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上海市普陀区2020-2021学年八年级上学期期末考试数学试卷（word版 含答案）
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这是一份上海市普陀区2020-2021学年八年级上学期期末考试数学试卷（word版 含答案），共23页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，简答题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年上海市普陀区八年级第一学期期末数学试卷
一、单项选择题（本大题共6小题，每题2分，共12分）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）
A．x2＝1 B．x2﹣2x＝1 C．x2+2x+2＝0 D．x2﹣2x+1＝0
3．已知正比例函数y＝3x的图象上有两点M（x1，y1）、N（x2，y2），如果x1＞x2，那么y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果D为边AB上的中点，那么下面结论错误的是（ ）
A． B． C．∠A＝∠ACD D．∠ADC＝2∠B
5．如果下列命题中，有一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题是（ ）
A．邻补角互补
B．直角三角形的两个锐角互余
C．全等三角形的对应角相等
D．等腰三角形是轴对称图形
6．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a、b，且a2+b2＝ab+10，那么小正方形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）
7．计算：＝ ．
8．函数f（x）＝的定义域是 ．
9．已知函数，那么f（4）＝ ．
10．方程x2﹣4x＝0的解为 ．
11．在实数范围内因式分解：2x2﹣4x﹣1＝ ．
12．已知反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是 ．
13．某建筑工程队利用工地的一面墙，用120米长的铁栅栏靠墙围一个长方形的仓库，在与墙平行的一边，要开一扇1米宽的门，仓库的平面图如图所示．设长方形与墙垂直的一条边长为x米，那么被围进仓库的墙面AB的长为 米（用含有x的代数式表示）．
14．已知直角坐标平面内的两点分别为A（2，﹣3）、B（5，6），那么A、B两点的距离等于 ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．如果∠CBE＝25°，那么∠CDA＝ °．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AC．如果BD＝2，那么AB的长等于 ．
17．如图，在△ABC中，点F是边AB、AC的中垂线的交点，联结BF、CF，如果∠BFC＝110°，那么∠A＝ °．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于 ．
三、简答题（本大题共有4题，每小题6分，满分24分）
19．计算：．
20．解方程：x2﹣12x＝4．
21．A、B两地相距20千米，甲、乙两人某日中午12点同时从A地出发匀速前往B地，甲的速度是每小时4千米，如图，线段OM反映了乙所行的路程s与所用时间t之间的函数关系，根据提供的信息回答下列问题：
（1）乙由A地前往B地所行的路程s与所用时间t之间的函数解析式是 ，定义域是 ；
（2）在图中画出反映甲所行驶的路程s与所用时间t之间的函数图象；
（3）下午3点时，甲乙两人相距 千米．
22．如图，在△ABC中，
（1）用直尺和圆规分别作∠ACB的平分线、线段AB的中垂线、它们的交点M（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点M）；
（2）过点M作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：BE＝AF．
四、解答题（本大题共3小题，第23、24题每小题8分，第25题12分，满分28分）
23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AB中点，ED∥BC，且与∠ABC的平分线BD交于点D，联结AD．
（1）求证：AD⊥BD；
（2）记BD与AC的交点为F，求证：BF＝2AD．
24．如图，在平面直角坐标系xOy内，正比例函数y＝4x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象的公共点A的纵坐标为4．
（1）求点A的坐标和反比例函数的解析式；
（2）正比例函数y＝4x的图象上有一点B，AB＝OA（点B不与点O重合），过点B作直线BC∥y轴交双曲线y＝于点C，求△ABC的面积．
25．如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，BC＝6，点P为边BC上的一个动点（不与点B、C重合），点P关于直线AB的对称点为点Q，联结PQ、CQ，PQ与边AB交于点D．
（1）求∠B的度数；
（2）联结BQ，当∠BQC＝90°时，求CQ的长；
（3）设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域．
参考答案
一、单项选择题（本大题共6小题，每题2分，共12分）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据最简二次根式中被开方数不含分母；根据被开方数中不含开得尽方的因数；根据最简二次根式的定义进行判断即可．
