专题06 函数的奇偶性与周期性、对称性 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年）

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专题06 函数的奇偶性与周期性、对称性

目录
常考点01 函数奇偶性的判断 1
常考点02 函数的奇偶性应用 4
常考点03 函数的周期性及应用 6
常考点04 函数的对称性及应用 10
常考点05 周期性与奇偶性（对称性）之间的联系 14
常考点06 利用奇偶性、单调性（对称性）解决不等式问题 17
常考点07 利用奇偶性、单调性（对称性）比大小 21
常考点08 周期性和奇偶性的新定义问题 24
常考点09 函数性质的综合应用 29
易错点01 奇偶性的判别方法不灵活 34
易错点02 对函数奇偶性与周期性交汇问题,考虑不全面致误 34
易错点03 对函数奇偶性与单调性交汇问题,讨论不全面忽视 35
专项训练 （全卷共22题） 37
专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写

常考点01 函数奇偶性的判断
【典例1】
1．（2021·全国高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得，对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
【典例2】
2.（2021·浙江杭州市·高三月考）已知函数的定义域都是R，且是奇函数，是偶函数，则（ ）（多选题）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
【答案】AD
【解析】由奇偶性的定义逐一证明即可.
【详解】对于A，，，即是奇函数，故A正确；
对于B，，，即是偶函数，故B错误；
对于C，，，即是奇函数，故C错误；
对于D，，，即是偶函数，故D正确；故选：AD
【技巧点拨】
(1)奇、偶函数定义域的特点：由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)奇、偶函数的对应关系的特点．①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1(f(x)≠0)；
②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1(f(x)≠0)．
(3)函数奇偶性的三个关注点：①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．
【变式演练1】
1．（2021·海南海口市·高三模拟）已知函数，则“”是“函数为奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】化简“”和“函数为奇函数”，再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】，所以，函数为奇函数，
所以，所以.
所以“”是“函数为奇函数”的充分必要条件.故选：C
【点睛】方法点睛：充分必要条件的判断，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法判断得解.
【变式演练2】
2．（2021·湖南岳阳市·高三模拟）设函数在内有定义，下列函数必为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据奇偶性的定义依次判断即可.
【详解】对A，中，与不一定相等，故不一定为奇函数，故A错误；
对B，中，，所以函数为奇函数，故B正确；
对C，中，与不一定相等，故不一定为奇函数，故C错误；
对D，为偶函数，故D错误.故选：B.
【变式演练3】
3．（2021·海南高三模拟）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于，，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，
对于，，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，
对于，，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，
对于，，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，故选：．

常考点02 函数的奇偶性应用
【典例1】
1．（2021·全国新高考真题1卷）已知函数是偶函数，则______.
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】因为，故，
因为为偶函数，故，，
整理得到，故，故答案为：1
【典例2】
2. （2021·全国新高考真题2卷）已知函数的定义域为R，且是偶函数，是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】方法一（常规推导）：∵是偶函数，则
∵是奇函数，则
令，则是奇函数，可得：
∴，故答案选B.
方法二（构造特殊函数法）：由是偶函数，且是奇函数。
构造函数符合题意，故选B.
【技巧点拨】
1)奇、偶函数图象对称性的应用．
①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；
②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
2)函数奇偶性的应用
(1)求函数解析式：①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．
(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．
【变式演练1】
1．（2021·黑龙江高三其他模拟）已知函数，若，则______．
【答案】
【分析】本题首先可根据得出，然后根据即可得出结果.
【详解】因为，所以，，
则，故答案为：.
【变式演练2】
2．（2021·辽宁丹东市·高三二模）若为奇函数，当时，，则（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】C
【分析】先求出时，的解析式，再利用奇函数求
【详解】因为为奇函数，当时，，
所以，解得：.所以当时，.
所以.故选：C
【点睛】函数奇偶性的应用:(1)一般用或;
(2)有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或.
【变式演练3】
3.（2019·全国高考真题（文））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).

【变式演练1】
1．（2021·河北高三模拟）已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为________.
【答案】
【分析】推导出当时，，利用函数的周期性和奇偶性可求得结果.
【详解】当时，，又因为函数是定义在上的偶函数，
则，
，因此，.故答案为：.
【点睛】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
【变式演练2】
2.（2021·山东省高三模拟）已知偶函数满足，则下列说法正确的是（ ）．
A．函数是以2为周期的周期函数 B．函数是以4为周期的周期函数
C．函数为奇函数 D．函数为偶函数
【答案】BC
【解析】对于选项,∵函数为偶函数，∴．
∵，∴，
则，即，∴，
故函数是周期为4的周期函数，由此可知选项A错误，选项B正确；
对于选项,令，则．
在中，将换为，得，
∴，∴，
则函数为奇函数，所以选项C正确．
对于选项,由题意不妨取满足条件的函数，
则为奇函数，所以选项D错误．故选：BC.
【变式演练3】
3.（2021·重庆高三模拟）定义在R上的奇函数满足：，且当时，，若，则实数m的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】B
【解析】由为奇函数知，
∴，即，
∴，∴是周期为3的周期函数，
故，即，∴.故选：B.

