2020-2021学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷

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2020-2021学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共24分，每小题3分）第1～8题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．1．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为　　A． B． C． D．2．（3分）型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病．“”表示此类型的口罩能过滤空气中的粒径约为的非油性颗粒．其中，0.0000003用科学记数法表示为　　A． B． C． D．3．（3分）下列计算正确的是　　A． B． C． D．4．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是　　A． B． C． D．5．（3分）如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为　　A． B． C． D．6．（3分）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：已知：．求作：，使．作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；（2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点；（4）过点画射线，则．小聪作法正确的理由是　　A．由可得△，进而可证 B．由可得△，进而可证 C．由可得△，进而可证 D．由“等边对等角”可得7．（3分）如果，那么代数式的值是　　A．2 B． C． D．8．（3分）在中，，线段，，分别是的高，中线，角平分线，则点，，的位置关系为　　A．点总在点，之间 B．点总在点，之间 C．点总在点，之间 D．三者的位置关系不确定二、填空题（本大题共24分，每小题3分）9．（3分）使式子有意义的取值范围是　　．10．（3分）计算：　　．11．（3分）如图，在中，，，，垂足为．若，则的长为　　．12．（3分）如图，，，垂足分别为，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是　　．（写出一个即可）13．（3分）某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为的正方形的花坛．学生会提出两个方案：方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；具体数据如图所示，则　　．（填“”，“ ”或“” 14．（3分）如图，，，的垂直平分线交于点．则的大小为　　．15．（3分）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点与点关于轴对称，点在轴上，若为等腰直角三角形，则点的坐标为　　．16．（3分）图1是小明骑自行车的某个瞬间的侧面示意图，将小明右侧髋关节和车座看作一个整体抽象为点，将膝盖抽象为点，将脚跟、脚掌、踏板看作一个整体抽象为点，将自行车中轴位置记为点（注：自行车中轴是连接左右两个踏板，使两个踏板绕其旋转的部件），在骑行过程中，点，的位置不变，，为动点．图2是抽象出来的点和线．若，，小明在骑车前，需调整车座高度，保证在骑行过程中脚总可以踩到踏板，则最长为　　．三、解答题（本大题共52分，第17题8分，第18～21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题7分）17．（8分）（1）计算：；（2）分解因式：．18．（5分）已知，求代数式的值．19．（5分）如图，是的中点，，，连接，．求证：．20．（5分）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”请补全上述命题的证明．已知：如图，在中，．求证：　　．证明：如图，由于，故在边上截取，连接．（在图中补全图形），　　．　　（填推理的依据）是的外角，．　　（填推理的依据）．．，．．21．（5分）列方程解应用题开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已成为一种时尚．某学校食堂为了激励同学们做到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘不浪费，那么餐后奖励香蕉或橘子一份．近日，学校食堂花了2800元和2500元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多150千克，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低，求橘子每千克的价格．22．（6分）如图，在中，，，是边上一点，连接，，且，与交于点．（1）求证：；（2）当时，求证：平分．23．（5分）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：（1）多项式关于　　对称；（2）若关于的多项式关于对称，求的值；（3）整式关于　　对称．24．（6分）已知是等边三角形，点在射线上（与点，不重合），点关于直线的对称点为点，连接，，，．（1）如图1，当点为线段的中点时，求证：是等边三角形；（2）当点在线段的延长线上时，连接，为线段的中点，连接．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明．25．（7分）在平面直角坐标系中，直线为过点且与轴垂直的直线．对某图形上的点作如下变换：当时，作出点关于直线的对称点，称为Ⅰ变换；当时，作出点关于轴的对称点，称为Ⅱ变换．若某个图形上既有点作了Ⅰ变换，又有点作了Ⅱ变换，我们就称该图形为双变换图形．例如，已知，，如图1所示，当时，点应作Ⅰ（2）变换，变换后的坐标是；点作Ⅱ（2）变换，变换后的坐标是．请解决下面的问题：（1）当时，①已知点的坐标是，则点作相应变换后的点的坐标是　　；②若点作相应变换后的点的坐标为，求点的坐标；（2）已知点，，①若线段是双变换图形，则的取值范围是　　；②已知点在第一象限，若及其内部（点除外）组成的图形是双变换图形，且变换后所得图形记为，直接写出所有图形所覆盖的区域的面积．2020-2021学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共24分，每小题3分）第1～8题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．1．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为　　A． B． C． D．【解答】解：、不是轴对称图形，故本选项不合题意；、不是轴对称图形，故本选项不合题意；、不是轴对称图形，故本选项不合题意；、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：．2．（3分）型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病．“”表示此类型的口罩能过滤空气中的粒径约为的非油性颗粒．其中，0.0000003用科学记数法表示为　　A． B． C． D．【解答】解：0.0000003用科学记数法表示为：．故选：．3．（3分）下列计算正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：、，故本选项不合题意；、，故本选项符合题意；、，故本选项不合题意；、，故本选项不合题意；故选：．4．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是　　A． B． C． D．