专题28 概率、随机变量与分布列 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年）

这是一份专题28 概率、随机变量与分布列 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年），共56页。
专题28 概率、随机变量与分布列

目录
常考点01 随机事件及其概率 1
常考点02 古典概型与几何概型 4
常考点03 条件概率与独立重复试验 9
常考点04 离散型随机变量分布列及其性质 12
常考点05 超几何分布 16
常考点06 二项分布及其应用 21
常考点07 正态分布及其应用 27
常考点08 数学期望与方差 32
常考点09 实际问题中的科学决策 36
易错点01 混淆几何概型与古典概型 43
易错点02 事件分拆混乱致误 43
易错点03 随机变量的意义理解不清致误 44
易错点04 混淆超几何分布与二项分布 45
专项训练 （全卷共22题） 48
专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写

常考点01 随机事件及其概率
【典例1】（1）（2021·湖南高三期中）从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是（ ）
A．“恰有两个白球”与“恰有一个黑球” B．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”
C．“都是白球”与“至少有一个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
【答案】A
【解析】对于A，事件：“恰有两个白球”与事件：“恰有一个黑球”不能同时发生，
但从口袋中任取两个球时还有可能两个都是黑球，
∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴A正确；
对于B，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，
如：一个白球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴B不正确；
对于C.“都是白球”与“至少有一个黑球”不能同时发生，且对立，故C错误；
对于D，“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，故不互斥.故选：A.
（2）（2020·海南高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．62% B．56% C．46% D．42%
【答案】C
【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式可得结果.
【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，
则，，，
所以
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.故选：C.
【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.
【典例2】（2018·全国高考真题（文））若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】B
【详解】分析：由公式计算可得
详解：设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，
则
因为所以，故选B.
点睛：本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题．
【技巧点拨】
1. 概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．
2. 判断事件关系时要注意
(1)利用集合观点判断事件关系；
(2)可以写出所有试验结果，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所求事件的关系．
3．对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：
第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系；
第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；
第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的
4．对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，事件的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集中由事件所含结果组成集合的补集，即，，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.
事件的和记作，表示事件至少有一个发生.当为互斥事件时，事件是由“发生而不发生”以及“发生而不发生”构成的.
当计算事件的概率比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的.求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.
对于个互斥事件，其加法公式为.
分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想.
【变式演练1】（2021·云南丽江高三期中）抽查件产品，设“至少抽到件次品”为事件，则的对立事件是（ ）
A．至多抽到件正品 B．至多抽到件次品 C．至多抽到件正品 D．至多抽到件正品
【答案】B
【解析】根据对立事件的定义，事件和它的对立事件不会同时发生，且他们的和事件为必然事件，
事件“至多抽到件正品”、 “至多抽到件正品”、 “至多抽到件正品”与“至少抽到件次品”能同时发生，不是对立事件；只有事件“至多2件次品”与“至少抽到件次品” 不能同时发生且他们的和事件为必然事件，是的对立事件， 故选：．

【变式演练2】（2021·广东高二月考）一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是（ ）
A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.75
【答案】D
【解析】因为从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，
所以摸出黑球的概率是，
因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件，
所以摸出黑球或红球的概率，故选D.
【变式演练3】（2021·全国高三开学考试）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则
【答案】ACD
【解析】A中：，故A正确；
B中：设A，B独立，则，而显然不一定为，故B错误；
C中：A，B独立，则，则，故C正确；
D中：A，B互斥，，则根据条件概率公式，故D正确.故选：ACD．

常考点02 古典概型与几何概型
【典例1】（1）（2021·全国高考真题（理））将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.
【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，
所以2个0不相邻的概率为.故选：C.
（2）（2021·全国高考真题（理））在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．
【详解】如图所示：
设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为．
设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以．故选：B.
【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件对应的区域面积，即可顺利解出．
【典例2】（2018·全国高考真题（理））如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则

