15．甲、乙、丙三人玩“丢飞碟”游戏，飞碟从一人传到另一人记为丢一次．
（1）下列事件是必然事件的是
A．丢三次，每人都一次接到飞碟
B．丢两次乙两次接到飞碟
C．丢四次三人中至少有一人两次接到飞碟
D．丢三次三人中每人至少一次接到飞碟
（2）若从乙开始，丢两次后，飞碟传到丙处的概率是多少？（用树状图说明）
16．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．求证：
（1）点D在BE的垂直平分线上；
（2）∠BEC＝3∠ABE．
17．图①、图②都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点O，M，N，A，B均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．
（1）在图①中，画出∠MON的平分线OP；
（2）在图②中，画一个Rt△ABC，使点C在格点上．
四、解答题（共3小题）
18．为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示．
大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表
一周诗词诵背数量
3首
4首
5首
6首
7首
8首
人数
10
10
15
40
25
20
请根据调查的信息分析：
（1）活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为 ；
（2）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数；
（3）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果．
19．如图是一个桌面会议话筒示意图，中间BC部分是一段可弯曲的软管，在弯曲时可形成一段圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，线段AB，CD均与圆弧相切，点B，C分别为切点，已知AB的长10cm，CD的长为25.2cm．
（1）如图①，若话筒弯曲后CD与桌面AM平行，此时CD距离桌面14cm，求弧BC的长度（结果保留π）；
（2）如图②，若话筒弯曲后弧BC所对的圆心角度数为60°，求话筒顶端D到桌面AM的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：≈1.73）
20．如图1，直线y＝﹣2x+4交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y＝（x＜0）于C点，△AOC的面积为6．
（1）求双曲线的解析式．
（2）如图2，D为双曲线y＝（x＜0）上一点，连结CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得线段DE，点E恰好落在x轴上，求点E的坐标．
五、解答题（共2小题）
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．
22．某数学兴趣小组在探究函数y＝|x2﹣4x+3|的图象和性质时经历以下几个学习过程：
（Ⅰ）列表（完成以下表格）．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y1＝x2﹣4x+3
…
15
8
0
0
3
15
…
y＝|x2﹣4x+3|
…
15
8
0
0
3
15
…
（Ⅱ）描点并画出函数图象草图（在备用图①中描点并画图）．
（Ⅲ）根据图象解决以下问题：
（1）观察图象：函数y＝|x2﹣4x+3|的图象可由函数y1＝x2﹣4x+3的图象如何变化得到？
答： ．
（2）数学小组探究发现直线y＝8与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象交于点E，F，E（﹣1，8），F（5，8），则不等式|x2﹣4x+3|＞8的解集是 ．
（3）设函数y＝|x2﹣4x+3|的图象与x轴交于A，B两点（B位于A的右侧），与y轴交于点C．
①求直线BC的解析式；
②探究应用：将直线BC沿y轴平移m个单位长度后与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点，求此时m的值．
六、解答题（共12分）
23．问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，则：AC＝AB．
探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．
（1）如图1，连接AB边上中线CP，由于CP＝AB，易得结论：①△ACP为等边三角形；②BP与CP之间的数量关系为 ；
（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明；
（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论 ；
拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣3，），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．
参考答案
一、选择题（共6小题）
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣ B．﹣3 C． D．3
解：﹣3的绝对值是3．
故选：D．
2．一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
解：几何体的俯视图是：
故选：C．
3．下列运算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2 B．（a+2b）2＝a2+4b2
C．a2•a3＝a6 D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6
解：A、2a+3a＝5a，故此选项错误；
B、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故此选项错误；
C、a2•a3＝a5，故此选项错误；
D、（﹣ab2）3＝﹣a3b6，正确．
故选：D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用普查方式
B．一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4
C．必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1
D．若甲组数据的方差s甲2＝0.128，乙组数据的方差s乙2＝0.036，则甲组数据更稳定
