专题10 导数的概念、运算及导数的几何意义 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年）

这是一份专题10 导数的概念、运算及导数的几何意义 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年），共31页。

目录TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc84118981" 常考点01 导数的概念 PAGEREF _Tc84118981 \h 1
\l "_Tc84118982" 常考点02 导数的计算 PAGEREF _Tc84118982 \h 3
\l "_Tc84118983" 常考点02 求曲线的切线方程 PAGEREF _Tc84118983 \h 5
\l "_Tc84118984" 常考点04 求切点坐标 PAGEREF _Tc84118984 \h 8
\l "_Tc84118985" 常考点05 求参数的值(范围) PAGEREF _Tc84118985 \h 10
\l "_Tc84118986" 常考点06 切线的斜率与倾斜角 PAGEREF _Tc84118986 \h 12
\l "_Tc84118987" 常考点07 切线的几何意义在距离中的应用 PAGEREF _Tc84118987 \h 14
\l "_Tc84118988" 常考点08 公切线问题 PAGEREF _Tc84118988 \h 16
\l "_Tc84118989" 易错点01复合函数求导错误 PAGEREF _Tc84118989 \h 19
\l "_Tc84118990" 易错点02求切线方程,混淆“在某点处”与“过某点” PAGEREF _Tc84118990 \h 20
\l "_Tc84118991" 专项训练 （全卷共22题） PAGEREF _Tc84118991 \h 22
专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写
常考点01 导数的概念
【典例1】（2021·珠海市高三期中）函数在区间上的平均变化率是________．
【答案】
【分析】根据平均变化率的定义：求区间上的平均变化率即可.
【详解】解：函数的平均变化率为．故答案为：．
【典例2】（2021·江苏）对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】利用平均变化率的定义以及导数的定义对四个选择逐一判断即可．
【详解】解：因为，故选项A正确；
因为，故选项B错误；
因为，故选项C错误；
因为，故选项D正确．故选：AD．
【技巧点拨】1）根据导数的定义求函数在点处导数的方法：
①求函数的增量；②求平均变化率；
③得导数，简记作：一差、二比、三极限.
2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数。
【变式演练1】（2021·江北·重庆十八中高二月考）若函数在区间上的平均变化率为3，则等于（ ）
A．B．2C．3D．1
【答案】B
【分析】根据平均变化率的定义可得关于的方程，从而可求的值.
【详解】在区间上的平均变化率为，故，故选：B.
【变式演练2】（2021·山东高二期中）某物体运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）之间的函数关系为，则该物体在时的瞬时速度为（ ）
A．米/秒B．米/秒C．米/秒D．米/秒
【答案】B
【分析】利用导数的物理意义求解即可
【详解】该物体在时的瞬时速度即为在时的导函数的值，又，故该物体在时的瞬时速度为米/秒 故选：B
【点睛】本题主要考查了导数的物理中的几何意义，位移对时间求导即为瞬时速度，属于基础题
【变式演练3】（2021·广东高二月考）设函数在处可导，且，则等于（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】根据导数的定义即可求解.
【详解】由导数的定义可得，
因为，所以，故选：A.
常考点02 导数的计算
【典例1】（2020·全国高考真题）设函数．若，则a=_________．
【答案】1
【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值
【详解】由函数的解析式可得：，
则：，据此可得：，
整理可得：，解得：.故答案为：.
【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.
【典例2】（2021·江苏常州市·高三一模）已知函数的导函数为，则__________；若，则__________．
【答案】1；
【解析】求出，令可求；利用对数的运算性质对变形可求.
【详解】解：，，
令，得；
，，
.故答案为：1；.
【技巧点拨】1)求函数导数的一般原则如下：(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导；
(2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导；(3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.
2)复合函数的求导方法:一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.
①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；
②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；
③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；
④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程.
【变式演练1】（2021·韩城市西庄中学）已知函数(e)，则(e)=（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】由两边求导数可得，取可求.
【详解】解：，，解得．故选：.
【变式演练2】（2021·广西高三开学考试）已知函数，则=（ ）
A．B．C．D．e
【答案】A
【分析】首先求导得到，再计算即可.
【详解】..故选：A
【变式演练3】（2021·河北高三月考）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出导函数，令，即可求出结果.
【详解】因为，则，令，则，
所以.故选：A.