A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p3
【答案】A
【分析】首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，然后应用相应的面积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出p1，p2，p3的关系，从而求得结果.
【详解】设，则有，从而可以求得的面积为，
黑色部分的面积为，
其余部分的面积为，所以有，
根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A.
点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.
【技巧点拨】
1.计算古典概型事件的概率可分三步
(1)判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；(2)分别计算基本事件的总个数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；(3)利用古典概型的概率公式P(A)＝求出事件A的概率．
2. 解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.
3.几何概型根据长度、面积、体积等来表示概率。
【变式演练1】（2021·全国高考真题）在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何概型的概率公式即可求出.
【详解】设“区间随机取1个数” ，
“取到的数小于”，所以．故选：B．
【点睛】本题解题关键是明确事件“取到的数小于”对应的范围，根据几何概型的概率公式即可准确求出．
【变式演练2】（2018·全国高考真题（理））我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.
详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
【变式演练3】（2021·湖南高三模拟）根据中国古代重要的数学著作《孙子算经》记载，我国古代诸侯的等级自低到高分为：男、子、伯、侯、公五个等级，现有每个级别的诸侯各一人，君王要把50处领地全部分给5位诸侯，要求每位诸侯都分到领地且级别每高一级就多分处（为正整数），按这种分法，下列结论正确的是（ ）
A．为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是
B．为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是
C．为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是1
D．为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是
【答案】ACD
【解析】由题意可知，五位诸侯分得的领地成等差数列，设其前项和为，
则，得．因为，均为正整数，所以有如下几种情况：
，，，共4种情况，每种情况各位诸侯分到领地的处数如下表所列：

男
子
伯
侯
公
，
8
9
10
11
12
，
6
8
10
12
14
，
4
7
10
13
16
，
2
6
10
14
18
由表中数据可知：为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是；故选项A正确；
为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是；故选项B不正确；
为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是；故选项C正确；
为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是，故选项D正确；故选：ACD．

常考点03 条件概率与独立重复试验
【典例1】（1）（2021·全国高三月考（理））某公司为方便员工停车，租了个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则（ ）

A． B． C． D．
（2）．（2021·四川省资阳中学高三月考）为适应人民币流通使用的发展变化，提升人民币整体仿伪能力，保持人民币系列化，中国人民银行发行了2019年版第五套人民币元、元、元、元纸币和元、角、角硬币，同时升级了原有的验钞机现从混有张假钞的张元钞票中任取两张，在其中一张是假钞的条件下，两张都是假钞的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）D（2）B
【解析】（1）根据条件概率可得：．故选：D.
（2）设事件A表示“两张都是假钞”，事件B表示“两张中至少有一张是假钞”，则
，，所以，所以所求概率为，选：B
【典例2】（1）（2021·重庆一中高三月考）规定投掷飞镖3次为一轮，3次中至少两次投中8环以上的为优秀.现采用随机模拟实验的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1，用0表示该次投镖未在8环以上，用1表示该次投镖在8环以上；再以每三个随机数作为一组，代表一轮的结果.例如：“101”代表第一次投镖在8环以上，第二次投镖未在8环以上，第三次投镖在8环以上，该结果代表这一轮投镖为优秀："100”代表第一次投镖在8环以上，第二次和第三次投镖均未在8环以上，该结果代表这一轮投镖为不优秀.经随机模拟实验产生了如下10组随机数，据此估计，该选手投掷飞镖两轮，至少有一轮可以拿到优秀的概率是（ ）
101
111
011
101
010
100
100
011
111
001
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】模拟实验中，总共进行了10轮，每轮中至少两次投中8环以上的有6轮，用频率估计概率可得该选手每轮拿到优秀的概率为，因此，该选手投掷飞镖两轮，相当于做两次伯努利试验，那么至少有一轮可以拿到优秀的概率.故本题正确答案为B.
（2）（2021·湖北高三期中）某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】第一种情况：该选手通过前三关，进入第四关，所以,
第二种情况：该选手通过前两关，第三关没有通过，再来一次通过，进入第四关，
所以.所以该选手能进入第四关的概率为.故选：D
【技巧点拨】
1.解决条件概率问题的步骤
第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步．
第二步，计算概率，这里有三种思路：
思路一（定义法）：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)；
思路二（基本事件法）：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝；
思路三（缩减样本空间法）：缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式计算
2.独立重复试验的特点
(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的.
(2)每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．
3.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
②正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
【变式演练1】（2021·福建高三）根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为（ ）
A．0.8 B．0.625 C．0.5 D．0.1
【答案】A
【解析】设发生中度雾霾为事件，刮四级以上大风为事件，
由题意知：，，，
则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为.故选：A.
【变式演练2】（2021·全国高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】 ，

故选：B
【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立
【变式演练3】（2020·天津高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
【答案】
【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.
【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，
且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.故答案为：；.
【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.

