高中数学3.3 古典概率课前预习ppt课件

这是一份高中数学3.3 古典概率课前预习ppt课件，共39页。PPT课件主要包含了则该试验的样本空间，如i2，PA具有如下性质，n-1，n-2，n-k+1，种取法，故抽签与顺序无关，可通过该试验计算π，推广的加法定理等内容，欢迎下载使用。

例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球，将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得。也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10。
我们用 i 表示取到 i号球， i =1,2,…,10 .
且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同 。
S={1,2,…,10} ,
设试验的样本空间共有N个等可能的基本事件，其中有且仅有M个基本事件包含于随机事件A，则A的概率为：
(1) 0 P(A) 1；(2) P()＝1； P( )=0
古典概型中的概率(概率的古典定义):
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概 率相等,则至少有一个男孩的概率是多少? 解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩
N={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}
M={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，
共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式
组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k个，共有
抽球问题 例:设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率。解:设A表示取到一红一白
答:取到一红一白的概率为0.6
一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是
在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于问题的数学意义更加突出，而不必过多地交代实际背景。
练习：1、袋中有4个白球、6个红球，从中随机取4个，求取到2白2红的概率。2、10个钉子中有三个是坏的，随机抽取4个，求（1）恰有2个是坏的（2）4个全是好的的概率。
*分组问题例：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组
一般地，把n个球随机地分成m组(n>m),要求第 i 组恰有ni个球(i=1,…m)，共有分法：
练习：20名运动员中有2名种子选手，现将运动员平分成2组，问2名种子选手（1）分在不同组（2）分在同一组的概率。略解：
例：袋中装有1、2、……N号球各1只，采用（1）有放回（2）无放回方式摸球，每次摸1球，求第k次首次摸到1号球的概率。解：
例：袋中有a只白球与b只黑球，除颜色不同其它方面无差别，现在把球随机地一只只摸出来，求第k次摸出的球是白球的概率。分析：把a只白球与b只黑球看作是不同的，对它们进行编号，若把摸出的球依次放在排列成一直线的a+b个位置上，则可能的排法为(a+b)!，把它们作为样本点全体，第k次摸得白球有a种取法，而另外(a+b-1)次摸球相当于对a+b-1只球进行全排列。解：
例：一部四本头的文集按任意次序放在书架上，问各册自右向左或自左向右恰成1、2、3、4顺序的概率。解：
例：将3个球随机放入4个杯子，问杯中球的最大个数分别是1、2、3的概率。解：设Bi（i=1、2、3）表示杯中球的最大个数为i
例:设有n个球,每个都以相同的概率1/N落到N个格子中(N大于等于n)，试求（1）指定的n个格子中各有一球（2）任何n个格子中各有一球（3）某指定的一个格子中恰有k个球（4）恰好n-1个格子里有球解：（1）由于每个球可N个格子中的任一个，所以共有Nn种可能
（3）由于在n个球中选出k个有Cnk种选法，而其余的n-k个球可任意放在N-1个格子中，这种放法有（N-1）n-k种
（4）这意味着一个格子有2个球，而另n-2个格子内各有1球，可先任取落入2个球的一个格子，有N种取法，再任取落入1个球的n-2个格子，有CN-1n-2种取法，最后将球落进去。
概率论历史上著名问题：求参加某次集会的n 个人(n365)中没有两个人的生日在同一天的概率。
把n个人看作上面问题中的n个球，把一年的365天作为格子，则N=365，现在我们假设n=40，则
没有两人生日相同的概率竟然是意外的小！
例：从n双不同的鞋子中任取2r（2r练习：从6双不同的手套中任取4只，求其中恰有一双配对的概率。
在古典概型中利用等可能性的概念，成功地计算了某一类问题的概率，但是古典概型是在假设试验的基本事件有限个的情形下给出的，显然不适用于试验的基本事件为无穷多个的情形。这类问题一般可以通过几何方法来求解。先看几个简单的例子：某人午睡醒来发觉表停了，他打开收音机想听电台报时，求他等待的时间短于10分钟的概率。如果在一个5万平方公里的海域有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油，假如在这个海域里随意选定一点钻探，问钻到石油的概率是多少？在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，现从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率。