常考点02 求曲线的切线方程
【典例1】（2021·沭阳县潼阳中学高二月考）已知曲线．
（1）求曲线在处的切线方程；（2）求曲线过点的切线方程．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）利用导数的几何意义，先求斜率，再求切线方程；（2）首先设切点坐标，利用切点表示切线方程，由直线过点，代入求切点坐标，即可求得切线方程.
【详解】（1）∵，∴在点处的切线的斜率．
∴曲线在点处的切线方程为，即．
（2）设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率．
∴切线方程为，即．
∵点在切线上，∴，即，∴，
∴，∴，解得或，
故所求的切线方程为或．
【典例2】（2018·全国高考真题）设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.
详解：因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.
点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
【技巧点拨】导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程.
【变式演练1】（2021·安顺市第三高级中学高二月考）已知.
（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求曲线过原点的切线方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)求出函数的导数并求出在点e处的导数值，再利用导数的几何意义即得；
(2)由(1)的信息，设出切点坐标，写出切线方程并将代入计算即可得解.
【详解】（1）由求导得：，当时，，
由点斜式得曲线在点处的切线方程为，即，
所以曲线在点处的切线方程；
（2）由题意知，点不在曲线上，设切点为，
由(1)知曲线在点B处切线斜率为，
切线方程为，即，而切线过点，即，解得，
于是得所求切线方程为，所以曲线过原点的切线方程为.
【变式演练2】（2021·全国高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．故答案为：．
【变式演练3】（2019·全国高考真题）曲线y=2sinx+csx在点(π，–1)处的切线方程为
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解.
【详解】当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．
【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．
常考点04 求切点坐标
【典例1】（2021·东莞市光明中学高二月考）已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为（ ）
A．B．C．或D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据的导函数为，又由其过P点的切线与直线平行性可知，求得切点P的横坐标，代回曲线方程求得的值，可得答案.
【详解】解：由题意可知：函数的导函数为
过P点的切线与直线平行，解得
当时，，此时切线方程为，即；
当时，，此时切线方程为，即.
所以点P的坐标是（2，14）或（-2，-14）故选:C
【典例2】（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.
【答案】.
【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.
【详解】设点，则.又，当时，，
点A在曲线上的切线为，即，
代入点，得，即，
考查函数，当时，，当时，，
且，当时，单调递增，
注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.
【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
【技巧点拨】已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
【变式演练1】（2021·全国高二课时练习）曲线的倾斜角为的切线的切点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对曲线求导，设切点坐标，根据导数的几何意义及已知求切点横坐标，进而求得切点坐标.
【详解】由已知得：，切线的斜率．
设切点为，则，可得，又，
∴切点为.故选：A．
【变式演练2】（2021·玉林市育才中学高二开学考试）曲线在P0处的切线垂直于直线，则P0的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】求函数的导数，令导数等于4解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.
【详解】曲线在P0处的切线垂直于直线，所以切线的斜率为4，
依题意，令，解得，，
故点的坐标为和，故选：C
【变式演练3】（2021·昭通市昭阳区第一中学高二月考）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．3B．2C．1D．
【答案】A
【分析】求出原函数的导函数，设出斜率为的切线的切点为，，，由函数在时的导数等于，求出的值，舍掉定义域外的得答案．
【详解】解：函数的定义域为，则，
设斜率为的切线的切点为，，，
所以，解得或-2（舍去），所以切点的横坐标为3.故选：A.
常考点05 求参数的值(范围)
【典例1】（2021·广东高三月考）过定点作曲线的切线，恰有2条，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】设切点为，利用导数几何意义求得切线方程为，由题意知在上有两个不同解，构造且，利用导数研究单调性及值域，进而确定的范围.
【详解】由，若切点为，则，
∴切线方程为，又在切线上，
∴，即在上有两个不同解，
令，即原问题转化为与有两个交点，而，
1、当时，，递增，且，
2、当时，，递增；当时，，递减；
∴，又，时且，
∴要使在上有两个不同解，即.故答案为：
【典例2】（2019·全国高考真题（理））已知曲线在点处的切线方程为，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】详解：，
将代入得，故选D．
【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
【技巧点拨】根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．
【变式演练1】（2021.山东省青岛市高三模拟）已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（ ）
A．B．3C．D．
【答案】AC
【解析】由题可知，，则，
可令切点的横坐标为，且，可得切线斜率，
由题意，可得关于的方程有两个不等的正根，
且可知，则，即，
解得：，的取值可能为，.故选：AC.
