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2022届初中数学一轮复习 第14讲 角、相交线与平行线 课件
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这是一份2022届初中数学一轮复习 第14讲 角、相交线与平行线 课件，共46页。PPT课件主要包含了考点梳理整合，中考真题体验，考法互动研析，数学文化探索，Part1，Part2，Part3，Part4，答案B等内容，欢迎下载使用。
命题点1 命题与定理1.(2019·安徽,12,5分)命题“如果a+b=0,那么a,b互为相反数”的逆命题为_____________.
答案如果a,b互为相反数,那么a+b=0
命题点2 平行线的性质及判定2.(2017·安徽,6,4分)直角三角板和直尺如图放置,若∠1=20°,则∠2的度数为( )A.60°B.50°C.40°D.30°
答案 C解析 如图,过点E作EF∥AB,则AB∥EF∥CD,∴∠1=∠3,∠2=∠4.∵∠3+∠4=60°,∴∠1+∠2=60°.∵∠1=20°,∴∠2=40°.
3.(2011·安徽,3,4分)如图,直线l1∥l2,∠1=55°,∠2=65°,则∠3为( )A.50°B.55°C.60°D.65°
答案 C解析 如图,∵l1∥l2,∠2=65°,∴∠6=65°.∵∠1=55°,∴∠4=∠1=55°.在△ABC中,∠6=65°,∠4=55°,∴∠3=180°-65°-55°=60°.
考点一 直线和线段(低频考点) 1.两个基本事实(1)两点确定一条直线.(2)两点之间,线段最短 . 2.两点间的距离连接两点间的线段的长度 ,叫做两点间的距离. 3.线段的中点如图,点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB,点M叫做线段AB的中点,且AM=MB= AB.
考点二 角的相关概念及性质(低频考点) 1.角的概念有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.2.角的分类
3.角度的度量与换算角的度量单位为度、分、秒,1周角=360 °,1平角=180 °,1°=60 ',1'=60 ″.
4.角平分线的概念及其性质(1)定义:从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做该角的平分线.如图,若OC平分∠AOB,则∠AOC=∠BOC = ∠AOB. (2)性质:角平分线上的点到角两边的距离相等 . 如图,若OC平分∠AOB,点P在OC上,且PM⊥OA,PN⊥OB,则PM=PN . 判定:在角的内部,到角两边距离相等的点在角平分线上.
考点三 相交线(低频考点) 1.对顶角(1)定义:两条直线相交组成的四个角中,有公共顶点且没有公共边 的两个角叫做对顶角. (2)性质:对顶角相等 . 2.余角与补角(1)余角①余角的定义:如果两个角的和等于90° ,那么这两个角互为余角; ②余角的性质:同角(或等角)的余角相等 . (2)补角①补角的定义:如果两个角的和等于180° ,那么这两个角互为补角; ②补角的性质:同角(或等角)的补角相等 .
3.同位角、内错角和同旁内角如图,在同一平面内,两条直线被第三条直线所截得到八个角,其中是同位角的有∠1和∠5,∠2和∠6 ,∠3 和∠7,∠4 和∠8 ;其中是内错角的有∠2和∠8 ,∠3 和∠5;其中是同旁内角的有∠2和∠5,∠3 和∠8 .
考点四 垂线及其性质(中频考点)
考点五 平行线的判定与性质(中频考点)
考点六 命题、定理与证明(低频考点) 1.命题(1)命题的定义:判断 一件事情的语句,叫做命题. (2)命题的组成部分:命题由题设 和结论 两部分组成,通常写成“如果……,那么……”的形式. 2.真、假命题命题的分类:命题分为真 命题和假 命题,判定一个命题是假命题的常用方法是举反例. 3.证明一个命题的正确性 需要经过推理作出判断,这个推理过程叫做证明.
4.基本事实、定理从实践中总结出来的真命题 叫做基本事实,经过证明 的并且常作为推理依据的真命题叫做定理. 5.互逆命题和互逆定理(1)互逆命题:如果一个命题的题设和结论恰好是另一个命题的结论 和题设 ,那么这两个命题称为互逆命题. (2)互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题 ,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理.
考法1 命题与定理例1 (2020·湖南岳阳)下列命题是真命题的是( )A.一个角的补角一定大于这个角B.平行于同一条直线的两条直线平行C.等边三角形是中心对称图形D.旋转改变图形的形状和大小
答案 B解析 一个角的补角不一定大于这个角,故A错误;平行于同一条直线的两条直线平行,故B正确;等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,故C错误;旋转不改变图形的形状和大小,故D错误;故选B.
