高中4.重力势能导学案

第17讲  重力势能  弹性势能

考点l  重力势能的概念及特征

    重力势能Ep=mgh，具有相对性，但重力势能的差值具有绝对性，与零势能参考面的选择无关。

    ①重力势能是状态量，它描述了物体所处的一定状态与物体所处位置的对应关系。

    ②重力势能是物体和地球所组成的系统共同具有的能量，而不是地球上物体独有的，通常所说的物体的重力势能是一种简略的习惯说法。

    ③重力势能具有相对性。重力势能的数学表达式Ep=mgh是与参考平面的选择有关的，式中的h是物体重心到参考平面的高度。当物体在参考平面之上时，重力势能Ep为正值；当物体在参考平面之下时，重力势能Ep为负值。注意物体重力势能的正、负的物理意义是表示比零势能大，还是比零势能小，这与功的正、负的物理意义是不同的——即重力势能的正负表大小。

    ④重力势能的参考平面的选取是任意的，视处理物体的方便而定。一般可选择地面或物体运动时所达到的最低点为零势能参考面。

⑤重力势能的变化是绝对的。物体从一个位置到另一个位置的过程中，重力势能的变化与参考平面的选取无关，它的变化是绝对性的。我们关注的是重力势能的变化，这意味着能的转化问题。  【考题l】下面有关重力势能的说法中，正确的是(    )．

    A．举得越高的物体，具有的重力势能越大       B．质量越大的物体．具有的重力势能越大

    C．物体的重力势能不可能为零                 D．物体的重力势能可能小于零

    【解析】由物体重力势能Ep＝mgh可知，举得越高的物体，具有的重力势能不一定越大；质量越大的物体，具有的重力势能也不一定越大，因为重力势能是一个相对的量，与零势能面的选择有关。故A、B错误；当物体在零势能面上时，物体的重力势能为零；在零势能面以下时，物体的重力势能就小于零，故D正确，C错误．

【答寨】 D

    【变式1】如图18-1所示，桌面距地面的高度为0．8m．一物体质量为2kg．放在距桌面0．4m的支架上，则：

    (1)以桌面为零势能参考面，计算物体具有的势能，并计算物体由支架下落到地而过程中，重力势能减小多少?

    (2)以地面为零势能参考面，计算物体具有的势能，并计算物体由支架下落到地面过程中，重力势能减小多少?

    (3)比较以上计算结果，说明什么问题?

考点2    重力做功与重力势能的变化

    重力做功与过程无关，只跟物体初、末位置的高度差有关。重力做功与重力势能变化之间存在的数量关系，且与零势能面的选择无关。

    重力做功的相关问题：

(1)特点：重力做功与物体的运动路径无关，只与起点和终点的位置有关；正是由于重力做功具有与路径无关的特点，才能引入重力势能的概念。由于摩擦力做功与路径有关，所以不能引入摩擦势能。

    (2)重力做功的过程是重力势能和其他形式能相互转化的过程。

    (3)重力做功的特点使我们很容易求物体沿不同路径运动时重力所做的功，只需重力乘以发生在重力方向上初、末位置间位移。

    物体从高处向低处运动，重力对物体做正功，物体的重力势能减少；重力做多少功，物体的重力势能就减少多少。物体从低处向高处运动，重力对物体做负功(物体克服重力做功)，物体的重力势能增加；物体克服重力做多少功，物体的重力势能就增加多少。重力做功和重力势能的关系为：．

    重力做功的过程，是重力势能和其他形式的能量相互转化的过程，在这一过程中，重力做的功量度了重力势能的变化，即.

    注意：重力势能的大小与零势能面的选取有关，但重力势能的变化量的大小与零势能面的选取无关。

  【考题2 】如图l8—2所示，起重机以g/4的加速度将质量为m的物体匀减速地沿竖直方向提升高度h，则起重机钢索的拉力对物体做功为多少? 物体克服重力做功为多少? 物体重力势能变化为多少? (空气阻力不计)

    【解析】由题意可知起重机提供的向下的加速度为，物体上升高度为h，据牛顿第二定律得，所以，方向竖直向上．

  所以拉力做功 ．

  重力做功，即物体克服重力做功mgh．

  又因，故重力势能变化，即重力势能增加了mgh。

  【变式2—1】关于重力做功与重力势能的变化，下列说法中正确的是(     )．

    A．做竖直上抛运动的物体，在上升阶段重力做负功，重力势能减少

    B．做竖直上抛运动的物体，在下降阶段重力做正功，重力势能增加

    C. 做平抛运动的物体，重力势能不断减少

    D．只要物体的高度降低了，重力势能一定减少

  【变式2—2】质量为m的木球从离水面高度为h处由静止释放，落入水中后，在水中运动的最大深度是h’．最终木球停止在水面上，若木球在水中运动时，受到因运动而产生的阻力恒为f．求：木球释放后的全部运动过程重力做的功是多少? 它的重力势能变化了多少?