【变式演练2】（2021·安徽青阳第一中学高二月考（理））直线与曲线相切，则实数（ ）
A．B．1C．2D．e
【答案】B
【分析】设出切点坐标，根据切线斜率等于切点处导数值以及直线对应的值等于函数的取值，由此列出方程组求解出结果.
【详解】设切点坐标为，且，所以，所以，故选：B.
【变式演练3】（2021·永安市第三中学高二月考）已知函数，，，且曲线在处与直线相切，则___________，___________；
【答案】
【分析】求，由导数的几何意义可得且，解方程组即可求解.
【详解】由可得，
因为曲线在处与直线相切，所以即，解得；答案：；.
常考点06 切线的斜率与倾斜角
【典例1】（2021·福建龙岩·高二期中）曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】利用导数的几何意义求切线的斜率.
【详解】.故选：C
【典例2】（2021·新余市第一中学高二月考）直线是曲线的切线，则它的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设曲线上任意一点的坐标，借助导数求出切线的斜率范围即可得解.
【详解】设是直线曲线上任意一点，
由求导得：，于是得切线的斜率，当且仅当时取“=”，显然，为钝角，又在上单调递增，于是得，
所以倾斜角的取值范围是.故选：C
【技巧点拨】已知切点求斜率：已知切点(x0，f(x0))，求斜率k，即解方程f′(x0)＝k.，再根据k=tanα，求出倾斜角即可。
【变式演练1】（2021·黑龙江高二期中）函数的图象在点处的切线的倾斜角为（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】C
【分析】求出导函数，计算得切线斜率，由斜率求得倾斜角．
【详解】求导得，则切线斜率.
设切线的倾斜角为，则，又，所以．故选：C．
【变式演练2】（2021·重庆实验外国语学校高二期中）若函数，则曲线在点处切线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出导数，即可求出切线的斜率，进而求出倾斜角.
【详解】因为函数的导数是，所以.
设曲线在点处切线的倾斜角为，则，所以.故选：B.
【变式演练3】（2021·东北育才学校高二期末）函数的图像在点处的切线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线的斜率等于倾斜角的正切值求解．
【详解】由，得，∴，
设的图像在点处的切线的倾斜角为（），
∴，即．故选：B．
常考点07 切线的几何意义在距离中的应用
【典例1】（2021·海南高三）已知点为曲线上的一个动点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】根据的几何意义，结合导数的几何意义，即可求解.
【详解】因为表示点到直线的距离，令，
所以，所以到直线的距离的最小值为．故答案为：
【典例2】（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
【答案】4.
【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离
【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.由，得，，即切点，
则切点Q到直线的距离为，故答案为．
【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题
【技巧点拨】当直线l平移到与曲线C相切位置时，切点Q到直线l的距离最小.再根据点到直线的距离公式求解即可。
【变式演练1】（2021·临海市西湖双语实验学校高二月考）函数上的点到直线的最短距离是________．
【答案】
【分析】由题意知：平行于且与相切的直线上的切点，即为要找的点，进而应用点线距离公式求最短距离即可.
【详解】要使上的点到直线的最短，则该点切线平行于，
由且，令，∴，解得（舍）或，
∴切点为，故最短距离为.故答案为：
【变式演练2】（2021·东台创新高级中学高二月考）已知曲线和直线，点在曲线上，点在直线上，则的最小值是__________．
【答案】
【分析】化简曲线为，求得，解得，不妨取，得到，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由曲线，可得，则，由直线的斜率为，得，解得，
因为曲线关于坐标原点对称，不妨取，结合，解得，
所以在曲线上与直线平行的切线的切点坐标为，
因此的最小值即为该点到直线的距离，即，
即的最小值是.故答案为：.
【变式演练3】（2021·河南开封·高三（理））在平面直角坐标系中，是曲线上的一个动点，则点到直线的距离的最小值是____________.
【答案】
【分析】画出函数的大致图象和直线，数形结合可知，当直线的平行直线与曲线相切时，切点到直线的距离最小，由点线距公式可得最小值.