方法总结 命题是判断一件事情的语句,做出正确判断的叫真命题,错误判断的叫假命题,要说明一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.命题都是由题设和结论组成,将一个命题的题设和结论交换位置,得到的命题是原命题的逆命题.
对应练1(2020·内蒙古通辽)从下列命题中,随机抽取一个是真命题的概率是( )(1)无理数都是无限小数;(2)因式分解ax2-a=a(x+1)(x-1);(3)棱长是1 cm的正方体的表面展开图的周长一定是14 cm;(4)弧长是20π cm,面积是240π cm2的扇形的圆心角是120°.
答案 C解析 (1)无理数都是无限小数,是真命题.(2)因式分解ax2-a=a(x+1)(x-1),是真命题;(3)棱长是1 cm的正方体的表面展开图的周长一定是14 cm,是真命题;
对应练2(2020·广西玉林)下列命题中,其逆命题是真命题的是( )A.对顶角相等B.两直线平行,同位角相等C.全等三角形的对应角相等D.正方形的四个角都相等
答案 B解析 A,其逆命题是:两个相等的角是对顶角,故是假命题;B,其逆命题是:同位角相等,两直线平行,是真命题;C,其逆命题是:对应角相等的两个三角形是全等三角形.大小不同的两个等边三角形虽然对应角相等但不全等,故是假命题;D,其逆命题是:四个角都相等的四边形是正方形,故是假命题.故选B.
考法2余角、补角例2(2020·内蒙古通辽)如图,将一副三角尺按下列位置摆放,使∠α和∠β互余的摆放方式是( )
答案 A解析 A.∠α与∠β互余,故A项正确;B.∠α+∠β>90°,即不互余,故B项错误;C.∠α+∠β=270°,即不互余,故C项错误;D.∠α+∠β=180°,即互补,故D项错误.故选A.
对应练3(2020·湖北孝感)如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,垂足为点O.若∠BOE=40°,则∠AOC的度数为( )A.40° B.50°C.60°D.140°
答案 B解析 ∵OE⊥CD,∴∠COE=90°.∵∠BOE=40°,∴∠AOC=180°-∠COE-∠EOB=180°-90°-40°=50°.故选B.
对应练4(2020·湖南娄底)如图,将直尺与三角尺叠放在一起,如果∠1=28°,那么∠2的度数为( )A.62°B.56°C.28°D.72°
答案 A解析 如图,标注字母,由题意得∠EBD=90°,∠1=28°,AB∥CD,∴∠ABD=90°-28°=62°,∴∠2=∠ABD=62°,故选A.
对应练5(2020·内蒙古通辽)如图,点O在直线AB上,∠AOC=53°17'28″,则∠BOC的度数是_____________.
答案 126°42'32″解析 由图可知∠AOC和∠BOC互补.∵∠AOC=53°17'28″,∴∠BOC=180°-53°17'28″=126°42'32″.
考法3平行线的性质与判定例3(2020·四川攀枝花)如图,平行线AB,CD被直线EF所截,过点B作BG⊥EF于点G,已知∠1=50°,则∠B=( )A.20°B.30°C.40°D.50°
答案 C解析 延长BG,交CD于点H.∵∠1=50°,∴∠2=50°.∵AB∥CD,∴∠B=∠BHD.∵BG⊥EF,∴∠FGH=90°,∴∠B=∠BHD=90°-∠2=90°-50°=40°.故选C.
方法总结 1.涉及平行线,便要想到平行线的性质定理:两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补.2.平行线性质的主要用途是解决与平行线有关的角度计算和判定角的相等关系等问题.
对应练6(2019·四川自贡)如图,a∥b,∠1=50°,则∠2的度数为 ( )A.40°B.50°C.55°D.60°
答案 B 解析 如右图,∵a∥b,∴∠1=∠3=50°.又∵∠2=∠3,∴∠2=50°.
对应练7(2020·贵州黔西南州)如图,将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上,当∠2=37°时,∠1的度数为( )A.37°B.43°C.53°D.54°
答案 C解析 如下图,因为AB∥CD,所以∠2=∠3=37°,又因为∠FEG=90°,所以∠1=180°-90°-∠3=90°-37°=53°.
对应练8(2020·新疆建设兵团)如图,直线AB,CD被直线AE所截,AB∥CD,∠A=110°,则∠1=_____________度.
答案 70 解析 如右图,∵AB∥CD,∴∠A+∠2=180°.∵∠A=110°,∴∠2=70°,∴∠1=∠2=70°.
