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江苏省南通市如皋市开发区2021-2022学年八年级上学期调研数学试卷（word版 含答案）
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这是一份江苏省南通市如皋市开发区2021-2022学年八年级上学期调研数学试卷（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省南通市如皋市开发区八年级第一学期调研数学试卷
一、选择题。（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填在相应位置上）
1．如图为某小区分类垃圾桶上的标识，其图标部分可以看作轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．（a3）2＝a5
C．（2ab2）3＝6a3b6 D．3a2÷4a2＝a
3．下列因式分解变形正确的是（ ）
A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a） B．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2
C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2） D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）
4．一种病毒的长度约为0.000043mm，用科学记数法表示数0.000043正确的是（ ）
A．4.3×105 B．0.43×10﹣4 C．4.3×10﹣5 D．43×10﹣4
5．将分式中的a、b都扩大到3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．扩大6倍
6．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（ ）
A．HL B．SAS C．ASA D．SSS
7．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
8．已知m2+n2＝n﹣m﹣2，则﹣的值等于（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣
9．把代数式（a﹣1）中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝30°，D为AB的中点，P为CD上一点，E为BC延长线上一点，且PA＝PE．有下列结论：①∠PAD+∠PEC＝30°；②△PAE为等边三角形；③PD＝CE﹣CP；④S四边形AECP＝S△ABC．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④
二、填空题。（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上）
11．若有意义，则x的取值范围是 ．
12．已知点A的坐标为（﹣2，﹣3），则点A关于x轴对称的点的坐标为 ．
13．如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为 ．
14．化简：（﹣2a﹣3）﹣2（bc﹣1）3＝ ．（结果只含有正整数指数的形式）
15．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”．如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 ．
16．已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围是 ．
17．李明的作业本上有六道题：①，②，③，④＝±2，⑤，⑥，请你找出他做对的题是 ．（填序号）
18．如图，等边△ABC的边长为6，AD是高，F是边AB上一动点，E是AD上一动点，则BE+EF的最小值为 ．
三、解答题。（本大题共8小题，共64分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明或演算步骤）
19．（16分）计算与化简：
（1）；
（2）；
（3）（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2；
（4）．
20．分解因式：
（1）；
（2）a2（x﹣1）+b2（1﹣x）．
21．（1）解方程：．
（2）先化简÷（x），然后从＜x的范围内选取一个喜欢的整数代入求值．
22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；
（2）在图2中，若BA＝BD，画出△ABD的∠ABD的角平分线．
23．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝2cm．
（1）求AC的长；
（2）求S△ABC．
24．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树1080棵．由于志愿者的支援，实际每天种树的棵数比原计划每天多50%，结果比原计划提前4天完成，并且多种树60棵，原计划每天种树多少棵？
25．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
26．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM＝ 度；
（2）设直线BE与直线AM的交点为O．
①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；
②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．
参考答案
一、选择题。（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填在相应位置上）
1．如图为某小区分类垃圾桶上的标识，其图标部分可以看作轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
解：第一个图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
第二个不是轴对称图形，故此选项不合题意；
第三个是轴对称图形，故此选项符合题意；
第四个不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．（a3）2＝a5
C．（2ab2）3＝6a3b6 D．3a2÷4a2＝a
【分析】直接利用整式的除法运算法则、同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
解：A、a2•a3＝a5，故此选项正确；
B、（a3）2＝a6，故此选项错误；
C、（2ab2）3＝8a3b6，故此选项错误；
D、3a2÷4a2＝，故此选项错误；
故选：A．
3．下列因式分解变形正确的是（ ）