【详解】设，则，令，即，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
如图，画出函数大致图象以及直线，
当直线的平行直线与曲线相切时，切点P到直线的距离最小.
设切点，切线斜率为，由，解得，即点.
则点到直线的距离.故答案为：.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)导数的几何意义，往往与解析几何相联系，关键是数形结合思想的应用，将最值问题与相切问题相互转化； (2)利用导数研究函数的单调性，极值点，零点等等； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
常考点08 公切线问题
【典例1】（2021·安徽高二月考）已知曲线和曲线相交，且在交点处有相同的切线，则该切线方程是__________．
【答案】
【分析】设两曲线的交点为，则公切线为和,进而且，解得，，再代入方程化简整理即可得答案.
【详解】解:，．
设两曲线的交点为，则公切线有两种表达式：和，
即和．化简得和．
因此且，联立解得，，
将，代入或中，
得到公切线方程为，即．故答案为:
【典例2】（2021·全国高三专题练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出两个切点坐标，求得两个曲线的导数，根据导数的几何意义可得切线方程，联立方程可分别求得答案得选项.
【详解】设曲线上的点，，；
曲线上的点，，；，
，，．故选：D．
【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数的几何意义，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
【技巧点拨】公切线问题一般分两类：①共切点的公切线问题，②不共点的公切线问题。
解决的基本方法：若有切点则直接利用切线方程建立方程求解即可，若无切点则先设出切点后，再利用切线方程建立方程求解即可。主要抓住切点处的导数值即为斜率和原函数与切线方程均过切点这两点列方程。
【变式演练1】（2021·福建龙岩市·）已知函数与的图象在处有相同的切线，则（ ）
A．0B．C．1D．或1
【答案】C
【分析】求出两函数的导函数，利用求解即可.
【详解】点在两函数图象上，，，
根据题意可得，即. 故选：C
【变式演练2】（2021·河北高二月考）已知函数与的图象的公切线为，则（ ）
A．的斜率大于 B．在轴上的截距为一2 C．的斜率小于 D．在轴上的截距为2
【答案】BC
【分析】切点分别为根据导数的几何意义及斜率公式可得公切线方程为，从而可以判断每一个选项.
【详解】设切点分别为因为，所以，可得，即，则，
所以，所以公切线方程为，即
所以选项BC正确.故选：BC.
【变式演练3】（2021·沙坪坝·重庆八中高二期中）已知函数，，若曲线与的公切线与曲线切于点，则__________．
【答案】0
【分析】设公切线与切于，利用导数的几何意义求出在处的切线方程，再把点代入化简消去，可得结果
【详解】解：设公切线与切于，
由，，则曲线在处的切线方程为，即，
曲线在处的切线方程为，
，得，，故答案为：0．
易错点01复合函数求导错误
【例1】函数的导数为 ．
【错解】
【错因分析】遗忘复合函数求导公式
【正解】.
【纠错笔记】复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即．
【例2】（2021·全国高二专题练习）求下列函数的导数：
（1）y＝e2x＋1；（2）y＝；（3）y＝5lg2(1－x)；（4）y＝.
【答案】（1）2e2x＋1；（2）；（3）；（4）.
【分析】（1）函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，然后利用复合函数求导法则求解；
（2）函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，然后利用复合函数求导法则求解；
（3）函数y＝5lg2(1－x)可看作函数y＝5lg2u和u＝1－x的复合函数，然后利用复合函数求导法则求解；
（4）利用求导法则计算即可
【详解】（1）函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
（2）函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝.
（3）函数y＝5lg2(1－x)可看作函数y＝5lg2u和u＝1－x的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(5lg2u)′·(1－x)′＝.
（4）∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝.
∴
易错点02求切线方程,混淆“在某点处”与“过某点”
【例1】求过曲线y＝x3－2x上的点(1,－1)的切线方程．
【错解】∵y′＝3x2－2,∴k＝y′|x＝1＝3×12－2＝1,∴切线方程为：y＋1＝x－1,即x－y－2＝0.
【错因分析】混淆“过某一点”的切线和“在某一点处”的切线,错把(1,－1)当做切点．
【正解】设P(x0,y0)为切点,则切线的斜率为y′|x＝x0＝3xeq \\al(2,0)－2.
