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吉林省长春市南关区2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案）
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这是一份吉林省长春市南关区2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年吉林省长春市南关区八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．8的立方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．2
2．在1，﹣2.8，0，四个实数中，大于1的实数是（ ）
A．1 B．﹣2.8 C．0 D．
3．计算（﹣a2）3÷a3结果是（ ）
A．﹣a2 B．a2 C．﹣a3 D．a3
4．下列说法正确的是（ ）
A．每个定理都有逆定理
B．每个命题都有逆命题
C．真命题的逆命题都是真命题
D．假命题的逆命题都是假命题
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC．用直尺和圆规在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹（ ）
A． B．
C． D．
6．某年1～4月我国新能源乘用车的月销量情况如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．1月份销量为2.1万辆
B．1～4月新能源乘用车销量逐月增加
C．4月份销量比了3月份增加了1万辆
D．从2月到3月的月销量增长最快
7．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A、B的对应点分别为D、E，连结AD．当A、D、E三点在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ）
A．AD＝AC B．∠ABC＝∠ADC C．AB+CD＝AE D．AB∥CD
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．平方根等于它本身的数是 ．
10．计算：（﹣2x3y）•5xy3＝ ．
11．因式分解：3a3﹣27a＝ ．
12．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则周长是 cm．
13．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DAE的度数是 ．
14．如图，△ABC纸片的面积为12cm2，其中一边BC的长为6cm，将其经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙无重叠的长方形BCDE，则长方形的周长为 cm．
三、解答题（本大题共11小题，共78分）
15．计算：（2m2﹣m）2÷（﹣m2）．
16．计算：（2x+5y）（3x﹣2y）．
17．先化简，再求值：2（a+1）（a﹣1）﹣a（2a﹣3），其中a＝﹣．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝25°．
（1）求∠DAC的大小．
（2）若AB＝13，AD＝5，求BC的长．
19．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点P，按下列要求作图．
（1）在图①中，连结PA、PB，使PA＝PB．
（2）在图2中，连结PA、PB、PC，使PA＝PB＝PC．
20．如图，CD∥AB，CD＝CB，点E在BC上，∠D＝∠ACB．
（1）求证：CE＝AB．
（2）若∠A＝125°，则∠BED的度数是 ．
21．某校数学兴趣小组为了解学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校随机抽取了n名学生进行调查，规定每人必须并且只能在以上给出的五类中选择一类，并将统计结果绘制了两个不完整的统计图．
节目类型
人数
A
20
B
a
C
52
D
80
E
b
请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）n＝ ，a＝ ，b＝ ．
（2）在扇形统计图中，求节目类型“C”所占的百分数．
（3）在扇形统计图中，求节目类型“D”所对应的扇形圆心角的度数．
22．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1）求修建的公路CD的长；
（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
23．操作：第一步：如图1，对折长方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开．
第二步：如图2，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．连结AN，易知△ABN的形状是 ．
论证：如图3，若延长MN交BC于点P，试判定△BMP的形状，请说明理由．
24．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．
请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，已知△ADE的周长为22，则BC的长为 ．
（2）如图③，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，E、P分别是AB、AD上任意一点，若BC＝6，AB＝5，则BP+EP的最小值是 ．
25．如图，在△ABC中，CA＝CB，过点A作射线AP∥BC，点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM＝AN，连结BN并延长交射线AP于点D，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED．
【猜想】如图①，当∠C＝30°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN＝∠CAM，进而得出∠BDE的大小为 度．
【探究】如图②，若∠C＝β．
（1）求证：△BCN≌△ACM．
（2）∠BDE的大小为 度（用含β的代数式表示）．