A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a） B．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2
C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2） D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）
【分析】A提取公因式，B、C利用公式，D利用十字相乘法，先分解因式，再判断对错．
解：∵选项A提取公因式不彻底，2a2﹣4a＝2a（a﹣2），故A错误；
a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故选项B正确；
﹣a2+4＝﹣（a2﹣4）＝﹣（a+2）（a﹣2）≠（a+2）（a﹣2），故选项C错误；
a2﹣5a﹣6＝（a﹣6）（a+1）≠（a﹣2）（a﹣3），故选项D错误．
故选：B．
4．一种病毒的长度约为0.000043mm，用科学记数法表示数0.000043正确的是（ ）
A．4.3×105 B．0.43×10﹣4 C．4.3×10﹣5 D．43×10﹣4
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.000043＝4.3×10﹣5，
故选：C．
5．将分式中的a、b都扩大到3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．扩大6倍
【分析】把分式中的分子，分母中的a，b都同时变成原来的3倍，就是用3a，3b分别代替式子中的a，b，看得到的式子与原式子的关系．
解：如果把分式中的a和b都扩大3倍，则原式＝＝3×，
所以分式的值扩大3倍，
故选：B．
6．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（ ）
A．HL B．SAS C．ASA D．SSS
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：BC＝CD，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD（对顶角相等），
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：C．
7．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解
解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．
故选：A．
8．已知m2+n2＝n﹣m﹣2，则﹣的值等于（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣
【分析】把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式，得到m，n的值，代入求值即可．
解：由m2+n2＝n﹣m﹣2，得
（m+2）2+（n﹣2）2＝0，
则m＝﹣2，n＝2，
∴﹣＝﹣﹣＝﹣1．
故选：C．
9．把代数式（a﹣1）中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
【分析】根据二次根式的概念和性质化简即可．
解：（a﹣1）＝﹣（1﹣a）＝﹣．
故选：A．
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝30°，D为AB的中点，P为CD上一点，E为BC延长线上一点，且PA＝PE．有下列结论：①∠PAD+∠PEC＝30°；②△PAE为等边三角形；③PD＝CE﹣CP；④S四边形AECP＝S△ABC．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④
【分析】连接BP，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求∠PEA＝∠PAE＝60°，可判断②；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，由“SAS”可证△P′AC≌△∠EAC，作点P关于AB的对称点P′，连接P′A，P′D，根据对称性质即可判断③；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，由三角形的面积的和差关系可判断④．
解：如图，连接BP，
∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴CD是AB的中垂线，
∴AP＝BP，且AP＝PE，
∴AP＝PB＝PE
∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，
∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，
∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
故①正确；
∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA，
∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
∴∠PAE＝∠PEA＝60°，
∴△PAE是等边三角形，
故②正确；
如图，作点P关于AB的对称点P′，连接P′A，P′D，
∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，
∵△PAE是等边三角形，
∴AE＝AP，
∴AE＝AP′，
∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，
∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，
∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，
∴∠P′AC＝∠EAC，
∵AC＝AC，
∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），
∴CP′＝CE，
∵点P、P′关于AB对称，即PP′⊥AB，且PD＝P′D，
∵CD⊥AB，
∴C、P、D、P′共线，
∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，
∴PD＝（CE﹣CP）．
故③错误；
过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，
∵CG＝CP，∠BCD＝60°，
∴△CPG是等边三角形，
∴∠CGP＝∠PCG＝60°，
∴∠ECP＝∠GPB＝120°，
又∵EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，
∴△MCE≌△BGE（AAS），
∴CE＝GB，
∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，
