2021年山东省临沂市兰山区中考数学一轮验收试卷 解析版

这是一份2021年山东省临沂市兰山区中考数学一轮验收试卷 解析版，共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年山东省临沂市兰山区中考数学一轮验收试卷
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）下列四个数中，绝对值不是正数的是（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．4
2．（3分）如图中的几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场成功发射“嫦娥五号”探测器，实现人类航天史上第一次在380000000米外的月球轨道上进行了无人交会对接，将数据380000000用科学记数法表示为（　　）
A．3.8×107 B．38×107 C．3.8×108 D．0.38×109
4．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A．（x2）3＝x5 B．x3•x3＝x6
C．3x2+2x3＝5x5 D．（x+y）2＝x2+y2
5．（3分）如图，OC是∠AOB的平分线，直线l∥OB．若∠1＝50°，则∠2的大小为（　　）

A．50° B．60° C．65° D．80°
6．（3分）不等式组的解集是（　　）
A．x≤3 B．x＜﹣2 C．﹣2＜x≤3 D．x＞﹣2
7．（3分）某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：75，90，85，95，80，85．下列表述错误的是（　　）
A．众数是85 B．平均数是80 C．中位数是85 D．极差是20
8．（3分）2018年某市初中学业水平实验操作考试要求每名学生从物理、化学、生物三个学科中随机抽取一科参加测试，小华和小强都抽到物理学科的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）甲乙两位赛车手同时从起点出发，行驶20千米到达终点．已知甲车手每小时比乙车手多行驶1千米，甲比乙早到达12分钟，若设乙每小时跑x千米，则所列方程式为（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，点F是▱ABCD的边AD上的三等分点，BF交AC于点E，如果△AEF的面积为2，那么四边形CDFE的面积等于（　　）

A．18 B．22 C．24 D．46
11．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，D、E是AB、BC上两点，将△ABC沿DE折叠，使点B落在AC边上点F处，并且DF∥BC．若CF＝3，BC＝9，则AB的长是（　　）

A． B．9 C． D．15
12．（3分）正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2
13．（3分）小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④4ac﹣b2＞0；⑤a＝b．你认为其中正确信息的个数有（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
14．（3分）如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．（3分）因式分解：a3﹣9ab2＝　 　．
16．（3分）当a＝3时，代数式的值是　 　
17．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC＝16，BD＝12，DH垂直BC于H，则sin∠DCH＝　 　．

18．（3分）如图，将半径为6的半圆，绕点A逆时针旋转75°，使点B落到点B′处，则图中阴影部分的面积是　 　．

19．（3分）《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当x＝8时，多项式3x3﹣4x2﹣35x+8的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式3x3﹣4x2﹣35x+8进行改写：
3x3﹣4x2﹣35x+8＝x（3x2﹣4x﹣35）+8＝x[x（3x﹣4）﹣35]+8
按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当x＝8时，多项式3x3﹣4x2﹣35x+8的值为1008．
请参考上述方法，将多项式x3+2x2+x﹣1改写为：　 　，当x＝8时，这个多项式的值为 　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共63分）
20．（7分）计算：．
21．（7分）某校260名学生参加植树活动，活动结束后学校随机调查了部分学生每人的植树棵数，并绘制成如下的统计图①和统计图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为　 　，图①中m的值为　 　；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（Ⅲ）求本次调查获取的样本数据的平均数，并根据样本数据，估计这260名学生共植树多少棵．
22．（7分）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1：2.4，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC＝13°（此时点B、C、D在同一直线上）．

（1）求这个车库的高度AB；
（2）求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，cot13°≈4.331）
23．（9分）某学校购买一批办公用品，有甲、乙两家超市可供选择：甲超市给予每件0.8元的优惠价格，乙超市的优惠条件如图象所示．
（1）分别求出在两家超市购买费用y（元）与购买数量x（件）的函数解析式；
（2）若你是学校采购员，应如何选择才能更省钱？

24．（9分）已知：如图，AB是⨀O的直径，AC切⨀O于A点，且AC＝AB，CO交⨀O于P、D两点，BP的延长线交AC于E点．
（1）求证：DA∥BE；
（2）求证：；
（3）求tan∠CPE的值．

25．（11分）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝+1，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝1，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），如图2，连接CE，BD，CD．
（1）当0°＜α＜180°时，求证：CE＝BD；
（2）如图3，当α＝90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；
（3）在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．

