专题02 常用逻辑用语 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年）

这是一份专题02 常用逻辑用语 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年），共26页。
目录TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc75950471" 常考点01 充要条件的判定 PAGEREF _Tc75950471 \h 1
\l "_Tc75950472" 常考点02 充分条件与必要条件的应用 PAGEREF _Tc75950472 \h 4
\l "_Tc75950473" 常考点03 全称量词与存在量词 PAGEREF _Tc75950473 \h 6
\l "_Tc75950474" 常考点04 全称与全称命题的运用 PAGEREF _Tc75950474 \h 9
\l "_Tc75950475" 易错点01 判断充要条件时出错 PAGEREF _Tc75950475 \h 12
\l "_Tc75950476" 易错点02 充分、必要的概念理解出错 PAGEREF _Tc75950476 \h 13
\l "_Tc75950477" 易错点03 对含有一个量词的命题否定不恰当 PAGEREF _Tc75950477 \h 13
\l "_Tc75950478" 专项训练 (共22题) PAGEREF _Tc75950478 \h 15
专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写
常考点01 充要条件的判定
【典例1】
1．（2021·浙江高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】若，则，推不出；若，则必成立，
故“”是“”的必要不充分条件故选：B.
【典例2】
2. （2021·北京高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据函数的增减性与最值联系即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】首先考虑充分性，由函数在上单调递增，可推出在x=1处取的最大值，故充分性具备，再考虑必要性，可通过反例（的最大值是，但是在上不单调），判定不具有必要性，故答案选：A.
【点睛】本题主要考查充分性和必要性的判定，属于基础题.
【技巧点拨】
充要关系的几种判断方法
(1)定义法：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分不必要条件；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的必要不充分条件；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充要条件；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的既不充分也不必要条件.
(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(3) 集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件
【变式演练1】
1．（2021·全国高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
【变式演练2】
2．（2021·湖南高三月考）若是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，是的充分条件，则（ ）
A．是的必要不充分条件 B．是的充要条件 C．是的充要条件 D．是的充要条件
【答案】ABD
【分析】根据充分性和必要性的定义，结合充分不必要性条件、充要条件的定义逐一判断即可.
【详解】由题知是的必要条件，是的充分条件，是的必要条件，
所以，且，则，所以B，D正确.因为，且是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，所以A正确，C不正确.故选：ABD
【变式演练3】
3．（2021·山东高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件
C．“”是“成等比数列”的充要条件
D．设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的充分必要条件
【答案】AB
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】A. 当 时，，故不充分；当时，两边同乘，得，故必要，正确；
B. 由，则，故充分；当” 时，或，故不必要，故正确；
C. 当“时，不成等比数列，故错误；
D. 由，当时，为递减数列，故不充分，故错误；故选：AB
【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件和充要条件的判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
常考点02 充分条件与必要条件的应用
【典例1】
1．（2021·辽宁高三月考）已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】由，利用和差角公式，可得命题p表示的范围，
因为是的充分不必要条件，则 ，从而得出k的范围.
【详解】，
，故，
是的充分不必要条件，则 ， ，即.故答案为：
【点睛】注意和差角公式的准确应用，以及充分不必要条件的理解，从而得参数的范围.
【典例2】
2．（2021·山东日照市·高三二模）若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】计算不等式，然后得出且等号不能同时取得，计算即可.
【详解】由得，
因为是不等式成立的充分不必要条件，
∴满足且等号不能同时取得，即，解得．故答案为：
【技巧点拨】
1）充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．
2）.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面
(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；(2)注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．
【变式演练1】
1．（2021·湖南衡阳市·高三一模）使得“”成立的一个充分条件是___________.
【答案】（答案不唯一，）.
【分析】由于，故不等式等价于，解得，故只需写出的子集即可.
【详解】由于，故等价于，解得：，
使得“”成立的一个充分条件只需为集合的子集即可，
故答案可以为：故答案为：
【点睛】本题考查充分条件，指数不等式，考查运算求解能力，是中档题.解题的关键在于根据已知解指数不等式，进而需求不等式解集的子集即可.
【变式演练2】
2．（2021·重庆高三专题练习）命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】求出命题为真的取值范围为，根据充分不必要条件，即可得出结果.
【详解】，则，
充分不必要条件为集合的真子集，所以B,C正确.故选：BC
【变式演练3】
3．（2021·济南市·山东省实验中学高三月考）已知条件，条件向量，的夹角为锐角.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________.
【答案】
【分析】由向量的夹角为锐角，得且向量不共线，进而解得不等式，再利用p是q的充分不必要条件，即可得到结论.
【详解】由，得，又向量，的夹角为锐角，
得且向量不共线，所以，解得且.
因为p是q的充分不必要条件，所以是且的真子集，
所以.故答案为：
【点睛】本题考查了向量的夹角，充分条件，必要条件的定义，注意向量共线时其夹角的值，属于基础题.
常考点03 全称量词与存在量词
【典例1】
1．（2021·重庆高三二模）已知命题，，则命题P的否定为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据命题的否定的定义判断．
【详解】命题，的否定是．故选：D．
【典例2】
2．（2021·江苏南通市·海门市高三期末）（多选题）下列命题中正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】BD
【分析】本题可通过当时判断出A错误，然后通过当时、以及判断出B正确，再然后可通过取判断出C错误，最后可通过当时判断出D正确.
