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专题22 直线与圆 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年）
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这是一份专题22 直线与圆 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年），共38页。
目录TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc87989731" 常考点01 直线的倾斜角与斜率 PAGEREF _Tc87989731 \h 1
\l "_Tc87989732" 常考点02 直线的方程 PAGEREF _Tc87989732 \h 8
\l "_Tc87989733" 常考点03 直线的交点与距离问题 PAGEREF _Tc87989733 \h 13
\l "_Tc87989734" 常考点04 对称问题 PAGEREF _Tc87989734 \h 17
\l "_Tc87989735" 常考点05 求圆的方程 PAGEREF _Tc87989735 \h 24
\l "_Tc87989736" 常考点06 直线与圆相切 PAGEREF _Tc87989736 \h 28
\l "_Tc87989737" 常考点07 直线与圆相交及弦长问题 PAGEREF _Tc87989737 \h 30
\l "_Tc87989738" 常考点08 圆与圆的位置关系 PAGEREF _Tc87989738 \h 33
\l "_Tc87989739" 常考点09 轨迹方程 PAGEREF _Tc87989739 \h 39
\l "_Tc87989740" 易错点01 写直线的截距式方程忽略截距为零的情况 PAGEREF _Tc87989740 \h 44
\l "_Tc87989741" 易错点02 误用忽视直线斜率的特殊情况致误 PAGEREF _Tc87989741 \h 44
\l "_Tc87989742" 易错点03 忽视方程表示圆的条件致误 PAGEREF _Tc87989742 \h 45
\l "_Tc87989743" 专项训练 （全卷共22题） PAGEREF _Tc87989743 \h 47
专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写
常考点01 直线的倾斜角与斜率
【典例1】（2021·浙江高三专题练习）直线的倾斜角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可得，所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，因为，所以，故选：D.
【典例2】【（2021·台州市书生中学高二期中）已知直线：，直线：，若，则_________若，则________
【答案】
【分析】根据直线平行和垂直得到的关系，再结合二倍角公式及弦化切得到答案.
【详解】若，则，
此时，则两条直线不重合，故；
若，则，∴.
故答案为：，.
【技巧点拨】
1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用求倾斜角.
2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．
3.两直线的平行关系
(1) 对于两条不重合的直线，其斜率为，有.
(2)对于两条直线，有.
4．两条直线的垂直关系
(1) 对于两条直线，其斜率为，有.
(2)对于两条直线，有.
【变式演练1】（2021·浙江绍兴市·高二期末）已知直线，若，则__________：若曲线：与直线有两个公共点，则实数的取值范围是__________.
【答案】；
【分析】第1空：根据两直线平行的关系列出关于的方程，解得的值，然后代入直线方程检验即可得出实数的值；第2空：，将直线化为，恒过，结合图像即可求出实数的取值范围.
【详解】解：因为，所以，即，经检验；
，直线化为，恒过，画出函数图像，如图：
因为曲线：与直线有两个公共点，所以或或，即.
【变式演练2】（2021·江苏高三月考）设，则“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题知，当时，直线的方程为，斜率，直线的方程为，斜率．因为，所以两直线垂直，故充分性成立；若直线与垂直，则有，解得或，故必要性不成立.故选：A．
【变式演练3】（2021·山东高三课时练习）已知直线的斜率为，倾斜角为，若，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据倾斜角和斜率关系求解.
【详解】直线倾斜角为45°时，斜率为1，直线倾斜角为135°时，斜率为，
因为在上是增函数，在上是增函数，
所以当时，的取值范围是.故选：B.
常考点02 直线的方程
【典例1】（1）（2021·山东高考真题）如下图，直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·浙江高三专题练习）已知直线在轴上的截距为3，在轴上的截距为-2，则的方程为（ ）
A．3x-2y-6=0 B．2x-3y+6=0 C．2x-3y-6=0 D．3x-2y+6=0
（3）（2021·浙江高三专题练习）经过直线与的交点，且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
（4）（2021·全国高三专题练习）直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点坐标是（ ）
A．(－2，3)B．(2，3)C．(3，－2)D．(3，2)
【答案】（1）D（2）C（3）D（4）B
【解析】（1）由图可得直线与轴的交点为且倾斜角为30°，所以斜率，
所以直线的点斜式方程可得：，即．故选：D
（2）由题意可得直线的方程为，整理可得2x-3y-6=0.故选：C
（3）由题意，联立方程组，解得，即交点为，
设与直线垂直的直线方程为，
把点代入，即，解得，即所求直线方程为.故选：D.
（4）将直线方程化为点斜式得y－3＝k(x－2)，所以该直线过定点(2，3)，故选：B.
【典例2】（2021·全国高三专题练习）（1）已知一条直线经过点，且在两坐标轴上的截距之和为6，求这条直线的方程；（2）直线l经过点且与x，y轴正半轴交于A，B两点，当面积最小时求直线l的方程（O为坐标原点）.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）设直线的截距式方程，列方程组，求解即得解；
（2）设直线l的方程为，则，借助均值不等式即得的最小值.
【详解】（1）由题意，直线在两个坐标轴上的截距存在，因此设所求直线方程为.
由题意，得解这个方程组，得或
所求直线方程为或，即或.
（2）设直线l的方程为，则.
，，，得.当且仅当时，即，时等号成立.
此时的面积最小.所求直线方程为，即.
【技巧点拨】求直线方程的常用方法：
（1）直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．
（2）待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．
（3）直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．
求直线方程的注意事项：
（1）在求直线方程时，根据题目的条件选择适当的形式．
（2）对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．
（3）涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为的情况；另外，某些涉及直线问题中，往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意.
【变式演练1】（2021·浙江高三专题练习）已知，，，则过点且与线段垂直的直线方程为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以与垂直的直线的斜率为，
所以过点且与线段垂直的直线方程为，即，故选：D
【变式演练2】（2021·鸡泽县高三开学考试）的三个顶点为，则不是三角形各边上中线所在直线方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由题意：线段的中点；线段的中点；线段的中点；
则中线所在直线分别是：直线、直线、直线，
根据、两点，求直线：；
根据、两点，求直线：
根据、两点，求直线：故选：C
【变式演练3】（2021·全国高三课时作业）已知直线l过点，并且点和点到直线l的距离相等，求直线l的方程．
【答案】或．
【分析】方法一：分点A和点B在直线l的同侧和异侧两种情况求解；
方法二：设直线l的方程为，再根据点到线的距离公式求解即可
【详解】方法一：当点A和点B在直线l的同侧时，易得．
∵，∴．又知直线l过点，∴直线l的方程为，即．
当点A和点B在直线l的异侧，这时直线l过的中点．
又因为直线l过点，则直线l的斜率为0，直线l的方程为．
综上所述，直线l的方程为或．
方法二：设直线l的方程为．
由题设知，直线l过点，并且点和点到直线l的距离相等，则，于是可得．从而可得或，解得或．
当时，，且，此时直线方程为．
当时，，此时直线方程为．综上所述，直线l的方程为或．
常考点03 直线的交点与距离问题
【典例1】【例3】（1）（2021·湖南高考真题）点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
（2）（2021·浙江高三专题练习）已知直线，直线，则与之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
（3）（2021·沙坪坝·重庆八中）过直线和的交点P，且与直线垂直的直线l的方程为 .
【答案】（1）D（2）D（3）
【解析】（1）点到直线的距离为，故选：D.
（2）直线的方程可化为，则与之间的距离．故选：D
（3）直线l垂直于直线. 设直线l的方程为.
与的交点为，，解得从而.所以直线l的方程为.
【典例2】（2021·河北高三月考）已知直线和，则原点到的距离的最大值是______；若，则实数=______.
【答案】5 -1
【分析】分析可得，直线过定点，当原点到的距离最大时，满足，即得解第一空；第二空，利用平面中两直线一般方程的平行公式即得解.
【详解】直线的方程可化为，则直线过定点，
当原点到的距离最大时，满足，所以原点到的距离的最大值为.
若，则两条直线的方程分别为和，与不平行；
若，则两条直线的方程分别为和，与不平行；
当且，若，则，由，得，解得或2，
当时，，与重合，不符合题意，当时，，满足题意.故答案为：
【技巧点拨】两种距离的求解思路
(1)点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
(2)两平行线间的距离的求法
①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式)．
两直线交点的求法
求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．
求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．
【变式演练1】（2021·全国高三专题练习）点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据距离公式可得：点到直线的距离，故选：B.
【变式演练2】（2021·全国高三专题练习）若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______．
【答案】
【解析】∵直线与平行，∴，解得，∴直线：，直线：，
∴直线与之间的距离．故答案为：
【变式演练3】（2021·天津市梧桐中学高二月考）已知直线．
（1）若直线在轴上的截距为，求实数的值；
（2）若直线与直线平行，求两平行直线与之间的距离．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由题意利用直线在坐标轴上的截距的定义，求得的值．
（2）利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果．
【详解】（1）若直线，令，求得在轴上的截距为，实数．
（2）若直线与直线平行，
则，求得，故，即，
求两平行直线与之间的距离为．
常考点04 对称问题
【典例1】（1）（2021·浙江高三）点关于直线的对称点是（ ）
A．B．C．D．
（2）（2021·青铜峡市高级中学高二月考）已知直线与直线关于直线对称，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）B（2）A
【解析】（1）设点关于直线的对称点是，
则有，解得，，故点关于直线的对称点是.故选：B.