【应用】如图③，当∠C＝120°时，AM平分∠BAC，若AM、BN交于点F，DE＝DF，DE＝1，则△DEF的面积为 ．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．8的立方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．2
【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
解：∵2的立方等于8，
∴8的立方根等于2．
故选：A．
2．在1，﹣2.8，0，四个实数中，大于1的实数是（ ）
A．1 B．﹣2.8 C．0 D．
【分析】根据正数大于0，0大于负数，排除B，C，再估算出的值即可．
解：∵正数＞0，0＞负数，
∴排除B，C，
∵12＝1，22＝4，
∴1＜3＜4，
∴，
∴1＜＜2，
故选：D．
3．计算（﹣a2）3÷a3结果是（ ）
A．﹣a2 B．a2 C．﹣a3 D．a3
【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的除法的法则对式子进行运算即可．
解：（﹣a2）3÷a3
＝﹣a6÷a3
＝﹣a3，
故选：C．
4．下列说法正确的是（ ）
A．每个定理都有逆定理
B．每个命题都有逆命题
C．真命题的逆命题都是真命题
D．假命题的逆命题都是假命题
【分析】根据命题，逆命题，真命题，假命题之间的关系对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、不是每个定理都有逆定理，故本选项错误；
B、每个命题都有逆命题，正确，故本选项正确；
C、真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，故本选项错误；
D、假命题的逆命题可能是假命题，也可能是真命题，故本选项错误．
故选：B．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC．用直尺和圆规在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由“需要在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等”知点P是∠ABC的平分线与AC的交点，据此可得答案．
解：∵需要在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等，
∴点P是∠ABC的平分线与AC的交点，
故选：C．
6．某年1～4月我国新能源乘用车的月销量情况如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．1月份销量为2.1万辆
B．1～4月新能源乘用车销量逐月增加
C．4月份销量比了3月份增加了1万辆
D．从2月到3月的月销量增长最快
【分析】根据题目中的折线统计图，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
解：由图可得，
1月份销量为2.1万辆，故选项A不合题意；
1～2月新能源乘用车销量减少，2～4月新能源乘用车销量逐月增加，故选项B符合题意；
4月份销量比3月份增加了4.3﹣3.3＝1万辆，故选项C不合题意；
从2月到3月的月销量增长最快，故选项D不合题意；
故选：B．
7．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．
解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C
∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，
∴24﹣S正方形C＝6+10，
∴S正方形C＝8．
故选：C．
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A、B的对应点分别为D、E，连结AD．当A、D、E三点在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ）
A．AD＝AC B．∠ABC＝∠ADC C．AB+CD＝AE D．AB∥CD
【分析】由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，∠ABC＝∠DEC，则可得出结论．
解：由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，∠ABC＝∠DEC，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC＝60°，
∴△ADC为等边三角形，
∴∠DAC＝60°，
∴∠BAD＝60°＝∠ADC，
∴AB∥CD，
故A，C，D选项正确，
∵∠ADC＞∠DEC，∠DEC＝∠ABC，
∴∠ADC＞∠ABC，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．平方根等于它本身的数是 0 ．
【分析】根据平方根的定义即可求出平方根等于它本身的数．
解：∵02＝0，
∴0的平方根是0．
∴平方根等于它本身的数是0．
故填0．
10．计算：（﹣2x3y）•5xy3＝ ﹣10x4y4 ．
【分析】根据单项式乘单项式法则：系数与系数相乘的积作为积的系数，相同字母底数不变，指数相加，单独的字母不变，仍作为积的一个因式．根据法则运算即可．
解：（﹣2x3y）•5xy3＝﹣10x4y4，
故答案为：﹣10x4y4．
11．因式分解：3a3﹣27a＝ 3a（a+3）（a﹣3） ．
【分析】原式提取3a，再利用平方差公式分解即可．
解：原式＝3a（a2﹣9）＝3a（a+3）（a﹣3），
故答案为：3a（a+3）（a﹣3）
12．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则周长是 20 cm．
【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况．
解：等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，
当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm＝8cm不满足三角形的三边关系；
当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，8cm+4cm＞8cm，满足三角形的三边关系，三角形的周长是8+8+4＝20（cm）．
故答案为：20．