【解答】解：、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．故选：．5．（3分）如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为　　A． B． C． D．【解答】解：该正九边形内角和，则每个内角的度数．故选：．6．（3分）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：已知：．求作：，使．作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；（2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点；（4）过点画射线，则．小聪作法正确的理由是　　A．由可得△，进而可证 B．由可得△，进而可证 C．由可得△，进而可证 D．由“等边对等角”可得【解答】解：由作图得，，则根据“”可判断△．故选：．7．（3分）如果，那么代数式的值是　　A．2 B． C． D．【解答】解：原式，当时，原式．故选：．8．（3分）在中，，线段，，分别是的高，中线，角平分线，则点，，的位置关系为　　A．点总在点，之间 B．点总在点，之间 C．点总在点，之间 D．三者的位置关系不确定【解答】解：假设，如图所示，延长至点，使，连接，在和中，，，，，，，，，点总在点，之间，故选：．二、填空题（本大题共24分，每小题3分）9．（3分）使式子有意义的取值范围是　　．【解答】解：要使式子有意义，得．解得，故答案为：．10．（3分）计算：　　．【解答】解：．故答案为：．11．（3分）如图，在中，，，，垂足为．若，则的长为　3　．【解答】解：在中，，，，，，，，故答案为：3．12．（3分）如图，，，垂足分别为，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是　或或或（答案不唯一）　．（写出一个即可）【解答】解：若添加，且，由“”可证；若添加，且，由“”可证；若添加，且，由“”可证；若添加，且，由“”可证；故答案为：或或或（答案不唯一）．13．（3分）某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为的正方形的花坛．学生会提出两个方案：方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；具体数据如图所示，则　　．（填“”，“ ”或“” 【解答】解：方案一：如图1，，方案二：如图2，，，．故答案为：．14．（3分）如图，，，的垂直平分线交于点．则的大小为　　．【解答】解：，，的垂直平分，，，．故答案为：．15．（3分）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点与点关于轴对称，点在轴上，若为等腰直角三角形，则点的坐标为　或　．【解答】解：点的坐标为，点与点关于轴对称，点，，又，，，点或，故答案为：或．16．（3分）图1是小明骑自行车的某个瞬间的侧面示意图，将小明右侧髋关节和车座看作一个整体抽象为点，将膝盖抽象为点，将脚跟、脚掌、踏板看作一个整体抽象为点，将自行车中轴位置记为点（注：自行车中轴是连接左右两个踏板，使两个踏板绕其旋转的部件），在骑行过程中，点，的位置不变，，为动点．图2是抽象出来的点和线．若，，小明在骑车前，需调整车座高度，保证在骑行过程中脚总可以踩到踏板，则最长为　64　．【解答】解：在骑行过程中脚总可以踩到踏板，当时，最长，则，最长为，故答案为：64．三、解答题（本大题共52分，第17题8分，第18～21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题7分）17．（8分）（1）计算：；（2）分解因式：．【解答】解：（1）原式；（2）原式．18．（5分）已知，求代数式的值．【解答】解：原式，，．原式．19．（5分）如图，是的中点，，，连接，．求证：．【解答】证明：是的中点，，，．在和中，，，．20．（5分）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”请补全上述命题的证明．已知：如图，在中，．求证：　　．证明：如图，由于，故在边上截取，连接．（在图中补全图形），　　．　　（填推理的依据）是的外角，．　　（填推理的依据）．．，．．【解答】已知：如图，在中，．求证：．证明：如图，由于，故在边上截取，连接．（在图中补全图形）．，（等边对等角），是的外角，．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），，，，，．故答案为：，，等边对等角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．21．（5分）列方程解应用题开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已成为一种时尚．某学校食堂为了激励同学们做到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘不浪费，那么餐后奖励香蕉或橘子一份．近日，学校食堂花了2800元和2500元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多150千克，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低，求橘子每千克的价格．【解答】解：设橘子每千克的价格为元，则香蕉每千克的价格为元．根据题意，得，解得，检验：当时，．所以原分式方程的解为且符合题意．答：橘子每千克的价格为10元．22．（6分）如图，在中，，，是边上一点，连接，，且，与交于点．（1）求证：；（2）当时，求证：平分．【解答】证明：（1），，，在与中，，，．（2）由（1）得，，．由（1）得，，．，，．，，，，．，，平分．23．（5分）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：（1）多项式关于　2　对称；（2）若关于的多项式关于对称，求的值；（3）整式关于　　对称．【解答】解：（1），则多项式关于对称，故答案为：2；（2），关于的多项式关于对称，，；（3）原式，当和2时，原式，关于对称，故答案为：．24．（6分）已知是等边三角形，点在射线上（与点，不重合），点关于直线的对称点为点，连接，，，．（1）如图1，当点为线段的中点时，求证：是等边三角形；（2）当点在线段的延长线上时，连接，为线段的中点，连接．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：点，关于直线对称，，，是等边三角形，，．点为线段的中点，．．．，是等边三角形；（2）解：补全图形如图所示，线段与的数量关系：．证明：延长到点，使，连接．为线段的中点，．在和中，，，．．是等边三角形，，．．点，关于直线对称，，．，，．，，，在和中，．，．25．（7分）在平面直角坐标系中，直线为过点且与轴垂直的直线．对某图形上的点作如下变换：当时，作出点关于直线的对称点，称为Ⅰ变换；当时，作出点关于轴的对称点，称为Ⅱ变换．若某个图形上既有点作了Ⅰ变换，又有点作了Ⅱ变换，我们就称该图形为双变换图形．例如，已知，，如图1所示，当时，点应作Ⅰ（2）变换，变换后的坐标是；点作Ⅱ（2）变换，变换后的坐标是．请解决下面的问题：（1）当时，①已知点的坐标是，则点作相应变换后的点的坐标是　　；②若点作相应变换后的点的坐标为，求点的坐标；（2）已知点，，①若线段是双变换图形，则的取值范围是　　；②已知点在第一象限，若及其内部（点除外）组成的图形是双变换图形，且变换后所得图形记为，直接写出所有图形所覆盖的区域的面积．【解答】解：（1）①，，相应变换后的点的坐标是，故答案为：．②，直线为轴．若，则作变换，变换后的点为，且符合题意．．若，则作变换，变换后的点为，且符合题意．．综上，或．（2）①线段是双变换图形，，，或．故答案为：或．②如图2中，由题意，满足条件的图形是平行四边形，变换后所有图形所覆盖的区域的面积．