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2020-2021学年宁夏吴忠市盐池县九年级（上）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年宁夏吴忠市盐池县九年级（上）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了将抛物线等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年宁夏吴忠市盐池县九年级（上）期末数学试卷
一.选择题（下列每小题所给的四个答案中只有一个是正确的，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放篮球比赛
B．守株待兔
C．明天是晴天
D．在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球
3．（3分）方程2x（x﹣3）＝5（x﹣3）的根是（ ）
A．x＝ B．x＝3
C．x1＝，x2＝3 D．x1＝﹣，x2＝﹣3
4．（3分）电影《流浪地球》一上映就获得追捧，第一天票房收入约8亿元，第三天票房收入达到了11.52亿元，则可列方程（ ）
A．8（1+x）＝11.52 B．8（1+2x）＝11.52
C．8（1+x）2＝11.52 D．8（1﹣x）2＝11.52
5．（3分）如图，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞2 C．x＜0或x＞4 D．0＜x＜4
6．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝60°（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
7．（3分）如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0；③a+b+c＞0；④Δ＞0，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，则AB与CD的距离是（ ）
A．7 B．17 C．7或17 D．34
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）将抛物线：y＝x2﹣2x向下平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是 ．
10．（3分）一个圆锥的侧面展开图是半径为8cm、圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 ．
11．（3分）若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ．
12．（3分）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为 ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是 ．（保留π）
14．（3分）如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度CD为2m，则输水管的半径为 m．
15．（3分）将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA＝2，则点A的对应点A′的坐标为 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB＝2的长是 ．
三、解答题（共72分）
17．（8分）解方程
（1）（x+3）（x﹣1）＝5
（2）x（x+3）＝x+3
18．（6分）已知：关于x的方程x2+kx﹣2＝0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（﹣3，5），C（﹣3，1）．
（1）在图中画出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90o后的图形△AB1C1，并写出B1、C1两点的坐标；
（2）在图中画出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并写出B2、C2两点的坐标．
20．（8分）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；
（2）试估计口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
（3）请画树状图或列表计算：从中先摸出一个球，不放回，再摸出一个球
21．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，解决下列问题：
（1）关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为 ；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）当x为值时，y＜0；
（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，直接写出k的范围．
22．（8分）小区要用篱笆围成一个四边形花坛、花坛的一边利用足够长的墙，另三边所用的篱笆之和恰好为18米．围成的花坛是如图所示的四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．
（2）当x是多少时，四边形ABCD面积S最大？最大面积是多少？
23．（8分）如图，点D是等边△ABC中BC边的延长线上一点，且AC＝CD，分别交边AC、BC于点E、点F
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）连接OC，交⊙O于点G，若AB＝4围成的阴影部分的面积S．
24．（10分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元），销售量为36本；当销售单价为24元时
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，请说明理由．
2020-2021学年宁夏吴忠市盐池县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（下列每小题所给的四个答案中只有一个是正确的，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放篮球比赛
B．守株待兔
C．明天是晴天
D．在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球