解：A、＝被开方数中含开得尽方的因数，不符合题意；
B、＝被开方数中含开得尽方的因数，，不符合题意；
C、是最简二次根式，故选项符合题意；
D、＝＝|a+b|被开方数中含开得尽方的因式，故选项不符合题意；
故选：C．
2．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）
A．x2＝1 B．x2﹣2x＝1 C．x2+2x+2＝0 D．x2﹣2x+1＝0
【分析】先把四个方程化为一般式，再计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义进行判断．
解：A．x2﹣1＝0，Δ＝02﹣4×（﹣1）＝4＞0，方程有两个不相等的实数根；
B．x2﹣2x﹣1＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根；
C．x2+2x+2＝0，Δ＝22﹣4×2＝﹣4＜0，方程没有实数根；
D．x2﹣2x+1＝0，Δ＝（﹣2）—2﹣4×1＝0，方程有两个相等的实数根．
故选：D．
3．已知正比例函数y＝3x的图象上有两点M（x1，y1）、N（x2，y2），如果x1＞x2，那么y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据x1＞x2即可得出结论．
解：∵正比例函数y＝﹣3x中，k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而增大，
∵x1＞x2，
∴y1＞y2．
故选：A．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果D为边AB上的中点，那么下面结论错误的是（ ）
A． B． C．∠A＝∠ACD D．∠ADC＝2∠B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质结合等腰三角形的性质及含30° 角的直角三角形的性质，三角形外角的性质判定即可求解．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB上的中点，
∴AD＝BD＝CD＝AB，故A选项正确，不符合题意；
∴∠A＝∠ACD，故C选项正确，不符合题意；
∠DCB＝∠B，
∴∠ADC＝∠DCB+∠B＝2∠B，故D选项正确，不符合题意；
只有当∠A＝30°时，CB＝AB，故B选项错误，符合题意．
故选：B．
5．如果下列命题中，有一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题是（ ）
A．邻补角互补
B．直角三角形的两个锐角互余
C．全等三角形的对应角相等
D．等腰三角形是轴对称图形
【分析】分别写出原命题的逆命题后判断正误即可．
解：A、逆命题为：互补的角是邻补角，错误，是假命题，不符合题意；
B、逆命题为：两个锐角互余的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，符合题意；
C、逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，不符合题意；
D、逆命题为轴对称图形是等腰三角形，错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
6．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a、b，且a2+b2＝ab+10，那么小正方形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由正方形1性质和勾股定理得a2+b2＝18，再由a2+b2＝ab+10，得ab+10＝18，则ab＝8，即可解决问题．
解：设大正方形的边长为c，
∵大正方形的面积是18，
∴c2＝18，
∴a2+b2＝c2＝18，
∵a2+b2＝ab+10，
∴ab+10＝18，
∴ab＝8，
∴小正方形的面积＝（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab＝18﹣2×8＝2，
故选：A．
二、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）
7．计算：＝ 3 ．
【分析】根据算术平方根的性质进行化简，即＝|a|．
解：＝＝3．
故答案为3．
8．函数f（x）＝的定义域是 x≥2 ．
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0即可得到函数的定义域．
解：由二次根式的性质得：2x﹣4≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
9．已知函数，那么f（4）＝ ．
【分析】把4直接代入函数式计算即可得到答案．
解：∵，
∴f（4）＝＝．
故答案为：．
10．方程x2﹣4x＝0的解为 x1＝0，x2＝4 ．
【分析】x2﹣4x提取公因式x，再根据“两式的乘积为0，则至少有一个式子的值为0”求解．
解：x2﹣4x＝0
x（x﹣4）＝0
x＝0或x﹣4＝0
x1＝0，x2＝4
故答案是：x1＝0，x2＝4．
11．在实数范围内因式分解：2x2﹣4x﹣1＝ 2（x﹣）（x﹣） ．
【分析】令原式为0求出x的值，即可确定出因式分解的结果．
解：令2x2﹣4x﹣1＝0，
这里a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵△＝16+8＝24，
∴x＝＝，
则原式＝2（x﹣）（x﹣），
故答案为：2（x﹣）（x﹣）