常考点04 离散型随机变量分布列及其性质
【典例1】（1）（2021·陕西高三期中）离散型随机变量的分布列为下表，则常数的值为（ ）

0
1



A． B． C．或 D．以上都不对
【答案】B
【解析】由题可知： 故选：B
（2）（2021·防城港市高三期中）袋中装有一些大小相同的球，其中标号为号的球个，标号为号的球个，标号为号的球个，，标号为号的球个．现从袋中任取一球，所得号数为随机变量，若，则______．
【答案】
【解析】由题意可知，所有球的个数为，
由古典概型的概率公式可得，解得.故答案为：.
【典例2】（2019·全国高考真题（理））为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．求的分布列；
【答案】见解析；
【分析】首先确定所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；
【详解】由题意可知所有可能的取值为：，，
；；
则的分布列如下：








【技巧点拨】
离散型随机变量的分布列的性质的应用
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某特定事件的概率；
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
1. 求分布列的三种方法
(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．
(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．
(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．
2. 求离散型随机变量分布列的步骤
(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…，n)；
(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；
(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．
【变式演练1】（2021·吉林高二期中（理））设随机变量的分布列,则 _______
【答案】.
【解析】因为随机变量的分布列,
所以，解得，
因此.故答案为.
【变式演练2】（2019·天津高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；
(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，
故，从面.
所以，随机变量的分布列为：

0
1
2
3





随机变量的数学期望.
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.
且.由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
【变式演练3】（2021·全国高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）类．
【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．
【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；；．
所以的分布列为








（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；；．
所以．因为，所以小明应选择先回答类问题．

常考点05 超几何分布
【典例1】（2021·重庆高三开学考试）北京冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核.为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩，得到的统计图表如下所示.

若参加这次考核的志愿者考核成绩在内，则考核等级为优秀.
（1）分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；（2）若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享，记抽到女志愿者的人数为X，求X的分布列及期望.
【答案】（1）考核等级为优秀的男志愿者人数为5，考核等级为优秀的女志愿者人数为7；（2）分布列见解析，期望为.
【解析】（1）由女志愿者考核成绩的频率分布表可知被抽取的女志愿者的人数为.
因为，所以，
所以这次培训考核等级为优秀的女志愿者人数为.
因为被抽取的志愿者人数是80，所以被抽取的男志愿者人数是.
由男志愿者考核成绩频率分布直方图可知男志愿者这次培训考核等级为优秀的频率为，
则这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数为.
（2）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3.
，，
，.
X的分布列为
X
0
1
2
3
P




故
【典例2】（2021·淮北高三月考）箱中装有4个白球和个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量为取出的3个球所得分数之和.（1）若，求的值；（2）当时，求的分布列.
【答案】（1）1；（2）分布列见解析.
【解析】（1）由题意得：取出的个球都是白球时，随机变量
，即：，解得：
（2）由题意得：所有可能的取值为：
则；；；.
的分布列为：










【技巧点拨】
1．随机变量是否服从超几何分布的判断
若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n次；(2)随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
2.超几何分布的两个特点：(1)超几何分布是不放回抽样问题．(2)随机变量为抽到的某类个体的个数．
3．超几何分布的应用条件及实质
(1)条件：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数ξ的概率分布．(2)实质：古典概型问题．
4．求超几何分布的分布列的步骤
第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；
第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
第三步，用表格的形式列出分布列．
【变式演练1】（2021·周口市高二期中）从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．
(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．
【答案】(1)；(2)

0
1
2
3





【解析】 (1)所选3人中恰有一名男生的概率；
(2) 的可能取值为0,1,2,3.
∴ξ的分布列为:

0
1
2
3





【变式演练2】（2021·广西柳州）为庆祝2021年中国共产党成立100周年，某校高二年级举行“党史知识你我答”活动，共有10个班，每班选5名选手参加了预赛，预赛满分为150分，现预赛成绩全部介于90分到140分之间.将成绩结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.