常考点04 函数的对称性及应用
【典例1】
1．（2021·全国高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】法一：由奇偶性得到，由对称性知道关于对称，得到
法二：由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】法一：∵是定义域为R的奇函数，且，∴，
∵，∴关于对称，故
法二：由题意可得：，
而，故.故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.
【典例2】
2．（2021·河南高三期中）已知函数满足，函数的图象与的图象的交点为，，…，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件得，两个函数均关于点(0,3)对称，从而求得交点的横坐标和及纵坐标和.
【详解】由可知的图象关于点对称，
又因为的图象也关于点对称，所以两个函数的图象的交点关于点对称，
即，，所以，故选：．
【技巧点拨】
对称性的三个常用结论:
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
【变式演练1】
1．（2021·安徽高三模拟）定义在的单调函数对任意恒有，且时，，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断函数对称性，利用在时是单调的，结合二次函数性质解得参数m的取值范围，再验证的正负情况，并结合对称性，得到结果.
【详解】由，可知函数关于点中心对称.
因为对任意的，是单调函数，所以时，是单调的，而二次函数开口向上，对称轴为，
故当时，即，在时是单调递减的，根据对称性可知，函数在上也是单调递减的，又由，知在上是单调递减的；
当，即，在时是单调递增的，根据对称性可知，函数在上也是单调递增的，又由，知在上是单调递增的.
综上可得，实数m的取值范围是．故选：B.
【点睛】本题的解题关键在于先利用部分函数的单调性求得参数范围，再结合对称性判断整体的单调性，即突破难点.
【变式演练2】
2．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知函数的定义域为，且满足，，则的最小正周期为___________，的一个解析式可以为___________.
【答案】 (答案不唯一)
【分析】通过得出，即可求出的最小正周期；通过得出函数关于点对称，然后列举一个满足关于点对称以及最小正周期为的方程即可.
【详解】因为，所以，的最小正周期为.
因为，所以函数关于点对称，
满足关于点对称以及最小正周期为的方程可以为.
故答案为：；（答案不唯一）.
【变式演练3】
3．（2021·山西晋城市·高三三模）已知函数，现有下列四个命题：
①f(x)的最小正周期为π；②f(x)的图象关于原点对称；③f(x)的图象关于(，0)对称；
④f(x)的图象关于(π，0)对称.其中所有真命题的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①②④
【答案】C
【分析】利用函数的对称性和周期的判断方法直接对选项进行逐一判断即可得出答案.
【详解】因为与的最小正周期均为π，所以f(x)的最小正周期是π.
因为，所以f(x)是奇函数，其图象关于原点对称.
因为，所以f(x)的图象关于(，0)对称.
因为，所以f(x)的图象关于(π，0)对称.
所以①②③④均正确，故选：C

常考点05 周期性与奇偶性（对称性）之间的联系
【典例1】
1．（2021·全国高三二模）已知函数为偶函数，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．的图象关于点中心对称 B．是周期为的周期函数
C．的图象关于直线轴对称 D．为偶函数
【答案】AD
【分析】由，可知的图象关于点中心对称；结合函数为偶函数可得是周期为以及关于直线轴对称，结合周期，对称中心和对称轴可判断出为偶函数
【详解】因为，所以的图象关于点中心对称，
又因为函数为偶函数，所以是周期为的周期函数，且它的图象关于点中心对称和关于直线轴对称，所以为偶函数.故选：AD.
【典例2】
2．（2021·重庆南开中学高三其他模拟）已知函数的图象关于直线对称，且对有.当时，.则下列说法正确的是（ ）
A．的周期 B．的最大值为4 C． D．为偶函数
【答案】ABD
【分析】由函数的图象关于直线对称，得，又，所以，，从而可得，进而根据周期性、对称性、时的解析式即可求解.
【详解】解：函数的图象关于直线对称，
函数的图象关于直线对称，
对有，函数的图象关于中心对称，
，即，
又，即，，
，即，，
的周期，选项A正确；为偶函数，选项D正确；
当时，，，
当时，，，即，当时，，
又函数的图象关于直线对称，在一个周期上，，
在上的最大值为4，选项B正确；
，选项C错误.故选：ABD.
【点睛】本题的解题关键是，根据的图象关于直线对称，及对有，推导出，进而得.
【技巧点拨】
1) 若有两条对称轴，则的周期；
2) 若有两个对称中心，则的周期；
3) 若有一个对称中心，一条对称轴，则的周期；
【变式演练1】
1.（2021·广西壮族自治区高三月考）定义在上的奇函数满足，当时，，则在上( )
A．是减函数，且 B．是增函数，且
C．是减函数，且 D．是增函数，且
【答案】B
【解析】定义在上的奇函数满足，∴，
∴，即函数周期是4.在上的图象和在上的图象相同，
当时，，∴此时单调递增，且.
∵是奇函数，∴当时，单调递增，且，
即当时，单调递增，且，故选:B.
【变式演练2】
2．（2021·江西宜春市·高三模拟）已知定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，当时，，则______.
【答案】2
【分析】先根据条件求出其周期为4，再结合周期性可得，即可求解结论．
【详解】定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，
且，
；.
即；① .②
②①得；故函数f(x)周期为4,
故答案为：2．
【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数求值，函数图象和性质的简单综合应用．
【变式演练3】
3．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三模拟）已知函数的图象既关于点中心对称又关于点中心对称，则（ ）
A．是周期函数 B．是奇函数
C．既没有最大值又没有最小值 D．函数是周期函数
【答案】BCD
【分析】根据对称性，结合奇偶性定义证明它是奇函数，判断B，用反证法（反例）说明函数不是周期函数，函数无最值，判断AC，根据周期性定义判断D．
【详解】由题意，，
因此，
所以是奇函数，B正确．
例如满足题意，但恒成立，因此在上是增函数，不是周期函数，A错；
因为是奇函数，所以若是函数的最小值，则是函数的的最大值，
设，则，与是最大值矛盾，因此函数无最大值，同理也无最小值．C正确；是奇函数，，则也是奇函数，的图象关于点和对称，
，所以的图象关于对称，同理也关于对称．因此是周期函数，4就是一个周期．D正确．故选：BCD．
【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性，对称性．证明时利用对称性进行函数值与自变量的转换是解题关键．转换的目标是奇偶性与周期性的定义．举反例是说明一个命题不正确的常用方法．