（2）直线取两点，其关于对称的点为在直线上，故斜率为，即方程为，即.故选：A.
【典例2】（2021·辽宁葫芦岛·高二月考）（1）当光射到两种不同介质的分界面上时，便有部分光自界面射回原介质中的现象，被称为光的反射，如图1所示一条光线从点出发，经过直线反射后到达点，如图2所示.求反射光线所在直线的方程，并在图2中作出光线从到的入射和反射路径.
（2）已知，直线的斜率小于，且经过点，与坐标轴交于，两点，试问的面积是否存在最值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），作图答案见解析；（2）不存在最大值，最小值为.
【分析】（1）求得关于直线的对称点的坐标，由此求得反射光线所在直线方程，并画出图象.
（2）设直线，求得的面积的表达式，结合基本不等式求得的取值范围，由此确定正确结论.
【详解】（1）设关于直线的对称点为，
则，解得，，所以反射光线所在直线为，
其方程为，即.故光线从到的入射和反射路径如图所示：
（2）由题意可设直线.不妨假设在轴上，则，，
则的面积，
因为，所以，，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故的面积存在最小值，不存在最大值，且最小值为.
【技巧点拨】涉及对称问题，主要有以下几种情况：
1．若点关于直线对称，设对称点是，则线段的中点在直线上且直线，由此可得一方程组（中点+垂直），解这个方程组得：的值，从而求得对称点的坐标.
2．若直线关于点对称，由于对称直线必与直线平行，故可设对称直线为.因为直线间的距离是点到直线的距离的二倍，则有，解这个方程可得的值（注意这里求出的有两个），再结合图形可求得对称直线的方程．
3．若直线关于直线对称，则在直线上取两点，求出这两点关于直线对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线关于直线对称的直线的方程．
【变式演练1】（2020·山东高考真题）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.
【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，则其关于点对称的点的坐标为，
因为点在直线上，所以即.故选：D.
【变式演练2】（2021·南京市高三开学考试）已知直线，直线与关于直线对称，则直线的方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在上任取一点，设关于直线的对称点为，
所以，解得，代入，得：，
所以直线的方程为.故选：A
【变式演练3】（2021·宝山·上海交大附中开学考试）已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（ ）
A．B．6C．D．
【答案】C
【解析】直线AB的方程为：，如图所示，点关于x轴的对称点，
设点关于直线AB的对称点，如图，
则，且中点在直线上，
即联立解得，即，
所以根据反射原理的对称性，光线所经过的路程为：
．故选：C.
常考点05 求圆的方程
【典例1】（1）（2021·赤峰二中高三期中）已知圆心在轴上，半径为的位于轴左侧，且与直线相切，则的方程是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·全国高三月考）“”是“方程表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】（1）C（2）B
【解析】（1）设圆心为（），由题意，所以．
圆方程为．故选：C．
（2）方法一：因为方程表示圆，所以，解得
所以“”是“”的必要不充分条件.故选:B.
方法二：方程表示圆，即表示圆，则需，解得，
所以“”是“”的必要不充分条件.故选:B.
【典例2】（2021·成都市·成都七中高二月考）已知圆过，，，
（1）求圆的方程；（2）判断和圆的位置关系．
【答案】（1）；（2）点在圆外．
【分析】（1）利用待定系数法求得圆的方程.
（2）由判断出点与圆的位置关系.
【详解】（1）设圆的方程为，
因为圆过，，，则，解得，
所以所求圆的方程为；
（2）因为，所以点在圆外．
【技巧点拨】求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
【变式演练1】（2020·山东高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】圆的圆心为，半径为，得到圆方程.
【详解】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.故选：B.
【变式演练2】（2021天津高三模拟）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________.
【答案】
【解析】设，则，故圆C的方程为
【变式演练3】（2021·全国高三专题练习）已知圆的圆心坐标是，若直线与圆相切于点，则圆的标准方程为___________.
【答案】
【解析】如图所示，
由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得.
所以圆心为，半径为.
所以圆的标准方程为.故答案为：.
常考点06 直线与圆相切
【典例1】（2021·天津高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
【答案】
【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.
【详解】设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，
因为，故.故答案为：.
【典例2】（2021·成都市·树德中学高三月考）已知圆，则过点作圆的切线的方程为___________.
【答案】或
【分析】本题考查求圆的切线方程，分斜率存在与不存在，利用由圆心到切线的距离等于半径，求解即得.
【详解】圆的圆心坐标，半径,
当切线的斜率不存在时，，显然到圆心的距离等于半径，故而是圆的一条切线；
当切线的斜率存在时，设斜率为，，即：,
由圆心到切线的距离等于半径，得，解得，
故切线的方程为，故答案为：或
【技巧点拨】判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
提醒：上述方法中最常用的是几何法．
【变式演练1】（2020·浙江省高考真题）设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______．
【答案】
【解析】设，，由题意，到直线的距离等于半径，
即，，所以，所以（舍）或者，
解得.故答案为：
【变式演练2】（2021·浙江温州·三模）已知圆C经过点、、，直线l与圆C相切于点B，则圆C的方程为________，直线l的方程为________．
【答案】；
【分析】已知圆上三点，设出圆的一般方程代入，即可求出圆的方程；点斜式设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于半径即可得解.
【详解】设圆的方程为，则
，，,故圆的方程为，即.
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，即；由圆的方程知圆心，；因为直线与圆相切，故圆心到直线的距离，解得，故直线的方程为.
故答案为：；.
【变式演练3】（2021·五华·云南师大附中月考）已知P是直线l: 上一动点，过点P作圆C:的两条切线，切点分别为A、B.则四边形PACB面积的最小值为___________.
【答案】2
【解析】由题意得：圆的方程为： ∴圆心为，半径为2，
又∵四边形PACB的面积，所以当PC最小时，四边形PACB面积最小．将代入点到直线的距离公式，，故四边形PACB面积的最小值为2．故答案为：2
常考点07 直线与圆相交及弦长问题
【典例1】（1）（2021·山西长治市·高三月考）已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝25相交于A，B两点，则|AB|＝__________.
（2）（2021·全国高三专题练习）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．不确定
（3）（2021·贵州贵阳·高三月考）若双曲线的一条渐近线与圆交于点，两点，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2
（4）（2021·全国高三专题练习）若直线与圆相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）6（2）B（3）D（4）C
【解析】（1）圆心到直线的距离为，圆半径为，
所以．故答案为：6．
（2）直线，即，由得，所以直线恒过定点，
因为，所以定点在圆内，所以直线与圆相交，故选：B.
（3）双曲线的一条渐近线为，在圆中，圆心，半径．圆心到渐近线的距离，由垂径定理得故选D．
（4）可化为，
令直线恒过定点，
当时，最小，此时.故选：C.
【典例2】（2020·全国高考真题）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，
设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时根据弦长公式得最小值为.故选：B.
【技巧点拨】弦长的两种求法：
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(r2－d2).
【变式演练1】（2021·江苏南通市·高三）已知直线与圆相交于A，B两点，则线段的长为___________.
【答案】
【解析】直线恒过点，圆的圆心，半径为，
直线恒过圆的圆心，所以直线交圆的弦长为直径，所以线段的长为.故答案为：.
【变式演练2】（2021·贵州贵阳市·贵阳一中高三月考）若直线(，)截圆：所得的弦长为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】圆：，则圆心，半径r=，而直线截圆所得弦长为，于是得直线过圆心C，即，
因此，，当且仅当时取“=”，
由及解得，且，
所以当且时，的最小值为.故选：B
【变式演练3】（2021·云南师大附中月考）已知圆M的方程为，过点的直线l与圆M相交的所有弦中，弦长最短的弦为，弦长最长的弦为，则四边形的面积为（ ）
A．30B．40C．60D．80
【答案】B
【解析】圆M的标准方程为，即圆是以为圆心，5为半径的圆，
且由，即点在圆内，
则最短的弦是以为中点的弦，所以，所以，
过最长的弦为直径，所以，且，
故而.故选：B.
常考点08 圆与圆的位置关系
【典例1】（2021·浙江丽水·月考）已知圆的圆心到直线的距离为，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．内切C．外切D．相离
【答案】B
【解析】圆的圆心为，半径为.
圆心到直线的距离为，解得.
∴圆的圆心为，半径为2，
圆的标准方程为：，
圆心坐标为，半径，圆心距，∴两圆相内切，故选：B.
【典例2】（1）（2021·湖南长沙·高三）已知圆，，则这两圆的公共弦长为（ ）
A．4B．C．2D．1
（2）（2021·广西来宾·高三模拟））若圆与圆相交，则正实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）C（2）A
【解析】（1）由题意知，，将两圆的方程相减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为.