（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求参赛学生在这次活动中成绩良好的人数；
（2）若从第一､五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列与数学期望.
【答案】(1)27；(2)分布列见解析，数学期望为
【解析】(1)由题意知，共选出50名学生参加预赛，
由频率分布直方图可得，成绩在[100,120]内的人数为：人，
所以该班成绩良好的人数为27人；
(2)由题意，第一组有3人，第五组有4人，从这两组随机取两个成绩，
所以，，，故X的分布列为：
X
0
1
2
P



所以.
【变式演练3】（2021·贵州省思南中学高三月考）某班利用课外活动时间举行了一次“函数求导比赛”活动，为了解本次比赛中学生的总体情况，从中抽取了甲、乙两个小组的样本分数的茎叶图如图所示.

（1）分别求出甲、乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪个小组的成绩更稳定？（2）从甲组同学成绩不低于70分的人中任意抽取3人，设表示所抽取的3名同学的得分在的人数，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）甲的平均数，方差；乙的平均数，方差；乙小组的更稳定.（2）分布列见解析，.
【解析】（1）甲小组的平均数：
甲小组的方差：，
乙小组的平均数：
乙小组的方差：
.
两个小组成绩的平均数相同，甲的方差比乙的方差要大，所以乙小组的成绩更稳定.
（2）甲组同学成绩不低于70分的人有人，从中任意抽取3人，得分在的人数为人.，
,,的分布列如下：










故.

常考点06 二项分布及其应用
【典例1】（2018·全国高考真题（理））某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点；（2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【答案】（1）；（2）（i）；（ii）应该对余下的产品作检验.
【分析】（1）利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意的条件；
（2）先根据第一问的条件，确定出，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.
【详解】（1）件产品中恰有件不合格品的概率为.
因此.
令，得.当时，；当时，.
所以的最大值点为；
（2）由（1）知，.
（i）令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.所以.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于，故应该对余下的产品作检验.
【点睛】该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论.
【典例2】（2021·渤海大学附属高级中学高三月考）随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户，某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级
特等
一等
二等
三等
等外
个数
50
100
250
60
40
（1）若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取6个，求恰好有3个水果是二等级别的概率．
（2）若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层抽样的方法从这500个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的优级水果的数量，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为．
【解析】（1）设从500个水果中随机抽取一个，抽到二等级别水果的事件为，则，
随机抽取6个，设抽到二等级别水果的个数为，则，
所以恰好抽到3个二等级别水果的概率为．
（2）用分层抽样的方法从500个水果中抽取10个，则其中优级水果有3个，非优级水果有7个．
现从中抽取3个，则优级水果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3．
则，，，．
所以的分布列如下：

0
1
2
3





所以．
【技巧点拨】
1.判断随机变量X服从二项分布的条件(X～B(n，p))
(1)X的取值为0,1,2，…，n.
(2)P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n，p为试验成功的概率)．
提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布．
2. 二项分布满足的条件
(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．
3. 牢记且理解事件中常见词语的含义：
(1) 、中至少有一个发生的事件为；(2) 、都发生的事件为；
(3) 、都不发生的事件为；(4) 、恰有一个发生的事件为；
(5) 、至多一个发生的事件为.
【变式演练1】（2021·北京新农村中学高三开学考试）已知表1和表2是某年部分日期天安门升旗时刻表
表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表
日期
升旗时刻
日期
升旗时刻
日期
升旗时刻
日期
升旗时刻
1月1日
7:36
4月9日
5:46
7月9日
4:53
10月8日
6:17
1月21日
7:31
4月28日
5:19
7月27日
5:07
10月26日
6:36
2月10日
7:14
5月16日
4:59
8月14日
5:24
11月13日
6:56
3月2日
6:47
6月3日
4:47
9月2日
5:42
12月1日
7:16
3月22日
6:16
6月22日
4:46
9月20日
5:59
12月20日
7:31
表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表
日期
升旗时刻
日期
升旗时刻
日期
升旗时刻
2月1日
7:23
2月11日
7:13
2月21日
6:59
2月3日
7:22
2月13日
7:11
2月23日
6:57
2月5日
7:20
2月15日
7:08
2月25日
6:55
2月7日
7:17
2月17日
7:05
2月27日
6:52
2月9日
7:15
2月19日
7:02
2月28日
6:49
（1）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率；
（2）甲，乙两人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立. 记为这两个人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求的分布列和数学期望；（3）将表1和表2中的升旗时刻华为分数后作为样本数据（如7:31化为）.记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为，判断与的大小. （只需写出结论）
【答案】（1）；（2）X的分布列见解析，；（3）.
【解析】（1）记事件A为“从表1的日期中随机选出天,这一天的升旗时刻早于7:00”,在表1的20个日期中,有15个日期的升旗时刻早于7:00，所以.
（2）X可能的取值为0,1,2.记事件B为“从表2的日期中随机选出一天,这天的升旗时刻早于7:00，
则， .
所以；；.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P