常考点06 利用奇偶性、单调性（对称性）解决不等式问题
【典例1】
1．（2021·广东广州市·高三二模）已知函数，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断出的奇偶性，再利用导数判断出是单调性，再利奇偶性和单调性可得答案.
【详解】因为，，所以是奇函数，
，令，
则，令，则，
当时，，所以是增函数，，即，
所以当时是增函数，，所以，
在上是增函数，因为是奇函数，所以在上是增函数，
由，得，
所以，解得.故选：B.
【点睛】本题考查了利用单调性解不等式问题，解题的关键点是利用导数判断出函数的单调性，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.
【典例2】
2．（2021·江苏泰州市·高三其他模拟）已知函数，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先探究得到：当或时，；当时，. 然后将不等式等价为或，进而可得结果.
【详解】显然，函数是定义域为的偶函数.
当时，，所以是减函数，且；
所以当时，是增函数，且.
因此，当或时，；当时，.
所以，或或
或.故的解集为.故选：A.
【点睛】本题的关键点是探究得到：当或时，；当时，.
【技巧点拨】
1) 给定具体函数，确定函数不等式的解，首先要判断函数的单调性；
2) 求解含“f”的函数不等式的解题思路:先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．
【变式演练1】
1．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三模拟）设函数，则满足的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性的定义，可判断的奇偶性，利用导数可判断的单调性，结合题意，化简整理，即可得答案.
【详解】由题意得：所以为奇函数，
又，因为，当且仅当x=0时等号成立，
所以所以在上单调递增，
所以，
所以，解得故选
【变式演练2】
2．（2021·辽宁铁岭市·高三二模）设定义域为，已知在上单调递减，是奇函数，则使得不等式成立的取值范围为___________.
【答案】
【分析】根据是奇函数判断函数的对称中心，等价于，
等价于，即可得到关于x的不等式，求出x的范围.
【详解】因为是奇函数，故 图像关于 对称，
由题设，因为在上单调递减，
所以等价于，
因此不等式等价于，
即 ，即 且 ，解得取值范围为.故答案为：
【变式演练3】
3．（2021·福建高三三模）已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件判断函数关于对称，求导，可得函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可.
【详解】解：∵，
∴，∴函数关于对称，
又，
∵，∴，
∴恒成立，则是增函数，∵，
∴，∴，得，故选：A.
【点睛】根据条件判断函数的对称性和单调性是解决本题的关键，需灵活应用基本不等式求最值，综合性强，属中档题.

常考点07 利用奇偶性、单调性（对称性）比大小
【典例1】
1．（2021·广东汕头市·高三三模）已知是定义在R上的函数，满足.都有，且在上单调递增.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断函数的奇偶性，从而得到，再根据函数的单调性比较函数值的大小即可.
【详解】因为函数满足，所以函数是是奇函数，
所以，
又因为，所以
又在上单调递增，所以，即，故选：B
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及单调性的应用，比较函数值的大小，在求解的过程中，要注意对奇偶性的应用，其实就是将自变量的取值放在函数的同一个单调区间上，最后通过单调性比较函数值的大小即可.
【典例2】
2．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）已知函数的图像关于对称，满足，且在上递减，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得出是以2为周期的周期函数，且在上递增函数，再根据指数函数与对数函数的性质，求得，结合单调性，即可求解.
【详解】由函数关于对称，可得函数关于对称，即，
又由函数满足，可得，即，
所以函数是以2为周期的周期函数，
则，，，
又由，且，
因为在上递减，可得函数在上递增函数，
所以，即.故选：A.
【技巧点拨】
先判断出函数的单调性，然后判断a，b，c之间的大小关系，利用单调性比较出f(a)，f(b)，f(c)之间的大小关系.一般地，比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
【变式演练1】
1．（2021·陕西宝鸡市·高三一模）已知函数的定义域为，且满足：①对任意的，，都有；②是奇函数；③为偶函数.则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知不等式得函数的单调性，由奇偶性得函数的周期性，再利用周期性和单调性可比较函数值的大小．
【详解】由对任意的，，都有，
可得在上单调递增.由是奇函数，
可得，从而①.由为偶函数，
可得，从而②.由①②得，
设，则，得，
所以函数的周期为8，所以，
，，因为，
在上单调递增，所以，即，故选：D.
【点睛】求解本题的关键是，根据是奇函数，为偶函数，得到，进而得到，从而得到函数的周期为8.实际上就是函数的图象关于点成中心对称，关于直线（）成轴对称，则函数为周期函数，是函数的一个周期．
【变式演练2】
2．（2020·江苏苏州市·苏州中学高三模拟）若定义在上的奇函数满足对任意的，都有成立，且，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由，可推出，从而可知函数是周期函数，周期为4，进而可得出，，，然后根据是上的奇函数，求出三个函数值，即可得出答案.
【详解】因为，所以，即是周期函数，周期为4，
又函数是上的奇函数，所以，，
则，，，
所以.故选：A.
【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
【变式演练3】
3．（2021·河南安阳市·高三一模）设函数满足，且有，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，得到函数在上单调递增，且为定义在上的偶函数，结合函数的单调性与奇偶性，即可求解.
【详解】由题意知，都有，
可得函数在上单调递增，又函数满足，可得是定义在上的偶函数，所以，所以，即，故选：C.

