2021-2022学年度第一学期八年级数学第12章《全等三角形》12.3角的平分线的性质 期末复习练习卷（人教版）

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2021-2022学年度第一学期八年级数学第12章《全等三角形》12.3角的平分线的性质 期末复习练习卷（人教版）
一、单选题
1.如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D．用尺规作图法在BC边上找一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长，下列作法正确的是（  ）

A. 作∠BAC的角平分线与BC的交点
B. 作∠BDC的角平分线与BC的交点
C. 作线段BC的垂直平分线与BC的交点
D. 作线段CD的垂直平分线与BC的交点
2.如图，在 Rt△ABC 中， ∠C=90∘ ，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC,AB 于点 M,N ，再分别以点 M,N 为圆心，大于 12MN 的长为半径面弧，两弧交于点 P ，作射线 AP 交边 BC 于点 D ，若 CD=4,AB=14 ，则 △ABD 的面积是（  ）

A. 14                                        B. 28                                        C. 42                                        D. 56
3.如图， A ， B ， C 表示三个小城，相互之间有公路相连，现要在 △ABC 内建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址可以是（    ）．

A. 三边中线的交点处                                              B. 三条角平分线的交点处
C. 三边上的高交点处                                              D. 三边的中垂线的交点处
4.如图，已知∠AOB求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么做法的合理顺序是(    ).

①作射线OC；
②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；
③分别以D，E为圆心，大于 12 DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．
A. ①②③                                B. ②①③                                C. ②③①                                D. ③②①
5.如图，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是（　　）


A. AE、BF是△ABC的内角平分线                             B. CG也是△ABC的一条内角平分线
C. 点O到△ABC三边的距离相等                               D. AO=BO=CO
6.已知：如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，∠BCF的度数为（  ）
 
A. 40°                                       B. 50°                                       C. 55°                                       D. 60°
7.如图，点P到 BE 、 BD 、 AC 的距离恰好相等，则点P的位置：①在 ∠B 的平分线上；②在 ∠DAC 的平分线上；③在 ∠ECA 的平分线上；④恰好是 ∠B 、 ∠DAC 、 ∠ECA 三条平分线的交点．上述结论中，正确的个数有（   ）

A. 1 个                                     B. 2 个                                     C. 3 个                                     D. 4 个
8.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CQ与内角∠ABC的平分线BQ交于点Q，若∠BQC=36°，则∠CAQ的度数为（   ）

A. 54°                                       B. 62°                                       C. 72°                                       D. 75°
9.如图，已知点 P 到 BE，BD，AC 的距离恰好相等，则点 P 的位置：①在 ∠B 的平分线上；②在 ∠DAC 的平分线上；③在 ∠ACE 的平分线上；④恰在 ∠B，∠DAC，∠ECA 的平分线的交点处 .其中正确的有（   ）

A. 4个                                       B. 3个                                       C. 2个                                       D. 1个
10.如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有（   ）

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
二、填空题
11.如图，直线a、b、c分别表示相互交叉的马路，要建一个停车场要求到三条马路的距离相等，那么符合条件的修建点有________处.

12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为________.

13.如图，在Rt △ABC 中， ∠B=90° ，在边 AB 、 AC 上分别截取 AD ， AE ，使 AD=AE ，分别以D、E为圆心，以大于 12DE 的长为半径作弧，两弧在 ∠BAC 内交于点M，作射线 AM 交 BC 边于点F.若 FB=2 ，则点F到 AC 的距离为      .
 
14.如图,在平面直角坐标系中,在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA,OB,使OA＝OB;再分别以点A,B为圆心,以大于 12 AB长为半径作弧,两弧交于点C,若点C的坐标为(m－1,2n),则m与n的关系为m=      （用含n的代数式表示）。


15.如图， BD 是矩形 ABCD 的对角线，在 BA 和 BD 上分别截取 BE，BF ，使 BE＝BF ；分别以 E,F 为圆心，以大于 12EF 的长为半径作弧，两弧在 ∠ABD 内交于点 G ，作射线 BG 交 AD 于点 P ，若 AP=3 ，则点 P 到 BD 的距离为________.