13．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DAE的度数是 35° ．
【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得∠BAD＝30°，结合三角形内角和定理求出∠CAD，根据角平分线的定义即可求出∠DAE的度数．
解：∵DF垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝100°﹣30°＝70°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE＝∠CAD＝×70°＝35°，
故答案为：35°．
14．如图，△ABC纸片的面积为12cm2，其中一边BC的长为6cm，将其经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙无重叠的长方形BCDE，则长方形的周长为 16 cm．
【分析】延长AT交BC于点P，利用三角形的面积公式求出AP，求出BE，CD，DE，可得结论．
解：延长AT交BC于点P，
∵AP⊥BC，
∴•BC•AP＝12，
∴×6×AP＝12，
∴AP＝4（cm），
由题意，AT＝PT＝2（cm），
∴BE＝CD＝PT＝2（cm），
∵DE＝BC＝6cm，
∴矩形BCDE的周长为6+6+2+2＝16（cm）．
故答案为：16．
三、解答题（本大题共11小题，共78分）
15．计算：（2m2﹣m）2÷（﹣m2）．
【分析】先算乘方，再算除法．
解：原式＝（4m4﹣4m3+m2）÷（﹣m2）
＝﹣4m2+4m﹣1．
16．计算：（2x+5y）（3x﹣2y）．
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn，计算即可．
解：（2x+5y）（3x﹣2y）
＝6x2+15xy﹣4xy﹣10y2
＝6x2+11xy﹣10y2．
17．先化简，再求值：2（a+1）（a﹣1）﹣a（2a﹣3），其中a＝﹣．
【分析】先利用平方差公式，单项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后合并同类项进行化简，最后代入求值．
解：原式＝2（a2﹣1）﹣2a2+3a
＝2a2﹣2﹣2a2+3a
＝3a﹣2，
当a＝﹣时，
原式＝3×（﹣）﹣2
＝﹣﹣2
＝﹣．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝25°．
（1）求∠DAC的大小．
（2）若AB＝13，AD＝5，求BC的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一的性质得∠ADC＝90°，然后利用∠B的度数求得答案即可；
（2）首先利用勾股定理求得BD的长，然后求得BC的长即可．
解：（1）∵AB＝AC，∠B＝25°，
∴∠C＝∠B＝25°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣25°＝65°．
（2）∵AB＝13，AD＝5，
∴BD＝＝＝12，
∵AD⊥BD，
∴BC＝2BD＝2×12＝24．
19．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点P，按下列要求作图．
（1）在图①中，连结PA、PB，使PA＝PB．
（2）在图2中，连结PA、PB、PC，使PA＝PB＝PC．
【分析】（1）作出线段AB的垂直平分线l可得结论；
（2）根据要求作出点P即可．
解：（1）如图1中，直线l的格点都符合题意；
（2）如图2中，点P即为所求．
20．如图，CD∥AB，CD＝CB，点E在BC上，∠D＝∠ACB．
（1）求证：CE＝AB．
（2）若∠A＝125°，则∠BED的度数是 55° ．
【分析】（1）根据ASA证明△DEC与△CAB全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵CD∥AB，
∴∠B＝∠DCE，
在△DEC与△CAB中，
，
∴△DEC≌△CAB（ASA），
∴CE＝AB；
解：（2）∵△DEC≌△CAB，
∴∠CED＝∠A＝125°，
∴∠BED＝180°﹣125°＝55°，
故答案为：55°．
21．某校数学兴趣小组为了解学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校随机抽取了n名学生进行调查，规定每人必须并且只能在以上给出的五类中选择一类，并将统计结果绘制了两个不完整的统计图．
节目类型
人数
A
20
B
a
C
52
D
80
E
b
请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）n＝ 200 ，a＝ 40 ，b＝ 8 ．
（2）在扇形统计图中，求节目类型“C”所占的百分数．
（3）在扇形统计图中，求节目类型“D”所对应的扇形圆心角的度数．
【分析】（1）从统计表中可得到A人数为20人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的10%，可求出调查人数n的值；再用n乘以B所占百分比可得a的值；用n减去其他类型的人数，可得b的值；
（2）根据百分比＝所占人数÷总人数可得答案；
（3）根据圆心角度数＝360°×所占百分比，计算即可．
解：（1）由统计表可知，喜爱A类节目的学生有20人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的10%，
本次抽样调查的学生总数n＝20÷10%＝200，
a＝200×20%＝40，
b＝200﹣（20+40+52+80）＝8．
故答案为：200，40，8；
（2）节目类型“C”所占的百分数是：×100%＝26%；
（3）节目类型“D”所对应的扇形圆心角的度数是：360°×＝144°．
22．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1）求修建的公路CD的长；
（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可求∠ACB＝90°，再根据三角形面积公式即可求解；
（2）先根据勾股定理求出BD，进一步求得一辆货车从C处经过D点到B处的路程．
解：（1）∵AC＝15km，BC＝20km，AB＝25km，
152+202＝252，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴CD＝AC×BC÷÷AB＝12（km）．
故修建的公路CD的长是12km；
（2）在Rt△BDC中，BD＝＝16（km），