又因为圆的圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离.所以这两圆的公共弦的弦长为.故选：C.
（2），因为圆与圆相交，
所以，解得．故选：A
【技巧点拨】
1.判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，转化为直线与圆相交的弦长问题．
【变式演练1】（2022·江苏高三专题练习）平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9，若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是________．
【答案】
【分析】由题知圆C与圆的公共弦是圆的直径，圆C与圆的公共弦是圆的直径，进而设圆C的圆心为，半径为得，再结合距离公式解方程即可得答案.
【详解】解：圆C平分圆C1等价于圆C与圆的公共弦是圆的直径．
同理圆C与圆的公共弦是圆的直径
设圆C的圆心为，半径为，则，
所以，即，解得
所以圆C的方程为．故答案为：
【变式演练2】（2021·双流高三月考）与圆，都相切的直线有（ ）
A.条B.条C.条D.条
【答案】A
【解析】由于圆可化为，则圆的圆心为，半径为；圆可化为，则圆的圆心为，半径为；所以圆，的圆心距则两个圆内切，
所以它们只有1条公切线，故选：A。
【变式演练3】（2021·辽宁高三）圆：与圆：交于、两点，则
A．6B．5C．D．
【答案】D
【解析】圆的半径，圆的半径，，
故在中，，
故．故选：D
常考点09 轨迹方程
【典例1】（1）（2021·全国高三专题练习）已知点A的坐标是（-1，0），点M满足|MA|=2，那么M点的轨迹方程是（ ）
A．x2+y2+2x-3=0B．x2+y2-2x-3=0C．x2+y2+2y-3=0D．x2+y2-2y-3=0
（2）（2021·全国高三专题练习）已知圆，过点的动直线与圆相交于，两点，线段的中点为，则的轨迹的长度为（ ）
A．8B．C．D．
【答案】（1）A
【解析】（1）设，点的坐标是，点满足，
可得：，即：，
所以M点的轨迹方程是.故选：A．
（2）设点，点是线段的中点，，，，
即，化简得：，
所以点是以为圆心，为半径的圆，并且在圆的圆的内部，
如图，垂直平分，，，即，的轨迹的长度为
故选：B
【典例2】（2021·广东高三月考）古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足＝2，则动点M的轨迹方程为（ ）
A．（x﹣5）2+y2＝16 B．x2+（y﹣5）2＝9 C．（x+5）2+y2＝16 D．x2+（y+5）2＝9
【答案】A
【解析】设，由，得，
可得：（x+3）2+y2＝4（x﹣3）2+4y2，即x2﹣10x+y2+9＝0
整理得，故动点的轨迹方程为.选A.
【方法点晴】求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法④求的轨迹方程的.
【技巧点拨】求轨迹方程的常见方法：1）定义法；2）直译法；3）相关点法。
【变式演练1】（2021·六盘山高级中学高三）已知圆：的圆心和圆上两点，构成等边三角形，则中点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆：，所以圆心，半径，
因为为等边三角形，且，所以，
所以M的轨迹是以C为圆心，半径为的圆
所以中点的轨迹方程是 故选：D
【变式演练2】（2021·江苏南通·高三）在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T．若PT＝PB，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设P(x，y)，∵PT＝PB，∴PT2＝2PB2∴
整理得：.故选：C
【变式演练3】（2021·江苏高三月考）平面直角坐标系中，已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆交圆于、两点，点在上且满足，则点的轨迹方程是___．
【答案】
【解析】延长交于点，则，设，
以为直径的圆交圆于点、，所以，，
则，可得，
在和中，，，，
，，，，
，，，则为的中点，且，
，，，则为的中点，
设点，则，，的中点坐标为，
以线段为直径的圆的方程为，即，
将圆与圆的方程相减得，
即直线的方程为，即，
由，解得，所以，直线过定点，
由于为线段的垂直平分线，则，
所以，点的轨迹方程为.故答案为：.
易错点01 写直线的截距式方程忽略截距为零的情况
【例】直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为
【错解】因为直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,设直线l的方程为,则,
所以,故直线l的方程为,即.
【错因分析】忽略直线l过原点,截距为零的情况.
【正解】若直线l过原点,满足题意,此时直线l的方程为；若直线l不过原点,设直线l的方程为,则,所以,故直线l的方程为,即.
所以直线l的方程为或.
【纠错笔记】直线l的方程可以表示为的条件是直线l在两坐标轴上的截距存在且不为零.
易错点02 误用忽视直线斜率的特殊情况致误
【例13】a为何值时,(1)直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(3a－1)x－ay－1＝0平行？
(2)直线l3：2x＋ay＝2与直线l4：ax＋2y＝1垂直？
【错解】(1)直线x＋2ay－1＝0与直线(3a－1)x－ay－1＝0的方程可变形为y＝－eq \f(1,2a)x＋eq \f(1,2a)与y＝eq \f(3a－1,a)x－eq \f(1,a),
∴当－eq \f(1,2a)＝eq \f(3a－1,a)且eq \f(1,2a)≠－eq \f(1,a), 即a＝eq \f(1,6)时,两直线平行．
(2)当－eq \f(2,a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))＝－1时,两直线垂直,此方程无解,故无论a为何值时,两直线都不垂直．
【错因分析】(1)没考虑斜率不存在即a＝0的情况；(2)没有考虑l3的斜率不存在且l4的斜率为0也符合要求这种情况．
【正解】(1)①当a≠0时,l1：y＝－eq \f(1,2a)x＋eq \f(1,2a),； l2：y＝eq \f(3a－1,a)x－eq \f(1,a),直线l1的斜率为k1＝－eq \f(1,2a), 直线l2的斜率为k2＝eq \f(3a－1,a),要使两直线平行,必须eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2a)＝\f(3a－1,a)，,\f(1,2a)≠－\f(1,a)，))解得a＝eq \f(1,6).
②当a＝0时,两直线的斜率不存在,直线l1：x－1＝0,直线l2：x＋1＝0,此时,l1∥l2.
综合①②可得当a＝0或a＝eq \f(1,6)时,两直线平行．
(2)方法一 ①当a＝0时,直线l3的斜率不存在,直线l3：x－1＝0,直线l4：y－eq \f(1,2)＝0,此时,l3⊥l4.
②当a≠0时,直线l3：y＝－eq \f(2,a)x＋eq \f(2,a)与直线l4：y＝－eq \f(a,2)x＋eq \f(1,2),直线l3的斜率为k3＝－eq \f(2,a),直线l4的斜率为k4＝－eq \f(a,2),要使两直线垂直,必须k3·k4＝－1,即－eq \f(2,a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))＝－1,不存在实数a使得方程成立．
综合①②可得当a＝0时,两直线垂直．
方法二 要使直线l3：2x＋ay＝2和直线l4：ax＋2y＝1垂直,根据两直线垂直的充要条件,必须A1A2＋B1B2＝0,即2a＋2a＝0,解得a＝0,所以,当a＝0时,两直线垂直．
【纠错笔记】求直线方程,特别是研究含参数的直线方程问题时,一定要对直线斜率的存在性进行讨论,这是避免出错的重要方法．
易错点03 忽视方程表示圆的条件致误
【例】已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0,过点A(1,2)作圆的切线有两条,求a的取值范围．
【错解】将圆C的方程配方有(x＋eq \f(a,2))2＋(y＋1)2＝eq \f(4－3a2,4).∴圆心C的坐标为(－eq \f(a,2),－1),半径r＝eq \f(\r(4－3a2),2).
当点A在圆外时,过点A可以作圆的两条切线,∴|AC|>r,即 eq \r(1＋\f(a,2)2＋2＋12)>eq \f(\r(4－3a2),2),
化简得a2＋a＋9>0,Δ＝1－4×9＝－35<0,∴a∈R.
【错因分析】错解中只考虑了点A在圆C外部,而忽视了圆C的方程是圆的一般式方程,x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0表示圆的条件没有考虑．
【正解】将圆C的方程配方有(x＋eq \f(a,2))2＋(y＋1)2＝eq \f(4－3a2,4),∴eq \f(4－3a2,4)>0,①
∴圆心C的坐标为(－eq \f(a,2),－1),半径r＝eq \f(\r(4－3a2),2).当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线,∴|AC|>r,
即 eq \r(1＋\f(a,2)2＋2＋12)>eq \f(\r(4－3a2),2),化简得a2＋a＋9>0.②
由①②得－eq \f(2\r(3),3)【纠错笔记】二元二次方程表示圆是有条件的,必须有D2＋E2－4F>0.本题的失分原因是忽视了这个条件．在解决此类问题时,可以直接判断D2＋E2－4F>0,也可以配方后,判断方程右侧大于0,因为右侧相当于r2.对于曲线方程中含有参数的,都要考虑参数的条件．
满分：150分 完成时间：120分钟
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·安徽高三月考）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当两直线平行，∴，解得或，
当，两直线重合，舍去；当时，两直线平行．
所以“”是“直线与直线平行”的充要条件．故选：C
2．（2021·北京高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
【详解】由题可得圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离，
则弦长为，则当时，弦长取得最小值为，解得.故选：C.