常考点08 周期性和奇偶性的新定义问题
【典例1】
1．（2021·湖北襄阳市·襄阳四中高三一模）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在上的函数，对于，令，若存在正整数使得，且当时，，则称是的一个周期为的周期点.给出下列四个结论正确的是（ ）
A．若，则存在唯一个周期为1的周期点；
B．若，则存在周期为2的周期点；
C．若，则不存在周期为3的周期点；
D．若，则对任意正整数，都不是的周期为的周期点.
【答案】AD
【分析】由周期点的定义，可得直线与存在交点．分别对选项分析，结合函数的最值和函数值的符号，可得结论．
【详解】解：对于，令，2，3，，
若存在正整数使得，且当时，，则称是的一个周期为的周期点．
对于①，若为周期为1的周期点，，故A正确；
对于②，若为周期为2的周期点，则，解得, ，
但，解得，所以不存在在周期为2的周期点，故B错误；
对于③， 当时，易见有两个周期点；
当时， 即，
可得时，周期点有4个， 同理，时，周期点有8个，故③错误；
对于④，，所以，即，
所以不是周期点，故D正确．故选：AD．
【点睛】本题考查了周期点的概念，解题的关键是紧扣定义进行计算即可.
【典例2】
2．（2021·江苏苏州市·高三三模）定义：若存在非零常数k，T，使得函数f(x)满足f(x+T)=f(x)+k对定义域内的任意实数x恒成立，则称函数f(x)为“k距周期函数”，其中T称为函数的“类周期”．则（ ）
A．一次函数均为“k距周期函数” B．存在某些二次函数为“k距周期函数”
C．若“1距周期函数”f(x)的“类周期”为1，且f（1）=1，则f(x)=x
D．若g(x)是周期为2函数，且函数f(x)=x+g(x)在[0，2]上的值域为[0，1]，则函数f(x)=x+g(x)在区间[2n，2n+2]上的值域为[2n，2n+1]
【答案】AD
【分析】根据新定义进行证明判断A，假设二次函数是“k距周期函数”，然后由新定义推理判断B，用反例判断C，根据周期函数的定义求解判断D．
【详解】A．设一次函数为，则，其中，A正确；B．设二次函数为（），
，
若是“k距周期函数”，则，则，不满足新定义，B错误；
C．设，则是“1距周期函数”，且类周期为1，，C错；
D．设，则，即，
则，D正确．故选：AD．
【点睛】本题考查新定义，解题关键是理解新定义，然后根据新定义解决问题．新定义的实质是恒成立（），因此可转化恒等式进行分析．
【技巧点拨】
解决此类问题一般根据定义和函数的性质结合即可解决相关问题。
【变式演练1】
1．（2021·上海华师大二附中高三三模）设D是的一个子集，称函数为“机智”的，若存在奇函数，使得，有两个命题：①若对任意，都成立，，则是“机智”的；②若对任意，都成立，则是“机智”的；则下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①､②都是假命题 D．①､②都是真命题
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性定义，直接判断求解即可
【详解】为奇函数，，
故选：D
【变式演练2】
2．（2021·山西高三一模）高斯函数也称取整函数，记作，是指不超过实数x的最大整数，例如，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．下列关于高斯函数的性质叙述错误的是（ ）
A．值域为Z B．不是奇函数 C．为周期函数 D．在R上单调递增
【答案】D
【分析】根据高斯函数的定义，结合值域、函数的奇偶性、函数的单调性对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】由高斯函数的定义可知其值域为Z，故A正确；
不是奇函数，故B正确；
易知，所以是一个周期为1的周期函数，故C正确；
当时，，所以在R上不单调，故D错误．故选：D
【变式演练3】
3．（2020·全国高三专题练习）若函数， ，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时， 函数．若， ，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由函数f（x）在[0，2）上的解析式，分析可得函数f（x）在[0，2）上的最值，
结合a级类周期函数的含义，分析可得f（x）在[6，8]上的最大值，对于函数g（x），对其求导分析可得g（x）在区间（0，+∞）上的最小值；进而分析，将原问题转化为g（x）min
≤f（x）max的问题，即可得+m≤8，解可得m的取值范围，即可得答案．
【详解】根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，
分析可得：当0≤x≤1时，f（x）=﹣2x2，有最大值f（0）=，最小值f（1）=﹣，
当1＜x＜2时，f（x）=f（2﹣x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有﹣＜f（x）＜，
又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2；
则在∈[6，8）上，f（x）=23•f（x﹣6），则有﹣12≤f（x）≤4，
则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，
则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为﹣12；
对于函数 ，有g′（x）=﹣+x+1=，
分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，
在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，
则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值f（1）=+m，
若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，必有g（x）min≤f（x）max，即+m≤8，
解可得m≤，即m的取值范围为（﹣∞，]；故答案为：B
【点睛】本题主要考查函数的最值问题和新定义，注意将题目中“∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立”转化为函数的最值问题．

