2020-2021学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷，共1页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个，
1．（3分）已知反比例函数的图象经过点，则　　
A．2 B．3 C． D．6
2．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是　　
A． B．
C． D．
3．（3分）不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为　　
A． B． C． D．1
4．（3分）如图，中，点，分别在边，的反向延长线上，且．若，，，则为　　

A．9 B．6 C．3 D．
5．（3分）在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是　　
A． B． C． D．
6．（3分）如图，的内接正六边形的边长为1，则的长为　　

A． B． C． D．
7．（3分）已知二次函数的部分图象如图所示，则使得函数值大于2的自变量的取值可以是　　

A． B． C．0 D．2
8．（3分）下列选项中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是　　
A．长度为线段
B．斜边为3的直角三角形
C．面积为4的菱形
D．半径为，圆心角为的扇形
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是　　．
10．（3分）若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是：　　（填“”、“ ”或“” ．
11．（3分）如图，为等腰三角形，是底边的中点，若腰与相切，则与的位置关系为　　（填“相交”、“相切”或“相离” ．

12．（3分）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为　　．
13．（3分）某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：
移植总数
10
270
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活数量
8
235
369
662
1335
3203
6335
8073
12628
成活频率
0.800
0.870
0.923
0.883
0.890
0.915
0.905
0.897
0.902
估计树苗移植成活的概率是　　（结果保留小数点后一位）．
14．（3分）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面，同时量得，，则旗杆高度　　．

15．（3分）如图，在中，，，点在上，且，将点绕着点顺时针方向旋转，使得点的对应点恰好落在边上，则旋转角的度数为　　，的长为　　．

16．（3分）已知双曲线与直线交于点，，，．
（1）若，则　　；
（2）若时，，则　　0，　　0（填“”，“ ”或“” ．
三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题5分，第24-25题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）解方程：．
18．（5分）如图，在和中，，平分．
（1）证明：；
（2）若，，求和的长．

19．（5分）如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼考工记》记载：“故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．

如图2所示，在车轮上取、两点，设所在圆的圆心为，半径为．
作弦的垂线，为垂足，则是的中点．其推理依据是：　　．
经测量：，，则　　；
用含的代数式表示，　　．
在中，由勾股定理可列出关于的方程：
　　，
解得．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
20．（5分）文具店购进了20盒“”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“”铅笔，具体数据见下表：
混入“”铅笔数
0
1
2
盒数
6


（1）用等式写出，所满足的数量关系　　；
（2）从20盒铅笔中任意选取1盒：
①“盒中没有混入‘’铅笔”是　　事件（填“必然”、“不可能”或“随机” ；
②若“盒中混入1支‘’铅笔”的概率为，求和的值．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别为，，以点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段放大得到线段．已知点在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的解析式，并画出图象；
（2）判断点是否在此函数图象上；
（3）点为直线上一动点，过作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点．若，直接写出点横坐标的取值范围．

22．（6分）如图，中，，点在边上，以为直径的与直线相切于点，且是中点，连接．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的半径．

23．（6分）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，点在一次函数的图象上．
（1）若二次函数图象经过点，．
①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；
②判断时，与的大小关系；
（2）若只有当时，满足，求此时二次函数的解析式．

24．（7分）已知，点为射线上一定点，点为射线上一动点（不与点重合），点在线段的延长线上，且，过点作于点．
（1）当点运动到如图1的位置时，点恰好与点重合，此时与的数量关系是　　；
（2）当点运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：；
（3）在点运动的过程中，点能否在射线的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段，，之间的数量关系；若不能，请说明理由．

25．（7分）如图1，对于的顶点及其对边上的一点，给出如下定义：以为圆心，为半径的圆与直线的公共点都在线段上，则称点为关于点的内联点．

在平面直角坐标系中：
（1）如图2，已知点，点在直线上．
①若点，点，则在点，，中，点　　是关于点的内联点；
②若关于点的内联点存在，求点纵坐标的取值范围；
（2）已知点，点，将点绕原点旋转得到点．若关于点的内联点存在，直接写出点横坐标的取值范围．

2020-2021学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个，
1．（3分）已知反比例函数的图象经过点，则　　
A．2 B．3 C． D．6
【解答】解：反比例函数的图象经过点，
．
故选：．
2．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、是中心对称图形，故本选项符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
3．（3分）不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为　　
A． B． C． D．1
【解答】解：袋子中共有3个小球，其中红球有1个，
摸出一个球是红球的概率是，
故选：．
4．（3分）如图，中，点，分别在边，的反向延长线上，且．若，，，则为　　