解：A、要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用抽查的方式，故原说法错误；
B、一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4.5，故此选项错误；
C、必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1，正确；
D、若甲组数据的方差s甲2＝0.128，乙组数据的方差s乙2＝0.036，则乙组数据更稳定，故原说法错误；
故选：C．
5．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y＝（x＞0）的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，若△OAB的面积为3，则k的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
解：连接OC，如图，
∵BA⊥x轴于点A，C是线段AB的中点，
∴S△AOC＝S△OAB＝，
而S△AOC＝|k|，
∴|k|＝，
而k＞0，
∴k＝3．
故选：D．
6．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是（ ）
A． B．﹣1 C． D．
解：连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图：
由折叠可知点P、H、F、M四点共线，且PH＝MF，
设正方形ABCD的边长为2a，
则正方形ABCD的面积为4a2，
∵若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等
∴由折叠可知正方形EFGH的面积＝×正方形ABCD的面积＝，
∴正方形EFGH的边长GF＝＝
∴HF＝GF＝
∴MF＝PH＝＝a
∴＝a÷＝
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
7．分解因式：a3﹣a＝ a（a+1）（a﹣1） ．
解：a3﹣a，
＝a（a2﹣1），
＝a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
8．中国“神威•太湖之光”计算机最高运行速度为1250 000 000亿次/秒，将数1250 000 000用科学记数法可表示为 1.25×109 ．
解：将数1250 000 000用科学记数法可表示为1.25×109．
故答案为：1.25×109．
9．若x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，则x12x2+x1x22的值是 15 ．
解：
∵x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣5，
∴x12x2+x1x22＝x1x2（x1+x2）＝﹣5×（﹣3）＝15，
故答案为：15．
10．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为x，乙持钱数为y，可列方程组为 ．
解：由题意可得，
，
故答案为：．
11．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为 （﹣2，6） ．
解：连接OB1，作B1H⊥OA于H，
由题意得，OA＝6，AB＝OC＝2，
则tan∠BOA＝＝，
∴∠BOA＝30°，
∴∠OBA＝60°，
由旋转的性质可知，∠B1OB＝∠BOA＝30°，
∴∴∠B1OH＝60°，
在△AOB和△HB1O，
，
∴△AOB≌△HB1O，
∴B1H＝OA＝6，OH＝AB＝2，
∴点B1的坐标为（﹣2，6），
故答案为：（﹣2，6）．
12．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中点，P在射线BD上运动，若△BEP为等腰三角形，则线段BP的长度等于 或或 ．
解：∵矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中点，
∴∠BAD＝90°，AE＝DE＝1，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝．
若△BEP为等腰三角形，则分三种情况：
①当BP＝BE时，显然BP＝；
②当PB＝PE时，如图，连结AP．
∵PB＝PE，AB＝AE，
∴AP垂直平分BE，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAP＝∠EAP＝45°．
作PM⊥AB于M，设PM＝x，
∵S△ABD＝S△ABP+S△APD
∴×1•x+×2•x＝×1×2，
解得x＝，
∴PM＝，
∴BP＝＝＝；
③当EB＝EP时，如图，过A作AF⊥BD于F，过E作EG⊥BD于G．
在Rt△ABF中，AF＝AB•sin∠ABF＝1×＝，
∵AE＝ED，EG∥AF，
∴EG＝AF＝．
在Rt△BEG中，∵BE＝，EG＝，
∴BG＝＝．
∵EB＝EP，EG⊥BP，
∴BP＝2BG＝．
综上所述，线段BP的长度等于或或．
故答案为或或．
三、（共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：（）﹣1﹣（2020﹣π）0+2sin30°．
（2）如图，AB与CD相交于点E，AE＝CE，DE＝BE．求证：∠A＝∠C．
解：（1）原式＝2﹣1+2×
＝2﹣1+1
＝2．
（2）在△AED和△CEB中
∵
∴△AED≌△CEB（SAS），
∴∠A＝∠C．
14．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：
解不等式①，得：x≥1；
解不等式②，得：x＜2；
∴原不等式组的解集是1≤x＜2．
．
15．甲、乙、丙三人玩“丢飞碟”游戏，飞碟从一人传到另一人记为丢一次．
（1）下列事件是必然事件的是 C
A．丢三次，每人都一次接到飞碟
B．丢两次乙两次接到飞碟
C．丢四次三人中至少有一人两次接到飞碟
D．丢三次三人中每人至少一次接到飞碟
（2）若从乙开始，丢两次后，飞碟传到丙处的概率是多少？（用树状图说明）
解：（1）下列事件是必然事件的是：丢四次三人中至少有一人两次接到飞碟，
故答案为：C；
（2）画树状图如下：
丢两次后，飞碟传到丙处的概率是．
16．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．求证：
（1）点D在BE的垂直平分线上；
（2）∠BEC＝3∠ABE．
解：（1）连接DE，
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵BE是AC边上的中线，
∴AE＝CE，
∴DE＝CE，
∵BD＝CE，
∴BD＝DE，
∴点D在BE的垂直平分线上；