三、解答题
16.已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°

（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线，交AC于点O；
（2）在（1）的条件下，若BC=3，AC=4，求点O到AB的距离。
17.近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作图确定P点的位置．

18.为了美化环境，某小区要在如图所示的三角形空地上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求：

①圆心在边BC上；
②该半圆面积最大．请你帮忙设计这一花坛．
 
19.如图，点P为 ∠ABC 和 ∠MAC 的平分线的交点．求证：点P在 ∠ACN 的平分线上．

20.已知如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上.

21.如图所示，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高，∠BAC＝80°，∠EAD＝10°，求∠B的度数

22.如图所示，AP、CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P ． 求证：BP为∠MBN的平分线．


答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】角平分线的性质，作图-角的平分线
【解析】【解答】根据题意可知，作∠BDC的平分线交BC于点P，如图，点P即为所求．

故答案为：B
【分析】根据角平分线的的性质，利用尺规作图作出∠BDC的平分线，交BC于一点，即为点P.
2.【答案】 B
【考点】角平分线的性质，作图-角的平分线
【解析】【解答】解：作DH⊥AB于H，
由题中作法得AP平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH＝DC＝4，
∴S△ABD＝ 12 ×14×4＝28，
故答案为：B．

【分析】作DH⊥AB于H，利用基本作图得到AP平分∠BAC，则根据角平分线的性质定理得到DH＝DC＝4，然后根据三角形面积公式计算S△ABD ．
3.【答案】 B
【考点】角平分线的性质，作图-角的平分线
【解析】【解答】由题意，作出三个内角的平分线，三条角平分线交于一点P，根据角平分线的性质可知点P到 △ABC 三边的距离相等，则点P为所求．
故答案为： B．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知：货物中转站到三条公路的距离相等，这个点是三角形三条角平分线的交点，只需作出两个角的平分线，其交点即为所求。
4.【答案】 C
【考点】角平分线的性质，作图-角的平分线
【解析】【解答】根据用尺规作角平分线的步骤可知，应按以下步骤作角平分线：②；③；①.
故答案为：C.
【分析】根据用尺规作角平分线的步骤可知，应该先确定点C的位置，再作射线OC，故选C.
5.【答案】 D
【考点】角平分线的性质，作图-角的平分线
【解析】【解答】解：A、AE、BF是△ABC的内角平分线，此选项正确，不合题意；

B、CG也是△ABC的一条内角平分线，此选项正确，不合题意；
C、点O到△ABC三边的距离相等，此选项正确，不合题意；
D、无法得到AO=BO=CO，此选项错误，符合题意．
故选：D．
【分析】利用角平分线的性质以及角平分线的作法得出即可．
6.【答案】 B
【考点】角平分线的性质，角平分线的判定
【解析】【解答】解：作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，

∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，
∴FZ=FW，
同理FW=FY，
∴FZ=FY．
∵FZ⊥AE，FY⊥CB，
∴∠FCZ=∠FCY，
∵∠AFB=40°，
∴∠ACB=80°，
∴∠ZCY=100°，
∴∠BCF=50°．
故答案为：B．
【分析】作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，根据角平分线的性质可得FZ=FW=FY，根据角平分线的判定可得∠FCZ=∠FCY，据此即可求出结论.
7.【答案】 D
【考点】角平分线的性质，角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵点P到BE ， BD的距离相等，∴点P在∠B的平分线上，故①符合题意；
∵点P到BD、AC的距离相等，∴点P在∠DAC的平分线上，故②符合题意；
∵点P到BE、AC的距离相等，∴点P在∠ECA的平分线上，故③符合题意；
∵点P到BE、BD、AC的距离都相等，∴恰好是∠B、∠DAC、∠ECA三条平分线的交点，故④符合题意；
综上可得①②③④都符合题意．
故答案为：D ．
【分析】利用平分线性质的逆定理分析，由已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等进行思考。首先到两边距离相等，得出结论，另外两边得出结论，即可得出答案。
8.【答案】 A
【考点】角平分线的性质，角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵∠ACD的平分线CQ与内角∠ABC的平分线BQ交于点Q，
∴∠ACD=2∠QCD，∠ABC=2∠QBC，
∴∠BAC=∠ACD－∠ABC=2∠QCD－2∠QBC=2（∠QCD－∠QBC）=2∠BQC=72°，
延长BA至点E，过点Q作QF⊥BD，QG⊥AC，QH⊥BE，垂足分别为F、G、H，如图，则∠CAE=108°，
       