考法4垂线、角平分线的性质与判定例4 (2020·四川乐山)如图,E是直线CA上一点,∠FEA=40°,射线EB平分∠CEF,GE⊥EF.则∠GEB= ( )A.10° B.20°C.30°D.40°
答案 B解析 ∵∠FEA=40°,∴∠CEF=140°.∵射线EB平分∠CEF,∴∠CEB=∠BEF=70°.∵GE⊥EF,∴∠GEB=∠GEF-∠BEF=90°-70°=20°.
对应练9(2020·湖南湘潭)如图,点P是∠AOC的角平分线上一点,PD⊥OA,垂足为点D,且PD=3,点M是射线OC上一动点,则PM的最小值为_____________.
答案 3解析 根据垂线段最短可知,当PM⊥OC时,PM最小.当PM⊥OC时,又∵OP平分∠AOC,PD⊥OA,PD=3,∴PM=PD=3.
第一个算出地球周长的人——埃拉托色尼2 000多年前,有人用简单的测量工具计算出地球的周长.这个人就是古希腊的埃拉托色尼 .埃拉托色尼博学多才,他不仅通晓天文,而且熟知地理;又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家,曾担任过亚历山大博物馆的馆长.
细心的埃拉托色尼发现:离亚历山大城约800千米的塞恩城(今埃及阿斯旺附近),夏日正午的阳光可以一直照到井底,因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子.但是,亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子.他认为:直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成.从地球是圆球和阳光沿直线传播这两个前提出发,从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条射线,其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角.按照相似三角形的比例关系,已知两地之间的距离,便能测出地球的圆周长.埃拉托色尼测出夹角约为7度,大约是地球圆周角(360度)的五十分之一,由此推算地球的周长大约为4万千米,这与实际地球周长(40 076千米)相差无几.他还算出太阳与地球间距离为1.47亿千米, 和实际距离1.49亿千米也惊人的相近.
1.如图,建筑工人砌墙时,经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩,然后拉一条直的参照线,其运用到的数学原理是( )A.两点之间,线段最短B.两点确定一条直线C.垂线段最短D.过一点有且只有一条直线和已知直线平行
2.(2019·南京)结合图形,用符号语言表达定理“同旁内角互补,两直线平行”的推理形式: ∵_____________,∴a∥b.
答案∠1+∠3=180°解析 图中用数字标识的同旁内角是∠1和∠3,所以同旁内角互补,应为∠1+∠3=180°.
命题点1 命题与定理1.(2019·安徽,12,5分)命题“如果a+b=0,那么a,b互为相反数”的逆命题为_____________.
答案如果a,b互为相反数,那么a+b=0
命题点2 平行线的性质及判定2.(2017·安徽,6,4分)直角三角板和直尺如图放置,若∠1=20°,则∠2的度数为( )A.60°B.50°C.40°D.30°
答案 C解析 如图,过点E作EF∥AB,则AB∥EF∥CD,∴∠1=∠3,∠2=∠4.∵∠3+∠4=60°,∴∠1+∠2=60°.∵∠1=20°,∴∠2=40°.
3.(2011·安徽,3,4分)如图,直线l1∥l2,∠1=55°,∠2=65°,则∠3为( )A.50°B.55°C.60°D.65°
答案 C解析 如图,∵l1∥l2,∠2=65°,∴∠6=65°.∵∠1=55°,∴∠4=∠1=55°.在△ABC中,∠6=65°,∠4=55°,∴∠3=180°-65°-55°=60°.
考点一 直线和线段(低频考点) 1.两个基本事实(1)两点确定一条直线.(2)两点之间,线段最短 . 2.两点间的距离连接两点间的线段的长度 ,叫做两点间的距离. 3.线段的中点如图,点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB,点M叫做线段AB的中点,且AM=MB= AB.
考点二 角的相关概念及性质(低频考点) 1.角的概念有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.2.角的分类
3.角度的度量与换算角的度量单位为度、分、秒,1周角=360 °,1平角=180 °,1°=60 ',1'=60 ″.
4.角平分线的概念及其性质(1)定义:从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做该角的平分线.如图,若OC平分∠AOB,则∠AOC=∠BOC = ∠AOB. (2)性质:角平分线上的点到角两边的距离相等 . 如图,若OC平分∠AOB,点P在OC上,且PM⊥OA,PN⊥OB,则PM=PN . 判定:在角的内部,到角两边距离相等的点在角平分线上.