（2）∵DE＝AE，
∴∠A＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB，
∵BD＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE，
∵∠BEC＝∠A+∠ABE，
∴∠BEC＝3∠ABE．
17．图①、图②都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点O，M，N，A，B均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．
（1）在图①中，画出∠MON的平分线OP；
（2）在图②中，画一个Rt△ABC，使点C在格点上．
解：（1）如图所示，射线OP即为所求．
（2）如图所示，点C即为所求；
四、（共3小题，每小题8分，共24分）
18．为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示．
大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表
一周诗词诵背数量
3首
4首
5首
6首
7首
8首
人数
10
10
15
40
25
20
请根据调查的信息分析：
（1）活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为 4.5首 ；
（2）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数；
（3）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果．
解：（1）本次调查的学生有：20÷＝120（名），
背诵4首的有：120﹣15﹣20﹣16﹣13﹣11＝45（人），
∵15+45＝60，
∴这组数据的中位数是：（4+5）÷2＝4.5（首），
故答案为：4.5首；
（2）大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有：1200×＝850（人），
答：大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有850人；
（3）活动启动之初的中位数是4.5首，众数是4首，
大赛比赛后一个月时的中位数是6首，众数是6首，
由比赛前后的中位数和众数看，比赛后学生背诵诗词的积极性明显提高，这次举办后的效果比较理想．
19．如图是一个桌面会议话筒示意图，中间BC部分是一段可弯曲的软管，在弯曲时可形成一段圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，线段AB，CD均与圆弧相切，点B，C分别为切点，已知AB的长10cm，CD的长为25.2cm．
（1）如图①，若话筒弯曲后CD与桌面AM平行，此时CD距离桌面14cm，求弧BC的长度（结果保留π）；
（2）如图②，若话筒弯曲后弧BC所对的圆心角度数为60°，求话筒顶端D到桌面AM的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：≈1.73）
解：（1）如图①，
∵线段AB，CD均与圆弧相切，
∴OB⊥AB，OC⊥CD，
∴CD∥OB∥AM，
∴∠BOC＝∠OCD＝90°．
∵CD距离桌面14 cm，AB的长为10 cm，
∴半径OC为4 cm．
∴弧BC的长度为＝2π（cm）．
（2）如图②，
过点C作CN⊥DM于点N，
得矩形CGHN，则CN∥OB．
∴∠OCN＝∠BOC＝60°．
∵∠OCD＝90°，
∴∠NCD＝30°，
∴DN＝CD＝×25.2＝12.6（cm）．
过点C作CG⊥OB于点G．
∵弧BC的长度为2πcm，
∴2π＝．
∴OB＝OC＝6 cm，
∴CG＝OC•sin60°＝6×＝3≈5.2（cm）．
∴DM＝DN+CG+AB＝12.6+5.2+10＝27.8（cm）．
故话筒顶端D到桌面AM的距离是27.8 cm．
20．如图1，直线y＝﹣2x+4交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y＝（x＜0）于C点，△AOC的面积为6．
（1）求双曲线的解析式．
（2）如图2，D为双曲线y＝（x＜0）上一点，连结CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得线段DE，点E恰好落在x轴上，求点E的坐标．
解：（1）过C作CH⊥x轴于H，
直线y＝﹣2x+4中，令y＝0，则x＝2，
∴A（2，0），即AO＝2，
∵△AOC的面积为6，
∴×AO×CH＝6，
∴×2×CH＝6，
∴CH＝6，即点C的纵坐标为6，
直线y＝﹣2x+4中，当y＝6时，6＝﹣2x+4，
解得x＝﹣1，
∴C（﹣1，6），
代入y＝（x＜0）可得，k＝﹣1×6＝﹣6，
∴双曲线的解析式为y＝﹣；
（2）过点D作DF⊥x轴于F，过C作CG⊥DF于G，则∠G＝∠DFE＝90°，
由旋转可得，CD＝DE，∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠DEF，
在△DCG和△EDF中，
，
∴△DCG≌△EDF（AAS），
∴CG＝DF，DG＝EF，
设D（a，﹣），则DF＝﹣，FO＝﹣a，
∵C（﹣1，6），
∴CG＝﹣1﹣a，
∴DF＝﹣1﹣a，
∴﹣＝﹣1﹣a，
解得a＝﹣3或a＝2（舍去），
∴DF＝﹣1+3＝2，DG＝GF﹣DF＝6﹣2＝4，
∴EF＝4，
又∵FO＝3，
∴OE＝4﹣3＝1，
∴E（1，0）．
五、（共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．
【解答】（1）证明：作OH⊥AC于H，如图，
∵AB＝AC，AO⊥BC于点O，
∴AO平分∠BAC，
∵OE⊥AB，OH⊥AC，
∴OH＝OE，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵点F是AO的中点，
∴AO＝2OF＝6，
而OE＝3，
∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，
∴AE＝OE＝3，
∴图中阴影部分的面积＝S△AOE﹣S扇形EOF＝×3×3﹣＝；
（3）解：作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，
∵PF＝PF′，
∴PE+PF＝PE+PF′＝EF′，此时EP+FP最小，
∵OF′＝OF＝OE，
∴∠F′＝∠OEF′，
而∠AOE＝∠F′+∠OEF′＝60°，
∴∠F′＝30°，
∴∠F′＝∠EAF′，
∴EF′＝EA＝3，
即PE+PF最小值为3，
在Rt△OPF′中，OP＝OF′＝，
在Rt△ABO中，OB＝OA＝×6＝2，
∴BP＝2﹣＝，
即当PE+PF取最小值时，BP的长为．
