新疆乌鲁木齐2020届高三年级第二次诊断性测试文科数学试题 Word版含解析

2020年高三年级第二次诊断性测试

文科数学（问卷）

（卷面分值：150分；  考试时间：120分钟）

注意事项：

1. 本卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上.

2. 答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集，，则（    ）

A. 或 B. 或

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用一元二次不等式的解法求出集合，再利用补集的定义求出即可.

【详解】因为不等式的解集为或，

所以集合或，

由补集的定义可知，.

故选：D

【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和补集的定义；考查运算求解能力；属于基础题.

2.设为虚数单位，复数满足，则在复平面内，对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

利用复数的四则运算进行化简，然后在利用共轭复数的定义和复数的几何意义求解即可.

【详解】因为，所以，

由共轭复数的定义知，，

由复数的几何意义可知，在复平面对应的点为，位于第二象限.

故选：B

【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数的定义和复数的几何意义；考查运算求解能力；属于基础题.

3.已知是第二象限角，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用诱导公式和同角三角函数的基本关系进行化简求值即可.

【详解】因为，由诱导公式可得，，

因为，是第二象限角，

所以.

故选：A

【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系；考查运算求解能力；属于中档题.

4.我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品.某市2019年这几类工作岗位的薪资（单位：万元/月）情况如下表所示：

由表中数据可得该市各类岗位的薪资水平高低情况为（    ）

A. 数据挖掘＞数据开发＞数据产品＞数据分析

B. 数据挖掘＞数据产品＞数据开发＞数据分析

C. 数据挖掘＞数据开发＞数据分析＞数据产品

D. 数据挖掘＞数据产品＞数据分析＞数据开发

【答案】B

【解析】

【分析】

计算各岗位的平均薪资即可比较各岗位薪资水平的高低.

【详解】由表中的数据可知，数据开发岗位的平均薪资为

（万元），

数据分析岗位的平均薪资为（万元），

数据挖掘岗位的平均薪资为（万元），

数据产品岗位的平均薪资为（万元），

因为，所以该市各类岗位的薪资水平高低情况为：

数据挖掘＞数据产品＞数据开发＞数据分析.

故选：B

【点睛】本题考查平均数的计算；考查运算求解能力和数据分析能力；熟练掌握频率分布表中平均数的计算公式是求解本题的关键；属于中档题.

5.双曲线的右焦点为，点为的一条渐近线上的点，为坐标原点.若，则 (  )

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】

由双曲线方程得到渐近线方程，以及右焦点坐标，再由，求出点坐标，进而可求出三角形面积.

【详解】因为双曲线方程为，

所以其渐近线方程为，右焦点为，

因为点为的一条渐近线上的点，不妨设点在上，且点在第一象限；

又，所以为等腰三角形，

所以点横坐标为，因此，

所以.

故选C

【点睛】本题主要考查双曲线中的三角形面积问题，熟记抛物线的简单性质即可，属于常考题型.

6.已知是等腰直角三角形，为斜边的中点，且，以为折痕，将折成直二面角，则过，，，四点的球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

首先对平面图形进行转换，借助正方体求出其外接球的半径，代入球的表面积公式进行求解即可.

【详解】以为折痕，将折成直二面角，得到如图所示的三棱锥，

在三棱锥中，，

因为，，

所以为正方体相邻的三条棱，

所以过，，，四点的球即为正方体的外接球，

其直径为正方体的体对角线，即,

所以，

由球的表面积公式可得，.

故选：B

【点睛】本题考查多面体的外接球问题、球的表面积公式及二面角的平面角；考查空间想象能力、运算求解能力和转化与化归能力；把三棱锥的外接球问题转化为正方体的外接球问题是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.

7.下列函数是偶函数，且在上是增函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用偶函数的定义、幂函数、指数函数和对数函数的单调性进行逐项判断即可.

【详解】对于选项A：因为，所以其定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故选项A排除；

对于选项B：因为，所以其定义域为，不关于原点对称，所以函数

为非奇非偶函数，故选项B排除；

对于选项C：因为，所以其定义域为关于原点对称，

因为，所以函数为奇函数，

故选项C排除；

对于选项D：因为，所以其定义域为关于原点对称，

因为，所以函数为上的偶函数，

又当时，，又因为指数函数为上的增函数，

所以函数为上的增函数，故选项D符合题意.