∵∠ABC＝30°，AF⊥BM，
∴AF＝AB＝AD，
∵S△ACB＝CB×AF＝（EC+CP）×AF＝EC×AF+CP×AD＝S四边形AECP，
∴S四边形AECP＝S△ABC．故④正确．
所以其中正确的结论是①②④．
故选：C．
二、填空题。（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上）
11．若有意义，则x的取值范围是 x≥﹣3且x≠2 ．
【分析】根据当a≥0时，有意义，负整数指数幂的底数不能为0，解答即可．
解：由题意得：x+3≥0且x﹣2≠0，
解得：x≥﹣3且x≠2，
故答案为：x≥﹣3且x≠2．
12．已知点A的坐标为（﹣2，﹣3），则点A关于x轴对称的点的坐标为 （﹣2，3） ．
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．
解：∵点A的坐标为（﹣2，﹣3），
∴点A关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
13．如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为 a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ．
【分析】根据图形可以得到：两个正方形的面积和有两种计算方法，一种是根据正方形的面积等于边长的平方计算；另一种方法是图形中大正方形面积减去两个长方形的面积的和，即可得到等式．
解：①两个阴影部分正方形的面积和为：a2+b2，
②两个阴影部分正方形的面积和为：（a+b）2﹣2ab，
∴可以得到等式a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．
14．化简：（﹣2a﹣3）﹣2（bc﹣1）3＝ ．（结果只含有正整数指数的形式）
【分析】根据幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂即可得出答案．
解：原式＝（﹣2）﹣2a6b3c﹣3
＝a6b3•
＝，
故答案为：．
15．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”．如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 18°或36° ．
【分析】根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，可得另两个角的和为72°，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，72°÷（1+3）＝18°，由此比较得出答案即可．
解：当108°的角是另一个内角的3倍时，最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，
当180°﹣108°＝72°的角是另一个内角的3倍时，最小角为72°÷（1+3）＝18°，
因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为36°或18°．
故答案为：18°或36°．
16．已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围是 m＞﹣6且m≠﹣4 ．
【分析】首先求出关于x的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取值范围．
解：解关于x的方程得x＝m+6，
∵x﹣2≠0，解得x≠2，
∵方程的解是正数，
∴m+6＞0且m+6≠2，
解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．
故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．
17．李明的作业本上有六道题：①，②，③，④＝±2，⑤，⑥，请你找出他做对的题是 ① ．（填序号）
【分析】根据立方根的性质判断①；根据负数没有算术平方根判断②；根据＝|a|判断③；根据算术平方根的定义判断④；根据负整数指数幂判断⑤；根据二次根式的加减判断⑥．
解：＝﹣，故①符合题意；
﹣4没有算术平方根，故②不符合题意；
＝|﹣2|＝2，故③不符合题意；
＝2，故④不符合题意；
4m﹣2＝，故⑤不符合题意；
与的被开方数不相同，不能合并，故⑥不符合题意；
故答案为：①．
18．如图，等边△ABC的边长为6，AD是高，F是边AB上一动点，E是AD上一动点，则BE+EF的最小值为 ．
【分析】过C点作CF⊥AB交AB于F，交AD于E，连接BE，BE+EF的最小值为CF，求出CF即可．
解：过C点作CF⊥AB交AB于F，交AD于E，连接BE，
∵AD是等边三角形ABC的高，
∴BE＝CE，
∴BE+EF＝CE+EF≥CF，
∴BE+EF的最小值为CF，
∵BC＝6，AB＝6，
∴BF＝3，
∴CF＝＝＝3，
∴BE+EF的最小值为3，
故答案为：3．
三、解答题。（本大题共8小题，共64分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明或演算步骤）
19．（16分）计算与化简：
（1）；
（2）；
（3）（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2；
（4）．
【分析】（1）先化简各数，再去括号计算即可；
（2）先计算乘方，再算乘除即可得答案；
（3）先用平方差公式和完全平方公式，再去括号合并同类项；
（4）先化简各数，再合并同类二次根式即可．
解：（1）原式＝1﹣（）﹣
＝1﹣+1﹣
＝﹣；
（2）原式＝
＝；
（3）原式＝a2﹣4b2﹣（a2﹣4ab+4b2）
＝a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2
＝4ab﹣8b2；
（4）原式＝
＝．
20．分解因式：
（1）；
（2）a2（x﹣1）+b2（1﹣x）．
【分析】（2）先提取，然后再利用完全平方公式继续分解即可；
（2）先提取公因式，然后再利用平方差公式继续分解．
解：（1）（1）
＝（x2﹣2x+1）
＝（x﹣1）2；
（2）a2（x﹣1）+b2（1﹣x）
＝a2（x﹣1）﹣b2（x﹣1）
＝（x﹣1）（a2﹣b2）
＝（x﹣1）（a+b）（a﹣b）．
21．（1）解方程：．
（2）先化简÷（x），然后从＜x的范围内选取一个喜欢的整数代入求值．
【分析】（1）先去分母，再去括号，合并同类项后即可求方程的解，最后对所求的根进行检验即可；
（2）先因式分解，再运算，根据分式的意义，找出符合条件的x值进行代入即可．
解：（1），
x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3，
x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，
x＝1，
经检验，x＝1是方程的增根，
∴原分式方程无解；
（2）÷（x）
＝
＝
＝，
∵＜x，且x是整数，x≠0，x≠±2，
∴x只能取1，﹣1，