【解答】解：打开电视机，正在播放篮球比赛是随机事件；
守株待兔是随机事件，B不正确；
明天是晴天是随机事件，C不正确；
在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球是必然事件；
故选：D．
3．（3分）方程2x（x﹣3）＝5（x﹣3）的根是（ ）
A．x＝ B．x＝3
C．x1＝，x2＝3 D．x1＝﹣，x2＝﹣3
【解答】解：方程变形为：2x（x﹣3）﹣7（x﹣3）＝0，
∴（x﹣4）（2x﹣5）＝6，
∴x﹣3＝0或8x﹣5＝0，
∴x3＝3，x2＝．
故选：C．
4．（3分）电影《流浪地球》一上映就获得追捧，第一天票房收入约8亿元，第三天票房收入达到了11.52亿元，则可列方程（ ）
A．8（1+x）＝11.52 B．8（1+2x）＝11.52
C．8（1+x）2＝11.52 D．8（1﹣x）2＝11.52
【解答】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：8（1+x）4＝11.52．
故选：C．
5．（3分）如图，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞2 C．x＜0或x＞4 D．0＜x＜4
【解答】解：联立，
解得，，
∴两函数图象交点坐标为（7，0），4），
由图可知，y4＜y2时x的取值范围是x＜0或x＞6．
故选：B．
6．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝60°（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【解答】解：∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵AO＝BO，
∴∠ABO＝（180°﹣120°）÷2＝30°，
故选：A．
7．（3分）如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0；③a+b+c＞0；④Δ＞0，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①由抛物线的开口向下知a＜0，故本选项错误；
②由对称轴为x＝＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，则6a+b＝0；
③由图象可知，当x＝1时，则a+b+c＞6；
④从图象知，抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，故本选项正确；
⑤由图象可知，当x＝﹣2时，则2a﹣2b+c＜0；
故选：D．
8．（3分）⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，则AB与CD的距离是（ ）
A．7 B．17 C．7或17 D．34
【解答】解：如图，AE＝×24＝12，
CF＝CD＝，
OE＝＝＝5，
OF＝＝＝12，
①当两弦在圆心同侧时，距离＝OF﹣OE＝12﹣5＝7；
②当两弦在圆心异侧时，距离＝OE+OF＝12+5＝17．
所以距离为7或17．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）将抛物线：y＝x2﹣2x向下平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是 y＝（x﹣5）2﹣4 ．
【解答】解：y＝x2﹣2x＝（x﹣3）2﹣1，
根据平移规律，向下平移2个单位2﹣1﹣6，即y＝（x﹣5）2﹣2，
故答案为：y＝（x﹣5）2﹣3．
10．（3分）一个圆锥的侧面展开图是半径为8cm、圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 cm ．
【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，
2πr＝，
r＝cm．
故答案为：cm．
11．（3分）若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ﹣1或2或1 ．
【解答】解：∵函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，
当函数为二次函数时，b2﹣2ac＝16﹣4（a﹣1）×6a＝0，
解得：a1＝﹣7，a2＝2，
当函数为一次函数时，a﹣5＝0．
故答案为：﹣1或8或1．
12．（3分）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为 x（20﹣x）＝64 ．
【解答】解：设矩形的一边长为xcm，
∵长方形的周长为40cm，
∴宽为＝（20﹣x）（cm），
得x（20﹣x）＝64．
故答案为：x（20﹣x）＝64．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是 ．（保留π）
【解答】解：2×2÷3﹣﹣＝2﹣．
14．（3分）如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度CD为2m，则输水管的半径为 5 m．
【解答】解：由题意得：OD⊥AB，
∴AC＝AB＝，
设OA＝rm，则OC＝OD﹣CD＝（r﹣2）m，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OA3＝OC2+AC2，
即r6＝（r﹣2）2+52，
解得：r＝5，
即输水管的半径为8m，
故答案为：5．
15．（3分）将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA＝2，则点A的对应点A′的坐标为 （，﹣） ．
【解答】解：∵三角板绕原点O顺时针旋转75°，
∴旋转后OA与y轴夹角为45°，
∵OA＝2，
∴OA′＝2，
∴点A′的横坐标为2×＝，
纵坐标为﹣2×＝﹣，
所以，点A′的坐标为（，﹣）．
故答案为：（，﹣）．
16．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB＝2的长是 π ．
【解答】解：连接OA、OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB＝BC＝DC＝AD，
∴＝＝＝，
∴∠AOB＝×360°＝90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：5AO2＝（2）2，
解得：AO＝2，
∴劣弧的长为，
故答案为π．
三、解答题（共72分）
17．（8分）解方程
（1）（x+3）（x﹣1）＝5
（2）x（x+3）＝x+3
【解答】解：（1）方程整理为一般式得x2+2x﹣2＝0，
则（x+4）（x﹣7）＝0，