∴切线方程为y－y0＝(3xeq \\al(2,0)－2)(x－x0),
即y－(xeq \\al(3,0)－2x0)＝(3xeq \\al(2,0)－2)(x－x0)．
又知切线过点(1,－1),把它代入上述方程,得－1－(xeq \\al(3,0)－2x0)＝(3xeq \\al(2,0)－2)(1－x0),
整理,得(x0－1)2(2x0＋1)＝0,解得x0＝1,或x0＝－eq \f(1,2).
故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1),
或y－(－eq \f(1,8)＋1)＝(eq \f(3,4)－2)(x＋eq \f(1,2)),即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
【纠错笔记】过曲线上的点(1,－1)的切线与曲线的切点可能是(1,－1),也可能不是(1,－1)．本题错误的根本原因就是把(1,－1)当成了切点．解决这类题目时,一定要注意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同．虽只有一字之差,意义完全不同,“在”说明这点就是切点,“过”只说明切线过这个点,这个点不一定是切点．
【例2】（2021·全国高二课时练习）已知曲线上一点，过点作直线．
（1）求与曲线相切且以为切点的直线的方程；
（2）求与曲线相切且切点异于点的直线的方程．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用导数的定义求的导函数，进而求出点处的斜率，写出切线方程.
（2）设切点为，由（1）所得导函数求斜率，写出含参的切线方程，由点在切线上求参数，即可写出切线方程.
【详解】（1），当时，，
∴，则与曲线相切且以为切点的直线的斜率，
∴所求直线的方程为．
（2）设切点坐标为，则由（1）知直线的斜率，
∴直线的方程为，又直线过点，
∴，解得（舍去）或．
∴所求直线的斜率的，故直线的方程为，即．
满分：150分 完成时间：120分钟
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2021·山东济南市·高三模拟）函数的图像的切线斜率可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】求出函数的导数，判断出导函数的范围，即可得答案
【详解】解：由，得，因为，，
所以，所以函数的图像的切线斜率大于，故选：A
2．（2021·河北辛集中学高二月考）曲线在点处的切线平行于直线，则点坐标为（ ）
A．B．C．和D．和
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义列方程求点P的坐标.
【详解】设切点，由函数，可得，
可得切线的斜率为，
因为曲线在点处的切线平行于直线，所以，解得，
当时，可得，此时；当时，可得，此时,故选：D.
3.（2021·河南新乡市·高三三模）已知函数，若，则（ ）
A．36B．12C．4D．2
【答案】C
【解析】根据函数在处的导数的定义将变形为即可求解.
【详解】解：根据题意，，则，则，
若，则，
则有，即，故选：C.
4．（2021·北京市景山学校通州校区高二期中）已知函数，则曲线过点的切线有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【答案】C
【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义列方程求切点坐标，由此可得切线的条数.
【详解】设切点为A，直线AP的斜率为k,则，
又，，∴
又方程的判别式为，且，∴ 方程有两个不同的解，
∴ 曲线过点的切线有两条，故选：C.
5．（2021·邯山区新思路学本文化辅导学校高二期中）已知函数的导函数为，且，则（ ）．
A．11B．C．D．
【答案】D
【分析】令，利用，求出，进而得到，然后求导得到，然后令即可求解
【详解】由，得，
则，得，故．故选：D
6．（2021·江北·重庆十八中高二月考）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】D
【分析】利用洛必达法则直接求解即可
【详解】，故选：D
7．（2020·全国高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.故选：D.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
8.（2021·山东高二期末）已知函数为偶函数，当时，，则曲线上的点到直线的最小距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求的解析式，根据条件求的点，再求点到直线的距离的最小值.
【详解】当时，设点，，解得：，，
此时点到直线的距离，
设，，因为函数是偶函数，所以，
设点，，解得：，，
此时点到直线的距离，
因为，所以曲线上的点到直线的最小距离为.故选：B
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·重庆万州纯阳中学校）已知曲线，则过点，且与曲线相切的直线方程可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用点斜式写出方程，再代入计算作答.
【详解】设过点的直线与曲线相切的切点为，由求导得，
于是得切线方程为，即，则，解得或，
因此得切线方程为或，
所以所求切线的方程是或.故选：AB
10．（2021·广东）国家环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，给出下列四个结论正确的是（ ）
A．甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强；
B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
D．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强.
