第35讲 利用传统方法解决立体几何中的角度与距离问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练

第35讲 利用传统方法解决立体几何中的角度与距离问题

一．解答题（共35小题）

1．（2021•浙江模拟）如图，中，，，现将以为轴旋转，将点旋转至点，使得．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求与面所成角的正弦值．

2．（2021•南开区期中）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，．，．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求的长，若不存在，请说明理由．

3．（2021•浙江模拟）已知多面体中，，均垂直于平面，，，，是的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

4．（2021春•湖北期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，是线段上的动点．

（1）若是线段中点时，证明：平面；

（2）若直线与底面所成角的正弦值为，且三棱锥的体积为，请确定点的位置，并说明理由．

5．（2021•丹东二模）如图，在四棱锥中，底面四边形是菱形，点在线段上，平面．

（1）证明：点为线段中点；

（2）已知平面，，点到平面的距离为1，四棱锥的体积为，求．

6．（2021•嵊州市二模）如图，已知四棱锥，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．

证明：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

7．（2021•邢台月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形．

（1）证明：平面平面．

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

8．（2021•台州期末）如图，在四棱锥中，，是以为斜边的等腰直角三角形，底面为直角梯形，，，，为线段的中点．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的大小．

9．（2021春•上虞区期末）如图，四棱锥中，，是以为底的等腰直角三角形，，为中点，且．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

10．（2021•浙江月考）如图，在三棱台中，平面平面，，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．

11．（2021•杭州期中）如图，三棱台中，，，四边形为等腰梯形，，平面平面．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

12．（2021•沙坪坝区校级期中）如图，棱长为2的正方体中，已知点，，分别是棱，，的中点．

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求异面直线和所成角的余弦值．

13．（2021春•杨浦区期中）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱、的中点．

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）连接，与交于点，点在线段上移动．求证与保持垂直；

（3）已知点是直线上一点，过直线和点的平面交平面于直线，试根据点的不同位置，判断直线与直线的位置关系，并证明你的结论．

14．（2013•温州一模）如图，已知平面与直线均垂直于所在平面，且，

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若平面，求与平面所成角的正弦值．

15．（2021•湖南校级模拟）如图，已知平面与直线均垂直于所在平面，且．

（1）求证：平面；

（2）若平面，求二面角的钝二面角的余弦值．

16．（2013春•天心区校级月考）在空间几何体中，平面，平面平面，，．

（1）求证：平面；

（2）若平面，试比较三棱锥与的体积的大小，并说明理由．

17．（2015•红桥区二模）如图，已知平面，平面，且．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

18．（2021•通州区一模）如图所示的几何体中，平面平面，是直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，，．

求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

19．如图，已知矩形所在平面外一点，平面，、、分别是、、的中点，，

（1）求证：平面；

（2）求证，，且；

（3）求直线与所成的角；

（4）求直线与平面所成的角；

（5）求平面与平面所成的角．

20．（2021•五华区校级模拟）如图所示的几何体中，正方形所在平面垂直于平面，四边形为平行四边形，为上一点，且平面，．

（1）求证：平面平面；

（2）当三棱锥体积最大时，求直线与平面所成角的正切值．

21．如图，已知点是三角形所在平面外一点，且，截面分别平行于，（点，，，分在棱，，，上）

（1）求证：四边形是平行四边形且周长为定值；

（2）设与所成角为，求四边形的面积的最大值．

22．（2021•浙江模拟）如图，在四棱锥中，，．．是的重心，底面．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

23．（2021春•浙江期末）如图．在四棱锥中，，，平面，且，，，、分别为棱，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

24．（2021•全国模拟）如图，在四棱锥中，，，平面，，为上的动点．

（Ⅰ）当为的中点时，在棱上是否存在点，使得平面？说明理由；

（Ⅱ）的面积最小时，求三棱锥的体积．

25．（2021•浙江模拟）如图，已知三棱锥中，平面平面，，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值．

26．如图所示，已知三棱锥中，，，，为的中点，且是正三角形，．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的正弦值．

（3）若为的中点，求三棱锥的体积．

27．（2021秋•荔湾区校级期末）如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，且．

（1）证明：平面平面；

（2）若直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．

28．（2021•澄海区校级月考）已知四棱锥中，平面，且，底面是边长为的菱形，．

（1）求证：平面平面；

（2）设与交于点，为中点，若二面角的正切值是，求的值．

29．（2021•温州模拟）在四棱锥中，，，，底面是梯形，，，，．

求证：；

求直线与平面所成角的大小．

30．（2015秋•临海市校级月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正切值．

31．（2014•滨州一模）在四棱锥中，平面，，，．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若二面角的大小为，求的值．

32．（2021•义乌市模拟）如图1，平行四边形中，，在的延长线上取一点，使得；现将沿翻折到图2中△的位置，使得．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与面所成角的正弦值．

33．（2021•浙江模拟）如图，在四棱锥中，，分别是，的中点，，，，，，，，．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

34．（2021•浙江模拟）已知直角梯形，，，，为的中点，将沿翻折至．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值．

35．（2021•浙江二模）已知三棱柱，是正三角形，四边形是菱形且，是的中点，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．