专题12.16 三角形全等作辅助线模型（三）-倍长中线（专项练习）（基础篇）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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这是一份专题12.16 三角形全等作辅助线模型（三）-倍长中线（专项练习）（基础篇）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题12.16 三角形全等作辅助线模型（三）-倍长中线
（专项练习）（基础篇）
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB=8，AC=5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是（）

A．3 2．已知AD是△ABC中线，AB＝12，AC＝8，则BC边上的中线AD的取值范围分别是（）
A．2＜AD＜10 B．4＜AD＜10 C．4＜AD＜20 D．2＜AD＜12

二、填空题
3．已知三角形的两边长分别为4和6，则第三边的中线长x的取值范围是_____．
4．如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是△ABC的中线，若AD的长为偶数，则AD＝_____．

5．是中边上的中线，若，，则的取值范围是______.
6．在△ABC中，若AB＝5，AC＝7，则中线AD的长的取值范围是________．

三、解答题
7．仔细阅读下面的解题过程，并完成填空：如图13，AD为△ABC的中线，已知AD=4cm,试确定AB+AC的取值范围.
解：延长AD到E,使DE = AD,连接BE.
因为AD为△ABC的中线，
所以BD=CD．
在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（__________).
所以BE=AC(_____________________).
因为AB+BE>AE(_____________________)，
所以AB+AC>AE.
因为AE=2AD=8cm，
所以AB+AC>_______cm.

8．阅读理解：
（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______．
（2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．
（3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：．

9．如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．

10．如图1，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE＝AD．
（1）试证明：△ACD≌△EBD；
（2）用上述方法解答下列问题：如图2，AD为△ABC的中线，BMI交AD于C，交AC于M，若AM＝GM，求证：BG＝AC．

11．如图，中，是边的中点，过点作交的延长线于点．求证:是的中点．

证明:(已知)，
_ (两直线平行，内错角相等)，
是边的中点，
(_ ），(_ ），
在和中，
，
( ) ，
(全等三角形的对应边相等)，
是的中点．
12．（1）是的中线，，则的取值范围是__________．
（2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图，是的中线，交于，交于，且，求证：．

13．如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6
（1）尺规作图：作AB边上的中点D和△BCD关于点D的中心对称图形；
（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．

14．三角形ABC中，AB=6，AC=4，AD是BC边上的中线，求AD的取值范围．

15．阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．

经过讨论，同学们得到以下两种思路：
思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．

思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．

完成下面问题：
（1）①思路一的辅助线的作法是：　　；
②思路二的辅助线的作法是：　　．
（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．

16．如图，在中，，是边上的中线，延长至，使，求证：.

17．如图所示，中，为的中点，，求的取值范围．

18．如图，已知AD是的中线，过点B作BE⊥AD，垂足为E．若BE=6，求点C到AD的距离．

19．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，请补充完整证明“≌”的推理过程．
求证：≌
证明：延长AD到点E，使
在和中已作，
______，
中点定义，
≌______，
探究得出AD的取值范围是______；
（感悟）解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
（问题解决）
如图2，中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长．

参考答案
1．B
【分析】
延长AD到E，使AD=DE，连结BE，证明△ADC≌△EDB就可以得出BE=AC，根据三角形的三边关系就可以得出结论．
解：延长AD到E，使AD=DE，连结BE．

∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD．
在△ADC和△EDB中，

∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE．
∵AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴AB-AC＜2AD＜AB+AC．
∵AB=8，AC=5，
∴1.5＜AD＜6.5．
故选：B
【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中线的性质的运用，三角形三边关系的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
2．A
【分析】
中线AD的取值范围可延长AD至点E，使AD=DE，得出△ACD≌△EBD，进而在△ABE中利用三角形三边关系求解．
解：如图所示，
在△ABC中，则AB-AC＜BC＜AB+AC，
即12-8＜BC＜12+8，4＜BC＜20，
延长AD至点E，使AD=DE，连接BE，
∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴BD=CD，
又∠ADC=∠BDE，AD=DE
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴BE=AC，
在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，即AB-AC＜AE＜AB+AC，
12-8＜AE＜12+8，即4＜AE＜20，
∴2＜AD＜10．
故选：A．

【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够理解掌握并熟练运用．
3．1＜x＜5．
【分析】
由“SAS”可证△BDE≌△CDA，可得BE＝AC＝6，AE＝2x，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
解：如图所示，AB＝4，AC＝6，延长AD至E，使AD＝DE，连接BE、EC，设AD＝x，