故选：D

【点睛】本题考查函数奇偶性的判断和幂函数、指数函数和对数函数的单调性；考查运算求解能力；熟练掌握基本初等函数的图象与性质是求解本题的关键；属于中档题.

8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A.  B. 2

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由几何体的三视图可知，该几何体是高为，底面为边长和的四棱锥，代入四棱锥的体积公式求解即可.

【详解】由几何体的三视图可知，该几何体是四棱锥，高为，底面为边长和的矩形，如图所示：

由四棱锥的体积公式可得，.

故选：B

【点睛】本题考查三视图还原几何体并求其体积；考查运算求解能力和空间想象能力；正确还原几何体是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.

9.惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的.负电荷中心与原子核重合，但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用.今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量为，这两个相距为的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能，其中为静电常量，，分别表示两个原子负电中心相对各自原子核的位移，且和都远小于，当远小于1时，，则的近似值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

把的表达式中的分子分母同时乘以,然后对括号中的每个分式的分子分母同时除以，结合题中的数据和都远小于，当远小于1时，，化简求解即可.

【详解】根据题意，

，

因为和都远小于，当远小于1时，，

所以

，

故选：B

【点睛】本题考查的近似计算；考查运算求解能力和逻辑推理能力；对的表达式进行适当的变形，充分运用题中的数据是求解本题的关键；属于中档题.

10.设，，，则下列正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意知，，利用幂函数的单调性可得，，构造函数，通过求导判断函数的单调性，利用函数判断的大小关系即可.

【详解】由题意知，，因为幂函数在上单调递增，

所以，即；令，

则，所以时，，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

因为，所以，，

所以，即，所以，

综上可知，.

故选：C

【点睛】本题考查通过求导判断函数的单调性、利用函数的单调性比较大小；考查运算求解能力和函数与方程的思想；通过构造函数，利用函数的单调性比较的大小是求解本题的关键；属于难度较大型试题.

11.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若对于满足的，，有，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用图象的平移变换公式求出函数的解析式，利用正弦函数的有界性求出使 成立的，满足的方程，结合和即可求解.

【详解】由题意知，函数，

所以，

因为，，

所以或，

所以或，

所以，

所以，

因为，

可得，所以.

故选：B

【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换、正弦函数的有界性和取得最值时自变量的取值；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握正弦函数的有关性质是求解本题的关键；属于中档题.

12.已知函数，若恰好有2个零点，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，作出函数的图象，利用数形结合的思想求出使恰好有2个零点的的取值范围即可.

【详解】令，因为方程的两根为，

所以在同一直角坐标系下作出函数的图象如图所示：

由图可知，当时，函数恰有两个零点，图象如图所示：

当时，函数恰

有两个零点，图象如图所示：

综上可知，所求实数的取值范围为.

故选：C

【点睛】本题考查利用分段函数的图象和函数零点的个数求参数的取值范围；考查运算求解能力和数形结合思想；熟练掌握分段函数图象的画法和零点的概念是求解本题的关键；属于中档题.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.从3个不同奇数，2个不同偶数中随机抽取两个数，这两个数之和是偶数的概率为______.

【答案】

【解析】

【分析】

利用组合数数公式求出总的基本事件数和这两个数之和是偶数包含的基本事件数，代入古典概型的概率计算公式求解即可.

【详解】记事件“从五个不同的数中随机抽取两个数，这两个数之和是偶数”,

由题意知，从五个不同的数中随机抽取两个数包含总的基本事件数为，

若抽取的两个数为偶数，则这两个数都为奇数或者都为偶数，

若这两个数都为奇数，则有种选择；若这两个数都为偶数，则有种选择，

由分类加法计数原理可得，事件A包含的基本事件数为，

由古典概型概率计算公式可得，.

故答案为：

【点睛】本题考查古典概型概率计算公式和组合数公式；考查运算求解能力；熟练掌握古典概型概率计算公式是求解本题关键；属于中档题.

14.在中，，，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

利用平面向量加减法的三角形法则和坐标表示求出的坐标，再利用平面向量数量积的坐标表示即可求解.

【详解】如图，在中，，

由平面向量加法的三角形法则知，，

即，所以，

又，，所以，

由平面向量的数量积的坐标表示知，

.

故答案为：

【点睛】本题平面向量加减法的三角形法则和坐标表示、平面向量数量积的坐标表示；考查运算求解能力；熟练掌握平面向量加减法的三角形法则和坐标表示是求解本题的关键；属于中档题.