考点3      弹性势能概念的理解

    发生弹性形变的物体，各部分之间由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫弹性势能。弹性势能属于弹簧和物体组成的系统，是状态量，具有相对性。

    (1)势能产生的条件：①是物体间有相互作用力；②是物体间有相对位置。

    (2)当弹簧的形变量为零时，它的弹性势能为零，弹簧被拉长或被压缩后，都具有弹性势能。

    (3)影响弹性势能的因素(从弹力做功的角度考虑)：

①弹簧的形变量L(形变量是指拉伸或压缩的变化量)。因为变化越大，用力越大，做功越多。

    ②弹簧的劲度系数k．拉伸相同的长度，不同的弹簧的“软硬”不一样，做功不一样。

    2．弹性势能的相对性：其实弹性势能和重力势能一样也具有相对性。在通常情况下我们规定弹簧处于原长时的势能为零势能。

    发生形变的物体不一定具有弹性势能，只有发生弹性形变的物体才具有弹性势能。

  【考题3】关于弹性势能，下列说法中正确的是(    )．

  A．任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能    B．任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变

  C．物体只要发生形变，就一定具有弹性势能    D．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关

  【解析】由弹性势能的定义和相关因素进行判断。发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力作用而具有的势能，叫做弹性势能。所以，任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能，任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变。物体发生了形变，若是非弹性形变，无弹力作用，则物体就不具有弹性势能。弹簧的弹性势能除了跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关外，还跟弹簧劲度系数的大小有关。正确选项为A、B。

    【答案】A、B

  【变式3—1】关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是(     )．

    A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大        B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小

    C．在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大

D．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能

考点4     弹力做功与弹性势能的变化的关系

弹簧弹力做正功，弹性势能减少，反之，弹性势能增加，关系式为

    【考题4】如图l8—3所示，一劲度系数k＝800N／m的轻弹簧两端分别焊接着A、B两物体，mA＝16kg，mB＝8kg，直立于水平地面而静止，现给物体A上加一个竖直向上的力F，使A由静止开始向上做匀加速运动，经0.2s，B刚要离开地面，设整个过程弹簧都处于弹性限度内。(g取lOm／s2)求：

    (1)B刚要离开地面时，A物体上升的高度；

    (2)在此过程中所加外力F的最大值和最小值；

    (3)在此过程中弹性势能的变化量；

    (4)在此过程中弹簧对A做了正功还是负功，做了多少功?

    【解析】(1)A静止时设弹簧压缩了x1，则有     所以

    设B刚要离开地面时弹簧伸长了x2，则     所以

    所以在此过程中A上升的高度   

    (2)由位移公式， 得．

    当弹簧处于压缩状态时，A受弹力向上，故有 

    当压缩量最大时，F最小，此时

    所以．

    当弹簧处于伸长状态时，A受弹力向下，故有 

    当x伸长量最大时，F最大。此时

    所以

    (3)弹性势能改变量

     ．

(4)由知，弹性势能减少了。则弹簧对A物体做了正功，其值为l2J．

    【变式4—1】垂直放置的轻弹簧下端固定在地面上，上端与轻质平板相连，平板与地面间的距离为h1，如图l8—4所示，现将一质量为m的物块，轻轻地放在平板中心，让它从静止开始往下运动，直至物块速度为零，此时平板与地面间的距离为h2．若取无形变时为弹簧弹性势能零点，则平板距地面h2时弹簧的弹性势能Ep＝　　　　　　．

考点5     匀质链条类物体重力势能的计算

非质点类物体的重心与其形状有关，求重力势能时一定要分段处理或取其等效重心位置代入计算式。

    由于物体的重力势能等于物体的重力与物体的重心相对参考平面的高度的乘积，因此，确定物体的重力势能时，需分析物体的重心所在位置。当物体整体的重心位置发生变化或者不便确定时，可考虑用分段法确定各部分物体的重力势能，然后再确定整体的重力势能。

  【考题5】如图18—5所示，质量为m、长度为L的匀质铁链的一半搁在倾角为300的粗糙斜面上，其余部分竖直下垂。现在铁链下滑至整条铁链刚好全部离开斜面的过程中，铁链的重力势能减少多少?

  【解析】求铁链的重力势能可以把铁链分成AB和BC两部分，分别求出两部分的重力势能，然后求出整条铁链的重力势能，当整条铁链离开斜面时的重力势能较易求解。

选取斜面底端为参考平面，则原来铁链的重力势能等于AB和BC两部分重力势能之和。

    ．

    当整条铁链滑落至恰好脱落时的重力势能．

    所以重力势能的变化量

    即重力势能减少了

    【变式5—1】  如图18—6所示，总长为2m的光滑匀质铁链，质量为lOkg．跨过一光滑的轻质定滑轮。开始时铁链的两底端相齐，当略有扰动时某一端开始下落，求：从铁链刚开始下落到铁链刚脱离滑轮这一过程中，重力对铁链做了多少功?重力势能如何变化?