22．某数学兴趣小组在探究函数y＝|x2﹣4x+3|的图象和性质时经历以下几个学习过程：
（Ⅰ）列表（完成以下表格）．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y1＝x2﹣4x+3
…
15
8
3
0
0
3
8
15
…
y＝|x2﹣4x+3|
…
15
8
3
0
0
3
8
15
…
（Ⅱ）描点并画出函数图象草图（在备用图①中描点并画图）．
（Ⅲ）根据图象解决以下问题：
（1）观察图象：函数y＝|x2﹣4x+3|的图象可由函数y1＝x2﹣4x+3的图象如何变化得到？
答： x轴下方图象关于x轴对称，x轴上方图象不变 ．
（2）数学小组探究发现直线y＝8与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象交于点E，F，E（﹣1，8），F（5，8），则不等式|x2﹣4x+3|＞8的解集是 x＞5或x＜﹣1 ．
（3）设函数y＝|x2﹣4x+3|的图象与x轴交于A，B两点（B位于A的右侧），与y轴交于点C．
①求直线BC的解析式；
②探究应用：将直线BC沿y轴平移m个单位长度后与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点，求此时m的值．
【解答】I解：（Ⅰ）列表（完成表格）
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y1＝x2﹣4x+3
…
15
8
3
0
﹣1
0
3
8
15
…
y＝|x2﹣4x+3|
…
15
8
3
0
1
0
3
8
15
…
（Ⅱ）描点并画图．
（Ⅲ）（1）y＝|x2﹣4x+3|的图象可由函数y1＝x2﹣4x+3将x轴下方图象关于x轴对称，x轴上方图象不变得到；
故答案为x轴下方图象关于x轴对称，x轴上方图象不变；
（2）结合图象，|x2﹣4x+3|＞8时，y＝|x2﹣4x+3|图象在y＝8的上方，
∴解集是x＞5或x＜﹣1；
故答案为x＞5或x＜﹣1
（3）①令x＝0，则y＝|x2﹣4x+3|＝3，
令y＝0，则y＝|x2﹣4x+3|＝0，解得x＝1或3，
∴A（1，0），B（3，0），C（0，3），
∴设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则
∴
∴y＝﹣x+3；
②直线BC过（0，3），（2，1）和（3，0）三个点，如图所示，
此时，直线BC与y＝|x2﹣4x+3|的图象只有3个交点，
∴m＝0．
设直线BC向上平移后的直线为y＝﹣x+3+m，
∵平移后的直线与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点，
∴直线BC只能向上平移，且直线y＝﹣x+3+m和y＝﹣x2+4x﹣3有且只有一个交点，
则只有一个解，
于是，消去y得x2﹣5x+6+m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝1﹣4m＝0，
∴m＝．
综上所述，m＝0或m＝时将直线BC沿y轴平移m个单位长度后与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点．
六、（共12分）
23．问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，则：AC＝AB．
探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．
（1）如图1，连接AB边上中线CP，由于CP＝AB，易得结论：①△ACP为等边三角形；②BP与CP之间的数量关系为 BP＝CP ；
（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明；
（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论 BE＝DE ；
拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣3，），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．
解：（1）如图1中，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵PA＝PB，
∴PC＝PA＝PB，
∴△PAC是等边三角形，
故答案为CP＝PB．
（2）结论：ED＝EB．
理由：如图2中，连接PE．
∵△ACP，△ADE都是等边三角形，
∴AC＝AD＝DE，AD＝AE，∠CAP＝∠DAE＝60°，
∴∠CAD＝∠PAE，
∴△CAD≌△PAE（SAS）
∴∠ACD＝∠APE＝90°，
∴EP⊥AB，
∵PA＝PB，
∴EA＝EB，∵DE＝AE，
∴ED＝EB．
（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，同法可证ED＝EB．
故答案为ED＝EB．
拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA．
∵A（﹣3，），
∴∠AOH＝30°，
由（2）可知，CO＝CB，
∵CF⊥OB，
∴OF＝FB＝，
∴可以假设C（，n），
∵OC＝BC＝AB，
∴（）2+n2＝（）2+（3+2）2，
∴n＝3+2，
∴C（，3+2）．
2020年中考数学第二次模拟试卷
一、选择题
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣ B．﹣3 C． D．3
2．一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2 B．（a+2b）2＝a2+4b2
C．a2•a3＝a6 D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6
4．下列说法正确的是（ ）
A．要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用普查方式
B．一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4
C．必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1
D．若甲组数据的方差s甲2＝0.128，乙组数据的方差s乙2＝0.036，则甲组数据更稳定
5．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y＝（x＞0）的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，若△OAB的面积为3，则k的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