3.（2021·绥德中学高三月考）已知，，直线恒过点(，1)，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．16D．18
【答案】B
【分析】利用给定条件可得，再借助“1”的妙用即可计算得解.
【详解】因直线恒过点(，1)，则有，即，
又，，则，当且仅当，即时取“=”，
由得，所以当时，取得最小值9.故选：B
4.（2021·云南省下关第一中学高二月考）已知，两点，若直线与线段恒有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直线过定点，再求它与两点的斜率，即可取得k的取值范围．
【详解】解：直线过定点，，，
由图象可知：，所以k的取值范围是：．故选：B．
5.（2021·山东高三模拟）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】D
【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点，设反射光线所在直线的斜率为，则反身光线所在直线方程为：，即：.
又因为光线与圆相切，所以，,
整理：，解得：，或,故选D．
6．（2021·河南（理））已知圆与倾斜角为的直线相切于点，且与曲线相外切，则圆的方程为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】过点且倾斜角为的直线方程为，即，
设圆的圆心为，半径为，由题意直线垂直于直线，
故，可得，，
两圆相切，有，
（1）时，解得，圆的方程为；
（2）时，解得，圆的方程为；故选：D
7.（2021·衡水第一中学高三月考）已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为P为直线l上的动点，所以可设，由题意可得圆心C的坐标为，
以线段为直径的圆N的圆心为，半径为，所以方程为，两圆方程作差，
即得两圆公共弦的方程为，，所以直线过定点．故选：A.
8.（2020·全国高考真题（理））已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，
所以，而，
当直线时，，，此时最小．
∴即，由解得，．
所以以为直径的圆的方程为，即，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故选：D.
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·全国高三课时练习）已知直线，则下列说法正确的是（ ）．
A．直线的斜率可以等于0 B．若直线与轴的夹角为30°，则或
C．直线恒过点 D．若直线在两坐标轴上的截距相等，则或
【答案】BD
【分析】讨论和时直线的斜率和截距情况，判断AD的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；将方程化为判断直线过定点，判断C的正误.
【详解】当时，直线，斜率不存在，
当时，直线的斜率为，不可能等于0，故A选项错误；
∵直线与轴的夹角角为30°，∴直线的倾斜角为60°或120°，而直线的斜率为，
∴或，∴或，故B选项正确；
直线的方程可化为，所以直线过定点，故C选项错误；
当时，直线，在轴上的截距不存在，
当时，令，得，令，得，
令，得，故D选项正确．故选：BD．
10．（2021·江苏南通·）已知直线，圆，则直线被圆截得的弦长可能为（ ）
A．5B．6C．D．7
【答案】BC
【解析】由题意可得直线过定点，因为，
所以点在圆内，当时，最短弦长为，
当过点时，最长弦长为圆的直径，所以弦长的取值范围为.故选：BC.
11．（2021·全国高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.
12.（2021·全国高考真题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于
C．当最小时， D．当最大时，
【答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·湖南高考真题）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为___________
【答案】
【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.
【详解】由可得，所以圆心为，
由可得，所以直线的斜率为，
所以与直线垂直的直线的斜率为，
所以所求直线的方程为：，即，故答案为：.
14．（2021·全国高三专题练习）曲线关于直线对称的曲线方程是______．
【答案】
【解析】由得，
圆心为，设关于直线的对称点为
有，解得 所以所求的方程为
故答案为：
15．（2021·全国高三专题练习）已知圆，是轴上的动点，，分别切圆于，两点，则动弦的中点的轨迹方程为__________.
【答案】
【解析】由圆的方程可知圆心，半径为.设点，，点、、三点共线，
可得，由相似可得即，
联立消去并由图可知，可得.故答案为：
16．（2021·昆明市·云南师大附中高三月考）已知圆O: x2+y2=4， 以A(1, )为切点作圆O的切线l1，点B是直线l1上异于点A的一个动点，过点B作直线l1的垂线l2，若l2与圆O交于D， E两点，则AED面积的最大值为_______.
【答案】2
【分析】由切线性质得，到直线的距离等于到的距离，因此，设到距离为，把面积用表示，然后利用导数可得最大值．
【详解】根据题意可得图，，所以，因此到直线的距离等于到的距离，，
过点作直线的垂线，垂足为，记，则弦，
设三角形的面积为，所以，
将视为的函数，则 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以函数有最大值，当时取到最大值，，故面积的最大值为2．故答案为：2．
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（2021·抚松县高三月考）已知直线l1：2x+y+3＝0，l2：x﹣2y＝0．
(1)求直线l1关于x轴对称的直线l3的方程，并求l2与l3的交点P；
(2)求过点P且与原点O（0，0）距离等于2的直线m的方程．
【答案】(1)2x﹣y+3＝0，P（﹣2，﹣1）；(2) 3x+4y+10＝0或x＝﹣2.
【分析】(1)由对称关系求直线l3的方程，联立l2与l3的方程，求点P的坐标，(2)当直线m的斜率存在时，设直线m的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m的方程，再检验过点P的斜率不存在的直线是否满足要求.
【详解】(1)由题意，直线l3与直线l1的倾斜角互补，
从而它们的斜率互为相反数，且l1与l3必过x轴上相同点，∴直线l3的方程为2x﹣y+3＝0，
由解得∴P（﹣2，﹣1）．
(2)当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y+1＝k（x+2），即kx﹣y+2k﹣1＝0，
∴原点O（0，0）到直线m距离为，解得，∴直线m方程为3x+4y+10＝0，
当直线m的斜率不存在时，直线x＝﹣2满足题意，
综上直线m的方程为3x+4y+10＝0或x＝﹣2．
18．（2021·黑龙江鹤岗·月考）已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点.（1）若点到直线的距离为4，求直线的方程；（2）求面积的最小值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由题意可设直线的方程为，即，
则，解得.
故直线的方程为，即.
（2）因为直线的方程为，所以，，
则的面积为.
由题意可知，则（当且仅当时，等号成立）.
故面积的最小值为.
19．（2021·山东高三月考）已知的内切圆的圆心在轴正半轴上，半径为，直线截圆所得的弦长为.（1）求圆方程；（2）若点的坐标为，求直线和的斜率；
（3）若，两点在轴上移动，且，求面积的最小值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）设的内切圆的圆心，先求得圆心到直线的距离，再根据直线截圆所得的弦长为求解；（2）当直线和的斜率不存在时，设直线方程为，易知不成立；当直线和的斜率存在时，设直线方程为，然后由圆心到直线的距离等于半径求解；
（3）根据，设，进而得到直线AC和直线 BC的斜率，写出直线AC和BC的方程，联立求得点C的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.
【详解】（1）设的内切圆的圆心，圆心到直线的距离为，
又因为直线截圆所得的弦长为，所以，解得，所以圆方程；
（2）当直线和的斜率不存在时，设直线方程为，
则圆心到直线的距离 ，不成立，
当直线和的斜率存在时，设直线方程为，即 ，
圆心到直线的距离 ，解得；
（3）因为，设，
所以直线AC的斜率为：，同理直线BC的斜率为： ，
所以直线AC的方程为：，直线BC的方程为： ，
由，解得 ，即，
又 ，当时，点C的纵坐标取得最小值，
所以面积的最小值..
20.（2015·全国高考真题）已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
【答案】（1）；（2）2．
【解析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．
故由，解得：．
故当，过点A（0，1）的直线与圆C：相交于M，N两点．
（2）设M；N，由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程，可得，
∴，
∴，
由，解得 k=1，
故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2
21．（2021·新疆·乌市八中高二期末）已知直线：，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的上方。（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】（1）设出圆心坐标，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，由此求解出的值（注意范围），则圆的方程可求；（2）当直线的斜率不存在时，直接根据位置关系分析即可，当直线的斜率存在时，设出直线方程并联立圆的方程，由此可得坐标的韦达定理形式，根据结合韦达定理可求点的坐标.