26．（13分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣6，点P是抛物线上位于直线AB上方的一动点（不与点A，B重合）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接PA，PB，在点P运动的过程中，是否存在某一位置，使得△PAB恰好是一个以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，以PD为直径的⊙E与直线AB相交于点G，求DG的最大值．


2021年山东省临沂市兰山区中考数学一轮验收试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）下列四个数中，绝对值不是正数的是（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．4
【分析】根据绝对值的性质以及正数的定义判断即可，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．
【解答】解：A.0的绝对值是0，0既不是正数，也不是负数，故本选项符合题意；
B．﹣1的绝对值是1，1是正数，故本选项不符合题意；
C.2的绝对值是2，2是正数，故本选项不符合题意；
D.4的绝对值是4，4是正数，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．（3分）如图中的几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边是一个小正方形，
故选：A．
3．（3分）2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场成功发射“嫦娥五号”探测器，实现人类航天史上第一次在380000000米外的月球轨道上进行了无人交会对接，将数据380000000用科学记数法表示为（　　）
A．3.8×107 B．38×107 C．3.8×108 D．0.38×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：380000000＝3.8×108，
故选：C．
4．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A．（x2）3＝x5 B．x3•x3＝x6
C．3x2+2x3＝5x5 D．（x+y）2＝x2+y2
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及完全平方公式、合并同类项法则分别判断得出答案．
【解答】解：A、（x2）3＝x6，故此选项错误；
B、x3•x3＝x6，正确；
C、3x2+2x3，无法计算，故此选项错误；
D、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误；
故选：B．
5．（3分）如图，OC是∠AOB的平分线，直线l∥OB．若∠1＝50°，则∠2的大小为（　　）

A．50° B．60° C．65° D．80°
【分析】根据平行线的性质可求∠AOB，再根据角平分线的定义求得∠BOC，再根据平行线的性质可求∠2．
【解答】解：∵l∥OB，
∴∠AOB＝180°﹣∠1＝130°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠BOC＝65°，
∴∠2＝∠BOC＝65°．
故选：C．
6．（3分）不等式组的解集是（　　）
A．x≤3 B．x＜﹣2 C．﹣2＜x≤3 D．x＞﹣2
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式﹣2x﹣4＞0，得：x＜﹣2，
解不等式x﹣3≤0，得：x≤3，
则不等式组的解集为x＜﹣2，
故选：B．
7．（3分）某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：75，90，85，95，80，85．下列表述错误的是（　　）
A．众数是85 B．平均数是80 C．中位数是85 D．极差是20
【分析】根据众数、平均数、中位数、极差的概念逐项分析即可．
【解答】解：A、这组数据85出现的对多，故众数为85，即选项A正确；
B、由平均数公式求得：（75+90+85+95+80+85）÷6＝85，即B选项错误；
C、把数据按大小排列，中间两个数为85和85，所以中位数是85，故C选项正确；
B、极差是95﹣75＝20，故D选项正确，不符合题意．
故选：B．
8．（3分）2018年某市初中学业水平实验操作考试要求每名学生从物理、化学、生物三个学科中随机抽取一科参加测试，小华和小强都抽到物理学科的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用树状图法列举出所有的可能，进而利用概率公式求出答案．
【解答】解：如图所示：
，
一共有9种可能，符合题意的有1种，
故小华和小强都抽到物理学科的概率是：．
故选：D．
9．（3分）甲乙两位赛车手同时从起点出发，行驶20千米到达终点．已知甲车手每小时比乙车手多行驶1千米，甲比乙早到达12分钟，若设乙每小时跑x千米，则所列方程式为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】乙每小时走x千米，则甲每小时走（x+1）千米，根据题意可得：走20千米，甲比乙多用12分钟，据此列方程．
【解答】解：设乙每小时走x千米，则甲每小时走（x+1）千米，
由题意得﹣＝，
故选：D．
10．（3分）如图，点F是▱ABCD的边AD上的三等分点，BF交AC于点E，如果△AEF的面积为2，那么四边形CDFE的面积等于（　　）

A．18 B．22 C．24 D．46
【分析】易证△AFE∽△CBE，根据相似三角形的性质可知S△CBE＝18，再由，可求出S△ABE＝6，由平行四边形的性质可知：S△ACD＝S△ABC＝24，从而可求出答案．
【解答】解：∵AF∥BC，BC＝3AF，
∴△AFE∽△CBE，
∴＝，
∴S△CBE＝18，
∵，
∴S△ABE＝6，
∴S△ABC＝S△ABE+S△CBE＝6+18＝24
由平行四边形的性质可知：S△ACD＝S△ABC＝24，
∴S四边形CDFE＝S△ACD﹣S△AEF＝22
故选：B．
11．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，D、E是AB、BC上两点，将△ABC沿DE折叠，使点B落在AC边上点F处，并且DF∥BC．若CF＝3，BC＝9，则AB的长是（　　）