常考点09 函数性质的综合应用
【典例1】
1．（2020·海南高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：或或
解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
【典例2】
2．（2021·广东高三专题练习）已知函数是上的偶函数，对任意的都有，当且时，都有，给出下列命题：
①；②函数在上是递增的；③函数的图像关于直线对称；
④函数在上有四个零点.其中所有真命题的序号是___________.
【答案】①③④
【分析】利用赋值法，令，结合偶函数的定义，即可判定①正确；利用单调性的定义以及偶函数再对称区间上单调性，判断选项②错误；利用所给的恒等式进行变形，再结合偶函数的性质，推出，即可判定③正确；利用赋值求出上的的个数，可判定④正确.
【详解】因为函数对任意的都有，
令，则，所以，
又函数是上的偶函数，所以，所以①正确；
因为当且时，都有，
则当时，，当时，，所以在上单调递增，
因为是偶函数，所以在上单调递减，
因为，则有，即，
又是偶函数，则，得，所以函数关于对称，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以②错误；
因为，即，
再根据，可得，所以，
所以关于对称，由是偶函数可得关于对称可得所以③正确；
因为，则，因为是偶函数，所以，
所以，所以函数在上有四个零点，所以④正确.
故答案为：①③④
【点睛】对于函数的综合应用问题，解答时会涉及到函数的基本性质：如函数的单调性、奇偶性，以及函数的周期性、函数的对称性等知识，同时对于抽象函数的求值问题，常选择运用赋值法求解，解题时要注意对称性、奇偶性和周期性之间的关系.
【技巧点拨】
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略：
（1）函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
（3）单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．
【变式演练1】
1．（2021·全国高三其他模拟）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先通过已知分析得到函数的单调性，等价于或再结合函数的图象解不等式得解.
【详解】
因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称．
由在上单调递减，得在上单调递增，且，
所以当或时，，当时，．函数的图象如图所示，
等价于或即或
解得或，故选：B．
【点睛】由函数的奇偶性延伸到其图象的对称性问题的常见结论：（1）若函数为奇函数（或偶函数），则函数的图象关于点中心对称（或关于直线对称）；（2）若函数为奇函数（或偶函数），则函数的图象关于点中心对称（或关于直线对称）．
【变式演练2】
2．（2021·全国高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，，若且时，都有，则下列四个结论中：①图象关于直线对称；②；③在上为减函数；④.其中正确的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据已知求得函数的周期以及单调区间，逐个选项判断即可得结论.
【详解】因为为奇函数，所以，
所以，所以对称轴为，
因为，所以，所以周期为4，
所以对称轴，故不符合，所以①不正确；
，因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，所以②正确；因为且时，都有，
所以，即，
所以在上为增函数，所以在上为增函数，
所以在上为增函数，所以③不正确；
因为，，
所以，所以④不正确，即正确的个数为1个，故选：A.
【点睛】本题考查抽象函数的周期和单调性对称性的综合应用，解答本题的关键是先由函数为奇函数结合，得到和，从而得到函数的对称性和周期性，根据条件得出，得到函数的单调性.
【变式演练3】
3．（2021·江苏扬州市·高三其他模拟）已知定义在上的奇函数在上单调递减，且满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函数，分，、和四种情况讨论，求得不等式的解集，再结合为奇函数，即可求得不等式的解集.
【详解】由题意，函数定义在上的奇函数，在单调减，
所以在单调减，且，若函数，
当时，，，此时无解；
当时，，可得，，此时无解；
当时，，可得，此时成立；
当时，可得，，所以，所以当时，满足不等式，
令，可得函数的定义域为，
且，所以函数奇函数，
所以当时，满足不等式成立，
综上可得，不等式的解集为.故选：B.
【点睛】利用函数的图象求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：
1、利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数与轴的交点的横坐标，方程的根据就是函数和图象的交点的横坐标；2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.



易错点01 奇偶性的判别方法不灵活
1.判断的奇偶性.
【错解】∵
∴且,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数
【错因】对数运算公式不熟悉，或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义中f(-x)=-f(x)
f(-x)=f(x)，也可改为研究f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)＝0是否成立.
【正解】方法一：∵
＝＝＝－，∴是奇函数
方法二：∵
＝
　　∴是奇函数

易错点02 对函数奇偶性与周期性交汇问题,考虑不全面致误
1.若定义在R上的奇函数满足,,则在 上的零点个数至少为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【错解】由,,得,=0,所以1,2,3,4,5都是的零点,故选B.
【错因】忽略了1.5,4.5也是的零点.
【正解】由,,得,=0,中取,得,所以,所以1,2,3,4,5,1.5,4.5都是的零点,故选D.
【点睛】若奇函数满足,且有意义,则=0.
易错点03 对函数奇偶性与单调性交汇问题,讨论不全面忽视
1.偶函数在是减函数,且满足,则a的取值范围是 .
【错解】由偶函数在是减函数,且
得,解得.
【错因】该题应该分4种情况讨论
【正解】偶函数在是减函数,所以 .
【点睛】为避免讨论,偶函数常利用结论求解.
2．（2021·上海市控江中学高三三模）设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为__________.
【答案】
【分析】先求出函数是定义在上的解析式，再分别讨论与在大于0和小于0时列出不等式，最后求并集.
【详解】由于函数是定义在上的奇函数，且当时，，
当时，，，此时，. 又，
综上所述，.
①当时，由，得，解得，此时，；
②当时，即当时，
由得，整理得，解得，此时；
③当由得，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为 .故答案为：.
【点睛】解决本题类型的问题关键在于由已知奇函数部分解析式求定义域上奇函数解析式，并分段讨论求不等式解集.