12．已知反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是 k＞2 ．
【分析】由题意得，反比例函数经过一、三象限，则k﹣2＞0，求出k的取值范围即可．
解：∵y＝的图象位于第一、第三象限，
∴k﹣2＞0，
∴k＞2．
故答案为k＞2．
13．某建筑工程队利用工地的一面墙，用120米长的铁栅栏靠墙围一个长方形的仓库，在与墙平行的一边，要开一扇1米宽的门，仓库的平面图如图所示．设长方形与墙垂直的一条边长为x米，那么被围进仓库的墙面AB的长为 （121﹣2x） 米（用含有x的代数式表示）．
【分析】用总长减去与墙垂直的墙长的2倍再加上门宽即可．
解：由题意可知，被围进仓库的墙面AB的长为：120﹣2x+1＝（121﹣2x）米．
故答案为：（121﹣2x）米．
14．已知直角坐标平面内的两点分别为A（2，﹣3）、B（5，6），那么A、B两点的距离等于 3 ．
【分析】根据两点间的距离公式计算即可．
解：∵A（2，﹣3）、B（5，6），
∴A、B两点的距离＝＝3，
故答案为：3．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．如果∠CBE＝25°，那么∠CDA＝ 130 °．
【分析】由直角三角形斜边中线的性质可得AD＝CD＝BD，即可得∠ACD＝∠A，由同角的余角相等可得∠A＝∠ACD＝∠CBE＝25°，再根据三角形的内角和定理可求解．
解：∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，AD＝CD＝BD，
∴∠ACD＝∠A，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝90°，
∴∠BCD+∠CBE＝90°，
∴∠A＝∠ACD＝∠CBE＝25°，
∵∠A+∠ACD+∠CDA＝180°，
∴∠CDA＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
故答案为：130．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AC．如果BD＝2，那么AB的长等于 ．
【分析】由等腰三角形的性质得到∠C＝∠B＝30°，根据三角形的内角和定理得到∠BAC＝120°，根据含30°角的直角三角形的性质得到CD＝AD，∠BAD＝30°，即可得AD＝BD＝2，CD＝4，利用勾股定理求得AC的长，即可求解AB的长．
解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，
∵AD⊥AC，
∴∠CAD＝90°，
∴CD＝2AD，∠BAD＝30°，
∴∠B＝∠BAD，
∴AD＝BD＝2，
∴CD＝4，
在Rt△ADC中，AC＝，
∴AB＝．
故答案为：．
17．如图，在△ABC中，点F是边AB、AC的中垂线的交点，联结BF、CF，如果∠BFC＝110°，那么∠A＝ 55 °．
【分析】连接AF并延长至点D，根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FB，FA＝FC，根据等腰三角形的性质得到∠FAB＝∠FBA，∠FAC＝∠FCA，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
解：连接AF并延长至点D，
∵点F是边AB、AC的中垂线的交点，
∴FA＝FB，FA＝FC，
∴∠FAB＝∠FBA，∠FAC＝∠FCA，
∴∠BAD＝∠BFD，∠CAF＝∠CFD，
∴∠BAC＝∠BFC＝×110°＝55°，
故答案为：55．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于 12或3 ．
【分析】根据题意可知，需要分两种情况，∠BDE＝90°，∠DBE＝90°，画出对应的图形，再根据折叠的性质及等腰直角三角形的性质可求解．
解：①当∠BDE＝90°时，如图，
此时，四边形ACDE是正方形，
则CD＝DE＝AC＝6，
又△BDE是等腰直角三角形，
属于BD＝DE＝6，
所以BC＝CD+BD＝12；
②当∠DBE＝90°时，如图，
设BD＝x，则BE＝x，DE＝x，
由折叠可知，CD＝DE＝x，
由题意可知，∠BDE＝∠DEB＝45°，
∴∠CDE＝135°，
∴∠CAE＝45°，
即△ACF是等腰直角三角形，
∴AC＝CF＝6，∠F＝45°，
∴BE＝BF＝x，
∴x+x+x＝6，
解得x＝6﹣3，
∴BC＝+x＝3．
故答案为：12或3．
三、简答题（本大题共有4题，每小题6分，满分24分）
19．计算：．
【分析】先利用二次根式的乘法法则运算，再分母有理化，然后化简后合并即可．
解：原式＝﹣+﹣﹣
＝6﹣2．
20．解方程：x2﹣12x＝4．
【分析】利用求根公式求解即可．
解：x2﹣12x＝4，
x2﹣12x﹣4＝0，
∵a＝1，b＝﹣12，c＝﹣4，
∴Δ＝（﹣12）2﹣4×1×（﹣4）＝160＞0，
则x＝＝＝6±2，
∴x1＝6+2，x2＝6﹣2．
21．A、B两地相距20千米，甲、乙两人某日中午12点同时从A地出发匀速前往B地，甲的速度是每小时4千米，如图，线段OM反映了乙所行的路程s与所用时间t之间的函数关系，根据提供的信息回答下列问题：
（1）乙由A地前往B地所行的路程s与所用时间t之间的函数解析式是 s＝t ，定义域是 0≤t≤6 ；
（2）在图中画出反映甲所行驶的路程s与所用时间t之间的函数图象；
（3）下午3点时，甲乙两人相距 2 千米．
【分析】（1）设直线OM的解析式为s＝kt，将M（6，20）代入即可求出k，由图象可直接得出t的范围；
（2）根据甲的速度，可得出行驶时间，得到终点时点N的坐标，作出直线即可；
（3）用甲行驶的路程减去乙行驶的路程即可．
解：（1）设直线OM的解析式为s＝kt，且M（6，20），