考点6      液体重力势能变化的求解

    液体重力势能变化的求解关键是找准初始至末了状态，液体等效重心的高度变化。

    (1)解答流体重力势能的变化问题，多用等效法。整体重力势能的变化相当于各部分重力势能的变化之和。

    (2)流体有一定的体积，注意找到重心的位置。中的h就是重心位置间的高度差。

    (3)注意容器中水平面高度的变化是否需要考虑。若水面面积很大，则浮在水面上的木块完全没入水中时不考虑池中水的深度的变化，这是个重要的隐含条件；但若木块浮在烧杯中的水面上，要把木块压入水中就要考虑杯中水深的变化。

如果题目没有“液面很大”的隐含条件，则必须考虑末了状态液面的升降问题，这时等效重心的位置必须重新确认。

【考题6】面积很大的水池，水深为H，水面上浮着一个边长为a的立方体木块，密度为水的一半，质量为m．开始时，木块静止，有一半没入水中，如图l8—7甲所示。现用力F将木块缓慢压到池底，不计水的阻力。求：

    (1)从木块刚好完全没入水中到停止在池底的过程中，池水势能的改变量。

(2)从开始下压到木块刚好完全没入水中的过程中，力F所做的功。

  【解析】选池底为零势能参考平面。(1)如图乙所示，l和2分别表示木块刚没入水中时和到达池底时的位置。木块从1移到2，相当于有相同体积的水从2移到1，所以池水重力势能的改变量就等于这部分水在位置1和位置2的势能之差。

因为水的密度是木块密度的2倍，木块的质量为m，所以与木块同体积水的质量为2m．故池水势能的改变量

    ΔEp=2mg(H一a/2)－2mg·a/2＝2mg(H－a)．

    (2)因水池面积很大，可忽略因木块压入水中所引起的水深变化．如图丙所示，木块刚好没入水中时，原来处于划斜线区域内的水被排开，效果相当于这部分水平铺于水面，这部分水的质量为m，其重力势能的增量

    木块重力势能的增量

    由功能关系，F做的功等于系统势能的增量

   【式5一1】如图l8—8所示，A、B两个圆柱形容器底部有带有阀门K的细管相连。开始时阀门关闭，A、B两容器中水面的高度差H＝40cm，已知A的横截面积SA＝0．3m2，B的横截面积SB＝0．1m2．水的密度ρ＝1．0×103kg／m3，g取10m／s2．现在打开阀门K，待两容器中的水面相平时，水的重力势能         了               J．

                  专 项 测 试

                  学业水平测试

1．[考点2]一物体沿不同路径(1)和(2)从坡顶A滑到坡底B，如图所示，重力做功分别为W1,W2，则(    )

  A．Wl＜W2  　　　B．Wl＞W2 　　　 C．Wl＝W2  　　　D．条件不够，无法比较

2．[考点1]要将一个质量为m、边长为a的匀质正方体翻倒，推力对它做功至少为(   )

A．      B．    C．  D．

3．[考点3]关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是(    )

A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大

B. 当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小

C．在拉伸长度相同，k越大的弹簧，它的弹性势能越大

D．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能

4．[考点3]在水平面上垂直放置一轻质弹簧，有一物体在它的正上方自由落下，在物体压缩弹簧速度减为零时(       )．

  A．物体的重力势能最大    B. 物体的动能最大  C．弹簧的弹性势能最大    D. 弹簧的弹性势能最小

5．[考点2]把一个物体从地面竖直向上抛出去，该物体上升的最大高度是h，若物体的质量为m，所受的空气阻力恒为f，则从物体被抛出到落回地面的全过程中(     )．

  A．重力所做的功为零      B．重力所做的功为2mgh

  C．空气阻力做的功为零    D．空气阻力做的功为－2fh

6．[考点l、3]如图所示，质量为m的物体静止在水平地面上，物体上面连一根轻质弹簧，用手拉着弹簧上端将物体缓慢提高h，则人做的功 (    )。

  A. 等于mgh    B．大于mgh     C. 小于mgh    D．无法确定

7．[考点l、2]质量为5kg的钢球，从离地面lOOm高处自由下落1s，1s内钢球重力势能减少了          J(选取地面为参考平面)，1s末钢球的重力势能为         J；如果选取地面上1m处的平面为参考平面，1s末重力势能为            J．如果选取自由下落的出发点所在平面为参考平面，1s末重力势能为            J．

高考水平测试

1．[考点2]质量为m的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地面的高度为h，如图所示，若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化是(    )．