一辆货车从C处经过D点到B处的路程＝CD+BD＝12+16＝28（km）．
故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km．
23．操作：第一步：如图1，对折长方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开．
第二步：如图2，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．连结AN，易知△ABN的形状是 等边三角形 ．
论证：如图3，若延长MN交BC于点P，试判定△BMP的形状，请说明理由．
【分析】操作：由折叠的性质可得NA＝NB＝AB，可得△ABN是等边三角形；
论证：由直角三角形的性质可求∠BPM＝∠MBP＝60°，可得△BMP是等边三角形．
解：操作：如图2，∵直线EF是AB的垂直平分线，
∴NA＝NB，
由折叠可知，BN＝AB，∠NBM＝∠ABM，∠BAM＝∠BNM＝90°，
∴AB＝BN＝AN，
∴△ABN是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
论证：△BMP是等边三角形，理由如下：
如图3，∵△ABN是等边三角形，
∴∠ABN＝60°，
∴∠NBM＝∠ABM＝∠ABN＝30°，
∵∠NBP＝∠ABP﹣∠ABN＝30°，∠BNP＝90°，
∴∠BPM＝∠MBP＝60°，
∴△BMP是等边三角形．
24．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．
请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，已知△ADE的周长为22，则BC的长为 22 ．
（2）如图③，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，E、P分别是AB、AD上任意一点，若BC＝6，AB＝5，则BP+EP的最小值是 ．
【分析】教材呈现：根据“SAS”证明△PCA≌△PCB即可；
定理应用：（1）根据线段垂直平分线的性质定理证明AD＝BD，AE＝EC，那么△ADE的周长就转化为BC的长，
（2）根据等腰三角形的三线合一性质，可知AD是BC的垂直平分线，所以想到过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点P，此时EP+BP＝CE，EP+CP的值最小．
【解答】教材呈现：证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°，
∵AC＝BC，PC＝PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS），
∴PA＝PB；
定理应用：解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴AD＝BD，AE＝EC，
∵△ADE的周长为22，
∴AD+DE+AE＝22，
∴BD+DE+EC＝22，
即BC＝22，
故答案为：22，
（2）过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点P，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝BC＝3，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴BP＝PC，
∴BP+EP＝CP+EP＝CE，
此时BP+EP的值最小，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝4，
∴△ABC的面积＝AB•CE＝BC•AD，
∴5CE＝6×4，
∴CE＝，
故答案为：．
25．如图，在△ABC中，CA＝CB，过点A作射线AP∥BC，点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM＝AN，连结BN并延长交射线AP于点D，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED．
【猜想】如图①，当∠C＝30°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN＝∠CAM，进而得出∠BDE的大小为 150 度．
【探究】如图②，若∠C＝β．
（1）求证：△BCN≌△ACM．
（2）∠BDE的大小为 （180﹣β） 度（用含β的代数式表示）．
【应用】如图③，当∠C＝120°时，AM平分∠BAC，若AM、BN交于点F，DE＝DF，DE＝1，则△DEF的面积为 1 ．
【分析】【猜想】延长ED交BC于点F，交AC于点O．想办法证明∠BNC＝∠BFE，再利用三角形的外角的性质即可解决问题；
【探究】（1）同理根据SAS证明：△BCN≌△ACM；
（2）延长ED交BC于点F，方法同（1）证出∠ACB＝∠BDF＝β，则可得出答案；
【应用】证明∠E＝90°，求出DF＝2，根据三角形的面积公式可得结论．
【解答】【猜想】
证明：如图，延长ED交BC于点F，交AC于点O，
∵CB＝CA，
∴∠ABM＝∠BAN，
∵CA＝CB，BM＝AN，
∴CM＝CN，
∵∠C＝∠C，
∴△BCN≌△ACM（SAS），
∴∠CBN＝∠CAM，
∵E是AD的垂直平分线上的点，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠EMF，∠EDA＝∠EFM，
∴∠BNC＝∠BFE，
∴∠NOD+∠BDF＝∠C+∠FOC，
∵∠C＝30°，∠FOC＝∠NOD，
∴∠NDO＝30°，
∴∠BDE＝150°，
故答案为：150°；
【探究】
（1）证明：∵CA＝CB，BM＝AN，
∴CA﹣AN＝CB﹣BM，
∴MC＝NC，
在△BCN和△ACM中，
，
∴△BCN≌△ACM（SAS）；
（2）解：如图，延长ED交BC于点F，
同理得△BCN≌△ACM（SAS），
∴∠CBN＝∠CAM，
同理得：∠BNC＝∠AMC＝∠BFE，
∴∠BNC+∠NBC＝∠NBC+∠BFE，
∴∠ACB＝∠BDF＝β，
∴∠BDE＝180°﹣β．
故答案为：（180﹣β）；
【应用】
∵∠C＝120°，CA＝CB，
∴∠BAC＝30°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠MAC＝∠BAC＝15°，
∵AP∥BC，
∴∠C＝∠CAD＝120°，
∴∠EAD＝180°﹣∠MAC﹣∠CAD＝45°，