∴x+4＝6或x﹣2＝0，
解得x＝﹣3或x＝2；
（2）∵x（x+3）﹣（x+2）＝0，
∴（x+3）（x﹣5）＝0，
则x+3＝3或x﹣1＝0，
解得x＝﹣2或x＝1．
18．（6分）已知：关于x的方程x2+kx﹣2＝0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝k2﹣4×3×（﹣2）＝k2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：将x＝﹣1代入原方程，得：5﹣k﹣2＝0，
∴k＝﹣8．
设方程的另一个根为x1，
根据题意得：﹣1•x3＝﹣2，
∴x1＝3．
∴方程的另一个根为2，k值为﹣1．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（﹣3，5），C（﹣3，1）．
（1）在图中画出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90o后的图形△AB1C1，并写出B1、C1两点的坐标；
（2）在图中画出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并写出B2、C2两点的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：
B1（4，4），C1（0，5）；
（2）如图所示：
B2（3，﹣8），C2（3，﹣2）．
20．（8分）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 0.6 ；
（2）试估计口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
（3）请画树状图或列表计算：从中先摸出一个球，不放回，再摸出一个球
【解答】解：（1）根据图表给出的数据可得，当n很大时；
答案为：0.6；
（2）由（1）摸到白球的概率为6.6，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数是：5×6.6＝3（只），
黑颜色的球有4﹣3＝2（只）；
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中两只球颜色不同占12种，
所以两只球颜色不同的概率＝＝．
21．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，解决下列问题：
（1）关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为 ﹣1或3 ；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）当x为值时，y＜0；
（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，直接写出k的范围．
【解答】解：（1）观察图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x＝﹣1和x＝3两点，
∴方程的解为x7＝﹣1，x2＝6，
故答案为：﹣1或3；
（2）设抛物线解析式为y＝﹣（x﹣4）2+k，
∵抛物线与x轴交于点（3，8），
∴（3﹣1）8+k＝0，
解得：k＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣6）2+4，
即：抛物线解析式为y＝﹣x7+2x+3；
（3）若y＜3，则函数的图象在x轴的下方；
（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，则k＞4函数的最大值．
22．（8分）小区要用篱笆围成一个四边形花坛、花坛的一边利用足够长的墙，另三边所用的篱笆之和恰好为18米．围成的花坛是如图所示的四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．
（2）当x是多少时，四边形ABCD面积S最大？最大面积是多少？
【解答】解：（1）过点A作AE⊥CD于E，则∠AEC＝∠AED＝90°
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∵BC＝2AB．AB边的长为x米，
∴BC＝2x，
∵四边形ABCE是矩形，
∴AB＝CE＝x，BC＝AE＝6x，
∵三边所用的篱笆之和恰好为18米．
∴CD＝18﹣AB﹣BC＝18﹣3x，
∴S四边形ABCD＝S矩形ABCE+S△ADE
＝x•2x+DE•AE
＝2x7+（CD﹣CE）•AE
＝﹣4x2+18x；
（2）∵S＝﹣2x6+18x；
a＝﹣2＜0，
∴S有最大值，
当x＝﹣＝﹣＝时，
S最大＝＝．
23．（8分）如图，点D是等边△ABC中BC边的延长线上一点，且AC＝CD，分别交边AC、BC于点E、点F
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）连接OC，交⊙O于点G，若AB＝4围成的阴影部分的面积S．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC，
又∵AC＝CD，
∴AC＝BC＝CD，
∴△ABD为直角三角形，
∴AB⊥AD，
∵AB为直径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：连接OE，
∵OA＝OE，∠BAC＝60°，
∴△OAE是等边三角形，
∴∠AOE＝60°，
∵CB＝BA，OA＝OB，
∴CO⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠EOC＝30°，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴AO＝2，由勾股定理得：OC＝，
同理等边三角形AOE边AO上高是＝，
S阴影＝S△AOC﹣S等边△AOE﹣S扇形EOG＝＝．
24．（10分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元），销售量为36本；当销售单价为24元时
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
把（22，36）与（24，
解得：，
则y＝﹣2x+80；
（2）设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，
根据题意得：（x﹣20）y＝150，
则（x﹣20）（﹣5x+80）＝150，
整理得：x2﹣60x+875＝0，
（x﹣25）（x﹣35）＝3，
解得：x1＝25，x2＝35，
∵20≤x≤28，
∴x＝35（不合题意舍去），
答：每本纪念册的销售单价是25元；
（3）由题意可得：