当x＝1时，原式＝，
当x＝﹣1时，原式＝1．
22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；
（2）在图2中，若BA＝BD，画出△ABD的∠ABD的角平分线．
【分析】（1）连接DE，CE，CE交BD于F，利用BE＝CD，BE∥CD，则可判断四边形BCDE为平行四边形，所以BF＝DF，则AF满足条件；
（2）连接DE，CE，CE交BD于F，连接AF交DE于O点，再延长BO交AD于G，通过证明OA＝OD可得到AG垂直平分AD，利用等腰三角形的性质可判断BG满足条件．
解：（1）如图1，AF为所作；
（2）如图2，BG为所作．
23．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝2cm．
（1）求AC的长；
（2）求S△ABC．
【分析】（1）在Rt△ABD中，根据AB＝2cm，求出AD的长、BD的长；
（2）在△ABC中，利用三角形的面积公式解答．
解：（1）在Rt△ABD中，AB＝2cm，
AD＝2sin60°＝2×＝cm，
BD＝2cos60°＝2×＝1cm，
在Rt△ADC中，CD＝AD＝cm，
∴AC＝＝cm．
（2）在△ABC中，
BD+CD＝（1+）cm，
则（1+）××＝cm．
24．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树1080棵．由于志愿者的支援，实际每天种树的棵数比原计划每天多50%，结果比原计划提前4天完成，并且多种树60棵，原计划每天种树多少棵？
【分析】设原计划每天种树x棵，则实际每天种树（1+50%）x棵，由题意：某村计划在荒坡上种树1080棵．由于志愿者的支援，实际每天种树的棵数比原计划每天多50%，结果比原计划提前4天完成，并且多种树60棵，列出分式方程，解方程即可．
解：设原计划每天种树x棵，则实际每天种树（1+50%）x棵，
由题意得：，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天种树80棵．
25．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AF，利用SAS证明△ABC≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF＝BC；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，那么∠FAG＝50°．由△ABC≌△AEF，得出∠F＝∠C＝28°，再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC＝∠FAG+∠F＝78°．
【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAF．
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC＝AF．
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF＝BC；
（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，
∴∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，
∴∠FAG＝∠BAE＝50°．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F＝∠C＝28°，
∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝50°+28°＝78°．
26．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD ＝ BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM＝ 30 度；
（2）设直线BE与直线AM的交点为O．
①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；
②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．
【分析】（1）根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC，则AD＝BE；根据等边三角形的性质可以直接得出∠CAM的度数；
（2）①根据等边三角形的性质就可以得出AC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由等式的性质就可以∠BCE＝∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；
②分两种情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE＝∠CAD＝30°而得出结论．
解：（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°
∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ADC和△BEC中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°．
∵线段AM为BC边上的中线
∴∠CAM＝∠BAC，
∴∠CAM＝30°．
故答案为：＝，30；
（2）①AD＝BE，
理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形
∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵∠ACD＝∠ACB+∠DCB，∠BCE＝∠DCE+∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE．
②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，
理由如下：
当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，
又∠ABC＝60°，
∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，
∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线
∴AM平分∠BAC，即，
∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．
当点D在线段AM的延长线上时，如图2，
∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°
∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE
∴∠ACD＝∠BCE
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CBE＝∠CAD＝30°，