15.设的角，，的对边分别为，，，已知的面积为，且，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

利用正弦定理和三角形的面积公式求出，再由余弦的和角公式求解即可.

【详解】因为，又，

所以，即，

由正弦定理可得，，，

所以，

即，因为，

所以，

又，所以.

故答案：

【点睛】本题考查利用正弦定理、三角形的面积公式和两角和的余弦公式求三角形内角的余弦；考查运算求解能力；熟练掌握正弦定理和三角形的面积公式是求解本题的关键；属于中档题.

16.已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于，两点.若，，则椭圆的离心率为______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意作出图形，设，则，利用椭圆定义求出的表达式，在中利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理求出的表达式，代入离心率公式求解即可.

【详解】根据题意，作图如下：

设，则，由椭圆的定义知，

，，

因为，所以，在中，由余弦定理可得，

，

在中，由余弦定理可得，，

即，解得，

所以，所以椭圆离心率.

故答案为：

【点睛】本题考查椭圆的定义和性质、椭圆中焦点三角形的性质和余弦定理；考查数形结合的思想和运算求解能力；熟练掌握椭圆的定义和性质、椭圆中焦点三角形的性质是求解本题的关键；属于中档题.

三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤.

17.已知数列前项和为，且满足.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由，可得，，，两式相减得到，利用等比数列通项公式求解即可；

（Ⅱ）结合（Ⅰ）可求出的表达式，进而可得的通项公式，利用裂项相消法求和即可.

【详解】（Ⅰ），令，解得，

，，两式相减，得，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以数列的通项公式为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，

所以，即，

∴

.

【点睛】本题考查利用与的关系求数列的通项公式、等比数列通项公式和裂项相消法求和；考查运算求解能力；熟练掌握已知与的关系求数列通项的方法和裂项相消法求和是求解本题的关键；属于中档题.

18.如图，在直三棱柱中，，，，分别是和上动点，且.

（Ⅰ）若与重合，求证：；

（Ⅱ）若，求点到平面的距离.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理和性质定理进行证明即可；

（Ⅱ）利用线面垂直的性质和等体积法进行求解即可.

【详解】（Ⅰ）证明：当与重合时，∵，

∴与重合，要证，即要证.

∵，∴，即，又，，∴平面，∴，

又正方形中，，，

∴平面，∴，即；

（Ⅱ）∵平面，∴，∵，∴，

∴，在中，，∴，，设点到平面的距离为，

由，得，，

∴，即点到平面的距离为.

【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理、利用等体积法求点到面的距离；考查逻辑推理能力和转化与化归能力；熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理是求解本题的关键；属于中档题.

19.某流行病爆发期间，某市卫生防疫部门给出的治疗方案中推荐了三种治疗药物，，（，，的使用是互斥且完备的），并且感染患者按规定都得到了药物治疗.患者在关于这三种药物的有关参数及市场调查数据如下表所示：（表中的数据都以一个疗程计）

（Ⅰ）从感染患者中任取一人，试求其一个疗程被治愈的概率大约是多少？

（Ⅱ）试估算每名感染患者在一个疗程的药物治疗费用平均是多少.

【答案】（Ⅰ）0.885（Ⅱ）740元

【解析】

【分析】

（Ⅰ）求出治愈人数与总样本人数的比值，用频率估计概率即可；

（Ⅱ）由题意知，治疗费用可能取值为600、1000、800，分别求出对应概率，代入离散型随机变量数学期望公式求解即可.

【详解】（Ⅰ）；

（Ⅱ）感染者在一个疗程的药物治疗费是600元的概率为，

治疗费是1000元的概率为；

治疗费是800元的概率为；

药物治疗费用平均为：元.

【点睛】本题考查利用频率估计概率和离散型随机变量概率和均值的求解；考查运算求解能力；熟练掌握离散型随机变量的期望公式是求解本题的关键；属于基础题.

20.已知抛物线：上一点到其焦点的距离为2.

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）设抛物线的准线与轴交于点，直线过点且与抛物线交于，两点（点在点，之间），点满足，求与的面积之和取得最小值时直线的方程.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由题意知，抛物线的焦点为，把点代入抛物线方程，再结合点到其焦点的距离为2，利用两点间距离公式得到关于的方程，解方程即可求解；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点，易知直线的斜率存在，且不为零，设其方程为，

设，，由，利用平面向量的坐标运算可得，，联立直线方程和抛物线方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出的值，利用数形结合可得，，再利用基本不等式求最值即可求解.