w＝（x﹣20）（﹣4x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600
＝﹣8（x﹣30）2+200，
此时当x＝30时，w最大，
又∵售价不低于20元且不高于28元，
∴x＜30时，w随x的增大而增大，w最大＝﹣2（28﹣30）8+200＝192（元），
答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，请说明理由．
【解答】方法一：
解：（1）将A（﹣1，0），6），3）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，得：
，
解得：
∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3．
（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；
∵点A、B关于直线l对称，
∴PA＝PB，
∴BC＝PC+PB＝PC+PA
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（4，C（0，得：
，解得：
∴直线BC的函数关系式y＝﹣x+3；
当x＝1时，y＝3，2）．
（3）抛物线的对称轴为：x＝﹣＝8，m），0），3）
MA2＝m2+4，MC6＝（3﹣m）2+4＝m2﹣6m+10，AC2＝10；
①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：
m8+4＝m2﹣8m+10，得：m＝1；
②若MA＝AC，则MA2＝AC4，得：
m2+4＝10，得：m＝±；
③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：
m4﹣6m+10＝10，得：m1＝2，m2＝6；
当m＝3时，M、A、C三点共线，不合题意；
综上可知，符合条件的M点，）（1，﹣，1）（1．
方法二：
（1）∵A（﹣6，0），0），8），
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x5+2x+3．
（2）连接BC，
∵l为对称轴，
∴PB＝PA，
∴C，B，P三点共线时，把x＝4代入lBC：y＝﹣x+3，得P（1．
（3）设M（6，t），0），3），
∵△MAC为等腰三角形，
∴MA＝MC，MA＝AC，
（6+1）2+（t﹣8）2＝（1﹣3）2+（t﹣3）5，∴t＝1，
（1+5）2+（t﹣0）5＝（﹣1﹣0）8+（0﹣3）3，∴t＝±，
（1﹣5）2+（t﹣3）6＝（﹣1﹣0）3+（0﹣3）6，∴t1＝6，t8＝0，
经检验，t＝6时，M、A，故舍去，
综上可知，符合条件的点有8个，M1（1，），M2（1，﹣），M3（1，7），M4（1，7）．
追加第（4）问：若抛物线顶点为D，点Q为直线AC上一动点，求点Q的坐标．
（4）作点O关于直线AC的对称点O交AC于H，
作HG⊥AO，垂足为G，
∴∠AHG+∠GHO＝90°，∠AHG+∠GAH＝90°，
∴∠GHO＝∠GAH，
∴△GHO∽△GAH，
∴HG2＝GO•GA，
∵A（﹣1，7），3），
∴lAC：y＝3x+7，H（﹣，），
∵H为OO′的中点，
∴O′（﹣，），
∵D（1，4），
∴lO′D：y＝x+，lAC：y＝4x+3，
∴x＝﹣，y＝，
∴Q（﹣，）．
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日期：2021/12/9 15:27:28；用户：初中数学3；邮箱：jse034@xyh.com；学号：39024124
2020-2021学年宁夏吴忠市盐池县九年级（上）期末数学试卷
一.选择题（下列每小题所给的四个答案中只有一个是正确的，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放篮球比赛
B．守株待兔
C．明天是晴天
D．在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球
3．（3分）方程2x（x﹣3）＝5（x﹣3）的根是（ ）
A．x＝ B．x＝3
C．x1＝，x2＝3 D．x1＝﹣，x2＝﹣3
4．（3分）电影《流浪地球》一上映就获得追捧，第一天票房收入约8亿元，第三天票房收入达到了11.52亿元，则可列方程（ ）
A．8（1+x）＝11.52 B．8（1+2x）＝11.52
C．8（1+x）2＝11.52 D．8（1﹣x）2＝11.52
5．（3分）如图，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞2 C．x＜0或x＞4 D．0＜x＜4
6．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝60°（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
7．（3分）如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0；③a+b+c＞0；④Δ＞0，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，则AB与CD的距离是（ ）
A．7 B．17 C．7或17 D．34
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）将抛物线：y＝x2﹣2x向下平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是 ．
10．（3分）一个圆锥的侧面展开图是半径为8cm、圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 ．
11．（3分）若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ．
12．（3分）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为 ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是 ．（保留π）
14．（3分）如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度CD为2m，则输水管的半径为 m．
15．（3分）将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA＝2，则点A的对应点A′的坐标为 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB＝2的长是 ．
三、解答题（共72分）
17．（8分）解方程
（1）（x+3）（x﹣1）＝5