由（2）可知，∠BDE＝180°﹣120°＝60°，∠CBN＝∠CAM＝∠ADB＝15°，
∴∠ADE＝45°，
∴∠E＝90°，
∵DE＝DF，DE＝1，
∴DF＝2，
∴△DEF的面积为＝＝1．
故答案为：1．
2021-2022学年吉林省长春市南关区八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．8的立方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．2
2．在1，﹣2.8，0，四个实数中，大于1的实数是（ ）
A．1 B．﹣2.8 C．0 D．
3．计算（﹣a2）3÷a3结果是（ ）
A．﹣a2 B．a2 C．﹣a3 D．a3
4．下列说法正确的是（ ）
A．每个定理都有逆定理
B．每个命题都有逆命题
C．真命题的逆命题都是真命题
D．假命题的逆命题都是假命题
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC．用直尺和圆规在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹（ ）
A． B．
C． D．
6．某年1～4月我国新能源乘用车的月销量情况如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．1月份销量为2.1万辆
B．1～4月新能源乘用车销量逐月增加
C．4月份销量比了3月份增加了1万辆
D．从2月到3月的月销量增长最快
7．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A、B的对应点分别为D、E，连结AD．当A、D、E三点在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ）
A．AD＝AC B．∠ABC＝∠ADC C．AB+CD＝AE D．AB∥CD
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．平方根等于它本身的数是 ．
10．计算：（﹣2x3y）•5xy3＝ ．
11．因式分解：3a3﹣27a＝ ．
12．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则周长是 cm．
13．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DAE的度数是 ．
14．如图，△ABC纸片的面积为12cm2，其中一边BC的长为6cm，将其经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙无重叠的长方形BCDE，则长方形的周长为 cm．
三、解答题（本大题共11小题，共78分）
15．计算：（2m2﹣m）2÷（﹣m2）．
16．计算：（2x+5y）（3x﹣2y）．
17．先化简，再求值：2（a+1）（a﹣1）﹣a（2a﹣3），其中a＝﹣．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝25°．
（1）求∠DAC的大小．
（2）若AB＝13，AD＝5，求BC的长．
19．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点P，按下列要求作图．
（1）在图①中，连结PA、PB，使PA＝PB．
（2）在图2中，连结PA、PB、PC，使PA＝PB＝PC．
20．如图，CD∥AB，CD＝CB，点E在BC上，∠D＝∠ACB．
（1）求证：CE＝AB．
（2）若∠A＝125°，则∠BED的度数是 ．
21．某校数学兴趣小组为了解学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校随机抽取了n名学生进行调查，规定每人必须并且只能在以上给出的五类中选择一类，并将统计结果绘制了两个不完整的统计图．
节目类型
人数
A
20
B
a
C
52
D
80
E
b
请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）n＝ ，a＝ ，b＝ ．
（2）在扇形统计图中，求节目类型“C”所占的百分数．
（3）在扇形统计图中，求节目类型“D”所对应的扇形圆心角的度数．
22．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1）求修建的公路CD的长；
（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
23．操作：第一步：如图1，对折长方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开．
第二步：如图2，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．连结AN，易知△ABN的形状是 ．
论证：如图3，若延长MN交BC于点P，试判定△BMP的形状，请说明理由．
24．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．
请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，已知△ADE的周长为22，则BC的长为 ．
（2）如图③，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，E、P分别是AB、AD上任意一点，若BC＝6，AB＝5，则BP+EP的最小值是 ．
25．如图，在△ABC中，CA＝CB，过点A作射线AP∥BC，点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM＝AN，连结BN并延长交射线AP于点D，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED．
【猜想】如图①，当∠C＝30°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN＝∠CAM，进而得出∠BDE的大小为 度．
【探究】如图②，若∠C＝β．
（1）求证：△BCN≌△ACM．
（2）∠BDE的大小为 度（用含β的代数式表示）．
【应用】如图③，当∠C＝120°时，AM平分∠BAC，若AM、BN交于点F，DE＝DF，DE＝1，则△DEF的面积为 ．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．8的立方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．2