同理可得：∠BAM＝30°，
∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．
2021-2022学年江苏省南通市如皋市开发区八年级第一学期调研数学试卷
一、选择题。（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填在相应位置上）
1．如图为某小区分类垃圾桶上的标识，其图标部分可以看作轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．（a3）2＝a5
C．（2ab2）3＝6a3b6 D．3a2÷4a2＝a
3．下列因式分解变形正确的是（ ）
A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a） B．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2
C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2） D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）
4．一种病毒的长度约为0.000043mm，用科学记数法表示数0.000043正确的是（ ）
A．4.3×105 B．0.43×10﹣4 C．4.3×10﹣5 D．43×10﹣4
5．将分式中的a、b都扩大到3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．扩大6倍
6．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（ ）
A．HL B．SAS C．ASA D．SSS
7．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
8．已知m2+n2＝n﹣m﹣2，则﹣的值等于（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣
9．把代数式（a﹣1）中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝30°，D为AB的中点，P为CD上一点，E为BC延长线上一点，且PA＝PE．有下列结论：①∠PAD+∠PEC＝30°；②△PAE为等边三角形；③PD＝CE﹣CP；④S四边形AECP＝S△ABC．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④
二、填空题。（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上）
11．若有意义，则x的取值范围是 ．
12．已知点A的坐标为（﹣2，﹣3），则点A关于x轴对称的点的坐标为 ．
13．如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为 ．
14．化简：（﹣2a﹣3）﹣2（bc﹣1）3＝ ．（结果只含有正整数指数的形式）
15．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”．如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 ．
16．已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围是 ．
17．李明的作业本上有六道题：①，②，③，④＝±2，⑤，⑥，请你找出他做对的题是 ．（填序号）
18．如图，等边△ABC的边长为6，AD是高，F是边AB上一动点，E是AD上一动点，则BE+EF的最小值为 ．
三、解答题。（本大题共8小题，共64分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明或演算步骤）
19．（16分）计算与化简：
（1）；
（2）；
（3）（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2；
（4）．
20．分解因式：
（1）；
（2）a2（x﹣1）+b2（1﹣x）．
21．（1）解方程：．
（2）先化简÷（x），然后从＜x的范围内选取一个喜欢的整数代入求值．
22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；
（2）在图2中，若BA＝BD，画出△ABD的∠ABD的角平分线．
23．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝2cm．
（1）求AC的长；
（2）求S△ABC．
24．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树1080棵．由于志愿者的支援，实际每天种树的棵数比原计划每天多50%，结果比原计划提前4天完成，并且多种树60棵，原计划每天种树多少棵？
25．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
26．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM＝ 度；
（2）设直线BE与直线AM的交点为O．
①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；
②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．
参考答案
一、选择题。（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填在相应位置上）
1．如图为某小区分类垃圾桶上的标识，其图标部分可以看作轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
解：第一个图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
第二个不是轴对称图形，故此选项不合题意；
第三个是轴对称图形，故此选项符合题意；
第四个不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．（a3）2＝a5
C．（2ab2）3＝6a3b6 D．3a2÷4a2＝a
【分析】直接利用整式的除法运算法则、同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
解：A、a2•a3＝a5，故此选项正确；
B、（a3）2＝a6，故此选项错误；
C、（2ab2）3＝8a3b6，故此选项错误；
D、3a2÷4a2＝，故此选项错误；
故选：A．
3．下列因式分解变形正确的是（ ）
A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a） B．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2
