陕西省渭南市2021届高三上学期教学质量检测（Ⅰ）（一模）理科数学试题 Word版含答案

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考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：高考全部范围．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．记为等差数列的前n项和，已知，则数列的公差为（ ）
A．2 B．4 C．1 D．
4．已知函数是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
5．在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失．2011~2020年上半年的票房走势如下图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加
B．自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年
C．2018年上半年的票房收入增速最大
D．2020年上半年的票房收入增速最小
6．已知点在椭圆上，则的最大值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．已知的展开式中常数项系数为4，则（ ）
A． B．1 C． D．
8．在长方体中，底面是正方形，，E为的中点，点F在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
9．我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果内部小正方形的内切圆面积为，外部大正方形的外接圆半径为，直角三角形中较大的锐角为，那么（ ）
A． B． C． D．
10．已知等比数列的前n项和为，若，则数列的公比（ ）
A．2 B． C． D．
11．已知函数若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．设为双曲线的右焦点，直线（其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知向量满足，且，则向量的夹角是_______．
14．函数的图象在处的切线方程是______．
15．2020年10月11日，全国第七次人口普查拉开帷幕，某统计部门安排六名工作人员到四个不同的区市县开展工作．每个地方至少需安排一名工作人员，其中A，B安排到同一区市县工作，D，E不能安排在同一区市县工作，则不同的分配方法总数为_______种．
16．在三棱锥中，，底面是等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值是________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边上的高为，的面积为，．
（1）求a和角A；
（2）求的周长．
18．（12分）
第31届世界大学生夏季运动会定于2021年8月18日—29日在成都举行，成都某机构随机走访调查80天中的天气状况和当天到体育馆打兵乓球人次，整理数据如下表（单位：天）：
（1）若用样本频率作为总体概率，随机调查本市4天，设这4天中阴天的天数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
（2）假设阴天和晴天称为“天气好”，雨天和雪天称为“天气不好”完成下面的列联表，判断是否有99%的把握认为一天中到体育馆打兵乓球的人次与该市当天的天气有关？
参考公式：，其中．
参考数据：
19．（12分）
如图，平面，四边形为直角梯形，，，．
（1）证明：．
（2）若，点E在线段上，且，求二面角的余弦值．
20．（12分）
已知动点M到点的距离比它到直线的距离小2．
（1）求动点M的轨迹E的方程．
（2）过点F作斜率为的直线与轨迹E交于点A，B，线段的垂直平分线交x轴于点N，证明：为定值．
21．（12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若无最小值，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，已知直线l与曲线C交于不同的两点M，N．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设，求的值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值是m，且，求的最小值．
渭南市2021年高三教学质量检测（Ⅰ）
数学参考答案（理科）
1．B 由题意可得或，则．
2．A 因为，所以复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限．
3．B 设d为数列的公差，因为，所以，则．
4．D 因为是奇函数，所以，即，解得，则．
5．D 由图易知自2011年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减，增速为负的有3年，故A，B错误；2017年上半年的票房收入增速最大，故C错误；2020年上半年的票房收入增速最小，故D正确．
6．B 由题意可得，则，故．因为，所以，所以，即．
7．D 由题意得展开式中常数项通式为，解得．