【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
解：∵2的立方等于8，
∴8的立方根等于2．
故选：A．
2．在1，﹣2.8，0，四个实数中，大于1的实数是（ ）
A．1 B．﹣2.8 C．0 D．
【分析】根据正数大于0，0大于负数，排除B，C，再估算出的值即可．
解：∵正数＞0，0＞负数，
∴排除B，C，
∵12＝1，22＝4，
∴1＜3＜4，
∴，
∴1＜＜2，
故选：D．
3．计算（﹣a2）3÷a3结果是（ ）
A．﹣a2 B．a2 C．﹣a3 D．a3
【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的除法的法则对式子进行运算即可．
解：（﹣a2）3÷a3
＝﹣a6÷a3
＝﹣a3，
故选：C．
4．下列说法正确的是（ ）
A．每个定理都有逆定理
B．每个命题都有逆命题
C．真命题的逆命题都是真命题
D．假命题的逆命题都是假命题
【分析】根据命题，逆命题，真命题，假命题之间的关系对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、不是每个定理都有逆定理，故本选项错误；
B、每个命题都有逆命题，正确，故本选项正确；
C、真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，故本选项错误；
D、假命题的逆命题可能是假命题，也可能是真命题，故本选项错误．
故选：B．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC．用直尺和圆规在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由“需要在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等”知点P是∠ABC的平分线与AC的交点，据此可得答案．
解：∵需要在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等，
∴点P是∠ABC的平分线与AC的交点，
故选：C．
6．某年1～4月我国新能源乘用车的月销量情况如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．1月份销量为2.1万辆
B．1～4月新能源乘用车销量逐月增加
C．4月份销量比了3月份增加了1万辆
D．从2月到3月的月销量增长最快
【分析】根据题目中的折线统计图，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
解：由图可得，
1月份销量为2.1万辆，故选项A不合题意；
1～2月新能源乘用车销量减少，2～4月新能源乘用车销量逐月增加，故选项B符合题意；
4月份销量比3月份增加了4.3﹣3.3＝1万辆，故选项C不合题意；
从2月到3月的月销量增长最快，故选项D不合题意；
故选：B．
7．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．
解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C
∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，
∴24﹣S正方形C＝6+10，
∴S正方形C＝8．
故选：C．
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A、B的对应点分别为D、E，连结AD．当A、D、E三点在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ）
A．AD＝AC B．∠ABC＝∠ADC C．AB+CD＝AE D．AB∥CD
【分析】由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，∠ABC＝∠DEC，则可得出结论．
解：由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，∠ABC＝∠DEC，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC＝60°，
∴△ADC为等边三角形，
∴∠DAC＝60°，
∴∠BAD＝60°＝∠ADC，
∴AB∥CD，
故A，C，D选项正确，
∵∠ADC＞∠DEC，∠DEC＝∠ABC，
∴∠ADC＞∠ABC，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．平方根等于它本身的数是 0 ．
【分析】根据平方根的定义即可求出平方根等于它本身的数．
解：∵02＝0，
∴0的平方根是0．
∴平方根等于它本身的数是0．
故填0．
10．计算：（﹣2x3y）•5xy3＝ ﹣10x4y4 ．
【分析】根据单项式乘单项式法则：系数与系数相乘的积作为积的系数，相同字母底数不变，指数相加，单独的字母不变，仍作为积的一个因式．根据法则运算即可．
解：（﹣2x3y）•5xy3＝﹣10x4y4，
故答案为：﹣10x4y4．
11．因式分解：3a3﹣27a＝ 3a（a+3）（a﹣3） ．
【分析】原式提取3a，再利用平方差公式分解即可．
解：原式＝3a（a2﹣9）＝3a（a+3）（a﹣3），
故答案为：3a（a+3）（a﹣3）
12．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则周长是 20 cm．
【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况．
解：等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，
当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm＝8cm不满足三角形的三边关系；
当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，8cm+4cm＞8cm，满足三角形的三边关系，三角形的周长是8+8+4＝20（cm）．
故答案为：20．
13．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DAE的度数是 35° ．
【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得∠BAD＝30°，结合三角形内角和定理求出∠CAD，根据角平分线的定义即可求出∠DAE的度数．