【详解】解：（1）设圆心，∵圆心在的上方，∴，即，
∵直线：，半径为2的圆与相切，
∴，即，解得：或（舍去），则圆方程为；
（2）当直线轴，则轴平分，
当直线的斜率存在时，设的方程为，，，，
由得，，所以，
若轴平分，则，即，
整理得：，即，解得：，
当点，能使得总成立．
22.（2021·江苏高三月考）在平面直角坐标系中，己知圆，且圆被直线截得的弦长为2.（1）求圆的标准方程；（2）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线的方程；（3）若圆上存在点，由点向圆引一条切线，切点为，且满足，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或或或；（3）
【解析】（1）圆方程可整理为：
圆的圆心坐标为，半径
圆心到直线的距离：
截得的弦长为：，解得：
圆的标准方程为：
（2）①若直线过原点，可假设直线方程为：，即
直线与圆相切 圆心到直线距离，解得：
切线方程为：
②若直线不过原点，可假设直线方程为：，即
圆心到直线距离，解得：或
切线方程为或
综上所述，切线方程为或或
（3）假设，即
又直线与圆相切，切点为
即：，整理得：
又在圆上 两圆有公共点
，解得： 即的取值范围为：
目录TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc87989731" 常考点01 直线的倾斜角与斜率 PAGEREF _Tc87989731 \h 1
\l "_Tc87989732" 常考点02 直线的方程 PAGEREF _Tc87989732 \h 8
\l "_Tc87989733" 常考点03 直线的交点与距离问题 PAGEREF _Tc87989733 \h 13
\l "_Tc87989734" 常考点04 对称问题 PAGEREF _Tc87989734 \h 17
\l "_Tc87989735" 常考点05 求圆的方程 PAGEREF _Tc87989735 \h 24
\l "_Tc87989736" 常考点06 直线与圆相切 PAGEREF _Tc87989736 \h 28
\l "_Tc87989737" 常考点07 直线与圆相交及弦长问题 PAGEREF _Tc87989737 \h 30
\l "_Tc87989738" 常考点08 圆与圆的位置关系 PAGEREF _Tc87989738 \h 33
\l "_Tc87989739" 常考点09 轨迹方程 PAGEREF _Tc87989739 \h 39
\l "_Tc87989740" 易错点01 写直线的截距式方程忽略截距为零的情况 PAGEREF _Tc87989740 \h 44
\l "_Tc87989741" 易错点02 误用忽视直线斜率的特殊情况致误 PAGEREF _Tc87989741 \h 44
\l "_Tc87989742" 易错点03 忽视方程表示圆的条件致误 PAGEREF _Tc87989742 \h 45
\l "_Tc87989743" 专项训练 （全卷共22题） PAGEREF _Tc87989743 \h 47
专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写
常考点01 直线的倾斜角与斜率
【典例1】（2021·浙江高三专题练习）直线的倾斜角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可得，所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，因为，所以，故选：D.
【典例2】【（2021·台州市书生中学高二期中）已知直线：，直线：，若，则_________若，则________
【答案】
【分析】根据直线平行和垂直得到的关系，再结合二倍角公式及弦化切得到答案.
【详解】若，则，
此时，则两条直线不重合，故；
若，则，∴.
故答案为：，.
【技巧点拨】
1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用求倾斜角.
2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．
3.两直线的平行关系
(1) 对于两条不重合的直线，其斜率为，有.
(2)对于两条直线，有.
4．两条直线的垂直关系
(1) 对于两条直线，其斜率为，有.
(2)对于两条直线，有.
【变式演练1】（2021·浙江绍兴市·高二期末）已知直线，若，则__________：若曲线：与直线有两个公共点，则实数的取值范围是__________.
【答案】；
【分析】第1空：根据两直线平行的关系列出关于的方程，解得的值，然后代入直线方程检验即可得出实数的值；第2空：，将直线化为，恒过，结合图像即可求出实数的取值范围.
【详解】解：因为，所以，即，经检验；
，直线化为，恒过，画出函数图像，如图：
因为曲线：与直线有两个公共点，所以或或，即.
【变式演练2】（2021·江苏高三月考）设，则“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题知，当时，直线的方程为，斜率，直线的方程为，斜率．因为，所以两直线垂直，故充分性成立；若直线与垂直，则有，解得或，故必要性不成立.故选：A．
【变式演练3】（2021·山东高三课时练习）已知直线的斜率为，倾斜角为，若，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据倾斜角和斜率关系求解.
【详解】直线倾斜角为45°时，斜率为1，直线倾斜角为135°时，斜率为，
因为在上是增函数，在上是增函数，
所以当时，的取值范围是.故选：B.
常考点02 直线的方程
【典例1】（1）（2021·山东高考真题）如下图，直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·浙江高三专题练习）已知直线在轴上的截距为3，在轴上的截距为-2，则的方程为（ ）
A．3x-2y-6=0 B．2x-3y+6=0 C．2x-3y-6=0 D．3x-2y+6=0
（3）（2021·浙江高三专题练习）经过直线与的交点，且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
（4）（2021·全国高三专题练习）直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点坐标是（ ）
A．(－2，3)B．(2，3)C．(3，－2)D．(3，2)
【答案】（1）D（2）C（3）D（4）B
【解析】（1）由图可得直线与轴的交点为且倾斜角为30°，所以斜率，
所以直线的点斜式方程可得：，即．故选：D
（2）由题意可得直线的方程为，整理可得2x-3y-6=0.故选：C
（3）由题意，联立方程组，解得，即交点为，
设与直线垂直的直线方程为，
把点代入，即，解得，即所求直线方程为.故选：D.
（4）将直线方程化为点斜式得y－3＝k(x－2)，所以该直线过定点(2，3)，故选：B.
【典例2】（2021·全国高三专题练习）（1）已知一条直线经过点，且在两坐标轴上的截距之和为6，求这条直线的方程；（2）直线l经过点且与x，y轴正半轴交于A，B两点，当面积最小时求直线l的方程（O为坐标原点）.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）设直线的截距式方程，列方程组，求解即得解；
（2）设直线l的方程为，则，借助均值不等式即得的最小值.
【详解】（1）由题意，直线在两个坐标轴上的截距存在，因此设所求直线方程为.
由题意，得解这个方程组，得或
所求直线方程为或，即或.
（2）设直线l的方程为，则.
，，，得.当且仅当时，即，时等号成立.
此时的面积最小.所求直线方程为，即.
【技巧点拨】求直线方程的常用方法：
（1）直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．
（2）待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．
（3）直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．
求直线方程的注意事项：
（1）在求直线方程时，根据题目的条件选择适当的形式．
（2）对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．
（3）涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为的情况；另外，某些涉及直线问题中，往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意.
【变式演练1】（2021·浙江高三专题练习）已知，，，则过点且与线段垂直的直线方程为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以与垂直的直线的斜率为，
所以过点且与线段垂直的直线方程为，即，故选：D
【变式演练2】（2021·鸡泽县高三开学考试）的三个顶点为，则不是三角形各边上中线所在直线方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由题意：线段的中点；线段的中点；线段的中点；
则中线所在直线分别是：直线、直线、直线，
根据、两点，求直线：；
根据、两点，求直线：
根据、两点，求直线：故选：C
【变式演练3】（2021·全国高三课时作业）已知直线l过点，并且点和点到直线l的距离相等，求直线l的方程．
【答案】或．
【分析】方法一：分点A和点B在直线l的同侧和异侧两种情况求解；
方法二：设直线l的方程为，再根据点到线的距离公式求解即可
【详解】方法一：当点A和点B在直线l的同侧时，易得．
∵，∴．又知直线l过点，∴直线l的方程为，即．
当点A和点B在直线l的异侧，这时直线l过的中点．
又因为直线l过点，则直线l的斜率为0，直线l的方程为．
综上所述，直线l的方程为或．
方法二：设直线l的方程为．
由题设知，直线l过点，并且点和点到直线l的距离相等，则，于是可得．从而可得或，解得或．
当时，，且，此时直线方程为．
当时，，此时直线方程为．综上所述，直线l的方程为或．
常考点03 直线的交点与距离问题
【典例1】【例3】（1）（2021·湖南高考真题）点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
（2）（2021·浙江高三专题练习）已知直线，直线，则与之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
（3）（2021·沙坪坝·重庆八中）过直线和的交点P，且与直线垂直的直线l的方程为 .
【答案】（1）D（2）D（3）
【解析】（1）点到直线的距离为，故选：D.
（2）直线的方程可化为，则与之间的距离．故选：D
（3）直线l垂直于直线. 设直线l的方程为.
与的交点为，，解得从而.所以直线l的方程为.
【典例2】（2021·河北高三月考）已知直线和，则原点到的距离的最大值是______；若，则实数=______.
【答案】5 -1
【分析】分析可得，直线过定点，当原点到的距离最大时，满足，即得解第一空；第二空，利用平面中两直线一般方程的平行公式即得解.
【详解】直线的方程可化为，则直线过定点，
当原点到的距离最大时，满足，所以原点到的距离的最大值为.
若，则两条直线的方程分别为和，与不平行；
若，则两条直线的方程分别为和，与不平行；
当且，若，则，由，得，解得或2，
当时，，与重合，不符合题意，当时，，满足题意.故答案为：
【技巧点拨】两种距离的求解思路
(1)点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
(2)两平行线间的距离的求法
①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式)．
两直线交点的求法
求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．
求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．
【变式演练1】（2021·全国高三专题练习）点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据距离公式可得：点到直线的距离，故选：B.
