人教版（中职）基础模块下册7.2 数乘向量教案设计

环节

教学内容

师生互动

设计意图

导

入

教师提出问题，引入课题．

学生观察解答．

在向量加法的基础上引入数乘向量的定义，符合学生认知规律，有利于概念的同化．

新

课

新

课

新

课

新

课

1．数乘向量的定义

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作 λa．

向量 λa ( a≠0，λ≠0)的长度与方向规定为：

(1) | λa |＝| λ | | a |；

(2) 当λ＞0时，λa 与 a 的方向相同；当λ＜ 0 时，λa 与 a 的方向相反．

当 λ＝0 时，0a＝0；当 a＝0 时，λ0＝0．

2．数乘向量的几何意义

把向量 a 沿着 a 的方向或 a 的反方向，长度放大或缩小．

如2a 的几何意义就是沿着向量 a 的方向，长度放大到原来的 2 倍．

练习一 

任作向量 a，再作出向量－3a，a，－a，并说出它们的几何意义．

3．数乘向量运算的运算律　

设 λ，μR，有：

(1) (λ＋μ)a＝λa＋μa；

(2) λ(μa)＝(λμ)a；

(3) λ(a＋b)＝λa＋λb．

请观察，数乘向量运算律与实数乘法运算律有什么相似之处？

例1  计算下列各式：

（1）(－2) a；

（2）2(a＋b)－3(a－b)；

（3）(+)(a－b)－(－)(a+b) ．

解　（1）(－2)  a＝(－2 ) a＝－a；

（2）2 (a＋b)－3 (a－b)

＝2 a－3 a＋2 b＋3 b

＝(2－3) a＋(2＋3) b

＝－a＋5 b．

（3）(＋)(a－b)－(－)(a＋b)

＝(＋)a－(＋)b－(－)a－(－)b

＝(＋－＋)a－(＋＋－)b

＝2a－2b．

练习二

化简：

（1）2(a－b)＋3(a＋b)；

(2) (a＋b)＋(a－b)．

例2　设x是未知向量，解方程

5 (x＋a)＋3 (x－b)＝0．

解  原式可变形为

5x＋5a＋3x－3b＝0，

8 x＝－5a＋3b，

    x＝－a＋b．

练习三

解关于x的方程：

(1) 3(a＋x)＝x；

(2) x＋2(a＋x)＝0．

例3 已知＝3，＝3，说明向量与的关系．

解  因为

＝＋＝3＋3

＝3(＋)＝3．

所以与共线且同方向，长度是的3倍．

4．平行向量基本定理

如果a＝λb，则a//b；反之如果a//b，且b≠0，则一定存在一个实数λ，使a＝λb．

例如，如果 a＝2b，则 a//b；如果 c＝－2b，则 c//b；如果 d//b，且d 的长度是 b 的一半，并且方向相反，则 d＝－ b．

5．非零向量 a 的单位向量

与 a 同方向且长度为1的向量，称为非零向量 a 的单位向量．易知，a的单位向量为．

例4  若MN是△ABC 的中位线，求证：

MN＝BC，且MN∥BC．

证明  因为M，N是AB，AC边上的中点，所以

＝，＝，

＝－＝－

＝(－)＝．

所以MN＝BC，且MN ∥BC．

练习四  

已知点D 是线段 BC 的中点， 求证：

＝(＋)．

教师由具体例子引导学生得到数乘向量的定义．

师生合作完成．

教师提出问题．

学生观察解答．

师生合作完成．

学生练习巩固．

教师引导学生完成．

学生练习巩固．

教师给出问题并引导学生解答．

学生根据向量加法的三角形法则及数乘向量定义完成解答．

    教师由上例引导学生推广到一般的平行向量．

教师引导学生分析．

学生练习巩固．

培养学生由特殊到一般的归纳总结能力．

紧扣向量的两要素分析定义，便于理解数乘向量的几何意义．

类比学习．

有实数运算法则做基础，学生解决这部分题目很容易，提醒学生向量上加箭头．

由本例引入平行向量定理，由特殊到一般，便于学生接受．

本题是首次应用向量知识来解决平面几何问题，对学生来说有些难度，教师须根据向量的运算法则详细讲解．

小

结

1．数乘向量的定义及其几何意义．

2．数乘向量运算律．

3．平行向量基本定理．

4．单位向量．

师生合作．

梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．

作

业

教材 P43，习题第5题．

巩固．