∴6k＝20，解得k＝；
∴s＝t；
由图象可知，0≤t≤6；
故答案为：s＝t；0≤t≤6；
（2）∵甲的速度是每小时4千米，
∴甲所用的时间t＝＝5（小时），
∴N（5，20），
图象如下图所示：
（3）下午3点时，甲、乙两人之间的距离为：4×3﹣×3＝2．
故答案为：2．
22．如图，在△ABC中，
（1）用直尺和圆规分别作∠ACB的平分线、线段AB的中垂线、它们的交点M（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点M）；
（2）过点M作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：BE＝AF．
【分析】（1）利用尺规作出∠ABC的角平分线，线段AB的中垂线即可；
（2）证明Rt△MEB≌Rt△MFC，可得BE＝AF．
【解答】（1）解：如图，点M即为所求；
（2）证明：如图，连接AM，BM，
∵点M在AB的垂直平分线上，
∴MA＝MB，
∵MA平分∠BAC，ME⊥AB，MF⊥AC，
∴ME＝MF，
∵∠MEB＝∠MFA＝90°，
在Rt△MEB和Rt△MFA中，
，
∴Rt△MEB≌Rt△MFA（HL），
∴BE＝AF．
四、解答题（本大题共3小题，第23、24题每小题8分，第25题12分，满分28分）
23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AB中点，ED∥BC，且与∠ABC的平分线BD交于点D，联结AD．
（1）求证：AD⊥BD；
（2）记BD与AC的交点为F，求证：BF＝2AD．
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的性质可得BE＝AE＝DE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠ADB＝90°，可证AD⊥BD；
（2）由“ASA”可证△ABD≌△NBD，可得AD＝DN，由“AAS”可证△ACN≌△BCF，可得BF＝AN＝2AD．
【解答】证明：（1）∵E为AB中点，
∴BE＝AE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴DE＝AE，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵∠EAD+∠EDA+∠ABD+∠BDE＝180°，
∴∠ADE+∠BDE＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD；
（2）延长AD，BC交于点N，
在△ADB和△NDB中，
，
∴△ABD≌△NBD（ASA），
∴AD＝DN，
∴AN＝2AD，
∵∠ADB＝90°＝∠ACB，
∴∠N+∠DBN＝90°＝∠DBN+∠BFC，
∴∠N＝∠BFC，
在△ACN和△BCF中，
，
∴△ACN≌△BCF（AAS），
∴BF＝AN，
∴BF＝2AD．
24．如图，在平面直角坐标系xOy内，正比例函数y＝4x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象的公共点A的纵坐标为4．
（1）求点A的坐标和反比例函数的解析式；
（2）正比例函数y＝4x的图象上有一点B，AB＝OA（点B不与点O重合），过点B作直线BC∥y轴交双曲线y＝于点C，求△ABC的面积．
【分析】（1）先由点A纵坐标为4，点A在直线y＝4x上可确定点A的坐标为（1，4），然后利用待定系数法确定反比例函数的解析式；
（2）根据中点坐标公式求出点B的坐标为（2，8），由BC∥y轴，且点C在反比例函数y＝的图象上，得到点C坐标为（2，2），然后根据三角形面积公式计算△ABC的面积．
解：（1）设点A坐标为（x，4），
∵点A（x，4）在函数y＝4x的图象上，
∴4＝4x，解得x＝1，
∴点A的坐标为（1，4）；
∵点A（1，4）在函数y＝的图象上，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数解析式是y＝；
（2）∵AB＝OA，
∴A为OB中点，
∵A（1，4），
∴B（2，8）．
∵BC∥y轴，且点C在反比例函数y＝的图象上，
∴C（2，2），
∴BC＝8﹣2＝6．
过点A作AH⊥BC于H，则AH＝1，
∴S△ABC＝BC•AH＝×6×1＝3．
25．如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，BC＝6，点P为边BC上的一个动点（不与点B、C重合），点P关于直线AB的对称点为点Q，联结PQ、CQ，PQ与边AB交于点D．
（1）求∠B的度数；
（2）联结BQ，当∠BQC＝90°时，求CQ的长；
（3）设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得出∠ACB＝90°，由直角三角形的性质可得出答案；
（2）求出∠BCQ＝30°，由直角三角形的性质得出BQ＝BC＝3．由勾股定理可得出答案；
（3）过点Q作QH⊥BC于点H，证明△BPQ为等边三角形，由勾定理得出+，则可得出答案．
解：（1）∵AC＝2，AB＝4，BC＝6，
∴AC2+BC2＝48，AB2＝48，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝AB，
∴∠B＝30°；
（2）∵点P关于直线AB的对称点为点Q，
∴BD垂直平分PA，
∴PB＝BQ，
∴∠QBD＝∠PBD＝30°，
∴∠PBQ＝60°，
∵∠BQC＝90°，
∴∠BCQ+∠PBQ＝90°，
∴∠BCQ＝30°，
∴BQ＝BC＝3．
∴CQ＝＝3；
（3）过点Q作QH⊥BC于点H，
∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°，
∴△BPQ为等边三角形，
∵QH⊥BP，BP＝x，
∴BH＝x，
∴CH＝6﹣x，
∴QH＝＝x，
∵∠CHQ＝90°，CQ＝y，
∴+，
∴y关于x的函数解析式为y＝（0＜x＜6）．
2020-2021学年上海市普陀区八年级第一学期期末数学试卷
一、单项选择题（本大题共6小题，每题2分，共12分）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）
A．x2＝1 B．x2﹣2x＝1 C．x2+2x+2＝0 D．x2﹣2x+1＝0
3．已知正比例函数y＝3x的图象上有两点M（x1，y1）、N（x2，y2），如果x1＞x2，那么y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果D为边AB上的中点，那么下面结论错误的是（ ）
A． B． C．∠A＝∠ACD D．∠ADC＝2∠B
5．如果下列命题中，有一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题是（ ）
A．邻补角互补
B．直角三角形的两个锐角互余
C．全等三角形的对应角相等
D．等腰三角形是轴对称图形
6．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a、b，且a2+b2＝ab+10，那么小正方形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）
7．计算：＝ ．
8．函数f（x）＝的定义域是 ．
9．已知函数，那么f（4）＝ ．
10．方程x2﹣4x＝0的解为 ．
11．在实数范围内因式分解：2x2﹣4x﹣1＝ ．
12．已知反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是 ．
13．某建筑工程队利用工地的一面墙，用120米长的铁栅栏靠墙围一个长方形的仓库，在与墙平行的一边，要开一扇1米宽的门，仓库的平面图如图所示．设长方形与墙垂直的一条边长为x米，那么被围进仓库的墙面AB的长为 米（用含有x的代数式表示）．
14．已知直角坐标平面内的两点分别为A（2，﹣3）、B（5，6），那么A、B两点的距离等于 ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．如果∠CBE＝25°，那么∠CDA＝ °．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AC．如果BD＝2，那么AB的长等于 ．
17．如图，在△ABC中，点F是边AB、AC的中垂线的交点，联结BF、CF，如果∠BFC＝110°，那么∠A＝ °．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于 ．
三、简答题（本大题共有4题，每小题6分，满分24分）
19．计算：．
20．解方程：x2﹣12x＝4．
21．A、B两地相距20千米，甲、乙两人某日中午12点同时从A地出发匀速前往B地，甲的速度是每小时4千米，如图，线段OM反映了乙所行的路程s与所用时间t之间的函数关系，根据提供的信息回答下列问题：
（1）乙由A地前往B地所行的路程s与所用时间t之间的函数解析式是 ，定义域是 ；
（2）在图中画出反映甲所行驶的路程s与所用时间t之间的函数图象；
（3）下午3点时，甲乙两人相距 千米．
22．如图，在△ABC中，
（1）用直尺和圆规分别作∠ACB的平分线、线段AB的中垂线、它们的交点M（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点M）；
（2）过点M作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：BE＝AF．
四、解答题（本大题共3小题，第23、24题每小题8分，第25题12分，满分28分）
23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AB中点，ED∥BC，且与∠ABC的平分线BD交于点D，联结AD．
（1）求证：AD⊥BD；
（2）记BD与AC的交点为F，求证：BF＝2AD．
24．如图，在平面直角坐标系xOy内，正比例函数y＝4x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象的公共点A的纵坐标为4．
（1）求点A的坐标和反比例函数的解析式；
（2）正比例函数y＝4x的图象上有一点B，AB＝OA（点B不与点O重合），过点B作直线BC∥y轴交双曲线y＝于点C，求△ABC的面积．
25．如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，BC＝6，点P为边BC上的一个动点（不与点B、C重合），点P关于直线AB的对称点为点Q，联结PQ、CQ，PQ与边AB交于点D．
（1）求∠B的度数；
（2）联结BQ，当∠BQC＝90°时，求CQ的长；
（3）设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域．
参考答案
一、单项选择题（本大题共6小题，每题2分，共12分）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据最简二次根式中被开方数不含分母；根据被开方数中不含开得尽方的因数；根据最简二次根式的定义进行判断即可．
解：A、＝被开方数中含开得尽方的因数，不符合题意；
B、＝被开方数中含开得尽方的因数，，不符合题意；
C、是最简二次根式，故选项符合题意；
D、＝＝|a+b|被开方数中含开得尽方的因式，故选项不符合题意；
故选：C．