C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2） D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）
【分析】A提取公因式，B、C利用公式，D利用十字相乘法，先分解因式，再判断对错．
解：∵选项A提取公因式不彻底，2a2﹣4a＝2a（a﹣2），故A错误；
a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故选项B正确；
﹣a2+4＝﹣（a2﹣4）＝﹣（a+2）（a﹣2）≠（a+2）（a﹣2），故选项C错误；
a2﹣5a﹣6＝（a﹣6）（a+1）≠（a﹣2）（a﹣3），故选项D错误．
故选：B．
4．一种病毒的长度约为0.000043mm，用科学记数法表示数0.000043正确的是（ ）
A．4.3×105 B．0.43×10﹣4 C．4.3×10﹣5 D．43×10﹣4
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.000043＝4.3×10﹣5，
故选：C．
5．将分式中的a、b都扩大到3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．扩大6倍
【分析】把分式中的分子，分母中的a，b都同时变成原来的3倍，就是用3a，3b分别代替式子中的a，b，看得到的式子与原式子的关系．
解：如果把分式中的a和b都扩大3倍，则原式＝＝3×，
所以分式的值扩大3倍，
故选：B．
6．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（ ）
A．HL B．SAS C．ASA D．SSS
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：BC＝CD，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD（对顶角相等），
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：C．
7．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解
解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．
故选：A．
8．已知m2+n2＝n﹣m﹣2，则﹣的值等于（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣
【分析】把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式，得到m，n的值，代入求值即可．
解：由m2+n2＝n﹣m﹣2，得
（m+2）2+（n﹣2）2＝0，
则m＝﹣2，n＝2，
∴﹣＝﹣﹣＝﹣1．
故选：C．
9．把代数式（a﹣1）中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
【分析】根据二次根式的概念和性质化简即可．
解：（a﹣1）＝﹣（1﹣a）＝﹣．
故选：A．
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝30°，D为AB的中点，P为CD上一点，E为BC延长线上一点，且PA＝PE．有下列结论：①∠PAD+∠PEC＝30°；②△PAE为等边三角形；③PD＝CE﹣CP；④S四边形AECP＝S△ABC．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④
【分析】连接BP，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求∠PEA＝∠PAE＝60°，可判断②；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，由“SAS”可证△P′AC≌△∠EAC，作点P关于AB的对称点P′，连接P′A，P′D，根据对称性质即可判断③；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，由三角形的面积的和差关系可判断④．
解：如图，连接BP，
∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴CD是AB的中垂线，
∴AP＝BP，且AP＝PE，
∴AP＝PB＝PE
∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，
∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，
∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
故①正确；
∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA，
∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
∴∠PAE＝∠PEA＝60°，
∴△PAE是等边三角形，
故②正确；
如图，作点P关于AB的对称点P′，连接P′A，P′D，
∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，
∵△PAE是等边三角形，
∴AE＝AP，
∴AE＝AP′，
∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，
∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，
∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，
∴∠P′AC＝∠EAC，
∵AC＝AC，
∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），
∴CP′＝CE，
∵点P、P′关于AB对称，即PP′⊥AB，且PD＝P′D，
∵CD⊥AB，
∴C、P、D、P′共线，
∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，
∴PD＝（CE﹣CP）．
故③错误；
过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，
∵CG＝CP，∠BCD＝60°，
∴△CPG是等边三角形，
∴∠CGP＝∠PCG＝60°，
∴∠ECP＝∠GPB＝120°，
又∵EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，
∴△MCE≌△BGE（AAS），
∴CE＝GB，
∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，
∵∠ABC＝30°，AF⊥BM，
∴AF＝AB＝AD，
∵S△ACB＝CB×AF＝（EC+CP）×AF＝EC×AF+CP×AD＝S四边形AECP，
∴S四边形AECP＝S△ABC．故④正确．
所以其中正确的结论是①②④．
故选：C．