考点三 相交线(低频考点) 1.对顶角(1)定义:两条直线相交组成的四个角中,有公共顶点且没有公共边 的两个角叫做对顶角. (2)性质:对顶角相等 . 2.余角与补角(1)余角①余角的定义:如果两个角的和等于90° ,那么这两个角互为余角; ②余角的性质:同角(或等角)的余角相等 . (2)补角①补角的定义:如果两个角的和等于180° ,那么这两个角互为补角; ②补角的性质:同角(或等角)的补角相等 .
3.同位角、内错角和同旁内角如图,在同一平面内,两条直线被第三条直线所截得到八个角,其中是同位角的有∠1和∠5,∠2和∠6 ,∠3 和∠7,∠4 和∠8 ;其中是内错角的有∠2和∠8 ,∠3 和∠5;其中是同旁内角的有∠2和∠5,∠3 和∠8 .
考点四 垂线及其性质(中频考点)
考点五 平行线的判定与性质(中频考点)
考点六 命题、定理与证明(低频考点) 1.命题(1)命题的定义:判断 一件事情的语句,叫做命题. (2)命题的组成部分:命题由题设 和结论 两部分组成,通常写成“如果……,那么……”的形式. 2.真、假命题命题的分类:命题分为真 命题和假 命题,判定一个命题是假命题的常用方法是举反例. 3.证明一个命题的正确性 需要经过推理作出判断,这个推理过程叫做证明.
4.基本事实、定理从实践中总结出来的真命题 叫做基本事实,经过证明 的并且常作为推理依据的真命题叫做定理. 5.互逆命题和互逆定理(1)互逆命题:如果一个命题的题设和结论恰好是另一个命题的结论 和题设 ,那么这两个命题称为互逆命题. (2)互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题 ,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理.
考法1 命题与定理例1 (2020·湖南岳阳)下列命题是真命题的是( )A.一个角的补角一定大于这个角B.平行于同一条直线的两条直线平行C.等边三角形是中心对称图形D.旋转改变图形的形状和大小
答案 B解析 一个角的补角不一定大于这个角,故A错误;平行于同一条直线的两条直线平行,故B正确;等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,故C错误;旋转不改变图形的形状和大小,故D错误;故选B.
方法总结 命题是判断一件事情的语句,做出正确判断的叫真命题,错误判断的叫假命题,要说明一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.命题都是由题设和结论组成,将一个命题的题设和结论交换位置,得到的命题是原命题的逆命题.
对应练1(2020·内蒙古通辽)从下列命题中,随机抽取一个是真命题的概率是( )(1)无理数都是无限小数;(2)因式分解ax2-a=a(x+1)(x-1);(3)棱长是1 cm的正方体的表面展开图的周长一定是14 cm;(4)弧长是20π cm,面积是240π cm2的扇形的圆心角是120°.
答案 C解析 (1)无理数都是无限小数,是真命题.(2)因式分解ax2-a=a(x+1)(x-1),是真命题;(3)棱长是1 cm的正方体的表面展开图的周长一定是14 cm,是真命题;
对应练2(2020·广西玉林)下列命题中,其逆命题是真命题的是( )A.对顶角相等B.两直线平行,同位角相等C.全等三角形的对应角相等D.正方形的四个角都相等
答案 B解析 A,其逆命题是:两个相等的角是对顶角,故是假命题;B,其逆命题是:同位角相等,两直线平行,是真命题;C,其逆命题是:对应角相等的两个三角形是全等三角形.大小不同的两个等边三角形虽然对应角相等但不全等,故是假命题;D,其逆命题是:四个角都相等的四边形是正方形,故是假命题.故选B.
考法2余角、补角例2(2020·内蒙古通辽)如图,将一副三角尺按下列位置摆放,使∠α和∠β互余的摆放方式是( )
答案 A解析 A.∠α与∠β互余,故A项正确;B.∠α+∠β>90°,即不互余,故B项错误;C.∠α+∠β=270°,即不互余,故C项错误;D.∠α+∠β=180°,即互补,故D项错误.故选A.
对应练3(2020·湖北孝感)如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,垂足为点O.若∠BOE=40°,则∠AOC的度数为( )A.40° B.50°C.60°D.140°
答案 B解析 ∵OE⊥CD,∴∠COE=90°.∵∠BOE=40°,∴∠AOC=180°-∠COE-∠EOB=180°-90°-40°=50°.故选B.
对应练4(2020·湖南娄底)如图,将直尺与三角尺叠放在一起,如果∠1=28°,那么∠2的度数为( )A.62°B.56°C.28°D.72°
答案 A解析 如图,标注字母,由题意得∠EBD=90°,∠1=28°,AB∥CD,∴∠ABD=90°-28°=62°,∴∠2=∠ABD=62°,故选A.