∵CQ平分∠ACD，BQ平分∠ABC，
∴QF=QG，QF=QH，
∴QG=QH，
∴AQ是∠CAE的平分线，
∴∠CAQ= 12 ∠CAE=54°.
故答案为：A.
【分析】利用角平分线的定义易证∠ACD=2∠QCD，∠ABC=2∠QBC，根据∠BAC=∠ACD－∠ABC，可求出∠BAC的度数；延长BA至点E，过点Q作QF⊥BD，QG⊥AC，QH⊥BE，垂足分别为F、G、H，就可求出∠CAE的度数，利用角平分线的性质及判定证明AQ是∠CAE的平分线，由此可求出∠CAQ的度数。
9.【答案】 A
【考点】角平分线的性质，角平分线的判定
【解析】【解答】解：连接AP，PC，BP,过点P作PH⊥BD于点H，PG⊥BE于点G，PM⊥AC于点M，

∵点P到BE，DE，AC的距离相等，
∴PH=PM=PG
∴AP平分∠DAC，故②正确；
∴BP平分∠ABC，故①正确；
∴PC平分∠ACE，故③正确；
∴点P是∠B，∠DAC，∠ECA的平分线的交点处.
一共有4个正确的结论.
故答案为：A.
【分析】连接AP，PC，BP,过点P作PH⊥BD于点H，PG⊥BE于点G，PM⊥AC于点M，由已知可证得PH=PM=PG，利用到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可对①②③④作出判断。
10.【答案】 D
【考点】角平分线的性质，角平分线的判定
【解析】【解答】解：由角平分线性质的逆定理，
∵已知点P到BE，BD的距离相等
∴点P在∠B的平分线上；
∵点P到BD，AC的距离相等
∴点P在∠DAC的平分线上
∵点P到BE， AC的距离相等
∴点P在∠ECA的平分线上
∴点P恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点，
可得①②③④都正确.
故答案为：D.
【分析】利用平分线的判定进行分析.由已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等进行思考，首先到到两边距离相等，得出结论，然后另外两边再得结论，如此这样，答案可得
二、填空题
11.【答案】 4
【考点】角平分线的性质，作图-角的平分线
【解析】【解答】解：如图所示，可供选择的地址有4个.

故答案为：4.
【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个.
12.【答案】 2
【考点】角平分线的性质，作图-角的平分线
【解析】【解答】解：如图，作DP′⊥AB于P′，

则此时DP′最小，即PD最小，
由尺规作图可知，AD平分∠CAB，又∠C＝90°，DP′⊥AB，
∴DP′＝CD＝2，
∴PD的最小值为2，
故答案为：2.
【分析】作DP′⊥AB于P′，根据垂线段最短得到此时PD最小，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等解答即可.
13.【答案】 2
【考点】角平分线的性质，作图-角的平分线
【解析】【解答】解：根据作图过程可知：
AF平分∠BAC，
过点F作FG⊥AC，

∵∠B＝90°，
∴FB⊥AB，
∴FG＝FB＝2.
∴点F到AC的距离为2.
故答案为：2.
【分析】过点F作FG⊥AC，利用作图可知AF平分∠BAC，利用角平分线的性质可求出FG的长，由此可求解.
14.【答案】 2n+1
【考点】点的坐标，角平分线的性质，作图-角的平分线
【解析】【解答】解：根据题意得：