在△BDE与△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝6，AE＝2x，
在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即6﹣4＜2x＜6+4，
∴1＜x＜5，
故答案为：1＜x＜5．
【点拨】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意构造全等三角形及三角形的三边关系．
4．2或4
【分析】
延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，由“SAS”可证△ABD≌△ECD，可得CE＝AB＝6，由三角形的三边关系可得1＜AD＜5，即可求解．
解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，

在△ABD与△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB＝6，
在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，
即2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5，
∵AD为偶数，
∴AD＝2或4，
故答案为2或4．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质及三角形的三边关系，关键是根据倍长中线这个辅助线作法得到三角形全等，进而求解即可．
5．
【分析】
延长AD到E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．
【详解】
如图，延长AD到E，使DE＝AD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
∵，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB，
∵AB＝4，AC＝6，
∴6−4＜AE＜6＋4，即2＜AE＜10，
故答案为：1＜AD＜5．

【点拨】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
6．2＜AD＜12
【详解】先作辅助线，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，先证明△ABD≌△ECD，在△AEC中，由三角形的三边关系定理得出答案．

解：延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，
∵BD=CD，DE=AD，∠ADB=∠EDC，
∴△ABD≌△ECD，
∴CE=AB，
∵AB=7，AC=5，CE=7，
设AD=x，则AE=2x，
∴2＜2x＜12，
∴1＜x＜6，
∴1＜AD＜6．
故答案为1＜AD＜6．
本题考查了三角形的三边关系定理，难度一般，关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．
7．答案见解析
【分析】
根据三角形全等的判定与性质以及三角形的内角和，即可得出答案.
解：延长AD到E,使DE = AD,连接BE.
因为AD为△ABC的中线，
所以BD=CD.
在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（SAS).
所以BE=AC(全等三角形的性质).
因为AB+BE>AE(两边之和大于第三边)，
所以AB+AC>AE.
因为AE=2AD=8cm，
所以AB+AC>8cm.
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及三角形边的性质，需要熟练掌握各种性质与定理.
8．（1）；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】
（1）如图1延长到点，使得，再连接，由AD为中线，推出BD=CD，可证△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在中，由三边关系即可，
（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG由D为BC中点，BD=CD可证△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中由三边关系，
（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，由是边上的中点，得BD=CD，可证△ACD≌△GBD（SAS）得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案，
【详解】
（1）如图1延长到点，使得，再连接，
∵AD为中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△ EDB中，
∵CD=BD，
∠ADC=∠EDB，
AD=ED，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC=EB=6，
，
∵，
∴，
∴，

（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG，
由D为BC中点，BD=CD，
在△FDC和△GDB中，
∵CD=BD，
∠FDC=∠GDB，
FD=GD，
∴△FCD≌△GBD（SAS），
∴FC=GB，
∵，DF=DG，
∴EF=EG，
在△BEG中EG
（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，
由是边上的中点，
∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中，
∵CD=BD，
∠ADC=∠GDB，
AD=GD，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴AC=GB，∠DAC=∠G，
∵BE=AC，
∴BE=BG，
∴∠BED=∠G=∠CAD．

【点拨】本题考查中线加倍，三角形全等，三边关系，垂直平分线，等腰三角形，掌握中线加倍构造三角形，用三角形全等转化等量关系，用三边关系求取值范围，用垂直平分线转化线段，用等腰三角形证角是解题关键，
9．（1）见解析；（2），见解析
【分析】
（1）直接延长CB到点E，使BE=BD即可；
（2）延长至点，使得，连接，可证得，则，再通过证明，可得到，从而得到即可．
【详解】
（1）如图所示：

（2）如图，

判断：
证明如下：
延长至点，使得，连接
在和中，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵AD平分∠BAC
∴
在和中，
∵
∴
∴
又∵
∴
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键．
10．（1）详见解析；（2）详见解析．
【分析】
（1）根据中线的定义，即可得到BD＝CD，再根据SAS即可判定△ACD≌△EBD．

（2）延长AD到F，使AD＝DF，连接BF，根据SAS证△ADC≌△FDB，推出BF＝AC，∠CAD＝∠F，根据AM＝GM，推出∠CAD＝∠AGM＝∠BGF，求出∠BGF＝∠F，根据等腰三角形的性质求出即可．
【详解】
（1）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS）．
（2）证明：延长AD到F，使AD＝DF，连接BF，

∵AD是△ABC中线，
∴BD＝DC，
∵在△ADC和△FDB中
，
∴△ADC≌△FDB（SAS），
∴BF＝AC，∠CAD＝∠F，
∵AM＝GM，
∴∠CAD＝∠AGM，
∵∠AGM＝∠BGF，
∴∠BGF＝∠CAD＝∠F，
∴BG＝BF＝AC，
即BG＝AC．
【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键.
11．；线段中点的定义；
【分析】
利用中线类倍长的基本模型进行证明，结合平行线的性质进行论证．
【详解】
证明:(已知)，
(两直线平行，内错角相等)，
是边的中点，
(线段中点的定义)，
在和中，