6．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是（ ）
A． B．﹣1 C． D．
二、填空题（共6小题）
7．分解因式：a3﹣a＝ ．
8．中国“神威•太湖之光”计算机最高运行速度为1250 000 000亿次/秒，将数1250 000 000用科学记数法可表示为 ．
9．若x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，则x12x2+x1x22的值是 ．
10．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为x，乙持钱数为y，可列方程组为 ．
11．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为 ．
12．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中点，P在射线BD上运动，若△BEP为等腰三角形，则线段BP的长度等于 ．
三、解答题（共5小题）
13．（1）计算：（）﹣1﹣（2020﹣π）0+2sin30°．
（2）如图，AB与CD相交于点E，AE＝CE，DE＝BE．求证：∠A＝∠C．
14．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
15．甲、乙、丙三人玩“丢飞碟”游戏，飞碟从一人传到另一人记为丢一次．
（1）下列事件是必然事件的是
A．丢三次，每人都一次接到飞碟
B．丢两次乙两次接到飞碟
C．丢四次三人中至少有一人两次接到飞碟
D．丢三次三人中每人至少一次接到飞碟
（2）若从乙开始，丢两次后，飞碟传到丙处的概率是多少？（用树状图说明）
16．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．求证：
（1）点D在BE的垂直平分线上；
（2）∠BEC＝3∠ABE．
17．图①、图②都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点O，M，N，A，B均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．
（1）在图①中，画出∠MON的平分线OP；
（2）在图②中，画一个Rt△ABC，使点C在格点上．
四、解答题（共3小题）
18．为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示．
大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表
一周诗词诵背数量
3首
4首
5首
6首
7首
8首
人数
10
10
15
40
25
20
请根据调查的信息分析：
（1）活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为 ；
（2）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数；
（3）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果．
19．如图是一个桌面会议话筒示意图，中间BC部分是一段可弯曲的软管，在弯曲时可形成一段圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，线段AB，CD均与圆弧相切，点B，C分别为切点，已知AB的长10cm，CD的长为25.2cm．
（1）如图①，若话筒弯曲后CD与桌面AM平行，此时CD距离桌面14cm，求弧BC的长度（结果保留π）；
（2）如图②，若话筒弯曲后弧BC所对的圆心角度数为60°，求话筒顶端D到桌面AM的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：≈1.73）
20．如图1，直线y＝﹣2x+4交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y＝（x＜0）于C点，△AOC的面积为6．
（1）求双曲线的解析式．
（2）如图2，D为双曲线y＝（x＜0）上一点，连结CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得线段DE，点E恰好落在x轴上，求点E的坐标．
五、解答题（共2小题）
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．
22．某数学兴趣小组在探究函数y＝|x2﹣4x+3|的图象和性质时经历以下几个学习过程：
（Ⅰ）列表（完成以下表格）．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y1＝x2﹣4x+3
…
15
8
0
0
3
15
…
y＝|x2﹣4x+3|
…
15
8
0
0
3
15
…
（Ⅱ）描点并画出函数图象草图（在备用图①中描点并画图）．
（Ⅲ）根据图象解决以下问题：
（1）观察图象：函数y＝|x2﹣4x+3|的图象可由函数y1＝x2﹣4x+3的图象如何变化得到？
答： ．
（2）数学小组探究发现直线y＝8与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象交于点E，F，E（﹣1，8），F（5，8），则不等式|x2﹣4x+3|＞8的解集是 ．
（3）设函数y＝|x2﹣4x+3|的图象与x轴交于A，B两点（B位于A的右侧），与y轴交于点C．
①求直线BC的解析式；
②探究应用：将直线BC沿y轴平移m个单位长度后与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点，求此时m的值．
六、解答题（共12分）
23．问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，则：AC＝AB．
探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．
（1）如图1，连接AB边上中线CP，由于CP＝AB，易得结论：①△ACP为等边三角形；②BP与CP之间的数量关系为 ；
（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明；
（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论 ；
拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣3，），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．
参考答案
一、选择题（共6小题）
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣ B．﹣3 C． D．3