点C到x轴和y轴的距离相等，
∴m-1=2n,
即m=2n+1。
【分析】根据作图的步骤可以确定OC是第一象限的角平分线，根据角平分线性质定理可知点C到x、y轴的距离相等，由此可以解决问题。
15.【答案】 3
【考点】角平分线的性质，作图-角的平分线
【解析】【解答】解：结合作图的过程知： BP 平分 ∠ABD ，
∵∠A＝90°，AP＝3，
∴ 点 P 到 BD 的距离等于 AP 的长，为 3 。
故答案为： 3 。
【分析】根据尺规作图的过程可知：BP 平分 ∠ABD ，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出点 P 到 BD 的距离等于 AP 的长，从而得出答案。
三、解答题
16.【答案】 （1）如图1，BO为所求作的角平分线


（2）如图2，过点O作OD⊥AB于点D，

∵∠ACB=90°，由（1）知BO平分∠ABC，
∴OC=OD，BD=BC。
∵AC=4，BC=3
∴AB=5，BD=3，AD=2
设CO=x，则AO=4-x，OD=x
在Rt△AOD中， (4−x)2=x2+4 ，得 x=32 ，
即点O到AB的距离为 32
【考点】角平分线的性质，勾股定理，作图-角的平分线
【解析】【分析】(1)以点B为圆心，任意长度为半径画弧，交BA,BC于以点，再分别以这两个交点为圆心，大于12这两交点间的距离的长度为半径，画弧，两弧在角内交于一点，过B点及这点，作射线BO交AC于点哦，BO就是所求的∠ABC的平分线；（2）过点O作OD⊥AB于点D，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出OC=OD，BD=BC=3。根据勾股定理得出AB的长，进而得出AD的长， 设CO=x，则AO=4-x，OD=x，在Rt△AOD中，利用勾股定理得出方程，求解得出答案。
17.【答案】 解： ①画出角平分线；
②作出垂直平分线．
交点P即满足条件．

【考点】角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作图-角的平分线，作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】到两公路距离相等，即点P在两条公路夹角的角平分线上，张、李两村的距离相等，即点P在张、李两个村连线的垂直平分线上，由此作角平分线和线段的垂直平分线，交点即为点P.
18.【答案】 解：如图所示：


【考点】角平分线的性质，切线的判定，作图-角的平分线
【解析】【分析】作∠A的角平分线AD交BC于点O，以点O为圆心，点O到AC的距离OD为半径画半圆，此时半圆和AC，AB都相切，则该半圆面积最大．

19.【答案】 证明：如图，过点P作 PE⊥BM 于点E， PF⊥AC 于点F， PG⊥CN 于点G，

∵点P为 ∠ABC 和 ∠MAC 的平分线的交点，
∴ PE=PF ， PE=PG ，∴ PF=PG ，
∴点P在 ∠ACN 的平分线上．
【考点】角平分线的性质，角平分线的判定
【解析】【分析】要证明点P在∠ACN的平分线上，只需要证明点P到AC与CN的距离相等即可，可以分别作出点P到BM，AC，CN的垂线，结合题意证明即可。
20.【答案】 解：过点F分别作AE、BC、AD的垂线FP、FM、FN，P、M、N为垂足，

∵CF是∠BCE的平分线，
∴FP=FM.
同理：FM=FN.
∴FP=FN.
∴点F在∠DAE的平分线上.
【考点】角平分线的性质，角平分线的判定
【解析】【分析】过点F分别作AE、BC、AD的垂线FP、FM、FN，P、M、N为垂足，再利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得FP=FM，FM=FN，由此可推出FP=FN，即可证得结论.
21.【答案】 解：∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∵AE是角平分线，∠BAC＝80°，
∴∠CAE＝ 12 ∠BAC＝40°，
∵∠EAD＝10°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠C＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝40°．
故答案为40°．
【考点】三角形内角和定理，角平分线的性质，角平分线的判定
【解析】【分析】根据垂直的含义，即可得到∠ADC=90°，继而由角平分线的定义求出∠CAE的度数，根据三角形的内角和得到结论即可。
22.【答案】 解：过点P作PD⊥MB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BN于点F，如图所示：

∵AP平分∠MAC，
∴PE=PD，
同理可证：PE=PF，
∴PD=PE=PF，
∴BP平分∠MBN．
【考点】角平分线的性质，角平分线的判定
【解析】【分析】过点P作PD⊥MB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BN于点F，然后易得PE=PD=PF，进而根据角平分线的判定定理可求证．