【变式演练2】（2021·全国高三专题练习）若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______．
【答案】
【解析】∵直线与平行，∴，解得，∴直线：，直线：，
∴直线与之间的距离．故答案为：
【变式演练3】（2021·天津市梧桐中学高二月考）已知直线．
（1）若直线在轴上的截距为，求实数的值；
（2）若直线与直线平行，求两平行直线与之间的距离．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由题意利用直线在坐标轴上的截距的定义，求得的值．
（2）利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果．
【详解】（1）若直线，令，求得在轴上的截距为，实数．
（2）若直线与直线平行，
则，求得，故，即，
求两平行直线与之间的距离为．
常考点04 对称问题
【典例1】（1）（2021·浙江高三）点关于直线的对称点是（ ）
A．B．C．D．
（2）（2021·青铜峡市高级中学高二月考）已知直线与直线关于直线对称，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）B（2）A
【解析】（1）设点关于直线的对称点是，
则有，解得，，故点关于直线的对称点是.故选：B.
（2）直线取两点，其关于对称的点为在直线上，故斜率为，即方程为，即.故选：A.
【典例2】（2021·辽宁葫芦岛·高二月考）（1）当光射到两种不同介质的分界面上时，便有部分光自界面射回原介质中的现象，被称为光的反射，如图1所示一条光线从点出发，经过直线反射后到达点，如图2所示.求反射光线所在直线的方程，并在图2中作出光线从到的入射和反射路径.
（2）已知，直线的斜率小于，且经过点，与坐标轴交于，两点，试问的面积是否存在最值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），作图答案见解析；（2）不存在最大值，最小值为.
【分析】（1）求得关于直线的对称点的坐标，由此求得反射光线所在直线方程，并画出图象.
（2）设直线，求得的面积的表达式，结合基本不等式求得的取值范围，由此确定正确结论.
【详解】（1）设关于直线的对称点为，
则，解得，，所以反射光线所在直线为，
其方程为，即.故光线从到的入射和反射路径如图所示：
（2）由题意可设直线.不妨假设在轴上，则，，
则的面积，
因为，所以，，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故的面积存在最小值，不存在最大值，且最小值为.
【技巧点拨】涉及对称问题，主要有以下几种情况：
1．若点关于直线对称，设对称点是，则线段的中点在直线上且直线，由此可得一方程组（中点+垂直），解这个方程组得：的值，从而求得对称点的坐标.
2．若直线关于点对称，由于对称直线必与直线平行，故可设对称直线为.因为直线间的距离是点到直线的距离的二倍，则有，解这个方程可得的值（注意这里求出的有两个），再结合图形可求得对称直线的方程．
3．若直线关于直线对称，则在直线上取两点，求出这两点关于直线对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线关于直线对称的直线的方程．
【变式演练1】（2020·山东高考真题）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.
【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，则其关于点对称的点的坐标为，
因为点在直线上，所以即.故选：D.
【变式演练2】（2021·南京市高三开学考试）已知直线，直线与关于直线对称，则直线的方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在上任取一点，设关于直线的对称点为，
所以，解得，代入，得：，
所以直线的方程为.故选：A
【变式演练3】（2021·宝山·上海交大附中开学考试）已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（ ）
A．B．6C．D．
【答案】C
【解析】直线AB的方程为：，如图所示，点关于x轴的对称点，
设点关于直线AB的对称点，如图，
则，且中点在直线上，
即联立解得，即，
所以根据反射原理的对称性，光线所经过的路程为：
．故选：C.
常考点05 求圆的方程
【典例1】（1）（2021·赤峰二中高三期中）已知圆心在轴上，半径为的位于轴左侧，且与直线相切，则的方程是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·全国高三月考）“”是“方程表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】（1）C（2）B
【解析】（1）设圆心为（），由题意，所以．
圆方程为．故选：C．
（2）方法一：因为方程表示圆，所以，解得
所以“”是“”的必要不充分条件.故选:B.
方法二：方程表示圆，即表示圆，则需，解得，
所以“”是“”的必要不充分条件.故选:B.
【典例2】（2021·成都市·成都七中高二月考）已知圆过，，，
（1）求圆的方程；（2）判断和圆的位置关系．
【答案】（1）；（2）点在圆外．
【分析】（1）利用待定系数法求得圆的方程.
（2）由判断出点与圆的位置关系.
【详解】（1）设圆的方程为，
因为圆过，，，则，解得，
所以所求圆的方程为；
（2）因为，所以点在圆外．
【技巧点拨】求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
【变式演练1】（2020·山东高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】圆的圆心为，半径为，得到圆方程.
【详解】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.故选：B.
【变式演练2】（2021天津高三模拟）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________.
【答案】
【解析】设，则，故圆C的方程为
【变式演练3】（2021·全国高三专题练习）已知圆的圆心坐标是，若直线与圆相切于点，则圆的标准方程为___________.
【答案】
【解析】如图所示，
由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得.
所以圆心为，半径为.
所以圆的标准方程为.故答案为：.
常考点06 直线与圆相切
【典例1】（2021·天津高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
【答案】
【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.
【详解】设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，
因为，故.故答案为：.
【典例2】（2021·成都市·树德中学高三月考）已知圆，则过点作圆的切线的方程为___________.
【答案】或
【分析】本题考查求圆的切线方程，分斜率存在与不存在，利用由圆心到切线的距离等于半径，求解即得.
【详解】圆的圆心坐标，半径,
当切线的斜率不存在时，，显然到圆心的距离等于半径，故而是圆的一条切线；
当切线的斜率存在时，设斜率为，，即：,
由圆心到切线的距离等于半径，得，解得，
故切线的方程为，故答案为：或
【技巧点拨】判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
提醒：上述方法中最常用的是几何法．
【变式演练1】（2020·浙江省高考真题）设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______．
【答案】
【解析】设，，由题意，到直线的距离等于半径，
即，，所以，所以（舍）或者，
解得.故答案为：
【变式演练2】（2021·浙江温州·三模）已知圆C经过点、、，直线l与圆C相切于点B，则圆C的方程为________，直线l的方程为________．
【答案】；
【分析】已知圆上三点，设出圆的一般方程代入，即可求出圆的方程；点斜式设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于半径即可得解.
【详解】设圆的方程为，则
，，,故圆的方程为，即.
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，即；由圆的方程知圆心，；因为直线与圆相切，故圆心到直线的距离，解得，故直线的方程为.
故答案为：；.
【变式演练3】（2021·五华·云南师大附中月考）已知P是直线l: 上一动点，过点P作圆C:的两条切线，切点分别为A、B.则四边形PACB面积的最小值为___________.
【答案】2
【解析】由题意得：圆的方程为： ∴圆心为，半径为2，
又∵四边形PACB的面积，所以当PC最小时，四边形PACB面积最小．将代入点到直线的距离公式，，故四边形PACB面积的最小值为2．故答案为：2
常考点07 直线与圆相交及弦长问题
【典例1】（1）（2021·山西长治市·高三月考）已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝25相交于A，B两点，则|AB|＝__________.
（2）（2021·全国高三专题练习）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．不确定
（3）（2021·贵州贵阳·高三月考）若双曲线的一条渐近线与圆交于点，两点，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2
（4）（2021·全国高三专题练习）若直线与圆相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）6（2）B（3）D（4）C
【解析】（1）圆心到直线的距离为，圆半径为，
所以．故答案为：6．
（2）直线，即，由得，所以直线恒过定点，
因为，所以定点在圆内，所以直线与圆相交，故选：B.
（3）双曲线的一条渐近线为，在圆中，圆心，半径．圆心到渐近线的距离，由垂径定理得故选D．
（4）可化为，
令直线恒过定点，
当时，最小，此时.故选：C.
【典例2】（2020·全国高考真题）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，
设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时根据弦长公式得最小值为.故选：B.
【技巧点拨】弦长的两种求法：
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(r2－d2).
【变式演练1】（2021·江苏南通市·高三）已知直线与圆相交于A，B两点，则线段的长为___________.
【答案】
【解析】直线恒过点，圆的圆心，半径为，
直线恒过圆的圆心，所以直线交圆的弦长为直径，所以线段的长为.故答案为：.
【变式演练2】（2021·贵州贵阳市·贵阳一中高三月考）若直线(，)截圆：所得的弦长为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】圆：，则圆心，半径r=，而直线截圆所得弦长为，于是得直线过圆心C，即，
因此，，当且仅当时取“=”，
由及解得，且，
所以当且时，的最小值为.故选：B
【变式演练3】（2021·云南师大附中月考）已知圆M的方程为，过点的直线l与圆M相交的所有弦中，弦长最短的弦为，弦长最长的弦为，则四边形的面积为（ ）
A．30B．40C．60D．80
【答案】B
【解析】圆M的标准方程为，即圆是以为圆心，5为半径的圆，
且由，即点在圆内，
则最短的弦是以为中点的弦，所以，所以，
过最长的弦为直径，所以，且，
故而.故选：B.
常考点08 圆与圆的位置关系
【典例1】（2021·浙江丽水·月考）已知圆的圆心到直线的距离为，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．内切C．外切D．相离
【答案】B
【解析】圆的圆心为，半径为.
圆心到直线的距离为，解得.
∴圆的圆心为，半径为2，
圆的标准方程为：，
圆心坐标为，半径，圆心距，∴两圆相内切，故选：B.