解：﹣3的绝对值是3．
故选：D．
2．一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
解：几何体的俯视图是：
故选：C．
3．下列运算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2 B．（a+2b）2＝a2+4b2
C．a2•a3＝a6 D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6
解：A、2a+3a＝5a，故此选项错误；
B、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故此选项错误；
C、a2•a3＝a5，故此选项错误；
D、（﹣ab2）3＝﹣a3b6，正确．
故选：D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用普查方式
B．一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4
C．必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1
D．若甲组数据的方差s甲2＝0.128，乙组数据的方差s乙2＝0.036，则甲组数据更稳定
解：A、要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用抽查的方式，故原说法错误；
B、一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4.5，故此选项错误；
C、必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1，正确；
D、若甲组数据的方差s甲2＝0.128，乙组数据的方差s乙2＝0.036，则乙组数据更稳定，故原说法错误；
故选：C．
5．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y＝（x＞0）的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，若△OAB的面积为3，则k的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
解：连接OC，如图，
∵BA⊥x轴于点A，C是线段AB的中点，
∴S△AOC＝S△OAB＝，
而S△AOC＝|k|，
∴|k|＝，
而k＞0，
∴k＝3．
故选：D．
6．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是（ ）
A． B．﹣1 C． D．
解：连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图：
由折叠可知点P、H、F、M四点共线，且PH＝MF，
设正方形ABCD的边长为2a，
则正方形ABCD的面积为4a2，
∵若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等
∴由折叠可知正方形EFGH的面积＝×正方形ABCD的面积＝，
∴正方形EFGH的边长GF＝＝
∴HF＝GF＝
∴MF＝PH＝＝a
∴＝a÷＝
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
7．分解因式：a3﹣a＝ a（a+1）（a﹣1） ．
解：a3﹣a，
＝a（a2﹣1），
＝a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
8．中国“神威•太湖之光”计算机最高运行速度为1250 000 000亿次/秒，将数1250 000 000用科学记数法可表示为 1.25×109 ．
解：将数1250 000 000用科学记数法可表示为1.25×109．
故答案为：1.25×109．
9．若x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，则x12x2+x1x22的值是 15 ．
解：
∵x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣5，
∴x12x2+x1x22＝x1x2（x1+x2）＝﹣5×（﹣3）＝15，
故答案为：15．
10．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为x，乙持钱数为y，可列方程组为 ．
解：由题意可得，
，
故答案为：．
11．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为 （﹣2，6） ．
解：连接OB1，作B1H⊥OA于H，
由题意得，OA＝6，AB＝OC＝2，
则tan∠BOA＝＝，
∴∠BOA＝30°，
∴∠OBA＝60°，
由旋转的性质可知，∠B1OB＝∠BOA＝30°，
∴∴∠B1OH＝60°，
在△AOB和△HB1O，
，
∴△AOB≌△HB1O，
∴B1H＝OA＝6，OH＝AB＝2，
∴点B1的坐标为（﹣2，6），
故答案为：（﹣2，6）．
12．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中点，P在射线BD上运动，若△BEP为等腰三角形，则线段BP的长度等于 或或 ．
解：∵矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中点，
∴∠BAD＝90°，AE＝DE＝1，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝．
若△BEP为等腰三角形，则分三种情况：
①当BP＝BE时，显然BP＝；
②当PB＝PE时，如图，连结AP．
∵PB＝PE，AB＝AE，
∴AP垂直平分BE，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAP＝∠EAP＝45°．
作PM⊥AB于M，设PM＝x，
∵S△ABD＝S△ABP+S△APD
∴×1•x+×2•x＝×1×2，
解得x＝，
∴PM＝，
∴BP＝＝＝；
③当EB＝EP时，如图，过A作AF⊥BD于F，过E作EG⊥BD于G．
在Rt△ABF中，AF＝AB•sin∠ABF＝1×＝，
∵AE＝ED，EG∥AF，
∴EG＝AF＝．
在Rt△BEG中，∵BE＝，EG＝，
∴BG＝＝．
∵EB＝EP，EG⊥BP，
∴BP＝2BG＝．
综上所述，线段BP的长度等于或或．
故答案为或或．
三、（共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：（）﹣1﹣（2020﹣π）0+2sin30°．
（2）如图，AB与CD相交于点E，AE＝CE，DE＝BE．求证：∠A＝∠C．
解：（1）原式＝2﹣1+2×