A．9 B．6 C．3 D．
【解答】解：点，分别在边，的反向延长线上，且，
，即，
解得，
故选：．
5．（3分）在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是　　
A． B． C． D．
【解答】解：、是一次方程，方程有一个实数根，故选项不合题意；
、一次项的系数为1，故选项不合题意；
、△，且一次项系数为0，故此选项符合题意；
、△，故此选项不合题意．
故选：．
6．（3分）如图，的内接正六边形的边长为1，则的长为　　

A． B． C． D．
【解答】解：为正六边形，
，
是等边三角形，
，
弧的长为．
故选：．

7．（3分）已知二次函数的部分图象如图所示，则使得函数值大于2的自变量的取值可以是　　

A． B． C．0 D．2
【解答】解：抛物线的对称轴为，
点关于直线的对称点为，
当时，，
即当函数值时，自变量的取值范围是．
故选：．
8．（3分）下列选项中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是　　
A．长度为线段
B．斜边为3的直角三角形
C．面积为4的菱形
D．半径为，圆心角为的扇形
【解答】解：半径为1的圆的直径为2，
、，
长度为线段不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；
、，
斜边为3的直角三角形不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；
、面积为4的菱形的长的对角线，
面积为4的菱形不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；
、半径为，圆心角为的扇形的弦为2，
半径为，圆心角为的扇形能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；
故选：．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是　　．
【解答】解：二次函数有最小值，
，
这个二次函数的解析式可以是，
故答案为．
10．（3分）若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是：　　（填“”、“ ”或“” ．
【解答】解：反比例函数中，，
在每个象限内，随的增大而减小，
点，都在反比例函数的图象上，且，
，
故答案为：．
11．（3分）如图，为等腰三角形，是底边的中点，若腰与相切，则与的位置关系为　相切　（填“相交”、“相切”或“相离” ．

【解答】解：连接，过点作，，如图，
是等腰的底边的中点，
平分，
，，
，
腰与相切，
为的半径，
为的半径，
而，
与相切．
故答案为相切．

12．（3分）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为　2　．
【解答】解：关于的一元二次方程的一个根为1，
满足一元二次方程，
，
解得，．
故答案是：2．
13．（3分）某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：
移植总数
10
270
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活数量
8
235
369
662
1335
3203
6335
8073
12628
成活频率
0.800
0.870
0.923
0.883
0.890
0.915
0.905
0.897
0.902
估计树苗移植成活的概率是　0.9　（结果保留小数点后一位）．
【解答】解：由表格中的数据可以估计树苗移植成活的概率是0.9，
故答案为：0.9．
14．（3分）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面，同时量得，，则旗杆高度　9　．

【解答】解：，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：9．
15．（3分）如图，在中，，，点在上，且，将点绕着点顺时针方向旋转，使得点的对应点恰好落在边上，则旋转角的度数为　　，的长为　　．

【解答】解：如图，连接，

，，
，
将点绕着点顺时针方向旋转，使得点的对应点恰好落在边上，
旋转角为，，
，
，
故答案为：，．
16．（3分）已知双曲线与直线交于点，，，．
（1）若，则　0　；
（2）若时，，则　　0，　　0（填“”，“ ”或“” ．
【解答】解：（1）双曲线与直线交于点，，，．
，，
，
，
，
，
故答案为0；
（2）双曲线在二、四象限，
设，在第二象限，，在第四象限．则，，，，
，，
，，如图，
直线经过一、二、四象限，
，，
故答案为，．

三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题5分，第24-25题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）解方程：．
【解答】解：

，
，．
18．（5分）如图，在和中，，平分．
（1）证明：；
（2）若，，求和的长．

【解答】（1）证明：平分，
，
又，
；
（2）解：，，，
，
由（1）得：，
，
即，
解得：．
19．（5分）如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼考工记》记载：“故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．

如图2所示，在车轮上取、两点，设所在圆的圆心为，半径为．
作弦的垂线，为垂足，则是的中点．其推理依据是：　垂直弦的直径平分弦　．
经测量：，，则　　；
用含的代数式表示，　　．
在中，由勾股定理可列出关于的方程：
　　，
解得．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
【解答】解：如图2所示，在车轮上取、两点，设所在圆的圆心为，半径为．
作弦的垂线，为垂足，则是的中点．其推理依据是：垂直弦的直径平分弦．
经测量：，，则；
用含的代数式表示，．
在中，由勾股定理可列出关于的方程：
，
解得．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
故答案为：垂直弦的直径平分弦，45，，．
20．（5分）文具店购进了20盒“”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“”铅笔，具体数据见下表：
混入“”铅笔数
0
1
2
盒数
6