二、填空题。（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上）
11．若有意义，则x的取值范围是 x≥﹣3且x≠2 ．
【分析】根据当a≥0时，有意义，负整数指数幂的底数不能为0，解答即可．
解：由题意得：x+3≥0且x﹣2≠0，
解得：x≥﹣3且x≠2，
故答案为：x≥﹣3且x≠2．
12．已知点A的坐标为（﹣2，﹣3），则点A关于x轴对称的点的坐标为 （﹣2，3） ．
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．
解：∵点A的坐标为（﹣2，﹣3），
∴点A关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
13．如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为 a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ．
【分析】根据图形可以得到：两个正方形的面积和有两种计算方法，一种是根据正方形的面积等于边长的平方计算；另一种方法是图形中大正方形面积减去两个长方形的面积的和，即可得到等式．
解：①两个阴影部分正方形的面积和为：a2+b2，
②两个阴影部分正方形的面积和为：（a+b）2﹣2ab，
∴可以得到等式a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．
14．化简：（﹣2a﹣3）﹣2（bc﹣1）3＝ ．（结果只含有正整数指数的形式）
【分析】根据幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂即可得出答案．
解：原式＝（﹣2）﹣2a6b3c﹣3
＝a6b3•
＝，
故答案为：．
15．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”．如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 18°或36° ．
【分析】根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，可得另两个角的和为72°，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，72°÷（1+3）＝18°，由此比较得出答案即可．
解：当108°的角是另一个内角的3倍时，最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，
当180°﹣108°＝72°的角是另一个内角的3倍时，最小角为72°÷（1+3）＝18°，
因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为36°或18°．
故答案为：18°或36°．
16．已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围是 m＞﹣6且m≠﹣4 ．
【分析】首先求出关于x的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取值范围．
解：解关于x的方程得x＝m+6，
∵x﹣2≠0，解得x≠2，
∵方程的解是正数，
∴m+6＞0且m+6≠2，
解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．
故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．
17．李明的作业本上有六道题：①，②，③，④＝±2，⑤，⑥，请你找出他做对的题是 ① ．（填序号）
【分析】根据立方根的性质判断①；根据负数没有算术平方根判断②；根据＝|a|判断③；根据算术平方根的定义判断④；根据负整数指数幂判断⑤；根据二次根式的加减判断⑥．
解：＝﹣，故①符合题意；
﹣4没有算术平方根，故②不符合题意；
＝|﹣2|＝2，故③不符合题意；
＝2，故④不符合题意；
4m﹣2＝，故⑤不符合题意；
与的被开方数不相同，不能合并，故⑥不符合题意；
故答案为：①．
18．如图，等边△ABC的边长为6，AD是高，F是边AB上一动点，E是AD上一动点，则BE+EF的最小值为 ．
【分析】过C点作CF⊥AB交AB于F，交AD于E，连接BE，BE+EF的最小值为CF，求出CF即可．
解：过C点作CF⊥AB交AB于F，交AD于E，连接BE，
∵AD是等边三角形ABC的高，
∴BE＝CE，
∴BE+EF＝CE+EF≥CF，
∴BE+EF的最小值为CF，
∵BC＝6，AB＝6，
∴BF＝3，
∴CF＝＝＝3，
∴BE+EF的最小值为3，
故答案为：3．
三、解答题。（本大题共8小题，共64分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明或演算步骤）
19．（16分）计算与化简：
（1）；
（2）；
（3）（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2；
（4）．
【分析】（1）先化简各数，再去括号计算即可；
（2）先计算乘方，再算乘除即可得答案；
（3）先用平方差公式和完全平方公式，再去括号合并同类项；
（4）先化简各数，再合并同类二次根式即可．
解：（1）原式＝1﹣（）﹣
＝1﹣+1﹣
＝﹣；
（2）原式＝
＝；
（3）原式＝a2﹣4b2﹣（a2﹣4ab+4b2）
＝a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2
＝4ab﹣8b2；
（4）原式＝
＝．
20．分解因式：
（1）；
（2）a2（x﹣1）+b2（1﹣x）．
【分析】（2）先提取，然后再利用完全平方公式继续分解即可；
（2）先提取公因式，然后再利用平方差公式继续分解．
解：（1）（1）
＝（x2﹣2x+1）
＝（x﹣1）2；
（2）a2（x﹣1）+b2（1﹣x）
＝a2（x﹣1）﹣b2（x﹣1）
＝（x﹣1）（a2﹣b2）
＝（x﹣1）（a+b）（a﹣b）．
21．（1）解方程：．
（2）先化简÷（x），然后从＜x的范围内选取一个喜欢的整数代入求值．
【分析】（1）先去分母，再去括号，合并同类项后即可求方程的解，最后对所求的根进行检验即可；
（2）先因式分解，再运算，根据分式的意义，找出符合条件的x值进行代入即可．
解：（1），
x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3，
x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，
x＝1，
经检验，x＝1是方程的增根，
∴原分式方程无解；
（2）÷（x）
＝
＝
＝，
∵＜x，且x是整数，x≠0，x≠±2，
∴x只能取1，﹣1，
当x＝1时，原式＝，
当x＝﹣1时，原式＝1．
22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；
（2）在图2中，若BA＝BD，画出△ABD的∠ABD的角平分线．