（2）x（x+3）＝x+3
18．（6分）已知：关于x的方程x2+kx﹣2＝0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（﹣3，5），C（﹣3，1）．
（1）在图中画出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90o后的图形△AB1C1，并写出B1、C1两点的坐标；
（2）在图中画出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并写出B2、C2两点的坐标．
20．（8分）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；
（2）试估计口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
（3）请画树状图或列表计算：从中先摸出一个球，不放回，再摸出一个球
21．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，解决下列问题：
（1）关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为 ；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）当x为值时，y＜0；
（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，直接写出k的范围．
22．（8分）小区要用篱笆围成一个四边形花坛、花坛的一边利用足够长的墙，另三边所用的篱笆之和恰好为18米．围成的花坛是如图所示的四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．
（2）当x是多少时，四边形ABCD面积S最大？最大面积是多少？
23．（8分）如图，点D是等边△ABC中BC边的延长线上一点，且AC＝CD，分别交边AC、BC于点E、点F
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）连接OC，交⊙O于点G，若AB＝4围成的阴影部分的面积S．
24．（10分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元），销售量为36本；当销售单价为24元时
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，请说明理由．
2020-2021学年宁夏吴忠市盐池县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（下列每小题所给的四个答案中只有一个是正确的，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放篮球比赛
B．守株待兔
C．明天是晴天
D．在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球
【解答】解：打开电视机，正在播放篮球比赛是随机事件；
守株待兔是随机事件，B不正确；
明天是晴天是随机事件，C不正确；
在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球是必然事件；
故选：D．
3．（3分）方程2x（x﹣3）＝5（x﹣3）的根是（ ）
A．x＝ B．x＝3
C．x1＝，x2＝3 D．x1＝﹣，x2＝﹣3
【解答】解：方程变形为：2x（x﹣3）﹣7（x﹣3）＝0，
∴（x﹣4）（2x﹣5）＝6，
∴x﹣3＝0或8x﹣5＝0，
∴x3＝3，x2＝．
故选：C．
4．（3分）电影《流浪地球》一上映就获得追捧，第一天票房收入约8亿元，第三天票房收入达到了11.52亿元，则可列方程（ ）
A．8（1+x）＝11.52 B．8（1+2x）＝11.52
C．8（1+x）2＝11.52 D．8（1﹣x）2＝11.52
【解答】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：8（1+x）4＝11.52．
故选：C．
5．（3分）如图，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞2 C．x＜0或x＞4 D．0＜x＜4
【解答】解：联立，
解得，，
∴两函数图象交点坐标为（7，0），4），
由图可知，y4＜y2时x的取值范围是x＜0或x＞6．
故选：B．
6．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝60°（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【解答】解：∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵AO＝BO，
∴∠ABO＝（180°﹣120°）÷2＝30°，
故选：A．
7．（3分）如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0；③a+b+c＞0；④Δ＞0，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①由抛物线的开口向下知a＜0，故本选项错误；
②由对称轴为x＝＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，则6a+b＝0；
③由图象可知，当x＝1时，则a+b+c＞6；
④从图象知，抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，故本选项正确；
⑤由图象可知，当x＝﹣2时，则2a﹣2b+c＜0；
故选：D．
8．（3分）⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，则AB与CD的距离是（ ）
A．7 B．17 C．7或17 D．34
【解答】解：如图，AE＝×24＝12，
CF＝CD＝，
OE＝＝＝5，
OF＝＝＝12，
①当两弦在圆心同侧时，距离＝OF﹣OE＝12﹣5＝7；
②当两弦在圆心异侧时，距离＝OE+OF＝12+5＝17．
所以距离为7或17．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）将抛物线：y＝x2﹣2x向下平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是 y＝（x﹣5）2﹣4 ．
【解答】解：y＝x2﹣2x＝（x﹣3）2﹣1，
根据平移规律，向下平移2个单位2﹣1﹣6，即y＝（x﹣5）2﹣2，
故答案为：y＝（x﹣5）2﹣3．