，
(全等三角形的对应边相等)，
是的中点．
【点拨】本题考查了类倍长中线的模型，能够通过平行结合中点问题，推出三角形全等，是解决问题的关键．
12．（1）（2）见解析
【分析】
（1）根据倍长中线法将AD延长一倍，再证△ADC≌△GDB，根据三角形的三边关系即可求出AG的取值范围，从而求出AD的取值范围；

（2）由（1）中结论：△ADC≌△GDB，即可得到：AC=BG，∠CAD=∠G，再根据等腰三角形的性质和判定即可得到BG=BF=AC.
【详解】
（1）将AD延长至G，使AD=DG，连接BG，如下图所示：

在△ADC和△GDB中

∴△ADC≌△GDB
∴AC=BG=6
在△ABG中

∴
∴
（2）将AD延长至G，使AD=DG，连接BG，如下图所示：

由（1）中结论：△ADC≌△GDB
∴AC=BG，∠CAD=∠G
又∵，
∴，
∴
∵
∴
∴BG=BF=AC
【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及等腰三角形的判定及性质，掌握用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键.
13．（1）见解析；（2）1＜CD＜5．
【分析】
（1）由题知CD为中线，只要使DE=CD，然后连接AE即可；
（2）根据三角形三边关系，先求出CE的取值范围，即可求出CD的取值范围.
【详解】
解：（1）中点D如图所示，△ADE即为所求．

（2）由题意AE＝BC＝6，
∴6﹣4＜EC＜4+6，
∴2＜EC＜10，
∵EC＝2CD，
∴1＜CD＜5．
【点拨】本题是对尺规作图和三角形第三边取值范围的考查，熟练掌握尺规作图和三角形三边关系是解决本题的关键.
14．1＜AD＜5．
【详解】
试题分析：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，得到AC=BE=8，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可．
试题解析：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，∵AD=DE，∠ADC=∠EDB，DC=BD，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案为1＜AD＜5．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．三角形三边关系．
15．（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）详见解析
【分析】
（1）①依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．
②作BG＝BF交AD的延长线于点G．利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．
（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，证出∠G＝∠BFG，得出BG＝BF，即可得出结论．
【详解】
解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：
∵AD为△ABC中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△GDB中，，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴AC＝BG，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠EFA，
∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，
∴∠G＝∠BFG，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF．
故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；

②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．
理由如下：∵BG＝BF，
∴∠G＝∠BFG，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∵∠EFA＝∠BFG，
∴∠G＝∠EAF，
在△ADC和△GDB中，，
∴△ADC≌△GDB（AAS），
∴AC＝BG，
∴AC＝BF；
故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；

（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：
则∠G＝∠CAD，
∵AD为△ABC中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△GDB中，，
∴△ADC≌△GDB（AAS），
∴AC＝BG，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠EFA，
∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，
∴∠G＝∠BFG，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF．

【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有四个定理：AAS、ASA、SAS、SSS，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题．
16．详见解析
【分析】
首先延长AD至M，使DM=AD，先证明△ABD≌△MCD，进而得出MC=AB，∠B=∠MCD，即可得出∠ACM=∠ACE，再证明△ACM≌△ACE，即可得出答案．
【详解】
如图，延长AD至M，使DM=AD，连结CM，
又，，
，
，，
，
，
，，
，
，.
又，.
，即.

【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用倍长中线得出辅助线是解题关键．
17．
【解析】
【分析】
延长至，使，连结，证明，根据全等三角形的性质可得AC=EB，继而在中根据三角形三边关系即可求得答案.
【详解】
延长至，使，连结.
，，
，
.
在中，，
，
即.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，正确添加辅助线是解题的关键.
18．6
【分析】
延长AD，过点C作于点F，证明，再根据全等三角形的性质得到．
【详解】
解：如图，延长AD，过点C作于点F，
∵AD是的中线，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即点C到AD的距离是6．

【点拨】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是利用倍长中线的方法做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解．
19．见解析； 1 【解析】
【分析】
（1）延长AD到点E，使DE=AD，根据SAS定理证明△ADC≌△EDB；
（2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算；
（3）延长AD交EC的延长线于F，证明△ABD≌△FCD，根据全等三角形的性质解答．
【详解】
延长AD到点E，使，
在和中，
已作，
对顶角相等，
中点定义，
≌，
故答案为对顶角相等，SAS；
≌，
，
，

，
故答案为；
延长AD交EC的延长线于F，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的性质和判定，解题关键是熟记全等三角形的判定条件.