A． B．9 C． D．15
【分析】由折叠得到EB＝EF，∠B＝∠DFE，根据CE+EB＝9，得到CE+EF＝9，设EF＝x，得到CE＝9﹣x，在直角三角形CEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EF与CE的长，由FD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换得到一对同位角相等，进而确定出EF与AB平行，由平行得比例，即可求出AB的长．
【解答】解：由折叠得到EB＝EF，∠B＝∠DFE，
在Rt△ECF中，设EF＝EB＝x，得到CE＝BC﹣EB＝9﹣x，
根据勾股定理得：EF2＝FC2+EC2，即x2＝32+（9﹣x）2，
解得：x＝5，
∴EF＝EB＝5，CE＝4，
∵FD∥BC，
∴∠DFE＝∠FEC，
∴∠FEC＝∠B，
∴EF∥AB，
∴＝，
则AB＝＝＝．
故选：C．
12．（3分）正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2
【分析】由正、反比例函数的对称性结合点B的横坐标，即可得出点A的横坐标，再根据两函数图象的上下关系结合交点的横坐标，即可得出结论．
【解答】解：∵正比例和反比例均关于原点O对称，且点B的横坐标为﹣2，
∴点A的横坐标为2．
观察函数图象，发现：
当x＜﹣2或0＜x＜2时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2．
故选：B．
13．（3分）小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④4ac﹣b2＞0；⑤a＝b．你认为其中正确信息的个数有（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】利用函数图象分别求出a，b，c的符号，进而得出x＝1或﹣1时y的符号，进而判断得出答案．
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣＝﹣，
∴3b＝2a，则a＝b，
∴b＜0，
∵图象与x轴交与y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故选项①错误；选项⑤正确；
②由图象可得出：当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故选项②正确；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴b﹣b+c＞0，
∴b+2c＞0，故选项③正确；
④抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，则4ac﹣b2＜0，
故选项④错误．
故正确的有3个．
故选：B．
14．（3分）如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小；
【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．

∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝12，
BM＝＝＝13，
∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．（3分）因式分解：a3﹣9ab2＝　a（a﹣3b）（a+3b）　．
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a3﹣9ab2＝a（a2﹣9b2）＝a（a﹣3b）（a+3b）．
故答案为：a（a﹣3b）（a+3b）．
16．（3分）当a＝3时，代数式的值是　2　
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当a＝3时，原式＝＝2，
故答案为：2．
17．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC＝16，BD＝12，DH垂直BC于H，则sin∠DCH＝　　．

【分析】由菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AO＝CO＝8，BO＝DO＝6，由勾股定理可求BC＝10，由三角形的面积公式可求DH的长，即可求sin∠DCH的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AO＝CO＝8，BO＝DO＝6，
∴BC＝＝10
∵S△BCD＝BC×DH＝BD×OC，
∴12×8＝10×DH
∴DH＝9.6
∴sin∠DCH＝＝
18．（3分）如图，将半径为6的半圆，绕点A逆时针旋转75°，使点B落到点B′处，则图中阴影部分的面积是　30π　．