8．B 如图，在棱上取一点G，连接，使得．由题意易得四边形为平行四边形，则，故是异面直线与所成的角．设，则，从而．在，由余弦定理可得，则异面直线与所成角的余弦值是
．
9．D 由题意可知小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，设直角三角形短的直角边为x，则长的直角边为．由勾股定理得，解得，所以，则．
10．C 当数列的公比时，，与矛盾，故不符合题意．当时，，所以．因为，所以，即，则．
11．A 函数有四个不同的零点等价于函数的图象与直线有四个不同的交点．画出的大致图象，如图所示．由图可知．不妨设，则，且．因为，所以，则，故．
12．C 设双曲线C的左焦点为，如图，取线段的中点H，连接，则．因为，所以，即，则．设．因为，所以，则，从而，故，解得．因为直线l的斜率为，所以，整理得，即，则，故．
13． 由题意可得，则向量的夹角是百．
14．（或） 由题意可得，则，故所求切线方程为，即．
15．216 第一步，将6名工作人员分成4组，要求A，B同一组，D，E不在同一组．
若分为3，1，1，1的四组，A，B必须在3人组，有种分组方法，
若分为2，2，1，1的四组，A，B必须在2人组，有种分组方法，
则一共有种分组方法；
第二步，将分好的四组全排列，分配到四个区市县，有种．
故总的分配方法有种．
16． 设三棱锥外接球的球心为O，三棱锥底面边长和高分别为a，h．设球心到底面的距离为．底面的外接圆半径为r，则．由题意可知是三棱锥的外接球的一条直径，则，即．设三棱锥的外接球半径为R，则，故三棱锥的外接球表面积为．
17．解：（1）题意可得，解得． 2分
因为，
所以． 3分
因为，所以，所以， 4分
所以，则． 6分
（2）由余弦定理可得．① 7分
因为的面积为，所以，所以．② 9分
联立①②，解得． 11分
故的周长为． 12分
18．解：（1）由题意可知随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4． 2分
设一天为阴天的概率为P，则，故． 4分
则X的分布列为
6分
故． 7分
（2）
9分
则． 11分
因为，所以有99%的把握认为一天中到体育馆打兵乓球的人次与该市当天的天气有关． 12分
19．（1）证明：由题意易知． 1分
作，垂足为H，则，故． 2分
因为，所以． 3分
因为平面平面，所以． 4分
因为平面平面，且，所以平面． 5分
因为平面，所以． 6分
（2）解：因为，且，所以．
以A为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
从而． 8分
设平面的法向量为． 9分
则令，得． 9分
设平面的法向量为，
则令，得． 10分
设二面角为，由图可知为锐角，
则． 12分
20．（1）解：由题意知，动点M到点的距离与到直线距离相等， 1分
由抛物线的定义知，轨迹E是以为焦点，以直线为准线的抛物线． 3分
所以点M的轨迹E的方程为． 5分
（2）证明（方法一）：设直线，
联立得． 6分
设，G为线段的中点，
则，所以， 7分
所以线段的垂直平分线的方程为，则． 8分
从而， 10分
，所以为定值． 12分
（方法二）设直线的方程为，G为线段的中点．
联立整理得，
．
则，从而． 7分
因为G为线段的中点，所以， 8分
则线段的垂直平分线的方程为．
令，得，则． 9分
从而，， 11分
故． 12分
21．解：（1）因为，所以．
令，得或． 1分
当时，由，得；由，得．
则在上单调递减，在上单调递增．
当时，由，得或；由，得．
则在上单调递减，在和上单调递增．
当时，恒成立，则在上单调递增．
当时，由，得或；由，得．
则在上单调递减，在上单调递增． 3分
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增． 4分
（2）当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，
则有最小值，故不符合题意； 5分
当时，由（1）可知在上单调递减，在和上单调递增，
因为无最小值，所以，即，解得； 6分
当时，由（1）可知在上单调递增，
所以无最小值，所以符合题意； 7分
当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增．
因为无最小值，所以，即，即．
设，则． 8分
设，则在上恒成立．
故在上单调递增，即在上单调递增． 9分
因为，所以存在唯一的，使得．
故在上单调递减，在上单调递增． 10分
因为，所以在上恒成立，
即在恒成立，即符合题意． 11分
综上，实数a的取值范围为． 12分
22．解：（1）由题意可得直线l的普通方程为． 2分
曲线C的直角坐标方程为，即． 4分
（2）直线l的参数方程可化为（为参数）． 5分
将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，整理得， 7分
则， 8分
故． 10分
23．解：（1）当时，，解得； 1分
当时，，解得； 2分
当时，，解得． 3分
综上，不等式的解集为或． 4分
（2）由（1）可知当时，，即，则． 6分
因为， 7分
所以，即（当且仅当时等号成立）． 9分
故的最小值为． 10分
打乒乓球人次
天气状况
晴天
2
13
20
阴天
4
6
10
雨天
6
4
5
雪天
8
2
0
人次
人次
天气好
天气不好
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
3
4
P
人次
人次
天气好
25
30
天气不好
20
5