对应练5(2020·内蒙古通辽)如图,点O在直线AB上,∠AOC=53°17'28″,则∠BOC的度数是_____________.
答案 126°42'32″解析 由图可知∠AOC和∠BOC互补.∵∠AOC=53°17'28″,∴∠BOC=180°-53°17'28″=126°42'32″.
考法3平行线的性质与判定例3(2020·四川攀枝花)如图,平行线AB,CD被直线EF所截,过点B作BG⊥EF于点G,已知∠1=50°,则∠B=( )A.20°B.30°C.40°D.50°
答案 C解析 延长BG,交CD于点H.∵∠1=50°,∴∠2=50°.∵AB∥CD,∴∠B=∠BHD.∵BG⊥EF,∴∠FGH=90°,∴∠B=∠BHD=90°-∠2=90°-50°=40°.故选C.
方法总结 1.涉及平行线,便要想到平行线的性质定理:两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补.2.平行线性质的主要用途是解决与平行线有关的角度计算和判定角的相等关系等问题.
对应练6(2019·四川自贡)如图,a∥b,∠1=50°,则∠2的度数为 ( )A.40°B.50°C.55°D.60°
答案 B 解析 如右图,∵a∥b,∴∠1=∠3=50°.又∵∠2=∠3,∴∠2=50°.
对应练7(2020·贵州黔西南州)如图,将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上,当∠2=37°时,∠1的度数为( )A.37°B.43°C.53°D.54°
答案 C解析 如下图,因为AB∥CD,所以∠2=∠3=37°,又因为∠FEG=90°,所以∠1=180°-90°-∠3=90°-37°=53°.
对应练8(2020·新疆建设兵团)如图,直线AB,CD被直线AE所截,AB∥CD,∠A=110°,则∠1=_____________度.
答案 70 解析 如右图,∵AB∥CD,∴∠A+∠2=180°.∵∠A=110°,∴∠2=70°,∴∠1=∠2=70°.
考法4垂线、角平分线的性质与判定例4 (2020·四川乐山)如图,E是直线CA上一点,∠FEA=40°,射线EB平分∠CEF,GE⊥EF.则∠GEB= ( )A.10° B.20°C.30°D.40°
答案 B解析 ∵∠FEA=40°,∴∠CEF=140°.∵射线EB平分∠CEF,∴∠CEB=∠BEF=70°.∵GE⊥EF,∴∠GEB=∠GEF-∠BEF=90°-70°=20°.
对应练9(2020·湖南湘潭)如图,点P是∠AOC的角平分线上一点,PD⊥OA,垂足为点D,且PD=3,点M是射线OC上一动点,则PM的最小值为_____________.
答案 3解析 根据垂线段最短可知,当PM⊥OC时,PM最小.当PM⊥OC时,又∵OP平分∠AOC,PD⊥OA,PD=3,∴PM=PD=3.
第一个算出地球周长的人——埃拉托色尼2 000多年前,有人用简单的测量工具计算出地球的周长.这个人就是古希腊的埃拉托色尼 .埃拉托色尼博学多才,他不仅通晓天文,而且熟知地理;又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家,曾担任过亚历山大博物馆的馆长.
细心的埃拉托色尼发现:离亚历山大城约800千米的塞恩城(今埃及阿斯旺附近),夏日正午的阳光可以一直照到井底,因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子.但是,亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子.他认为:直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成.从地球是圆球和阳光沿直线传播这两个前提出发,从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条射线,其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角.按照相似三角形的比例关系,已知两地之间的距离,便能测出地球的圆周长.埃拉托色尼测出夹角约为7度,大约是地球圆周角(360度)的五十分之一,由此推算地球的周长大约为4万千米,这与实际地球周长(40 076千米)相差无几.他还算出太阳与地球间距离为1.47亿千米, 和实际距离1.49亿千米也惊人的相近.
1.如图,建筑工人砌墙时,经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩,然后拉一条直的参照线,其运用到的数学原理是( )A.两点之间,线段最短B.两点确定一条直线C.垂线段最短D.过一点有且只有一条直线和已知直线平行
2.(2019·南京)结合图形,用符号语言表达定理“同旁内角互补,两直线平行”的推理形式: ∵_____________,∴a∥b.
答案∠1+∠3=180°解析 图中用数字标识的同旁内角是∠1和∠3,所以同旁内角互补,应为∠1+∠3=180°.
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