【答案】BCD
【分析】将理解为割线斜率的相反数，由此结合图象判断四个选项可得结果.
【详解】表示的割线斜率的相反数；
对于A，在三段时间中，在中割线的斜率最大且都小于，
在最小，甲企业在的污水治理能力最弱，A错误；
对于B，在时刻，甲企业在该点的切线斜率比乙企业在该点的切线斜率小且都小于，
甲企业在该点的污水治理能力比乙企业强，B正确；
对于C，在时刻，甲乙企业的污水排放量都位于污水达标排放量以下，均达标，C正确；
对于D，在这段时间内，甲企业的割线斜率要小于乙企业的割线斜率且都小于，
在这段时间中，甲企业更大，
甲企业在这段时间中的污水治理能力比乙企业强，D正确.故选：BCD.
11．（2021·福建省连江县第五中学）若直线与曲线满足下列两个条件：（i）直线在点处与曲线相切；（ii）曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.则下列命题中，正确的有（ ）
A．直线：在点处“切过”曲线：
B．直线：在点处“切过”曲线：
C．直线：在点处“切过”曲线：
D．直线：在点处“切过”曲线：
【答案】AC
【分析】根据“切过”的定义和导数的几何意义，以及利用导数求函数的最值逐一判断选项即可.
【详解】A：由，得，得，直线是 曲线的切线，又当时，当时，满足曲线在附近位于直线的两侧，故A正确；
B：由于，得，则，而直线的斜率不存在，在点处不与曲线相切，故B错误；
C：由于，得，所以，直线是过点的曲线的切线，又时时，满足曲线在附近位于直线两侧，故C正确；
D：由于，得，所以，曲线在处的切线为，
设，得，
当时，，当时，，
所以在上有极小值也是最小值，为，
所以恒在的上方，不满足曲线在点附近位于直线的两侧，故D错误.故选：AC．
12．（2021·江苏盐城·高二期中）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】设出切点坐标，求导得切线斜率，写出切线方程，再由切线所过的点列出方程，并探求该方程有3解的情况即可得解.
【详解】由得，，
设过点作曲线的切线的切点为，则切线斜率为，
切线方程为，
于是得，即，
因过点可作曲线的三条切线，则上述关于的方程有三个互异实根，
令，则，
当或时，，当时，
因此，时，取极小值，时，取极大值，
则有有三个不同零点，当且仅当，解得，所以选项C，D符合.故选：CD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·永寿县中学高二月考（理））已知函数，，是其图象上任意不同的两点，若直线的倾斜角的取值范围为，则实数的取值集合为_________.
【答案】
【分析】由题意可得直线的斜率的取值范围为，由导数的几何意义可得
对于恒成立，分离参数转化为最值问题，构造新函数，利用导数判断新函数单调性以及最值即可求解.
【详解】直线的倾斜角的取值范围为，所以直线的斜率的取值范围为，
由可得，当时，恒成立，
可化为对于恒成立，
令，，则，
因为，所以函数在上单调递增，
所以；由，可得，
可得函数在上单调递增，所有，所以，可得.
所以实数的取值集合为故答案为：.
14.（2021·河北高三其他模拟）已知是定义在上的奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为___________.
【答案】
【解析】由奇函数的定义可得x＜0时f（x）的解析式，求得导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程．
【详解】由是上的奇函数，当x＜0时，,f（x）＝f（﹣x）＝，
则，可得，f（﹣1）＝0，
故在处的切线方程为y﹣0＝（x+1），即x-y+1＝0，故答案为：．
15．（2021·重庆高三其他模拟）曲线在点处的切线恰好经过坐标原点，则___________.
【答案】1
【解析】先求出的导函数，则，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，即可得出答案.
【详解】，则
则切线方程为，
代入原点可得：，
即，解得（负根舍去）故答案为：1
16．（2021·浙江高二期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______，_____．
【答案】2
【分析】求出两条曲线的导数，设出切点，根据斜率相等和切点在曲线上建立关系即可求解.