＝2﹣1+1
＝2．
（2）在△AED和△CEB中
∵
∴△AED≌△CEB（SAS），
∴∠A＝∠C．
14．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：
解不等式①，得：x≥1；
解不等式②，得：x＜2；
∴原不等式组的解集是1≤x＜2．
．
15．甲、乙、丙三人玩“丢飞碟”游戏，飞碟从一人传到另一人记为丢一次．
（1）下列事件是必然事件的是 C
A．丢三次，每人都一次接到飞碟
B．丢两次乙两次接到飞碟
C．丢四次三人中至少有一人两次接到飞碟
D．丢三次三人中每人至少一次接到飞碟
（2）若从乙开始，丢两次后，飞碟传到丙处的概率是多少？（用树状图说明）
解：（1）下列事件是必然事件的是：丢四次三人中至少有一人两次接到飞碟，
故答案为：C；
（2）画树状图如下：
丢两次后，飞碟传到丙处的概率是．
16．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．求证：
（1）点D在BE的垂直平分线上；
（2）∠BEC＝3∠ABE．
解：（1）连接DE，
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵BE是AC边上的中线，
∴AE＝CE，
∴DE＝CE，
∵BD＝CE，
∴BD＝DE，
∴点D在BE的垂直平分线上；
（2）∵DE＝AE，
∴∠A＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB，
∵BD＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE，
∵∠BEC＝∠A+∠ABE，
∴∠BEC＝3∠ABE．
17．图①、图②都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点O，M，N，A，B均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．
（1）在图①中，画出∠MON的平分线OP；
（2）在图②中，画一个Rt△ABC，使点C在格点上．
解：（1）如图所示，射线OP即为所求．
（2）如图所示，点C即为所求；
四、（共3小题，每小题8分，共24分）
18．为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示．
大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表
一周诗词诵背数量
3首
4首
5首
6首
7首
8首
人数
10
10
15
40
25
20
请根据调查的信息分析：
（1）活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为 4.5首 ；
（2）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数；
（3）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果．
解：（1）本次调查的学生有：20÷＝120（名），
背诵4首的有：120﹣15﹣20﹣16﹣13﹣11＝45（人），
∵15+45＝60，
∴这组数据的中位数是：（4+5）÷2＝4.5（首），
故答案为：4.5首；
（2）大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有：1200×＝850（人），
答：大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有850人；
（3）活动启动之初的中位数是4.5首，众数是4首，
大赛比赛后一个月时的中位数是6首，众数是6首，
由比赛前后的中位数和众数看，比赛后学生背诵诗词的积极性明显提高，这次举办后的效果比较理想．
19．如图是一个桌面会议话筒示意图，中间BC部分是一段可弯曲的软管，在弯曲时可形成一段圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，线段AB，CD均与圆弧相切，点B，C分别为切点，已知AB的长10cm，CD的长为25.2cm．
（1）如图①，若话筒弯曲后CD与桌面AM平行，此时CD距离桌面14cm，求弧BC的长度（结果保留π）；
（2）如图②，若话筒弯曲后弧BC所对的圆心角度数为60°，求话筒顶端D到桌面AM的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：≈1.73）
解：（1）如图①，
∵线段AB，CD均与圆弧相切，
∴OB⊥AB，OC⊥CD，
∴CD∥OB∥AM，
∴∠BOC＝∠OCD＝90°．
∵CD距离桌面14 cm，AB的长为10 cm，
∴半径OC为4 cm．
∴弧BC的长度为＝2π（cm）．
（2）如图②，
过点C作CN⊥DM于点N，
得矩形CGHN，则CN∥OB．
∴∠OCN＝∠BOC＝60°．
∵∠OCD＝90°，
∴∠NCD＝30°，
∴DN＝CD＝×25.2＝12.6（cm）．
过点C作CG⊥OB于点G．
∵弧BC的长度为2πcm，
∴2π＝．
∴OB＝OC＝6 cm，
∴CG＝OC•sin60°＝6×＝3≈5.2（cm）．
∴DM＝DN+CG+AB＝12.6+5.2+10＝27.8（cm）．
故话筒顶端D到桌面AM的距离是27.8 cm．
20．如图1，直线y＝﹣2x+4交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y＝（x＜0）于C点，△AOC的面积为6．
（1）求双曲线的解析式．
（2）如图2，D为双曲线y＝（x＜0）上一点，连结CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得线段DE，点E恰好落在x轴上，求点E的坐标．
解：（1）过C作CH⊥x轴于H，
直线y＝﹣2x+4中，令y＝0，则x＝2，
∴A（2，0），即AO＝2，
∵△AOC的面积为6，
∴×AO×CH＝6，
∴×2×CH＝6，
∴CH＝6，即点C的纵坐标为6，
直线y＝﹣2x+4中，当y＝6时，6＝﹣2x+4，
解得x＝﹣1，
∴C（﹣1，6），
代入y＝（x＜0）可得，k＝﹣1×6＝﹣6，
∴双曲线的解析式为y＝﹣；
（2）过点D作DF⊥x轴于F，过C作CG⊥DF于G，则∠G＝∠DFE＝90°，
由旋转可得，CD＝DE，∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠DEF，
在△DCG和△EDF中，
，
∴△DCG≌△EDF（AAS），
∴CG＝DF，DG＝EF，
设D（a，﹣），则DF＝﹣，FO＝﹣a，
∵C（﹣1，6），
∴CG＝﹣1﹣a，
∴DF＝﹣1﹣a，
∴﹣＝﹣1﹣a，
解得a＝﹣3或a＝2（舍去），
∴DF＝﹣1+3＝2，DG＝GF﹣DF＝6﹣2＝4，
