（4）统计与概率——2022届新高考数学解答题专练

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 （4）统计与概率1.为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A，B，C三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评成绩达到80分及以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位.现通过分层抽样的方法抽取了这三类行业中的20个单位，其考评分数如下.A类行业：85，82，77，78，83，87.B类行业：76，67，80，85，79，81.C类行业：87，89，76，86，75，84，90，82.（1）试估算这三类行业中每类行业的单位个数；（2）若在抽出的A类行业的这6个单位中，随机选取3个单位进行交流发言，求选出的3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率.2.为了解消费者购物情况，某购物中心随机抽取了n张电脑小票进行消费金额（单位：元）的统计，将结果分成6组，分别是：，，，，，，制成如图所示的频率分布直方图（假设消费金额均在区间内）.（1）若在消费金额为区间内按分层抽样的方法抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票中1张来自区间，另1张来自区间的概率.（2）为做好春节期间的商场促销活动，该购物中心设计了两种不同的促销方案.方案一：全场商品打八五折；方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免.试用频率分布直方图的信息分析哪种方案优惠力度更大，并说明理由.3.某数学小组从气象局和医院分别获得了2019年1月至2019年6月每月20日的昼夜温差x（单位：℃，）和患感冒人数y（单位：人）的数据，并根据所得数据画出如图所示的折线图.

参考数据：，，，.
参考公式：相关系数，线性回归方程是，.
（1）求y与x之间的线性相关系数r；
（2）建立y关于x的线性回归方程（精确到0.01），预测昼夜温差为4℃时患感冒的人数（精确到整数）.4.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，规定成绩为80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100分）.

（1）求图中a的值；
（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有85%的把握认为能否晋级成功与性别有关： 晋级成功晋级失败总计男16  女  50总计   附：0.400.250.150.100.050.025k0.7801.3232.0722.7063.8415.024（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望.5.由中央电视台综合频道(CCTV-1)和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课.每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱.为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表. 非常喜欢喜欢合计A3015 Bxy 合计   已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.35.(1)现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？(2)完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.(3)若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望.附：，，0.050.0100.0013.8416.63510.8286.随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提髙，某市近年机动车保有量逐年递增.根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，得到机动车每5年纯增数量(单位：万辆)的情况如下表.年度周期1995~20002000~20052005~20102010~20152015~2020时间变量12345纯增数量/万辆3691527其中，2，3，…，时间变量对应的机动车纯增数量为，且通过数据分析得到时间变量x与对应的机动车纯增数量y(单位：万辆)具有线性相关关系.(1)求机动车纯增数量y关于时间变量x的回归方程，并预测2025~2030年间该市机动车纯增数量的值；(2)该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到的2×2列联表如下表. 赞同限行不赞同限行合计没有私家车9020110有私家车7040110合计16060220根据列联表判断，能否有99%的把握认为对限行是否赞同与拥有私家车有关？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.，.0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8287.2021年10月16日，搭载“神州十三号”的火箭发射升空，这是一件让全国人民普遍关注的大事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻.某机构将每天关注这件大事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表(单位：人) 天文爱好者非天文爱好者合计女20 50男 15 合计  100附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828(1)将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？(2)现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，求其中至少有1人是“天文爱好者”的概率.8.汽车尾气中含有一氧化碳、碳氢化合物等污染物，是环境污染的主要因素之一，随着汽车使用时间（单位：年）的增长，尾气中污染物也会随之增加，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废.某环保组织为统计公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，所得数据制成如下列联表： 不了解了解总计女性男性153550总计（1）若从这100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为，问是否有95%的把握认为对机动车强制报废标准是否了解与性别有关？（2）该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用时间与排放的尾气中一氧化碳浓度的数据，并制成如图所示的散点图若该型号汽车的使用时间不超过15年，则可近似认为排放的尾气中一氧化碳浓度y（%）与使用时间t线性相关，试确定y关于t的回归直线方程，并预测该型号的汽车使用12年时排放尾气中的一氧化碳浓度是使用4年时的多少倍.

参考公式：.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8289.为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准（2014年修订）》（简称《标准》），要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作，并依据学生学年总分评定等级.某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试（满分100分），从中随机抽取了200名学生的测试成绩，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.