【详解】A项：当时，，即恒成立，A错误；
B项：当时，且，
因为，所以恒成立，B正确；
C项：当时，，，此时，C错误；
D项：由对数函数与指数函数的性质可知，当时，恒成立，D正确，故选：BD.
【点睛】本题考查全称命题和特称命题的真假判断，主要考查学生对指数函数和对数函数的性质的理解，解题时全称命题为真与存在命题为假需要证明，而全称命题为假和存在命题为真只要举一例即可，考查推理能力，是中档题.
【技巧点拨】
1）全称命题真假的判断方法
（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；
（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．
2）特称命题真假的判断方法：要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
3）全称命题与特称命题真假的判断方法汇总
4）常见词语的否定形式有：
【变式演练1】
1．（2021·山东德州市·高三二模）已知命题，，则为（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据全称量词的否定的定义写出即可.
【详解】对命题否定时，全称量词改成存在量词，即，；故选：B.
【变式演练2】
2．（2021·江苏扬州市·扬州中学高三其他模拟）命题“，”的否定是______．
【答案】，
【分析】本题所给的是一个特称命题，对于特称命题的否定，注意量词的变化，注意命题中结论的变化．
【详解】解：∵命题“，”的否定是：，．
故答案为：，.
【变式演练3】
3．（2021·江苏盐城市·盐城中学高三一模）下列4个命题中，真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数，对数函数的单调性及特值法，即可判断各选项中命题的真假.
【详解】因为，，故A为假命题；
，，即，故B为真命题；
取，则，，所以，故C为假命题；
，，所以，即，
故D为假命题.故选：B.
常考点04 全称与全称命题的运用
【典例1】
1．（2021·海南高三其他模拟）若“，”为假命题，则实数的最小值为___________.
【答案】
【分析】根据特称命题的否定为全称命题，可得“，”为真命题，然后转化为恒成立问题求解.
【详解】因为“，”为假命题，所以“，”为真命题，所以对恒成立，即.故答案为：.
【典例2】
2．（2021·河北石家庄市·高三二模）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【分析】根据特称命题为真命题，结合判别式可得结果.
【详解】由题意可知，不等式有解，∴ ，
∴实数的取值范围为，故答案为：
【技巧点拨】
已知全称与全称命题的真假，解决含参问题，主要理由全称与全称命题的否定转换真假，达到解决问题的目的。
【变式演练1】
1．（2021·辽宁高三二模）若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】转化为“，使得成立”是真命题，利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论.
【详解】若“，使得成立”是假命题，则“，使得成立”是真命题，分离，进而.
【点睛】本题考查存在性命题的真假判定，涉及不等式的恒成立问题，函数的单调性和最值问题，转化为“，使得成立”是真命题是关键步骤，分离参数法是本题的关键思想方法.
【变式演练2】
2．（2021·湖南高三其他模拟）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】求出给定命题为真命题的a的取值集合，再确定A，B，C，D各选项所对集合哪些真包含于这个集合而得解.
【详解】命题“"等价于，即命题“”为真命题所对集合为，
所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合真包含于，显然只有，{4},
所以选项AC不符合要求，选项BD正确.故选：BD
【变式演练3】
3．（2021·浙江高三专题练习）设不等式x2+|x|﹣2≤0的解集为M．
（1）求集合M；（2）若命题“∀x∈M，ax3﹣3x+1≥0”为真，求实数a的值．
【答案】（1）；（2）a＝4．
【分析】（1）原不等式等价为，解关于|x|的二次不等式即可；（2）分x＝0，0＜x≤1，﹣1≤x＜0讨论，将∀x∈M，ax3﹣3x+1≥0转化为函数最值问题，利用导数求出函数最值即可．
【详解】解：（1）原不等式等价为，即|x|﹣1≤0，解得，所以；
（2）因为∀x∈M，所以，若x＝0，则1≥0恒成立，
若0＜x≤1，则，令，则设，
由，解得0，此时函数单调递增，由，解得，此时函数单调递减，
所以当x＝时，函数取得极大值，同时也是最大值为，所以此时a≥4．
若﹣1≤x＜0，则，则，
当﹣1≤x＜0时，恒成立，此时函数单调递增，
所以当x＝﹣1时，函数取得最小值为，所以此时a≤4．所以a＝4．
【点睛】将恒成立问题通过参变分离转化为函数最值问题是解题关键．
易错点01 判断充要条件时出错
1.（2021.山东高三课时练习）(1)设x∈R，则x>2成立的必要条件有________．(填上所有正确的序号)
①x>1；②x3；④x0.
【错解】③；因为x>3⇒x>2，所以x>2的一个必要条件为x>3.
【错因】错解的主要原因是没弄清“a是b的必要条件”和“a的必要条件是b”的真正含义，前者说明b⇒a；后者等价于“b是a的必要条件”，即a⇒b.
【正解】①⑤；因为x>2⇒x>1，所以x>2的一个必要条件为x>1.同理x>2⇒x>0，
所以x>2的一个必要条件为x>0.
(2)命题p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是命题q：“a·b>0”的________条件．
【错解】若向量a与向量b的夹角θ为锐角，
则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)>0，即a·b>0，反之也成立，所以p是q的充要条件．
【错因】判断两个命题是否可以相互推导时，要注意特殊情况的判断，以防判断出现错误．
【正解】若向量a与向量b夹角θ为锐角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)>0⇒a·b>0；
而a·b>0时，θ＝0°也成立，但此时a与b夹角不为锐角．故p是q的充分不必要条件．
2.（2021.广东高三课时练习）若p：a∈R,|a|