∴EF＝4，
又∵FO＝3，
∴OE＝4﹣3＝1，
∴E（1，0）．
五、（共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．
【解答】（1）证明：作OH⊥AC于H，如图，
∵AB＝AC，AO⊥BC于点O，
∴AO平分∠BAC，
∵OE⊥AB，OH⊥AC，
∴OH＝OE，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵点F是AO的中点，
∴AO＝2OF＝6，
而OE＝3，
∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，
∴AE＝OE＝3，
∴图中阴影部分的面积＝S△AOE﹣S扇形EOF＝×3×3﹣＝；
（3）解：作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，
∵PF＝PF′，
∴PE+PF＝PE+PF′＝EF′，此时EP+FP最小，
∵OF′＝OF＝OE，
∴∠F′＝∠OEF′，
而∠AOE＝∠F′+∠OEF′＝60°，
∴∠F′＝30°，
∴∠F′＝∠EAF′，
∴EF′＝EA＝3，
即PE+PF最小值为3，
在Rt△OPF′中，OP＝OF′＝，
在Rt△ABO中，OB＝OA＝×6＝2，
∴BP＝2﹣＝，
即当PE+PF取最小值时，BP的长为．
22．某数学兴趣小组在探究函数y＝|x2﹣4x+3|的图象和性质时经历以下几个学习过程：
（Ⅰ）列表（完成以下表格）．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y1＝x2﹣4x+3
…
15
8
3
0
0
3
8
15
…
y＝|x2﹣4x+3|
…
15
8
3
0
0
3
8
15
…
（Ⅱ）描点并画出函数图象草图（在备用图①中描点并画图）．
（Ⅲ）根据图象解决以下问题：
（1）观察图象：函数y＝|x2﹣4x+3|的图象可由函数y1＝x2﹣4x+3的图象如何变化得到？
答： x轴下方图象关于x轴对称，x轴上方图象不变 ．
（2）数学小组探究发现直线y＝8与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象交于点E，F，E（﹣1，8），F（5，8），则不等式|x2﹣4x+3|＞8的解集是 x＞5或x＜﹣1 ．
（3）设函数y＝|x2﹣4x+3|的图象与x轴交于A，B两点（B位于A的右侧），与y轴交于点C．
①求直线BC的解析式；
②探究应用：将直线BC沿y轴平移m个单位长度后与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点，求此时m的值．
【解答】I解：（Ⅰ）列表（完成表格）
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y1＝x2﹣4x+3
…
15
8
3
0
﹣1
0
3
8
15
…
y＝|x2﹣4x+3|
…
15
8
3
0
1
0
3
8
15
…
（Ⅱ）描点并画图．
（Ⅲ）（1）y＝|x2﹣4x+3|的图象可由函数y1＝x2﹣4x+3将x轴下方图象关于x轴对称，x轴上方图象不变得到；
故答案为x轴下方图象关于x轴对称，x轴上方图象不变；
（2）结合图象，|x2﹣4x+3|＞8时，y＝|x2﹣4x+3|图象在y＝8的上方，
∴解集是x＞5或x＜﹣1；
故答案为x＞5或x＜﹣1
（3）①令x＝0，则y＝|x2﹣4x+3|＝3，
令y＝0，则y＝|x2﹣4x+3|＝0，解得x＝1或3，
∴A（1，0），B（3，0），C（0，3），
∴设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则
∴
∴y＝﹣x+3；
②直线BC过（0，3），（2，1）和（3，0）三个点，如图所示，
此时，直线BC与y＝|x2﹣4x+3|的图象只有3个交点，
∴m＝0．
设直线BC向上平移后的直线为y＝﹣x+3+m，
∵平移后的直线与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点，
∴直线BC只能向上平移，且直线y＝﹣x+3+m和y＝﹣x2+4x﹣3有且只有一个交点，
则只有一个解，
于是，消去y得x2﹣5x+6+m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝1﹣4m＝0，
∴m＝．
综上所述，m＝0或m＝时将直线BC沿y轴平移m个单位长度后与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点．
六、（共12分）
23．问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，则：AC＝AB．
探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．
（1）如图1，连接AB边上中线CP，由于CP＝AB，易得结论：①△ACP为等边三角形；②BP与CP之间的数量关系为 BP＝CP ；
（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明；
（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论 BE＝DE ；
拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣3，），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．
解：（1）如图1中，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵PA＝PB，
∴PC＝PA＝PB，
∴△PAC是等边三角形，
故答案为CP＝PB．
（2）结论：ED＝EB．
理由：如图2中，连接PE．
∵△ACP，△ADE都是等边三角形，
∴AC＝AD＝DE，AD＝AE，∠CAP＝∠DAE＝60°，
∴∠CAD＝∠PAE，
∴△CAD≌△PAE（SAS）
∴∠ACD＝∠APE＝90°，
∴EP⊥AB，
∵PA＝PB，
∴EA＝EB，∵DE＝AE，
∴ED＝EB．
（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，同法可证ED＝EB．
故答案为ED＝EB．
拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA．
∵A（﹣3，），
∴∠AOH＝30°，
由（2）可知，CO＝CB，
∵CF⊥OB，
∴OF＝FB＝，
∴可以假设C（，n），
∵OC＝BC＝AB，
∴（）2+n2＝（）2+（3+2）2，
∴n＝3+2，
∴C（，3+2）．
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