2．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）
A．x2＝1 B．x2﹣2x＝1 C．x2+2x+2＝0 D．x2﹣2x+1＝0
【分析】先把四个方程化为一般式，再计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义进行判断．
解：A．x2﹣1＝0，Δ＝02﹣4×（﹣1）＝4＞0，方程有两个不相等的实数根；
B．x2﹣2x﹣1＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根；
C．x2+2x+2＝0，Δ＝22﹣4×2＝﹣4＜0，方程没有实数根；
D．x2﹣2x+1＝0，Δ＝（﹣2）—2﹣4×1＝0，方程有两个相等的实数根．
故选：D．
3．已知正比例函数y＝3x的图象上有两点M（x1，y1）、N（x2，y2），如果x1＞x2，那么y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据x1＞x2即可得出结论．
解：∵正比例函数y＝﹣3x中，k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而增大，
∵x1＞x2，
∴y1＞y2．
故选：A．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果D为边AB上的中点，那么下面结论错误的是（ ）
A． B． C．∠A＝∠ACD D．∠ADC＝2∠B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质结合等腰三角形的性质及含30° 角的直角三角形的性质，三角形外角的性质判定即可求解．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB上的中点，
∴AD＝BD＝CD＝AB，故A选项正确，不符合题意；
∴∠A＝∠ACD，故C选项正确，不符合题意；
∠DCB＝∠B，
∴∠ADC＝∠DCB+∠B＝2∠B，故D选项正确，不符合题意；
只有当∠A＝30°时，CB＝AB，故B选项错误，符合题意．
故选：B．
5．如果下列命题中，有一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题是（ ）
A．邻补角互补
B．直角三角形的两个锐角互余
C．全等三角形的对应角相等
D．等腰三角形是轴对称图形
【分析】分别写出原命题的逆命题后判断正误即可．
解：A、逆命题为：互补的角是邻补角，错误，是假命题，不符合题意；
B、逆命题为：两个锐角互余的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，符合题意；
C、逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，不符合题意；
D、逆命题为轴对称图形是等腰三角形，错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
6．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a、b，且a2+b2＝ab+10，那么小正方形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由正方形1性质和勾股定理得a2+b2＝18，再由a2+b2＝ab+10，得ab+10＝18，则ab＝8，即可解决问题．
解：设大正方形的边长为c，
∵大正方形的面积是18，
∴c2＝18，
∴a2+b2＝c2＝18，
∵a2+b2＝ab+10，
∴ab+10＝18，
∴ab＝8，
∴小正方形的面积＝（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab＝18﹣2×8＝2，
故选：A．
二、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）
7．计算：＝ 3 ．
【分析】根据算术平方根的性质进行化简，即＝|a|．
解：＝＝3．
故答案为3．
8．函数f（x）＝的定义域是 x≥2 ．
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0即可得到函数的定义域．
解：由二次根式的性质得：2x﹣4≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
9．已知函数，那么f（4）＝ ．
【分析】把4直接代入函数式计算即可得到答案．
解：∵，
∴f（4）＝＝．
故答案为：．
10．方程x2﹣4x＝0的解为 x1＝0，x2＝4 ．
【分析】x2﹣4x提取公因式x，再根据“两式的乘积为0，则至少有一个式子的值为0”求解．
解：x2﹣4x＝0
x（x﹣4）＝0
x＝0或x﹣4＝0
x1＝0，x2＝4
故答案是：x1＝0，x2＝4．
11．在实数范围内因式分解：2x2﹣4x﹣1＝ 2（x﹣）（x﹣） ．
【分析】令原式为0求出x的值，即可确定出因式分解的结果．
解：令2x2﹣4x﹣1＝0，
这里a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵△＝16+8＝24，
∴x＝＝，
则原式＝2（x﹣）（x﹣），
故答案为：2（x﹣）（x﹣）
12．已知反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是 k＞2 ．
【分析】由题意得，反比例函数经过一、三象限，则k﹣2＞0，求出k的取值范围即可．
解：∵y＝的图象位于第一、第三象限，
∴k﹣2＞0，
∴k＞2．
故答案为k＞2．