所以
（3）由题目数据分布的离散程度分析可知：.
【变式演练2】（2021·青铜峡市高级中学高三开学考试（理））设甲､乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲､乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（1）用表示甲同学上学期间的每周五天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多3天”为事件，求事件发生的概率.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）.
【解析】（1）因为甲同学上学期间的五天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率为，
所以，从而，，
所以，随机变量的分布列为：
P
0
1
2
3
4
5
X






所以；
（2）设乙同学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为，则，
且事件，
由题意知，事件之间互斥，且与相互独立，
由（1）可得.
【变式演练3】（2021·湖北武汉·高三月考）在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，那么在本次运动会上：（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，2.
【解析】解：（1）依题意，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同．设其打破世界纪录的项目数为随机变量，
“该运动员至少能打破3项世界纪录”为事件A，则有
（2）设该运动员能打破世界纪录的项目数为X，由（1）解答可知，，
则,,,
，所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




所以期望．

常考点07 正态分布及其应用
【典例1】（1）（2021·江苏高三年月考）海头高级中学高二年级组织了一次调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数，则下列命题正确的是（ ）
A．这次考试的数学平均成绩为100 B．分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数相同
C．分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同 D．这次考试的数学成绩方差为10
【答案】AC
【解析】因为数学成绩服从正态分布，其密度函数，，
所以，，即.
所以这次考试的平均成绩为，标准差为，故A正确，D错误.
因为正态曲线的对称轴为，所以分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数不相同，故B错误；分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同，故C正确.故选：AC
（2）（2021·扬州市高三月考）已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.12 B．0.22 C．0.32 D．0.42
【答案】C
【解析】随机变量服从正态分布，且，
由对称性可知，，又，，故选：C．
（3）（2021·湖北十堰·期末）设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：服从正态分布，则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在，内的个数约为　　
附：若，则，．
A．134 B．136 C．817 D．819
【答案】B
【解析】由题意，，，则
．故直径在，内的个数约．选：．
（4）（2021·辽宁高二期末）若随机变量，，其中，下列等式成立有( )
A． B． C． D．
【答案】AC

【解析】随机变量服从标准正态分布，正态曲线关于对称，
，，根据曲线的对称性可得：A.，所以A正确；
B.，所以错误；
C.，所以C正确；
D.或，所以D错误．选：．
【典例2】（2021·海南高三）某高中招聘教师，首先要对应聘者的工作经历进行评分，评分达标者进入面试，面试环节应聘者要回答道题，第一题为教育心理学知识，答对得分，答错得分，后两题为学科专业知识，每道题答对得分，答错得分．
（Ⅰ）若一共有人应聘，他们的工作经历评分服从正态分布，分及以上达标，求进面试环节的人数（结果四舍五入保留整数）；
（Ⅱ）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题正确与否互不影响，求该应聘者的面试成绩的分布列及数学期望．
附：若随机变量，则，，．
【答案】（Ⅰ）159；（Ⅱ）分布列见解析，7.9.
【解析】 （Ⅰ）因为服从正态分布，
所以，
因此进入面试的人数为．
（Ⅱ）由题可知，Y的可能取值为，，，，，，
则；；
；；
；．故的分布列为：














所以．
【技巧点拨】
1.求正态曲线的两个方法
(1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为．(2)待定系数法：求出μ，σ便可．
2.正态分布下2类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．
3.在解决有关问题时，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况．
4.求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：
(1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值．
(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；
①P(X