【详解】由可得，由可得，
设直线与和的切点分别为，
则由导数的意义可得，得，
又切点也在两条曲线上，则，
两式相减得，即，则.故答案为：2；.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17．（2021·安徽师范大学附属中学高二期中）求下列函数的导数：
（1）；（2）﹔（3）
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】利用求导公式和法则直接求解即可
【详解】（1）由，得，
（2）由，得，
（3）由，得
18．（2021·全国高二课时练习）蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为，其中为体温（单位：℃），为太阳落山后的时间（单位：）．（1）求从至，蜥蜴的体温下降了多少？
（2）从到，蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它表示什么实际意义？（3）求并解释它的实际意义．
【答案】（1）16℃；（2）表示从到这段时间内变化率为，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃；（3）表示太阳落山后时，蜥蜴的体温下降的速度为．
【分析】（1）由题意从至的体温为，即可求值.
（2）根据平均变化率的定义求到的平均变化率，说出其实际含义即可.
（3）利用导数的定义求，并说明其实际含义即可.
【详解】（1），即从到，蜥蜴的体温下降了16℃．
（2）蜥蜴的体温下降的平均变化率为，
它表示从到这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃．
（3）∵，
∴当趋于0时，趋于，即，
它表示太阳落山后时，蜥蜴的体温下降的速度为．
19．（2021·福建三明一中高二月考）已知函数及点，过点作直线与曲线相切.
（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求曲线过点的切线的斜率．
【答案】（1）；（2）或7.
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，根据点斜式求出切线方程；
（2）利用导数的几何意义和斜率公式可解得结果.
【详解】解：（1）因为，所以，
所以切线的斜率为，又，
所以切线方程为，即．
（2）设切点为，则，
整理得，解得或，所以切线的斜率为或7.
20．（2021·河北石家庄·高二期末）已知函数的导函数是，且．
（1）求的解析式；（2）求经过点且与曲线相切的直线方程．
【答案】（1）；（2），．
【分析】（1）根据题意可得，解方程组即可求出，进而求出结果；
（2）该切线的切点坐标为，结合导数的几何意义求出切线方程，将点代入切线方程即可求出切点横坐标，进而求出结果.
【详解】解：因为，所以，
则，解得，所以．
设该切线的切点坐标为，因为
所以该切线方程为，将代入方程整理得，解得，
当时，切线方程为；当时，切线方程为，
所以经过点且与曲线相切的直线方程为或.
21．（2021·佛山市南海区罗村高级中学高二月考）已知与曲线在点处相切，为该曲线另一条切线，且．（1）求直线及直线的方程；（2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）利用导数求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程，利用已知条件求出直线与曲线的切点坐标，利用点斜式可得出直线的方程；
（2）求出两直线与轴的交点坐标，并求出两直线的交点坐标，利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】（1）设直线、的斜率分别为、，对函数求导得，则，
所以，直线的方程为，即，
设直线与曲线的切点坐标为，则，
因为，则，解得，则，
所以，直线的方程为，即；
（2）直线与轴交于点，直线与轴交于点，联立，解得，
因此，由直线、和轴所围成的三角形的面积为.
22．（2021·全国高二课时练习）已知函数的定义域为，导函数为，若，均有，则称函数为上的“梦想函数”.
（1）已知函数，试判断是否为其定义域上的“梦想函数”，并说明理由；
（2）若函数，为其定义域上的“梦想函数”，求实数的取值范围.
【答案】（1）函数不是其定义域上的“梦想函数”，理由见解析；（2）.
【分析】（1）举特例可说明；（2）由“梦想函数”的定义可得在上恒成立，即可求解.
【详解】（1）函数不是其定义域上的“梦想函数”.理由如下：
的定义域为，，存在，使得，
故不是其定义域上的“梦想函数”.
（2），所以.若函数在上为“梦想函数”，
则在上恒成立，即在上恒成立.
因为在上的值域为，所以，所以实数的取值范围为.
思考：
1、（2021·上海市张堰中学高三月考）已知函数在定义域上单调递增，且关于x的方程恰有一个实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．(0，1)
【答案】C
【分析】由递增，先求出的范围，再根据恰有一个实数根，通过数形结合进一步缩小范围.
【详解】
在定义域上单调增，∴，∴，
∵在处切线为，即，
又故与没有公共点
∴与有且仅有一个公共点且为
∴在处的切线的斜率必须大于等于1，
，，∴，∴，综上：故选：C.
【点睛】本题需要通过求导，数形结合，利用切线斜率的不等关系解决问题.