【典例2】（1）（2021·湖南长沙·高三）已知圆，，则这两圆的公共弦长为（ ）
A．4B．C．2D．1
（2）（2021·广西来宾·高三模拟））若圆与圆相交，则正实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）C（2）A
【解析】（1）由题意知，，将两圆的方程相减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为.
又因为圆的圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离.所以这两圆的公共弦的弦长为.故选：C.
（2），因为圆与圆相交，
所以，解得．故选：A
【技巧点拨】
1.判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，转化为直线与圆相交的弦长问题．
【变式演练1】（2022·江苏高三专题练习）平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9，若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是________．
【答案】
【分析】由题知圆C与圆的公共弦是圆的直径，圆C与圆的公共弦是圆的直径，进而设圆C的圆心为，半径为得，再结合距离公式解方程即可得答案.
【详解】解：圆C平分圆C1等价于圆C与圆的公共弦是圆的直径．
同理圆C与圆的公共弦是圆的直径
设圆C的圆心为，半径为，则，
所以，即，解得
所以圆C的方程为．故答案为：
【变式演练2】（2021·双流高三月考）与圆，都相切的直线有（ ）
A.条B.条C.条D.条
【答案】A
【解析】由于圆可化为，则圆的圆心为，半径为；圆可化为，则圆的圆心为，半径为；所以圆，的圆心距则两个圆内切，
所以它们只有1条公切线，故选：A。
【变式演练3】（2021·辽宁高三）圆：与圆：交于、两点，则
A．6B．5C．D．
【答案】D
【解析】圆的半径，圆的半径，，
故在中，，
故．故选：D
常考点09 轨迹方程
【典例1】（1）（2021·全国高三专题练习）已知点A的坐标是（-1，0），点M满足|MA|=2，那么M点的轨迹方程是（ ）
A．x2+y2+2x-3=0B．x2+y2-2x-3=0C．x2+y2+2y-3=0D．x2+y2-2y-3=0
（2）（2021·全国高三专题练习）已知圆，过点的动直线与圆相交于，两点，线段的中点为，则的轨迹的长度为（ ）
A．8B．C．D．
【答案】（1）A
【解析】（1）设，点的坐标是，点满足，
可得：，即：，
所以M点的轨迹方程是.故选：A．
（2）设点，点是线段的中点，，，，
即，化简得：，
所以点是以为圆心，为半径的圆，并且在圆的圆的内部，
如图，垂直平分，，，即，的轨迹的长度为
故选：B
【典例2】（2021·广东高三月考）古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足＝2，则动点M的轨迹方程为（ ）
A．（x﹣5）2+y2＝16 B．x2+（y﹣5）2＝9 C．（x+5）2+y2＝16 D．x2+（y+5）2＝9
【答案】A
【解析】设，由，得，
可得：（x+3）2+y2＝4（x﹣3）2+4y2，即x2﹣10x+y2+9＝0
整理得，故动点的轨迹方程为.选A.
【方法点晴】求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法④求的轨迹方程的.
【技巧点拨】求轨迹方程的常见方法：1）定义法；2）直译法；3）相关点法。
【变式演练1】（2021·六盘山高级中学高三）已知圆：的圆心和圆上两点，构成等边三角形，则中点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆：，所以圆心，半径，
因为为等边三角形，且，所以，
所以M的轨迹是以C为圆心，半径为的圆
所以中点的轨迹方程是 故选：D
【变式演练2】（2021·江苏南通·高三）在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T．若PT＝PB，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设P(x，y)，∵PT＝PB，∴PT2＝2PB2∴
整理得：.故选：C
【变式演练3】（2021·江苏高三月考）平面直角坐标系中，已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆交圆于、两点，点在上且满足，则点的轨迹方程是___．
【答案】
【解析】延长交于点，则，设，
以为直径的圆交圆于点、，所以，，
则，可得，
在和中，，，，
，，，，
，，，则为的中点，且，
，，，则为的中点，
设点，则，，的中点坐标为，
以线段为直径的圆的方程为，即，
将圆与圆的方程相减得，
即直线的方程为，即，
由，解得，所以，直线过定点，
由于为线段的垂直平分线，则，
所以，点的轨迹方程为.故答案为：.
易错点01 写直线的截距式方程忽略截距为零的情况
【例】直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为
【错解】因为直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,设直线l的方程为,则,
所以,故直线l的方程为,即.
【错因分析】忽略直线l过原点,截距为零的情况.
【正解】若直线l过原点,满足题意,此时直线l的方程为；若直线l不过原点,设直线l的方程为,则,所以,故直线l的方程为,即.
所以直线l的方程为或.
【纠错笔记】直线l的方程可以表示为的条件是直线l在两坐标轴上的截距存在且不为零.
易错点02 误用忽视直线斜率的特殊情况致误
【例13】a为何值时,(1)直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(3a－1)x－ay－1＝0平行？
(2)直线l3：2x＋ay＝2与直线l4：ax＋2y＝1垂直？
【错解】(1)直线x＋2ay－1＝0与直线(3a－1)x－ay－1＝0的方程可变形为y＝－eq \f(1,2a)x＋eq \f(1,2a)与y＝eq \f(3a－1,a)x－eq \f(1,a),
∴当－eq \f(1,2a)＝eq \f(3a－1,a)且eq \f(1,2a)≠－eq \f(1,a), 即a＝eq \f(1,6)时,两直线平行．
(2)当－eq \f(2,a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))＝－1时,两直线垂直,此方程无解,故无论a为何值时,两直线都不垂直．
【错因分析】(1)没考虑斜率不存在即a＝0的情况；(2)没有考虑l3的斜率不存在且l4的斜率为0也符合要求这种情况．
【正解】(1)①当a≠0时,l1：y＝－eq \f(1,2a)x＋eq \f(1,2a),； l2：y＝eq \f(3a－1,a)x－eq \f(1,a),直线l1的斜率为k1＝－eq \f(1,2a), 直线l2的斜率为k2＝eq \f(3a－1,a),要使两直线平行,必须eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2a)＝\f(3a－1,a)，,\f(1,2a)≠－\f(1,a)，))解得a＝eq \f(1,6).
②当a＝0时,两直线的斜率不存在,直线l1：x－1＝0,直线l2：x＋1＝0,此时,l1∥l2.
综合①②可得当a＝0或a＝eq \f(1,6)时,两直线平行．
(2)方法一 ①当a＝0时,直线l3的斜率不存在,直线l3：x－1＝0,直线l4：y－eq \f(1,2)＝0,此时,l3⊥l4.
②当a≠0时,直线l3：y＝－eq \f(2,a)x＋eq \f(2,a)与直线l4：y＝－eq \f(a,2)x＋eq \f(1,2),直线l3的斜率为k3＝－eq \f(2,a),直线l4的斜率为k4＝－eq \f(a,2),要使两直线垂直,必须k3·k4＝－1,即－eq \f(2,a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))＝－1,不存在实数a使得方程成立．
综合①②可得当a＝0时,两直线垂直．
方法二 要使直线l3：2x＋ay＝2和直线l4：ax＋2y＝1垂直,根据两直线垂直的充要条件,必须A1A2＋B1B2＝0,即2a＋2a＝0,解得a＝0,所以,当a＝0时,两直线垂直．
【纠错笔记】求直线方程,特别是研究含参数的直线方程问题时,一定要对直线斜率的存在性进行讨论,这是避免出错的重要方法．
易错点03 忽视方程表示圆的条件致误
【例】已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0,过点A(1,2)作圆的切线有两条,求a的取值范围．
【错解】将圆C的方程配方有(x＋eq \f(a,2))2＋(y＋1)2＝eq \f(4－3a2,4).∴圆心C的坐标为(－eq \f(a,2),－1),半径r＝eq \f(\r(4－3a2),2).
当点A在圆外时,过点A可以作圆的两条切线,∴|AC|>r,即 eq \r(1＋\f(a,2)2＋2＋12)>eq \f(\r(4－3a2),2),
化简得a2＋a＋9>0,Δ＝1－4×9＝－35<0,∴a∈R.
【错因分析】错解中只考虑了点A在圆C外部,而忽视了圆C的方程是圆的一般式方程,x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0表示圆的条件没有考虑．
【正解】将圆C的方程配方有(x＋eq \f(a,2))2＋(y＋1)2＝eq \f(4－3a2,4),∴eq \f(4－3a2,4)>0,①
∴圆心C的坐标为(－eq \f(a,2),－1),半径r＝eq \f(\r(4－3a2),2).当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线,∴|AC|>r,
即 eq \r(1＋\f(a,2)2＋2＋12)>eq \f(\r(4－3a2),2),化简得a2＋a＋9>0.②
由①②得－eq \f(2\r(3),3)
满分：150分 完成时间：120分钟
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·安徽高三月考）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当两直线平行，∴，解得或，
当，两直线重合，舍去；当时，两直线平行．
所以“”是“直线与直线平行”的充要条件．故选：C
2．（2021·北京高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
【详解】由题可得圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离，
则弦长为，则当时，弦长取得最小值为，解得.故选：C.