10．（3分）一个圆锥的侧面展开图是半径为8cm、圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 cm ．
【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，
2πr＝，
r＝cm．
故答案为：cm．
11．（3分）若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ﹣1或2或1 ．
【解答】解：∵函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，
当函数为二次函数时，b2﹣2ac＝16﹣4（a﹣1）×6a＝0，
解得：a1＝﹣7，a2＝2，
当函数为一次函数时，a﹣5＝0．
故答案为：﹣1或8或1．
12．（3分）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为 x（20﹣x）＝64 ．
【解答】解：设矩形的一边长为xcm，
∵长方形的周长为40cm，
∴宽为＝（20﹣x）（cm），
得x（20﹣x）＝64．
故答案为：x（20﹣x）＝64．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是 ．（保留π）
【解答】解：2×2÷3﹣﹣＝2﹣．
14．（3分）如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度CD为2m，则输水管的半径为 5 m．
【解答】解：由题意得：OD⊥AB，
∴AC＝AB＝，
设OA＝rm，则OC＝OD﹣CD＝（r﹣2）m，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OA3＝OC2+AC2，
即r6＝（r﹣2）2+52，
解得：r＝5，
即输水管的半径为8m，
故答案为：5．
15．（3分）将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA＝2，则点A的对应点A′的坐标为 （，﹣） ．
【解答】解：∵三角板绕原点O顺时针旋转75°，
∴旋转后OA与y轴夹角为45°，
∵OA＝2，
∴OA′＝2，
∴点A′的横坐标为2×＝，
纵坐标为﹣2×＝﹣，
所以，点A′的坐标为（，﹣）．
故答案为：（，﹣）．
16．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB＝2的长是 π ．
【解答】解：连接OA、OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB＝BC＝DC＝AD，
∴＝＝＝，
∴∠AOB＝×360°＝90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：5AO2＝（2）2，
解得：AO＝2，
∴劣弧的长为，
故答案为π．
三、解答题（共72分）
17．（8分）解方程
（1）（x+3）（x﹣1）＝5
（2）x（x+3）＝x+3
【解答】解：（1）方程整理为一般式得x2+2x﹣2＝0，
则（x+4）（x﹣7）＝0，
∴x+4＝6或x﹣2＝0，
解得x＝﹣3或x＝2；
（2）∵x（x+3）﹣（x+2）＝0，
∴（x+3）（x﹣5）＝0，
则x+3＝3或x﹣1＝0，
解得x＝﹣2或x＝1．
18．（6分）已知：关于x的方程x2+kx﹣2＝0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝k2﹣4×3×（﹣2）＝k2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：将x＝﹣1代入原方程，得：5﹣k﹣2＝0，
∴k＝﹣8．
设方程的另一个根为x1，
根据题意得：﹣1•x3＝﹣2，
∴x1＝3．
∴方程的另一个根为2，k值为﹣1．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（﹣3，5），C（﹣3，1）．
（1）在图中画出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90o后的图形△AB1C1，并写出B1、C1两点的坐标；
（2）在图中画出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并写出B2、C2两点的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：
B1（4，4），C1（0，5）；
（2）如图所示：
B2（3，﹣8），C2（3，﹣2）．
20．（8分）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 0.6 ；
（2）试估计口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
（3）请画树状图或列表计算：从中先摸出一个球，不放回，再摸出一个球
【解答】解：（1）根据图表给出的数据可得，当n很大时；
答案为：0.6；
（2）由（1）摸到白球的概率为6.6，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数是：5×6.6＝3（只），
黑颜色的球有4﹣3＝2（只）；
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中两只球颜色不同占12种，
所以两只球颜色不同的概率＝＝．
21．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，解决下列问题：
（1）关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为 ﹣1或3 ；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）当x为值时，y＜0；
（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，直接写出k的范围．
【解答】解：（1）观察图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x＝﹣1和x＝3两点，
∴方程的解为x7＝﹣1，x2＝6，
故答案为：﹣1或3；
（2）设抛物线解析式为y＝﹣（x﹣4）2+k，
∵抛物线与x轴交于点（3，8），
∴（3﹣1）8+k＝0，
解得：k＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣6）2+4，
即：抛物线解析式为y＝﹣x7+2x+3；
（3）若y＜3，则函数的图象在x轴的下方；
（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，则k＞4函数的最大值．