13．某建筑工程队利用工地的一面墙，用120米长的铁栅栏靠墙围一个长方形的仓库，在与墙平行的一边，要开一扇1米宽的门，仓库的平面图如图所示．设长方形与墙垂直的一条边长为x米，那么被围进仓库的墙面AB的长为 （121﹣2x） 米（用含有x的代数式表示）．
【分析】用总长减去与墙垂直的墙长的2倍再加上门宽即可．
解：由题意可知，被围进仓库的墙面AB的长为：120﹣2x+1＝（121﹣2x）米．
故答案为：（121﹣2x）米．
14．已知直角坐标平面内的两点分别为A（2，﹣3）、B（5，6），那么A、B两点的距离等于 3 ．
【分析】根据两点间的距离公式计算即可．
解：∵A（2，﹣3）、B（5，6），
∴A、B两点的距离＝＝3，
故答案为：3．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．如果∠CBE＝25°，那么∠CDA＝ 130 °．
【分析】由直角三角形斜边中线的性质可得AD＝CD＝BD，即可得∠ACD＝∠A，由同角的余角相等可得∠A＝∠ACD＝∠CBE＝25°，再根据三角形的内角和定理可求解．
解：∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，AD＝CD＝BD，
∴∠ACD＝∠A，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝90°，
∴∠BCD+∠CBE＝90°，
∴∠A＝∠ACD＝∠CBE＝25°，
∵∠A+∠ACD+∠CDA＝180°，
∴∠CDA＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
故答案为：130．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AC．如果BD＝2，那么AB的长等于 ．
【分析】由等腰三角形的性质得到∠C＝∠B＝30°，根据三角形的内角和定理得到∠BAC＝120°，根据含30°角的直角三角形的性质得到CD＝AD，∠BAD＝30°，即可得AD＝BD＝2，CD＝4，利用勾股定理求得AC的长，即可求解AB的长．
解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，
∵AD⊥AC，
∴∠CAD＝90°，
∴CD＝2AD，∠BAD＝30°，
∴∠B＝∠BAD，
∴AD＝BD＝2，
∴CD＝4，
在Rt△ADC中，AC＝，
∴AB＝．
故答案为：．
17．如图，在△ABC中，点F是边AB、AC的中垂线的交点，联结BF、CF，如果∠BFC＝110°，那么∠A＝ 55 °．
【分析】连接AF并延长至点D，根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FB，FA＝FC，根据等腰三角形的性质得到∠FAB＝∠FBA，∠FAC＝∠FCA，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
解：连接AF并延长至点D，
∵点F是边AB、AC的中垂线的交点，
∴FA＝FB，FA＝FC，
∴∠FAB＝∠FBA，∠FAC＝∠FCA，
∴∠BAD＝∠BFD，∠CAF＝∠CFD，
∴∠BAC＝∠BFC＝×110°＝55°，
故答案为：55．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于 12或3 ．
【分析】根据题意可知，需要分两种情况，∠BDE＝90°，∠DBE＝90°，画出对应的图形，再根据折叠的性质及等腰直角三角形的性质可求解．
解：①当∠BDE＝90°时，如图，
此时，四边形ACDE是正方形，
则CD＝DE＝AC＝6，
又△BDE是等腰直角三角形，
属于BD＝DE＝6，
所以BC＝CD+BD＝12；
②当∠DBE＝90°时，如图，
设BD＝x，则BE＝x，DE＝x，
由折叠可知，CD＝DE＝x，
由题意可知，∠BDE＝∠DEB＝45°，
∴∠CDE＝135°，
∴∠CAE＝45°，
即△ACF是等腰直角三角形，
∴AC＝CF＝6，∠F＝45°，
∴BE＝BF＝x，
∴x+x+x＝6，
解得x＝6﹣3，
∴BC＝+x＝3．
故答案为：12或3．
三、简答题（本大题共有4题，每小题6分，满分24分）
19．计算：．
【分析】先利用二次根式的乘法法则运算，再分母有理化，然后化简后合并即可．
解：原式＝﹣+﹣﹣
＝6﹣2．
20．解方程：x2﹣12x＝4．
【分析】利用求根公式求解即可．
解：x2﹣12x＝4，
x2﹣12x﹣4＝0，
∵a＝1，b＝﹣12，c＝﹣4，
∴Δ＝（﹣12）2﹣4×1×（﹣4）＝160＞0，
则x＝＝＝6±2，
∴x1＝6+2，x2＝6﹣2．
21．A、B两地相距20千米，甲、乙两人某日中午12点同时从A地出发匀速前往B地，甲的速度是每小时4千米，如图，线段OM反映了乙所行的路程s与所用时间t之间的函数关系，根据提供的信息回答下列问题：
（1）乙由A地前往B地所行的路程s与所用时间t之间的函数解析式是 s＝t ，定义域是 0≤t≤6 ；
（2）在图中画出反映甲所行驶的路程s与所用时间t之间的函数图象；
（3）下午3点时，甲乙两人相距 2 千米．
【分析】（1）设直线OM的解析式为s＝kt，将M（6，20）代入即可求出k，由图象可直接得出t的范围；
（2）根据甲的速度，可得出行驶时间，得到终点时点N的坐标，作出直线即可；
（3）用甲行驶的路程减去乙行驶的路程即可．
解：（1）设直线OM的解析式为s＝kt，且M（6，20），
∴6k＝20，解得k＝；
∴s＝t；
由图象可知，0≤t≤6；
故答案为：s＝t；0≤t≤6；
（2）∵甲的速度是每小时4千米，
∴甲所用的时间t＝＝5（小时），
∴N（5，20），
图象如下图所示：
（3）下午3点时，甲、乙两人之间的距离为：4×3﹣×3＝2．
故答案为：2．
22．如图，在△ABC中，