【分析】（1）连接DE，CE，CE交BD于F，利用BE＝CD，BE∥CD，则可判断四边形BCDE为平行四边形，所以BF＝DF，则AF满足条件；
（2）连接DE，CE，CE交BD于F，连接AF交DE于O点，再延长BO交AD于G，通过证明OA＝OD可得到AG垂直平分AD，利用等腰三角形的性质可判断BG满足条件．
解：（1）如图1，AF为所作；
（2）如图2，BG为所作．
23．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝2cm．
（1）求AC的长；
（2）求S△ABC．
【分析】（1）在Rt△ABD中，根据AB＝2cm，求出AD的长、BD的长；
（2）在△ABC中，利用三角形的面积公式解答．
解：（1）在Rt△ABD中，AB＝2cm，
AD＝2sin60°＝2×＝cm，
BD＝2cos60°＝2×＝1cm，
在Rt△ADC中，CD＝AD＝cm，
∴AC＝＝cm．
（2）在△ABC中，
BD+CD＝（1+）cm，
则（1+）××＝cm．
24．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树1080棵．由于志愿者的支援，实际每天种树的棵数比原计划每天多50%，结果比原计划提前4天完成，并且多种树60棵，原计划每天种树多少棵？
【分析】设原计划每天种树x棵，则实际每天种树（1+50%）x棵，由题意：某村计划在荒坡上种树1080棵．由于志愿者的支援，实际每天种树的棵数比原计划每天多50%，结果比原计划提前4天完成，并且多种树60棵，列出分式方程，解方程即可．
解：设原计划每天种树x棵，则实际每天种树（1+50%）x棵，
由题意得：，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天种树80棵．
25．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AF，利用SAS证明△ABC≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF＝BC；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，那么∠FAG＝50°．由△ABC≌△AEF，得出∠F＝∠C＝28°，再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC＝∠FAG+∠F＝78°．
【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAF．
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC＝AF．
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF＝BC；
（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，
∴∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，
∴∠FAG＝∠BAE＝50°．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F＝∠C＝28°，
∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝50°+28°＝78°．
26．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD ＝ BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM＝ 30 度；
（2）设直线BE与直线AM的交点为O．
①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；
②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．
【分析】（1）根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC，则AD＝BE；根据等边三角形的性质可以直接得出∠CAM的度数；
（2）①根据等边三角形的性质就可以得出AC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由等式的性质就可以∠BCE＝∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；
②分两种情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE＝∠CAD＝30°而得出结论．
解：（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°
∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ADC和△BEC中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°．
∵线段AM为BC边上的中线
∴∠CAM＝∠BAC，
∴∠CAM＝30°．
故答案为：＝，30；
（2）①AD＝BE，
理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形
∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵∠ACD＝∠ACB+∠DCB，∠BCE＝∠DCE+∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE．
②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，
理由如下：
当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，
又∠ABC＝60°，
∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，
∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线
∴AM平分∠BAC，即，
∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．
当点D在线段AM的延长线上时，如图2，
∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°
∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE
∴∠ACD＝∠BCE
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CBE＝∠CAD＝30°，
同理可得：∠BAM＝30°，
∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．
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