（1）用等式写出，所满足的数量关系　　；
（2）从20盒铅笔中任意选取1盒：
①“盒中没有混入‘’铅笔”是　　事件（填“必然”、“不可能”或“随机” ；
②若“盒中混入1支‘’铅笔”的概率为，求和的值．
【解答】解：（1）观察表格发现：，
用等式写出，所满足的数量关系为，
故答案为：；

（2）①“盒中没有混入‘’铅笔”是随机事件，
故答案为：随机；
② “盒中混入1支‘’铅笔”的概率为，
，
，．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别为，，以点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段放大得到线段．已知点在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的解析式，并画出图象；
（2）判断点是否在此函数图象上；
（3）点为直线上一动点，过作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点．若，直接写出点横坐标的取值范围．

【解答】解：（1）将点代入反比例函数中，得，
，
反比例函数的解析式为，
图象如图1所示，


（2）以点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段放大得到线段，且，
，
即，
由（1）知，反比例函数解析式为，
当时，，
点在反比例函数图象上；

（3）以点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段放大得到线段，且，
，
即，
由（2）知，，
直线的解析式为，
点的横坐标为，则，，
，
，，
，
，
，
或，
即或．
22．（6分）如图，中，，点在边上，以为直径的与直线相切于点，且是中点，连接．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的半径．

【解答】（1）证明：连接，如图，
以为直径的与直线相切于点，
，
是中点，
垂直平分，
；
（2）解：设的半径为，
，，，
平分，
，
，
，
，
在中，，
在中，，解得，
即的半径为1．

23．（6分）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，点在一次函数的图象上．
（1）若二次函数图象经过点，．
①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；
②判断时，与的大小关系；
（2）若只有当时，满足，求此时二次函数的解析式．

【解答】解：（1）①二次函数的图象经过点，，
，解得，
二次函数的解析式为，
，
图象的顶点坐标为；
②画出函数的图像如图：

由图像可知，时，；
（2）由题意可知二次函数的图象经过点和点，
把和点代入得，
解得，
此时二次函数的解析式为．
24．（7分）已知，点为射线上一定点，点为射线上一动点（不与点重合），点在线段的延长线上，且，过点作于点．
（1）当点运动到如图1的位置时，点恰好与点重合，此时与的数量关系是　　；
（2）当点运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：；
（3）在点运动的过程中，点能否在射线的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段，，之间的数量关系；若不能，请说明理由．

【解答】（1）解：，，
是等腰三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
点恰好与点重合，
，
故答案为：；
（2）证明：过点作于，如图2所示：
则，
在和中，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；
（3）解：能，；理由如下：
过点作于，如图3所示：
则，
在和中，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．


25．（7分）如图1，对于的顶点及其对边上的一点，给出如下定义：以为圆心，为半径的圆与直线的公共点都在线段上，则称点为关于点的内联点．

在平面直角坐标系中：
（1）如图2，已知点，点在直线上．
①若点，点，则在点，，中，点　，　是关于点的内联点；
②若关于点的内联点存在，求点纵坐标的取值范围；
（2）已知点，点，将点绕原点旋转得到点．若关于点的内联点存在，直接写出点横坐标的取值范围．
【解答】解：（1）①如图1中，根据点为关于点的内联点的定义，观察图像可知，点，点是是关于点的内联点．

故答案为：，．

②如图2中，当点时，此时以为半径的圆与线段有唯一的公共点，此时点是关于点的内联点，

当点时，以为半径的圆，与线段有公共点，此时点是关于点的内联点，
观察图像可知，满足条件的的值为．

（2）如图3中，过点作轴于，过点作轴于．

，
，，
，
当时，点是关于点的内联点，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
观察图像可知当时，满足条件．
作点关于点的对称点，，
当时，设交于，
，，，
△，
，
，，
在中，则有，
解得，
，，
可得，，
观察图像可知，当．
综上所述，满足条件的的值为或．
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日期：2021/12/8 12:31:55；用户：初中数学1；邮箱：jse032@xyh.com；学号：39024122