（1）用直尺和圆规分别作∠ACB的平分线、线段AB的中垂线、它们的交点M（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点M）；
（2）过点M作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：BE＝AF．
【分析】（1）利用尺规作出∠ABC的角平分线，线段AB的中垂线即可；
（2）证明Rt△MEB≌Rt△MFC，可得BE＝AF．
【解答】（1）解：如图，点M即为所求；
（2）证明：如图，连接AM，BM，
∵点M在AB的垂直平分线上，
∴MA＝MB，
∵MA平分∠BAC，ME⊥AB，MF⊥AC，
∴ME＝MF，
∵∠MEB＝∠MFA＝90°，
在Rt△MEB和Rt△MFA中，
，
∴Rt△MEB≌Rt△MFA（HL），
∴BE＝AF．
四、解答题（本大题共3小题，第23、24题每小题8分，第25题12分，满分28分）
23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AB中点，ED∥BC，且与∠ABC的平分线BD交于点D，联结AD．
（1）求证：AD⊥BD；
（2）记BD与AC的交点为F，求证：BF＝2AD．
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的性质可得BE＝AE＝DE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠ADB＝90°，可证AD⊥BD；
（2）由“ASA”可证△ABD≌△NBD，可得AD＝DN，由“AAS”可证△ACN≌△BCF，可得BF＝AN＝2AD．
【解答】证明：（1）∵E为AB中点，
∴BE＝AE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴DE＝AE，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵∠EAD+∠EDA+∠ABD+∠BDE＝180°，
∴∠ADE+∠BDE＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD；
（2）延长AD，BC交于点N，
在△ADB和△NDB中，
，
∴△ABD≌△NBD（ASA），
∴AD＝DN，
∴AN＝2AD，
∵∠ADB＝90°＝∠ACB，
∴∠N+∠DBN＝90°＝∠DBN+∠BFC，
∴∠N＝∠BFC，
在△ACN和△BCF中，
，
∴△ACN≌△BCF（AAS），
∴BF＝AN，
∴BF＝2AD．
24．如图，在平面直角坐标系xOy内，正比例函数y＝4x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象的公共点A的纵坐标为4．
（1）求点A的坐标和反比例函数的解析式；
（2）正比例函数y＝4x的图象上有一点B，AB＝OA（点B不与点O重合），过点B作直线BC∥y轴交双曲线y＝于点C，求△ABC的面积．
【分析】（1）先由点A纵坐标为4，点A在直线y＝4x上可确定点A的坐标为（1，4），然后利用待定系数法确定反比例函数的解析式；
（2）根据中点坐标公式求出点B的坐标为（2，8），由BC∥y轴，且点C在反比例函数y＝的图象上，得到点C坐标为（2，2），然后根据三角形面积公式计算△ABC的面积．
解：（1）设点A坐标为（x，4），
∵点A（x，4）在函数y＝4x的图象上，
∴4＝4x，解得x＝1，
∴点A的坐标为（1，4）；
∵点A（1，4）在函数y＝的图象上，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数解析式是y＝；
（2）∵AB＝OA，
∴A为OB中点，
∵A（1，4），
∴B（2，8）．
∵BC∥y轴，且点C在反比例函数y＝的图象上，
∴C（2，2），
∴BC＝8﹣2＝6．
过点A作AH⊥BC于H，则AH＝1，
∴S△ABC＝BC•AH＝×6×1＝3．
25．如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，BC＝6，点P为边BC上的一个动点（不与点B、C重合），点P关于直线AB的对称点为点Q，联结PQ、CQ，PQ与边AB交于点D．
（1）求∠B的度数；
（2）联结BQ，当∠BQC＝90°时，求CQ的长；
（3）设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得出∠ACB＝90°，由直角三角形的性质可得出答案；
（2）求出∠BCQ＝30°，由直角三角形的性质得出BQ＝BC＝3．由勾股定理可得出答案；
（3）过点Q作QH⊥BC于点H，证明△BPQ为等边三角形，由勾定理得出+，则可得出答案．
解：（1）∵AC＝2，AB＝4，BC＝6，
∴AC2+BC2＝48，AB2＝48，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝AB，
∴∠B＝30°；
（2）∵点P关于直线AB的对称点为点Q，
∴BD垂直平分PA，
∴PB＝BQ，
∴∠QBD＝∠PBD＝30°，
∴∠PBQ＝60°，
∵∠BQC＝90°，
∴∠BCQ+∠PBQ＝90°，
∴∠BCQ＝30°，
∴BQ＝BC＝3．
∴CQ＝＝3；
（3）过点Q作QH⊥BC于点H，
∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°，
∴△BPQ为等边三角形，
∵QH⊥BP，BP＝x，
∴BH＝x，
∴CH＝6﹣x，
∴QH＝＝x，
∵∠CHQ＝90°，CQ＝y，
∴+，
∴y关于x的函数解析式为y＝（0＜x＜6）．
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