在上述这类问题中，试验的可能结果是某区域中的一点，这个区域可以是一维的、二维的、三维的，甚至是n维的，这时可能结果的全体或我们感兴趣的结果都是无限的，等可能性可以理解为：在区域G内任意投掷一点，落在区域G内任何部分g的概率只与这部分的测度（长度、面积、体积等）成正比而与其位置和形状无关。因此，若以Ag记“在区域G中随机取一点落在区域g中”这一事件，其几何概率定义为：
例：（会面问题）两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一个人15分钟，过时就可离去，求两人能谋面的概率。例：在区间（0，1）中随机抽取2个数，求下列事件的概率。（1）两数之和小于6/5（2）两数之积小于1/4解：设x，y表示（0，1）中的2个数，则Ω为正方形区域：0≤x≤1，0≤y≤1
例：在线段AB上有一点C介于A、B之间，AC长度为a,线段CB长度为b，且a>b，在AC上随机取一点x，在CB上随机取一点y，求AX、XY、YB可构成三角形的概率。解：设线段AX、YB长度分别为x，y，则XY长度为a+b-x-y， 0≤x≤a，0≤y≤b，为构成三角形必须：x<(a+b-x-y)+y 即 x<(a+b)/2 y< (a+b-x-y)+x 即 y<(a+b)/2 a+b-x-y(a+b)/2故：
例：在一张打上方格的纸上投一枚直径为1 的硬币，方格边长要多少才能使硬币与线不相交的概率小于1%？解：设方格边长为a，且a>1情形
例：（蒲丰问题）平面上画着一些平行线，它们之间距离都等于a，向此平面任投一长度为l（l1.5 概率的公理化定义
前面我们讨论了概率的统计定义、古典定义和几何定义，其中，古典定义和几何定义只是分别说明了两类很特殊的试验的情形，远远没有穷尽所有的试验，而统计定义虽然直观，但不够严密，实际中不可能都去做大量的试验而得出每个事件的频率稳定值。那么，对于一般的随机现象如何定义事件的概率呢？在十九世纪末开始的数学公理化潮流的影响下，1933年苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论公理化结构，他综合了前人的成果，给出了概率的公理化定义，使概率论成为严谨的数学分支。概率的公理化定义
不可能事件Φ的概率为0，即P(Φ)=0若事件A包含于事件B，则P(A)≤P(B)任一随机事件Ａ，０≤Ｐ(Ａ)≤1对立事件的概率之和为1证明：
减法公式：P(B-A)=P(B)-P(AB)证明：若Ａ包含于Ｂ，则P(B-A)=P(B)-P(A）加法定理：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
练习：将15名新生（其中有3名优秀生）随机分配到三个班级，其中一班4名，二班5名、三班6名，求（1）每班分配1名优秀生（2）3名优秀生被分配到同一班级的概率。解：总的分法有C154C115C66种（1）将3名优秀生分配给每班有3！种分法，再将剩余的12名新生分到各班有C123C94C55种分法，根据乘法法则（2）设Ai表示事件“3名优秀生全部分到第i班”，i=１、2、3，则
例：袋中装有N-1只黑球和1只白球，每次从袋中随机摸出一球，并换入一只黑球，这样继续下去，求第K次摸到黑球的概率。解：设A表示第K次摸到黑球，其对立事件B为第K次摸到白球，它等价于前K-1次摸到黑球第K次摸到白球。因此：
例：从5双不同号码的鞋子中任取4只，求至少有2只配成1双的概率。解：先考虑不利场合：从5双中任取4双，再从取出的每双中各取一只，根据乘法原理，不利场合总数为总的抽法是
例：从0、1、2……9这10个数字中任选3个，A1={3个数字中不含0和5}，A2={3个数字中不含0或5}，求A1、A2的概率。解：设B ={3个数字中不含0}，C={3个数字中不含5}，则A2=B∪C
例：有r 个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率。

美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日。
即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476。这个概率不算小，因此它的出现不值得奇怪。 计算后发现，这个概率随着球迷人数的增加而迅速地增加，如下页表所示：
人数 至少有两人同 生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994
所有这些概率都是在假定一个人的生日在 365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的。实际上，这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大。当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的。
例:某人一次写了N封信,又写了N个信封,如果他任意地将N封信装入N个信封,求至少有一封信和信封是一致的概率。