【详解】（Ⅰ）的焦点为，依题意有，解得，

所以，抛物线的标准方程为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的标准方程为，其准线方程为：，

所以点易知直线的斜率存在，且不为零，其方程为，

设，，因为，即，

∴，联立方程，消去，得，，

根据题意，作图如下：

.

当且仅当，即或时，

与的面积之和最小，最小值为.

时，，，直线的方程为；

时，，，直线的方程为，

∴与的面积之和最小值时直线的方程为或.

【点睛】本题考查抛物线的标准方程及其几何性质、直线与抛物线的位置关系、利用数形结合思想和基本不等式求三角形面积的最值；考查运算求解能力、数形结合思想和转化与化归能力；属于综合型、难度大型试题.

21.已知.

（Ⅰ）若曲线在处的切线与坐标轴围成的图形面积为4，求实数的值；

（Ⅱ）若，求证.

【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）见解析

【解析】

【分析】

（Ⅰ）对函数进行求导，，利用导数的几何意义求出即为切线的斜率，进而求出切线方程，分别令和求出切线与坐标轴的交点，从而得到关于的方程，解方程即可；

（Ⅱ）令，对函数进行求导，利用导数判断其单调性和最值，只需证得其最小值不小于零即可.

【详解】（Ⅰ）由，∴，又，

∴切线方程为，令

由题意知， ，

则，解得或；

（Ⅱ）令，

则，设的零点为，

则，即且，

因为函数为上的增函数，

所以当时，；当时，，

所以函数在上递减，上递增，

∴，

∴时，恒成立，从而恒成立，

∴总成立.

【点睛】本题考查利用导数的几何意义求函数在某点处的切线方程、利用导数判断函数的单调性求最值证明不等式恒成立问题；考查运算求解能力、转化与化归能力；熟练掌握导数的几何意义和利用导数判断函数的单调性的方法是求解本题的关键；属于中档题.

选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.在平面直角坐标系中，将曲线：上的点按坐标变换，得到曲线，为与轴负半轴的交点，经过点且倾斜角为的直线与曲线的另一个交点为，与曲线的交点分别为，（点在第二象限）.

（Ⅰ）写出曲线的普通方程及直线的参数方程；

（Ⅱ）求的值.

【答案】（Ⅰ），（为参数）；（Ⅱ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）利用伸缩变换公式，把代入的方程，化简整理即可；由曲线的方程求出点的坐标，利用倾斜角求出其余弦值和正弦值，代入直线参数方程的标准形式即可求解；

（Ⅱ）利用弦长公式求出,联立直线的参数方程和曲线的方程，利用直线参数方程中参数的几何意义求出，进而求出的值.

【详解】（Ⅰ）由题得代入的方程得

：，即的方程为，

因为曲线：，令，则，

因为为与轴负半轴的交点，所以点，

因为直线的倾斜角为，所以，

所以的参数方程为（为参数）；

（Ⅱ）因为，所以直线的方程为，

因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为

，

由弦长公式可得，，

将（为参数）代入，整理得，

设，为方程的两个根，则，，

∴.

【点睛】本题考查伸缩变换公式和、直线参数方程的标准形式、利用直线参数的几何意义求弦长；考查运算求解能力；熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义是求解本题的关键；属于中档题.

23.已知函数，.

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）设函数，若函数的图象与函数的图象只有一个公共点，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）等价于，不等式两边同时平方得到关于的一元二次不等式，利用一元二次不等式解法求解即可；

（Ⅱ）把方程只有一个实数根转化为函数与的图象只有一个交点，分别作出两个函数图象，利用数形结合的思想进行求解即可.

【详解】（Ⅰ）因为，∴不等式即为，两边平方得，

解得，即时，的解集为；

（Ⅱ）由题意知，方程只有一个实根，

即与的图象只有一个交点，

因为，

又的图象由向左或向右平移了个单位，

作图如下：

由图象可知，它们只有一个公共点，则或.

【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和利用数形结合思想解决函数交点问题；考查运算求解能力和数形结合思想；熟练掌握含有两个绝对值不等式的解法是求解本题的关键；属于中档题.