满分：150分 完成时间：120分钟
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2021·北京高考真题7题），试判断函数的奇偶性及最大值（ ）
A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2 C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为
【答案】D
【详解】首先判断奇偶性，，故为偶函数；
再判断最值，
因为所以，即当时，取得最大值为，故答案选D.
2．（2021·北京高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数，又满足值域为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数的奇偶性和值域直接判断可排除A、B、D，对C，采用导数法，函数函数图象可判断正确
【详解】对A，为奇函数，值域为，故A错；
对B、，函数为“对勾函数”因为，所以，故B错误；
对C，为奇函数，当时，因为，故在为增函数，时，函数值为0，当时，，，画出图形如图：

所以，故C正确；对D，，函数为奇函数，值域为，故D错误；故选：C
【点睛】本题考查函数的奇偶性与值域的判断，属于基础题.①判断函数奇偶性除了定义法外，还可采用口诀进行判断：奇函数=奇函数奇函数=奇函数 偶函数；②对于常见函数类型，应熟记于心，比如反比例函数，对勾函数；③对于复杂函数，研究值域时，可采用导数进行研究
3．（2021·广西高三一模（理））已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通过周期性奇偶性找到周期性，再由单调性确定函数值大小.
【详解】是偶函数,得，即，
是奇函数，得，即，，得
由是奇函数，得，因为在上单调递增，所以
，
所以，故选：B
【点睛】是函数的对称轴，
是函数 的对称中心.
4．（2021·常州市新桥高级中学高三三模）己知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有，则的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】由，得，得函数的周期，得，由及f(x)的奇偶性可得，即可求解．
【详解】当且时，由，得，
令，则是周期为1的函数，所以，
当时，由得，，
又是偶函数，所以， 所以，
所以，所以故选：A
【点睛】解决抽象函数问题的两个注意点：（1）对于抽象函数的求函数值的问题，可选择定义域内的恰当的值求解，即要善于用取特殊值的方法求解函数值．（2）由于抽象函数的解析式未知，故在解题时要合理运用条件中所给出的性质解题，有时在解题需要作出相应的变形．
5．（2021·山东高三模拟）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．是函数的周期 B．函数在上的最大值为2
C．函数在上单调递减 D．方程在上的所有实根之和为
【答案】D
【分析】根据已知结合奇函数性质可得不是函数的周期，且是函数的周期，根据和的单调性可判断的单调性，再结合奇函数的性质和周期性可求最大值，根据函数
的对称性可求得方程在上的所有实根之和.
【详解】是上的奇函数，，，
故不是函数的周期，且，故是函数的周期，故A错误；
当时，单调递增，单调递减，则单调递增，故C错误；
当时，且单调递减，且单调递增，则单调递减；
且，又是奇函数且周期为，，故B错误；
由可得关于对称，方程的根等价于与的交点
的横坐标，根据的单调性和周期可得，与在有两个关于对称的交点，在有两个关于对称的交点，在有两个关于对称的交点，所以方程在上的所有实根之和为，故D正确.故选：D.
【点睛】解决本题的关键是判断出是函数的周期且在单调递增，在单调递减，且关于对称.
6．（2021·全国高三二模（理））已知是定义域为的奇函数，，当时，，则时，的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，得对称轴方程为，根据奇偶性得时， ，再设时，可得答案.
【详解】是定义域为的，所以，
因为，所以的一条对称轴方程为，
当时，，所以当时，，
所以，则时，，
所以，即.故选：A.