解：∵DF垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝100°﹣30°＝70°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE＝∠CAD＝×70°＝35°，
故答案为：35°．
14．如图，△ABC纸片的面积为12cm2，其中一边BC的长为6cm，将其经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙无重叠的长方形BCDE，则长方形的周长为 16 cm．
【分析】延长AT交BC于点P，利用三角形的面积公式求出AP，求出BE，CD，DE，可得结论．
解：延长AT交BC于点P，
∵AP⊥BC，
∴•BC•AP＝12，
∴×6×AP＝12，
∴AP＝4（cm），
由题意，AT＝PT＝2（cm），
∴BE＝CD＝PT＝2（cm），
∵DE＝BC＝6cm，
∴矩形BCDE的周长为6+6+2+2＝16（cm）．
故答案为：16．
三、解答题（本大题共11小题，共78分）
15．计算：（2m2﹣m）2÷（﹣m2）．
【分析】先算乘方，再算除法．
解：原式＝（4m4﹣4m3+m2）÷（﹣m2）
＝﹣4m2+4m﹣1．
16．计算：（2x+5y）（3x﹣2y）．
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn，计算即可．
解：（2x+5y）（3x﹣2y）
＝6x2+15xy﹣4xy﹣10y2
＝6x2+11xy﹣10y2．
17．先化简，再求值：2（a+1）（a﹣1）﹣a（2a﹣3），其中a＝﹣．
【分析】先利用平方差公式，单项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后合并同类项进行化简，最后代入求值．
解：原式＝2（a2﹣1）﹣2a2+3a
＝2a2﹣2﹣2a2+3a
＝3a﹣2，
当a＝﹣时，
原式＝3×（﹣）﹣2
＝﹣﹣2
＝﹣．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝25°．
（1）求∠DAC的大小．
（2）若AB＝13，AD＝5，求BC的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一的性质得∠ADC＝90°，然后利用∠B的度数求得答案即可；
（2）首先利用勾股定理求得BD的长，然后求得BC的长即可．
解：（1）∵AB＝AC，∠B＝25°，
∴∠C＝∠B＝25°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣25°＝65°．
（2）∵AB＝13，AD＝5，
∴BD＝＝＝12，
∵AD⊥BD，
∴BC＝2BD＝2×12＝24．
19．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点P，按下列要求作图．
（1）在图①中，连结PA、PB，使PA＝PB．
（2）在图2中，连结PA、PB、PC，使PA＝PB＝PC．
【分析】（1）作出线段AB的垂直平分线l可得结论；
（2）根据要求作出点P即可．
解：（1）如图1中，直线l的格点都符合题意；
（2）如图2中，点P即为所求．
20．如图，CD∥AB，CD＝CB，点E在BC上，∠D＝∠ACB．
（1）求证：CE＝AB．
（2）若∠A＝125°，则∠BED的度数是 55° ．
【分析】（1）根据ASA证明△DEC与△CAB全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵CD∥AB，
∴∠B＝∠DCE，
在△DEC与△CAB中，
，
∴△DEC≌△CAB（ASA），
∴CE＝AB；
解：（2）∵△DEC≌△CAB，
∴∠CED＝∠A＝125°，
∴∠BED＝180°﹣125°＝55°，
故答案为：55°．
21．某校数学兴趣小组为了解学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校随机抽取了n名学生进行调查，规定每人必须并且只能在以上给出的五类中选择一类，并将统计结果绘制了两个不完整的统计图．
节目类型
人数
A
20
B
a
C
52
D
80
E
b
请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）n＝ 200 ，a＝ 40 ，b＝ 8 ．
（2）在扇形统计图中，求节目类型“C”所占的百分数．
（3）在扇形统计图中，求节目类型“D”所对应的扇形圆心角的度数．
【分析】（1）从统计表中可得到A人数为20人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的10%，可求出调查人数n的值；再用n乘以B所占百分比可得a的值；用n减去其他类型的人数，可得b的值；
（2）根据百分比＝所占人数÷总人数可得答案；
（3）根据圆心角度数＝360°×所占百分比，计算即可．
解：（1）由统计表可知，喜爱A类节目的学生有20人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的10%，
本次抽样调查的学生总数n＝20÷10%＝200，
a＝200×20%＝40，
b＝200﹣（20+40+52+80）＝8．
故答案为：200，40，8；
（2）节目类型“C”所占的百分数是：×100%＝26%；
（3）节目类型“D”所对应的扇形圆心角的度数是：360°×＝144°．
22．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1）求修建的公路CD的长；
（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可求∠ACB＝90°，再根据三角形面积公式即可求解；
（2）先根据勾股定理求出BD，进一步求得一辆货车从C处经过D点到B处的路程．
解：（1）∵AC＝15km，BC＝20km，AB＝25km，
152+202＝252，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴CD＝AC×BC÷÷AB＝12（km）．
故修建的公路CD的长是12km；
（2）在Rt△BDC中，BD＝＝16（km），
一辆货车从C处经过D点到B处的路程＝CD+BD＝12+16＝28（km）．
故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km．