3.（2021·绥德中学高三月考）已知，，直线恒过点(，1)，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．16D．18
【答案】B
【分析】利用给定条件可得，再借助“1”的妙用即可计算得解.
【详解】因直线恒过点(，1)，则有，即，
又，，则，当且仅当，即时取“=”，
由得，所以当时，取得最小值9.故选：B
4.（2021·云南省下关第一中学高二月考）已知，两点，若直线与线段恒有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直线过定点，再求它与两点的斜率，即可取得k的取值范围．
【详解】解：直线过定点，，，
由图象可知：，所以k的取值范围是：．故选：B．
5.（2021·山东高三模拟）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】D
【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点，设反射光线所在直线的斜率为，则反身光线所在直线方程为：，即：.
又因为光线与圆相切，所以，,
整理：，解得：，或,故选D．
6．（2021·河南（理））已知圆与倾斜角为的直线相切于点，且与曲线相外切，则圆的方程为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】过点且倾斜角为的直线方程为，即，
设圆的圆心为，半径为，由题意直线垂直于直线，
故，可得，，
两圆相切，有，
（1）时，解得，圆的方程为；
（2）时，解得，圆的方程为；故选：D
7.（2021·衡水第一中学高三月考）已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为P为直线l上的动点，所以可设，由题意可得圆心C的坐标为，
以线段为直径的圆N的圆心为，半径为，所以方程为，两圆方程作差，
即得两圆公共弦的方程为，，所以直线过定点．故选：A.
8.（2020·全国高考真题（理））已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，
所以，而，
当直线时，，，此时最小．
∴即，由解得，．
所以以为直径的圆的方程为，即，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故选：D.
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·全国高三课时练习）已知直线，则下列说法正确的是（ ）．
A．直线的斜率可以等于0 B．若直线与轴的夹角为30°，则或
C．直线恒过点 D．若直线在两坐标轴上的截距相等，则或
【答案】BD
【分析】讨论和时直线的斜率和截距情况，判断AD的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；将方程化为判断直线过定点，判断C的正误.
【详解】当时，直线，斜率不存在，
当时，直线的斜率为，不可能等于0，故A选项错误；
∵直线与轴的夹角角为30°，∴直线的倾斜角为60°或120°，而直线的斜率为，
∴或，∴或，故B选项正确；
直线的方程可化为，所以直线过定点，故C选项错误；
当时，直线，在轴上的截距不存在，
当时，令，得，令，得，
令，得，故D选项正确．故选：BD．
10．（2021·江苏南通·）已知直线，圆，则直线被圆截得的弦长可能为（ ）
A．5B．6C．D．7
【答案】BC
【解析】由题意可得直线过定点，因为，
所以点在圆内，当时，最短弦长为，
当过点时，最长弦长为圆的直径，所以弦长的取值范围为.故选：BC.
11．（2021·全国高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.
12.（2021·全国高考真题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于
C．当最小时， D．当最大时，
【答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·湖南高考真题）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为___________
【答案】
【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.
【详解】由可得，所以圆心为，
由可得，所以直线的斜率为，
所以与直线垂直的直线的斜率为，
所以所求直线的方程为：，即，故答案为：.
14．（2021·全国高三专题练习）曲线关于直线对称的曲线方程是______．
【答案】
【解析】由得，
圆心为，设关于直线的对称点为
有，解得 所以所求的方程为
故答案为：
15．（2021·全国高三专题练习）已知圆，是轴上的动点，，分别切圆于，两点，则动弦的中点的轨迹方程为__________.
【答案】
【解析】由圆的方程可知圆心，半径为.设点，，点、、三点共线，
可得，由相似可得即，
联立消去并由图可知，可得.故答案为：
16．（2021·昆明市·云南师大附中高三月考）已知圆O: x2+y2=4， 以A(1, )为切点作圆O的切线l1，点B是直线l1上异于点A的一个动点，过点B作直线l1的垂线l2，若l2与圆O交于D， E两点，则AED面积的最大值为_______.
【答案】2
【分析】由切线性质得，到直线的距离等于到的距离，因此，设到距离为，把面积用表示，然后利用导数可得最大值．
【详解】根据题意可得图，，所以，因此到直线的距离等于到的距离，，
过点作直线的垂线，垂足为，记，则弦，
设三角形的面积为，所以，
将视为的函数，则 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以函数有最大值，当时取到最大值，，故面积的最大值为2．故答案为：2．
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（2021·抚松县高三月考）已知直线l1：2x+y+3＝0，l2：x﹣2y＝0．
(1)求直线l1关于x轴对称的直线l3的方程，并求l2与l3的交点P；
(2)求过点P且与原点O（0，0）距离等于2的直线m的方程．
【答案】(1)2x﹣y+3＝0，P（﹣2，﹣1）；(2) 3x+4y+10＝0或x＝﹣2.
【分析】(1)由对称关系求直线l3的方程，联立l2与l3的方程，求点P的坐标，(2)当直线m的斜率存在时，设直线m的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m的方程，再检验过点P的斜率不存在的直线是否满足要求.
【详解】(1)由题意，直线l3与直线l1的倾斜角互补，
从而它们的斜率互为相反数，且l1与l3必过x轴上相同点，∴直线l3的方程为2x﹣y+3＝0，
由解得∴P（﹣2，﹣1）．
(2)当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y+1＝k（x+2），即kx﹣y+2k﹣1＝0，
∴原点O（0，0）到直线m距离为，解得，∴直线m方程为3x+4y+10＝0，
当直线m的斜率不存在时，直线x＝﹣2满足题意，
综上直线m的方程为3x+4y+10＝0或x＝﹣2．
18．（2021·黑龙江鹤岗·月考）已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点.（1）若点到直线的距离为4，求直线的方程；（2）求面积的最小值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由题意可设直线的方程为，即，
则，解得.
故直线的方程为，即.
（2）因为直线的方程为，所以，，
则的面积为.
由题意可知，则（当且仅当时，等号成立）.
故面积的最小值为.
19．（2021·山东高三月考）已知的内切圆的圆心在轴正半轴上，半径为，直线截圆所得的弦长为.（1）求圆方程；（2）若点的坐标为，求直线和的斜率；
（3）若，两点在轴上移动，且，求面积的最小值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）设的内切圆的圆心，先求得圆心到直线的距离，再根据直线截圆所得的弦长为求解；（2）当直线和的斜率不存在时，设直线方程为，易知不成立；当直线和的斜率存在时，设直线方程为，然后由圆心到直线的距离等于半径求解；
（3）根据，设，进而得到直线AC和直线 BC的斜率，写出直线AC和BC的方程，联立求得点C的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.
【详解】（1）设的内切圆的圆心，圆心到直线的距离为，
又因为直线截圆所得的弦长为，所以，解得，所以圆方程；
（2）当直线和的斜率不存在时，设直线方程为，
则圆心到直线的距离 ，不成立，
当直线和的斜率存在时，设直线方程为，即 ，
圆心到直线的距离 ，解得；
（3）因为，设，
所以直线AC的斜率为：，同理直线BC的斜率为： ，
所以直线AC的方程为：，直线BC的方程为： ，
由，解得 ，即，
又 ，当时，点C的纵坐标取得最小值，
所以面积的最小值..
20.（2015·全国高考真题）已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
【答案】（1）；（2）2．
【解析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．
故由，解得：．
故当，过点A（0，1）的直线与圆C：相交于M，N两点．
（2）设M；N，由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程，可得，
∴，
∴，
由，解得 k=1，
故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2
21．（2021·新疆·乌市八中高二期末）已知直线：，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的上方。（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】（1）设出圆心坐标，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，由此求解出的值（注意范围），则圆的方程可求；（2）当直线的斜率不存在时，直接根据位置关系分析即可，当直线的斜率存在时，设出直线方程并联立圆的方程，由此可得坐标的韦达定理形式，根据结合韦达定理可求点的坐标.
【详解】解：（1）设圆心，∵圆心在的上方，∴，即，
∵直线：，半径为2的圆与相切，
∴，即，解得：或（舍去），则圆方程为；
（2）当直线轴，则轴平分，
当直线的斜率存在时，设的方程为，，，，
由得，，所以，
若轴平分，则，即，
整理得：，即，解得：，
当点，能使得总成立．
22.（2021·江苏高三月考）在平面直角坐标系中，己知圆，且圆被直线截得的弦长为2.（1）求圆的标准方程；（2）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线的方程；（3）若圆上存在点，由点向圆引一条切线，切点为，且满足，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或或或；（3）
【解析】（1）圆方程可整理为：
圆的圆心坐标为，半径
圆心到直线的距离：
截得的弦长为：，解得：
圆的标准方程为：
（2）①若直线过原点，可假设直线方程为：，即
直线与圆相切 圆心到直线距离，解得：
切线方程为：
②若直线不过原点，可假设直线方程为：，即
圆心到直线距离，解得：或
切线方程为或
综上所述，切线方程为或或
（3）假设，即
又直线与圆相切，切点为
即：，整理得：
又在圆上 两圆有公共点
，解得： 即的取值范围为：
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