【点睛】本题考查了函数的奇偶性和对称性的应用，关键点是根据奇偶性和对称性求出相应段函数的解析式，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
7．（2021·浙江台州市·路桥中学高三其他模拟）下列命题为真命题的是（ ）
A．函数是增函数 B．函数的最小正周期是
C．函数的图像关于直线对称 D．函数的图像关于点对称
【答案】C
【分析】本题首先可通过正切函数的性质判断出A错，然后通过正弦函数以及绝对值性质判断出B错，再然后通过一次函数以及绝对值性质判断出C正确，最后通过不成立判断出D错.
【详解】A项：因为函数是周期函数，且函数的图像不是连续的，
所以函数不是增函数，A错；
B项：结合正弦函数以及绝对值性质易知，函数的最小正周期是，B错；
C项：结合一次函数以及绝对值性质易知，函数的图像关于直线对称，C正确；
D项：令，若函数的图像关于点对称，
则，即，
因为，所以不成立，
故函数的图像不关于点对称，D错，故选：C
【点睛】本题考查函数单调性、周期性以及对称性的判断，考查学生对正弦函数、正切函数、一次函数的性质的理解，若函数关于点对称，则，考查推理能力与计算能力，是中档题.
8．（2021·宁夏中卫市·高三模拟）已知函数，下列四个判断一定正确的是（ ）
A．函数为偶函数 B．函数最小值为6
C．函数的图象关于直线对称
D．关于x的方程的解集可能为
【答案】C
【分析】利用函数解析式计算，与比较即判断A不正确；将展开，利用基本不等式以及取等号条件，即可判断B不正确；计算，与比较即判断C正确；根据C中的对称性，即判断D不正确.
【详解】因为函数，则，不恒成立，故A不正确；
由，结合基本不等式可知，则，但取等号条件分别是，故等号不能同时取得，所以，故B不正确；
由，所以函数的图象关于直线对称，C正确；
，即，而函数图像关于对称，故若有根必关于对称，所以D不正确.故选：C.
【点睛】本题的解题关键理解求和符号，能将函数准确展开，才能结合基本不等式和对称性突破难点.
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·江苏连云港市·高三模拟）函数的定义域为，且与都为奇函数，则（ ）
A．为奇函数 B．为周期函数 C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】ABC
【分析】由题设可得，进而可得、，即可判断A、B、D的正误，又可判断C的正误.
【详解】由题意知：且，
∴，即，可得，
∴是周期为2的函数，且、为奇函数，故A、B正确，D错误；
由上知：，即为奇函数，C正确.故选：ABC.
10．（2021·广东佛山市·高三其他模拟）函数，下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为 B．在定义域内单调递増
C．不等式的解集为 D．函数的图象关于直线对称
【答案】AD
【分析】分别考虑函数的定义域、单调性及对称性就可以对每一个选项作出判断.
【详解】要使函数有意义，则，故A正确；
，令，易知其在上单调递减，所以在上单调递减，故B不正确；
由于在上单调递减，所以对于，有，故C不正确；令，解得，所以关于直线对称，故D正确.故选：AD
11．（2021·全国高三其他模拟）若函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．为周期函数，无最小正周期 B．为单调函数
C．∀x1，x2∈R，∃x3∈R满足g（x3）＝成立 D．∀x1∈R，∃x2∈R满足g²（x2）＝g（x1）
【答案】AC
【分析】对四个选项，一一验证：对于A：根据周期函数的定义即可判断；
对于B：取特殊值,,即可判断；对于C：先求出，
分三种情况：①均为有理数时，②均为无理数时，为无理数③当一个有理数，一个无理数时，分别判断；对于D：取特殊值，利用，直接判断.
【详解】对于A：根据周期函数的定义，若x为有理数，对任意的正有理数T，则为有理数，所以；若x为无理数，对任意的正无理数T，则为无理数，所以；所以任意的正有理数T均为的周期，即为周期函数，无最小正周期，故A正确；
对于B：,,,所以g（x）不是单调函数，故B错误；
对于C：，
分三种情况：①均为有理数时，为有理数，所以令，则满足；
②均为无理数时，为无理数，所以令，则满足；
③当一个有理数，一个无理数时，不妨设为有理数，为无理数，也是有理数，令为有理数，则
则满足.综上所述：∀x1，x2∈R，∃x3∈R满足g（x3）＝成立，故C正确；对于D：令，则，由得：，因为，所以.故D错误.故选：AC
【点睛】（1）四个选项互不相关的选择题，需要对各个选项一一验证.（2）数学中的新定义题目解题策略：
① 仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.
12．（2021·广东中山市·高三模拟）函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，以下选项正确的有（ ）
A．关于中心对称
B．关于中心对称
C．函数的图象关于点对称，则
D．函数的图象关于对称的充要条件是为偶函数
【答案】BCD
【分析】根据函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，即可判断A错误，B正确.对选项C，根据充要条件的定义即可判断C正确，对选项D，根据函数的对称性、偶函数的定义以及充要条件的定义即可判断D正确.
【详解】对选项A，，，，
，故A错误.
对选项B，由，若，
则，故B正确.
对选项C，因为函数为奇函数，所以，
即，令，则有，
即，故C正确.
对选项D，若为偶函数，则，
令，则有，函数的图象关于对称，故必要性成立，
函数的图象关于对称，则有，
令，则有，即为偶函数，故充分性成立，故D正确.故选：BCD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·全国高三其他模拟（理））函数是定义在上的奇函数，当时，，则______．
【答案】11
【分析】根据奇函数性质求出函数的解析式，然后逐层代入即可.
【详解】，，当时，，
即，
，，．故答案为：11.
14．（2021·黑龙江·高三三模）已知实数，满足，则___________.
【答案】
【分析】
构造函数，由函数的奇偶性单调性，计算即可得出结果.
【详解】因为，
所以，
令，则在上为单调递增的奇函数，
又，所以，所以.故答案为：4
15．（2018·全国高考真题（文））已知函数，，则________．
【答案】
【分析】发现，计算可得结果.
【详解】因为，
，且，则.故答案为-2
【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现是关键，属于中档题.
16．（2021·武冈市第二中学高三模拟）函数的定义域为D，对D内的任意，当时，恒有，则称为非减函数．已知是定义域为的非减函数，且满足：①对任意，．②对任意．则的值为________．
【答案】2
【分析】分析所给条件，得到的函数图像在关于对称，再由任意得出且，又为非减函数即可求得时，必有，据此即可得解.
【详解】根据题意，由对任意，，
则的函数图像在关于对称，令可得，
因为对任意，所以，又因为且是定义域为的非减函数，
所以当时，必有，又由于的函数图像关于对称，
所以时，也有，，故答案为：2.
【点睛】本题考查了函数相关性质，考查了非减函数的新定义，同时考查了对称性，需要一定的逻辑思维能力，属于较难题.本题的关键有：（1）理解应用函数中心对称的基本公式；（2）对数据的精准把握，即且；（3）理解非减函数的含义.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17．（2021·全国高三专题练习）已知函数(为常数，).（1）讨论函数的奇偶性；（2）当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义求解即可；（2）当函数为偶函数时，，列出方程，利用换元法，结合指数函数和对勾函数的性质，由求根公式解出方程的根，可得实数的取值范围．
【详解】（1）∵函数的定义域为，
又∵ ∴①当时，即时，可得
即当时，函数为偶函数；
②当时，即时，可得
即当时，函数为奇函数.
（2）由（1）可得，当函数为偶函数时，，
即时，
由题可得，
令，则有 ∵ ∴，
又∵，当且仅当时，等号成立
根据对勾函数的性质可知，，即
①
此时的取值不存在；
②