A. mgh，减少mg(H一h)　　　　　 B．mgh，增加mg(H＋h)

C．一mgh，增加mg(H一h)　　　　D．一mgh，减少rag(H＋h)

2．[考点2]质量均匀不可伸长的绳索，重为G，A、B两端固定在天花板上，如图所示。今在最低点C施加一竖直向下的力将绳拉到D点，在此过程中．绳索AB的重心位置(     )．

A. 逐渐升高        B．逐渐降低

C．先降低后升高    D．始终不变

3．[考点2、6]江苏沙河抽水蓄能电站自2003年投入运行以来，在缓解用电高峰电力紧张方面，取得了良好的社会效益和经济效益。抽水蓄能电站的工作原理是：在用电低谷时(如深夜)，电站利用电网多余电能把水抽到高处蓄水池中，到用电高峰时，再利用蓄水池中的水发电。如图所示，蓄水池(上游水库)可视为长方体，有效总库容(可用于发电)为V，蓄水后水位高出下游水面H，发电过程中上游水库水位最大落差为d．统计资料表明，该电站年抽水用电为2．4×108kW·h，年发电量为l．8×108kW·h．则下列计算结果正确的是(水的密度为ρ，重力加速度为g，涉及重力势能的计算均以下游水面为零势能面)(    )．

A．能用于发电的水的最大重力势能     

B．能用于发电的水的最大重力势能

C．电站的总效率为75％

D．该电站平均每天所发电可供给一个大城市居民用电(电功率以105kW计)约10h

4．[考点2、3、4]如图所示，物体A的质量为m，A的上端连接一个轻弹簧原长为L0，劲度系数为k，整个系统置于水平地面上，现将弹簧上端B缓慢地竖直向上提起，B点上移距离为L，此时物体A也已经离开地面，则下列说法中正确的是(      )．

  A．提弹簧的力对系统做功为mgL.

  B．物体A的重力势能增加mgL.

C．物体A的重力势能增加mg(L－L0).

D．物体A的重力势能增加mg(L－mg/k).

5．[考点3、4]如图所示，在光滑水平面上有一物体。它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态。当撤去F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法中正确的是(      )．

  A. 弹簧的弹性势能逐渐减小               B．弹簧的弹性势能逐渐增大

  C．弹簧的弹性势能先增大再减小           D．弹簧的弹性势能先减小再增大

6．[考点2]一条长为L，质量为m的匀质轻绳平放在水平地面上，在缓慢提起全绳的过程中，设提起前半段绳人做的功为W1，在提起后半段绳的过程中人做的功为W2，则Wl:W2为(      )．

  A. 1:1            B. l:2            C. 1:3              D．1:4

7．[考点2]下列说法中正确的是(     )．

A．自由落体运动的物体，在第1s内与第3s内重力势能的减少量之比为1:5

  B．物体做匀速直线运动时重力势能一定不变

  C. 重力势能等于零的物体，不可能对别的物体做功

  D．做竖直上抛运动的物体，从抛出到返回抛出点的过程中，重力对物体所做的功为零

8．[考点l、3]如图所示，在处于水平方向的细管内的端点。固定一根长为L、劲度系数为k的轻弹簧，在弹簧的自由端连接一个质量为m的小球，今将细管以0为轴逆时针缓慢转动，直至转到竖直方向，则此过程中，下列说法正确的是(不计一切摩擦，弹簧弹力总满足胡克定律)  (      ).

  A．小球的重力势能不断增大

  B．小球的质量足够大时，总能使小球的重力势能先增大后减小

C．弹簧的长度足够小时，总可以使球的重力势能不断增大

D．以上说法都不对

9．[考点2、6]如图所示，圆柱形水箱高为5m，容积为50m3，水箱底部接通水管A，顶部接通水管B．开始时箱中无水，若仅使用A管或仅使用B管慢慢地将水注入，直到箱中水满为止。试计算两种情况下外界各需做多少功。(设需注入的水开始时均与箱底等高)

10．[考点2、5]如图所示，长度为L，质量为m的均匀绳，一段置于水平的光滑桌面上，长为a的另一段垂直于桌面。当绳下滑全部离开桌面时，求重力做的功。

11．[考点2]如图所示，杆中点有一转轴0，两端分别固定质量为2m、m的小球a和b，当杆从水平位置转到竖直位置时，小球a和b构成的系统的重力势能如何变化，变化了多少?

12．[考点3、4]如图所示，在光滑水平面上有一物体，其左端连一轻质弹簧，弹簧另一端固定在墙上，开始物体静止在水平面上，现给物体施加一水平向左的恒力F．物体向左移的最大距离为L．求：

  (1)弹簧产生的最大弹力F弹．

  (2)当物体速度最大时，弹簧具有的弹性势能．