（1）估计这200名学生测试成绩的平均数和方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表）.
（2）由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
①求；
②已知该市高三学生约有10000名，记测试成绩在区间的人数为，求.
附：参考数据.
若随机变量X服从正态分布，则，，.10.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数85205310250130155（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关； 潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）  10050岁以下55  总计  200（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？ 附：0.050.0250.0103.8415.0246.635   答案以及解析1.答案：（1）A，B，C三类行业的单位个数分别为60，60，80（2）解析：（1）由题意，抽取的三类行业的单位个数之比为.由分层抽样的定义，有A类行业单位的个数为；B类行业单位的个数为；C类行业单位的个数为.A，B，C三类行业的单位个数分别为60，60，80.（2）记“选出的这3个单位中既有‘星级’环保单位，又有‘非星级’环保单位”为事件M.在A类行业的6个单位中随机选取3个单位，这3个单位的考评分数的情形有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.共20种.这3个单位都是“星级”环保单位的情形有：，，，.共4种.这3个单位都是“非星级”环保单位的情形有0种.这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共有4种..2.答案：（1）（2）方案二的优惠力度更大，理由见解析解析：（1）设选出的2张小票中1张来自区间，另1张来自区间为事件A，由频率分布直方图可知，按分层抽样在消费金额为区间内抽取6张电脑小票，则在区间内抽取4张，记为a，b，c，d，在区间内抽取2张，记为E，F，从6张电脑小票中任选2张的所有可能的选法为ab，ac，ad，aE，aF，bc，bd，bE，bF，cd，cE，cF，dE，dF，EF，共15种，其中，满足事件A的选法有aE，aF，bE，bF，CE，CF，dE，dF，共8种，选出的这2张小票中1张来自区间，另1张来自区间的概率.（2）由频率分布直方图可知，各组频率从左至右依次为0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05.选择方案一，则消费者购物的平均费用为（元），选择方案二，则消费者购物的平均费用为（元），方案二的优惠力度更大.3.答案：（1）由已知得，
，
.
（2）由已知，得，，
，
关于x的线性回归方程为.
当时，.
昼夜温差为4℃时患感冒的人数约为4.解析：4.答案：（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，
可知，
解得.
（2）由频率分布直方图，知晋级成功的频率为，
所以晋级成功的人数为，
填表如下： 晋级成功晋级失败总计男163450女94150总计2575100所以，所以有85%的把握认为能否晋级成功与性别有关.
（3）由（2）知晋级失败的频率为，
将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，此人晋级失败的概率为，
所以X可视为服从参数为4，的二项分布，即，
故，
，
，
，
.
所以X的分布列为X01234P（或）.解析：5.答案：(1)应从A地抽取6人，从B地抽取7人(2)没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系(3)解析：(1)由题意得，解得，所以应从A地抽取(人)，从B地抽取(人).(2)完成表格如下： 非常喜欢喜欢合计A301545B352055合计6535100所以的观测值，所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.(3)从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，从A地区随机抽取3人，X的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，.所以X的分布列为X0123P.6.答案：(1)，2025~2030年间该市机动车约纯增34.8万辆(2)有99%的把握认为对限行是否赞同与拥有私家车有关解析：(1)由机动车的纯增数量表可知，，所以，因为回归直线过样本点的中心，所以，解得，所以.当年度周期为2025~2030时，，所以，所以2025~2030年间该市机动车约纯增34.8万辆.(2)根据列联表，计算得的观测值.因为，所以有99%的把握认为对限行是否赞同与拥有私家车有关.7.答案：(1)见解析(2)解析：(1) 天文爱好者非天文爱好者合计女203050男351550合计5545100故能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关；(2)按分层抽样抽取的5人中：2名为“天文爱好者”，编号为a、b；3名为“非天文爱好者”，编号为1、2、3，则从这5人中随机选出3人，所有可能结果如下：ab1，ab2，ab3，a12，a13，a23，b12，b13，b23，123，共10种情况，其中至少有1人是“天文爱好者”的有9种，概率为.8.答案：（1）设“从100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人”为事件A，
由已知，得，所以，，，.
，
故有95%的把握认为对机动车强制报废标准是否了解与性别有关.（2）由散点图中所给数据，可得，
，
故，，
所以所求回归直线方程为.
当时，，，所以预测该型号汽车使用12年时排放尾气中的一氧化碳浓度是使用4年时的4.2倍.解析：9.答案：（1）由频率分布直方图可知，各区间对应的频数分布表如下：成绩区间频数51540754520，
.
（2）①由（1）知X服从正态分布，且，
.
②依题意，知服从二项分布，
则解析：10.答案：(1).(2)没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关.(3)这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人.解析：(1)(天).(2)根据题意，补充完整的列联表如下： 潜伏期天潜伏期>6总计50岁以上（含50岁）653510050 岁以下5545100总计12080200则，，所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关.(3)由题可知，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为，
设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X，
则，，
由
得
化简得解得，
又，所以，即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人.