此时，可得的取值为综上可得
【点睛】本题考查函数的性质，考查指数函数和对勾函数的应用，解决本题的关键点是令，则方程化简为，利用求根公式并讨论根与区间端点的关系，得出参数的范围，考查学生分类讨论思想和计算能力，属于中档题．
18．（2021·上海高三三模）已知函数为实常数.（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）当为奇函数时，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）函数是奇函数，理由见解析；（2）.
【分析】（1）若函数为奇函数，由奇函数的定义可求得的值；又当时，且，函数是非奇非偶函数；（2）对任意，不等式恒成立，化简不等式参变分离，构造新函数，利用换元法和对勾函数的单调性求出最值，代入得出实数u的最大值．
【详解】解：（1）当时，
即；故此时函数是奇函数；
因当时，，故，且
于是此时函数既不是偶函数，也不是奇函数；
（2）因是奇函数，故由（1）知，从而；
由不等式，得，
令因，故
由于函数在单调递增，所以；
因此，当不等式在上恒成立时，
【点睛】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
19．（2021·河南焦作市·高三月考）已知函数（且）的图象过点
（1）求的值.（2）若.（i）求的定义域并判断其奇偶性；
（ii）求的单调递增区间.
【答案】（1）；（2）（i）定义域为，是偶函数；（ii）.
【分析】（1）由可求得实数的值；（2）（i）根据对数的真数大于零可得出关于实数的不等式，由此可解得函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义可证明函数为偶函数；（ii）利用复合函数法可求得函数的增区间.
【详解】（1）由条件知，即，又且，所以；
（2）.
（i）由得，故的定义域为.
因为，故是偶函数；
（ii），
因为函数单调递增，函数在上单调递增，
故的单调递增区间为.
20．（2021·浙江温州市·高三三模）已知函数．
(1)当时，恒成立，求实数t的取值范围；
(2)当时，对任意的，恒成立，求整数n的最小值．
【答案】（1）；（2）1．
【分析】(1)构造函数并求导，讨论这个函数的单调性，求出最小值为0时的x的最小值即可得解；(2)由(1)把给定恒成立的不等式等价转化为新函数不小于0恒成立，进而探讨整数n的范围即可得解.
【详解】(1)设，
令，时，时，在上递减，在上递增，所以，即，在R上递增，而，即当时，，当时，，所以实数t的取值范围是；
(2)由(1)知：当时，，当时，且为R上的奇函数，
当时，对任意的，恒成立，
只需当时，对任意的，，
即当时，对任意的，，
时，，，矛盾，即a>0，n≥0，
时，，矛盾，而，即n2，n∈N*)求证：对任意1≤k≤n﹣1，k∈N*，均有f(k)≤0.
【答案】（1）①具有性质P，②不具有性质P，理由见解析；（2）g(x)具有性质P，理由见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据新定义验证f(x﹣1)+f(x+1)≥2f(x)即可判断具有性质P；
（2）根据新定义，举反例，当x=﹣1时不满足f(x﹣1)+f(x+1)≥2f(x)即可判断不具有性质P；
（3）由于直接证明比较麻烦，所以从反面出发，即采用反证法结合新定义即可得到结论.
【详解】解：（1）①f(x﹣1)+f(x+1)﹣2f(x)=3x﹣1+3x+1﹣2×3x=3x()>0，故①具有性质P；
②不具有性质P，如x=﹣1时，f(x﹣1)+f(x+1)=f(﹣2)+f(0)=﹣8，而2f(﹣1)=﹣2，不满足不等式，
（2）1°当x为有理数时，具有性质P，理由如下：
f(x﹣1)+f(x+1)﹣2f(x)=(x﹣1)2+(x+1)2﹣2x2﹣n(x﹣1+x+1﹣2x)=2≥0，
2°当x为无理数时，具有性质P，理由如下：f(x﹣1)+f(x+1)﹣2f(x)=(x﹣1)2+(x+1)2﹣2x2=2>0，
综上可知g(x)具有性质P.
（3）证明：假设f(x)为f（1），f（2），…，f(n﹣1)中第一个大于0的值，则f(k)﹣f(k﹣1)>0，
因为函数f(x)具有性质P，所以f(n+1)﹣f(n)≥f(n)﹣f(n﹣1)，
所以f(n+1)﹣f(n)≥f(n)﹣f(n﹣1)≥…≥f(k)﹣f(k﹣1)>0，
所以f(n)=[f(n)﹣f(n﹣1)]+[f(n﹣1)﹣f(n﹣2)]+…+f（1）>0，
与f(n)=0矛盾，所以假设错误，原命题正确，
即对于任意的1≤k≤n﹣1，k∈N*，均有f(k)≤0.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
22．（2020·上海华师大二附中高三月考）对于函数，若存在实数，使得为上的奇函数，则称是位差值为的“位差奇函数”.（1）判断函数和是否为位差奇函数？说明理由；（2）若是位差值为的位差奇函数，求的值；（3）若对任意属于区间中的都不是位差奇函数，求实数、满足的条件.
【答案】（1）是位差奇函数，详见解析不是位差奇函数；（2），；（3），.
【分析】（1）根据“位差奇函数”的定义．考查f（x+m）﹣f（m）=2x,和h（x）＝g（x+m）﹣g（m）＝2x+m﹣2m＝2m（2x﹣1）是否为奇函数即可， （2）依题意，是奇函数，求出φ；（3）记h（x）＝f（x+m）﹣f（m）＝（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm＝x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．假设h（x）是奇函数，则3m+b＝0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需．
【详解】（1）对于f（x）＝2x+1，f（x+m）﹣f（m）＝2（x+m）+1﹣（2m+1）＝2x，
∴对任意实数m，f（x+m）﹣f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；
对于g（x）＝2x，记h（x）＝g（x+m）﹣g（m）＝2x+m﹣2m＝2m（2x﹣1），
由h（x）+h（﹣x）＝2m（2x﹣1）+2m（2﹣x﹣1）＝0，当且仅当x＝0等式成立，
∴对任意实数m，g（x+m）﹣g（m）都不是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”；
（2）依题意，是奇函数，
∴（k∈Z）．
（3）记h（x）＝f（x+m）﹣f（m）＝（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm
＝x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．依题意，h（x）对任意都不是奇函数，
若h（x）是奇函数，则3m+b＝0，此时．
故要使h（x）不是奇函数，必须且只需，且c∈R．
【点睛】本题考查了函数中的新定义，关键是要弄清新定义的本质含义，属于中档题．