22．（8分）小区要用篱笆围成一个四边形花坛、花坛的一边利用足够长的墙，另三边所用的篱笆之和恰好为18米．围成的花坛是如图所示的四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．
（2）当x是多少时，四边形ABCD面积S最大？最大面积是多少？
【解答】解：（1）过点A作AE⊥CD于E，则∠AEC＝∠AED＝90°
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∵BC＝2AB．AB边的长为x米，
∴BC＝2x，
∵四边形ABCE是矩形，
∴AB＝CE＝x，BC＝AE＝6x，
∵三边所用的篱笆之和恰好为18米．
∴CD＝18﹣AB﹣BC＝18﹣3x，
∴S四边形ABCD＝S矩形ABCE+S△ADE
＝x•2x+DE•AE
＝2x7+（CD﹣CE）•AE
＝﹣4x2+18x；
（2）∵S＝﹣2x6+18x；
a＝﹣2＜0，
∴S有最大值，
当x＝﹣＝﹣＝时，
S最大＝＝．
23．（8分）如图，点D是等边△ABC中BC边的延长线上一点，且AC＝CD，分别交边AC、BC于点E、点F
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）连接OC，交⊙O于点G，若AB＝4围成的阴影部分的面积S．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC，
又∵AC＝CD，
∴AC＝BC＝CD，
∴△ABD为直角三角形，
∴AB⊥AD，
∵AB为直径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：连接OE，
∵OA＝OE，∠BAC＝60°，
∴△OAE是等边三角形，
∴∠AOE＝60°，
∵CB＝BA，OA＝OB，
∴CO⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠EOC＝30°，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴AO＝2，由勾股定理得：OC＝，
同理等边三角形AOE边AO上高是＝，
S阴影＝S△AOC﹣S等边△AOE﹣S扇形EOG＝＝．
24．（10分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元），销售量为36本；当销售单价为24元时
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
把（22，36）与（24，
解得：，
则y＝﹣2x+80；
（2）设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，
根据题意得：（x﹣20）y＝150，
则（x﹣20）（﹣5x+80）＝150，
整理得：x2﹣60x+875＝0，
（x﹣25）（x﹣35）＝3，
解得：x1＝25，x2＝35，
∵20≤x≤28，
∴x＝35（不合题意舍去），
答：每本纪念册的销售单价是25元；
（3）由题意可得：
w＝（x﹣20）（﹣4x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600
＝﹣8（x﹣30）2+200，
此时当x＝30时，w最大，
又∵售价不低于20元且不高于28元，
∴x＜30时，w随x的增大而增大，w最大＝﹣2（28﹣30）8+200＝192（元），
答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，请说明理由．
【解答】方法一：
解：（1）将A（﹣1，0），6），3）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，得：
，
解得：
∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3．
（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；
∵点A、B关于直线l对称，
∴PA＝PB，
∴BC＝PC+PB＝PC+PA
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（4，C（0，得：
，解得：
∴直线BC的函数关系式y＝﹣x+3；
当x＝1时，y＝3，2）．
（3）抛物线的对称轴为：x＝﹣＝8，m），0），3）
MA2＝m2+4，MC6＝（3﹣m）2+4＝m2﹣6m+10，AC2＝10；
①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：
m8+4＝m2﹣8m+10，得：m＝1；
②若MA＝AC，则MA2＝AC4，得：
m2+4＝10，得：m＝±；
③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：
m4﹣6m+10＝10，得：m1＝2，m2＝6；
当m＝3时，M、A、C三点共线，不合题意；
综上可知，符合条件的M点，）（1，﹣，1）（1．
方法二：
（1）∵A（﹣6，0），0），8），
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x5+2x+3．
（2）连接BC，
∵l为对称轴，
∴PB＝PA，
∴C，B，P三点共线时，把x＝4代入lBC：y＝﹣x+3，得P（1．
（3）设M（6，t），0），3），
∵△MAC为等腰三角形，
∴MA＝MC，MA＝AC，
（6+1）2+（t﹣8）2＝（1﹣3）2+（t﹣3）5，∴t＝1，
（1+5）2+（t﹣0）5＝（﹣1﹣0）8+（0﹣3）3，∴t＝±，
（1﹣5）2+（t﹣3）6＝（﹣1﹣0）3+（0﹣3）6，∴t1＝6，t8＝0，
经检验，t＝6时，M、A，故舍去，
综上可知，符合条件的点有8个，M1（1，），M2（1，﹣），M3（1，7），M4（1，7）．
追加第（4）问：若抛物线顶点为D，点Q为直线AC上一动点，求点Q的坐标．
（4）作点O关于直线AC的对称点O交AC于H，
作HG⊥AO，垂足为G，
∴∠AHG+∠GHO＝90°，∠AHG+∠GAH＝90°，
∴∠GHO＝∠GAH，
∴△GHO∽△GAH，
∴HG2＝GO•GA，
∵A（﹣1，7），3），
∴lAC：y＝3x+7，H（﹣，），
∵H为OO′的中点，
∴O′（﹣，），
∵D（1，4），
∴lO′D：y＝x+，lAC：y＝4x+3，
∴x＝﹣，y＝，
∴Q（﹣，）．
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日期：2021/12/9 15:27:28；用户：初中数学3；邮箱：jse034@xyh.com；学号：39024124
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