23．操作：第一步：如图1，对折长方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开．
第二步：如图2，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．连结AN，易知△ABN的形状是 等边三角形 ．
论证：如图3，若延长MN交BC于点P，试判定△BMP的形状，请说明理由．
【分析】操作：由折叠的性质可得NA＝NB＝AB，可得△ABN是等边三角形；
论证：由直角三角形的性质可求∠BPM＝∠MBP＝60°，可得△BMP是等边三角形．
解：操作：如图2，∵直线EF是AB的垂直平分线，
∴NA＝NB，
由折叠可知，BN＝AB，∠NBM＝∠ABM，∠BAM＝∠BNM＝90°，
∴AB＝BN＝AN，
∴△ABN是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
论证：△BMP是等边三角形，理由如下：
如图3，∵△ABN是等边三角形，
∴∠ABN＝60°，
∴∠NBM＝∠ABM＝∠ABN＝30°，
∵∠NBP＝∠ABP﹣∠ABN＝30°，∠BNP＝90°，
∴∠BPM＝∠MBP＝60°，
∴△BMP是等边三角形．
24．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．
请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，已知△ADE的周长为22，则BC的长为 22 ．
（2）如图③，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，E、P分别是AB、AD上任意一点，若BC＝6，AB＝5，则BP+EP的最小值是 ．
【分析】教材呈现：根据“SAS”证明△PCA≌△PCB即可；
定理应用：（1）根据线段垂直平分线的性质定理证明AD＝BD，AE＝EC，那么△ADE的周长就转化为BC的长，
（2）根据等腰三角形的三线合一性质，可知AD是BC的垂直平分线，所以想到过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点P，此时EP+BP＝CE，EP+CP的值最小．
【解答】教材呈现：证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°，
∵AC＝BC，PC＝PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS），
∴PA＝PB；
定理应用：解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴AD＝BD，AE＝EC，
∵△ADE的周长为22，
∴AD+DE+AE＝22，
∴BD+DE+EC＝22，
即BC＝22，
故答案为：22，
（2）过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点P，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝BC＝3，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴BP＝PC，
∴BP+EP＝CP+EP＝CE，
此时BP+EP的值最小，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝4，
∴△ABC的面积＝AB•CE＝BC•AD，
∴5CE＝6×4，
∴CE＝，
故答案为：．
25．如图，在△ABC中，CA＝CB，过点A作射线AP∥BC，点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM＝AN，连结BN并延长交射线AP于点D，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED．
【猜想】如图①，当∠C＝30°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN＝∠CAM，进而得出∠BDE的大小为 150 度．
【探究】如图②，若∠C＝β．
（1）求证：△BCN≌△ACM．
（2）∠BDE的大小为 （180﹣β） 度（用含β的代数式表示）．
【应用】如图③，当∠C＝120°时，AM平分∠BAC，若AM、BN交于点F，DE＝DF，DE＝1，则△DEF的面积为 1 ．
【分析】【猜想】延长ED交BC于点F，交AC于点O．想办法证明∠BNC＝∠BFE，再利用三角形的外角的性质即可解决问题；
【探究】（1）同理根据SAS证明：△BCN≌△ACM；
（2）延长ED交BC于点F，方法同（1）证出∠ACB＝∠BDF＝β，则可得出答案；
【应用】证明∠E＝90°，求出DF＝2，根据三角形的面积公式可得结论．
【解答】【猜想】
证明：如图，延长ED交BC于点F，交AC于点O，
∵CB＝CA，
∴∠ABM＝∠BAN，
∵CA＝CB，BM＝AN，
∴CM＝CN，
∵∠C＝∠C，
∴△BCN≌△ACM（SAS），
∴∠CBN＝∠CAM，
∵E是AD的垂直平分线上的点，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠EMF，∠EDA＝∠EFM，
∴∠BNC＝∠BFE，
∴∠NOD+∠BDF＝∠C+∠FOC，
∵∠C＝30°，∠FOC＝∠NOD，
∴∠NDO＝30°，
∴∠BDE＝150°，
故答案为：150°；
【探究】
（1）证明：∵CA＝CB，BM＝AN，
∴CA﹣AN＝CB﹣BM，
∴MC＝NC，
在△BCN和△ACM中，
，
∴△BCN≌△ACM（SAS）；
（2）解：如图，延长ED交BC于点F，
同理得△BCN≌△ACM（SAS），
∴∠CBN＝∠CAM，
同理得：∠BNC＝∠AMC＝∠BFE，
∴∠BNC+∠NBC＝∠NBC+∠BFE，
∴∠ACB＝∠BDF＝β，
∴∠BDE＝180°﹣β．
故答案为：（180﹣β）；
【应用】
∵∠C＝120°，CA＝CB，
∴∠BAC＝30°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠MAC＝∠BAC＝15°，
∵AP∥BC，
∴∠C＝∠CAD＝120°，
∴∠EAD＝180°﹣∠MAC﹣∠CAD＝45°，
由（2）可知，∠BDE＝180°﹣120°＝60°，∠CBN＝∠CAM＝∠ADB＝15°，
∴∠ADE＝45°，
∴∠E＝90°，
∵DE＝DF，DE＝1，
∴DF＝2，
∴△DEF的面积为＝＝1．
故答案为：1．
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