【分析】根据整体思想，可知S阴影＝S半圆AB′+S扇形ABB′﹣S半圆AB＝S扇形ABB′，再利用扇形面积公式计算即可．
【解答】解：∵S阴影＝S半圆AB′+S扇形ABB′﹣S半圆AB
而根据旋转的性质可知S半圆AB′＝S半圆AB
∴S阴影＝S半圆AB′+S扇形ABB′﹣S半圆AB＝S扇形ABB′
而由题意可知AB＝12，∠BAB′＝75°
即：S阴影＝＝30π
故答案为30π．
19．（3分）《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当x＝8时，多项式3x3﹣4x2﹣35x+8的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式3x3﹣4x2﹣35x+8进行改写：
3x3﹣4x2﹣35x+8＝x（3x2﹣4x﹣35）+8＝x[x（3x﹣4）﹣35]+8
按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当x＝8时，多项式3x3﹣4x2﹣35x+8的值为1008．
请参考上述方法，将多项式x3+2x2+x﹣1改写为：　x[x（x+2）+1]﹣1　，当x＝8时，这个多项式的值为 　647　．
【分析】仿照题中的方法将原式改写，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：x3+2x2+x﹣1＝x[x（x+2）+1]﹣1，
当x＝8时，原式＝647，
故答案为：x[x（x+2）+1]﹣1；647
三、解答题（本大题共7小题，共63分）
20．（7分）计算：．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝﹣8．
21．（7分）某校260名学生参加植树活动，活动结束后学校随机调查了部分学生每人的植树棵数，并绘制成如下的统计图①和统计图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为　20　，图①中m的值为　20　；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（Ⅲ）求本次调查获取的样本数据的平均数，并根据样本数据，估计这260名学生共植树多少棵．
【分析】（Ⅰ）由棵数为5的人数除以占的百分比求出调查学生总数，进而确定出m的值即可；
（Ⅱ）根据条形统计图中的数据确定出众数与中位数即可；
（Ⅲ）求出本次调查获取的样本数据的平均数，并根据样本数据，估计出这260名学生共植树的棵数即可．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意得：8÷40%＝20，m%＝＝20%，即m＝20，
故答案为：20；20；
（Ⅱ）本次调查获取的样本数据的众数和中位数分别为都为5棵；
（Ⅲ）根据题意得：4×20%+5×40%+6×30%+7×10%＝0.8+2+1.8+0.7＝5.3（棵），
则260×5.3＝1378（棵），即估计这260名学生共植树1378棵．
22．（7分）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1：2.4，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC＝13°（此时点B、C、D在同一直线上）．

（1）求这个车库的高度AB；
（2）求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，cot13°≈4.331）
【分析】（1）根据坡度的概念，设AB＝5x，则BC＝12x，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（2）根据余切的定义列出算式，求出DC．
【解答】解：（1）由题意，得：∠ABC＝90°，i＝1：2.4，
在Rt△ABC中，i＝＝，
设AB＝5x，则BC＝12x，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴AC＝13x，
∵AC＝13，
∴x＝1，
∴AB＝5，
答：这个车库的高度AB为5米；

（2）由（1）得：BC＝12，
在Rt△ABD中，cot∠ADC＝，
∵∠ADC＝13°，AB＝5，
∴DB＝5cot13°≈21.655（m），
∴DC＝DB﹣BC＝21.655﹣12＝9.655≈9.7（米），
答：斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为9.7米．
23．（9分）某学校购买一批办公用品，有甲、乙两家超市可供选择：甲超市给予每件0.8元的优惠价格，乙超市的优惠条件如图象所示．
（1）分别求出在两家超市购买费用y（元）与购买数量x（件）的函数解析式；
（2）若你是学校采购员，应如何选择才能更省钱？

【分析】（1）直接利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）利用（1）中所求函数解析式进而分类讨论得出答案．
【解答】解：（1）由题意知：y甲＝0.8x，
当0≤x＜200时，设y乙＝k2x（k2≠0），
由图象可知：当x＝200时，y乙＝400，
代入得：400＝200k2，
k2＝2，
所以：y乙＝2x；
当x≥200时，y乙＝k3x+b（k3≠0），
由图象知：当x＝200时，y乙＝400，当x＝600时，y乙＝480，
代入得：，
解得：，
所以y乙＝0.2x+360，
即y乙＝；

（2）当0≤x＜200时，
由于y甲＝0.8x，y乙＝2x，此时y甲＜y乙，
当x≥200时，
如果0.8x＜0.2x+360，则x＜600，此时y甲＜y乙，
如果0.8x＝0.2x+360，则x＝600，此时y甲＝y乙，
如果0.8x＞0.2x+360，则x＜600，此时y甲＞y乙，
综上所述：当购买数量少于600件时，选择在甲超市购买；
当购买数量等于600件时，两家超市一样；
当购买数量多于600件时，选择在乙超市购买．
24．（9分）已知：如图，AB是⨀O的直径，AC切⨀O于A点，且AC＝AB，CO交⨀O于P、D两点，BP的延长线交AC于E点．
（1）求证：DA∥BE；
（2）求证：；
（3）求tan∠CPE的值．

【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论；
（2）先判断出∠BAP+∠PAC＝90°，进而得出∠ABP＝∠PAC，判断出△DAC∽△APC，即可得出结论；
（3）设PC＝x，（x＞0），由切割线定理，得PC•CD＝AC2，即x2+dx﹣d2＝0，解得，进而表示出PC，CD，再表示出AE，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵OB＝OP，
∴∠OBP＝∠OPB，
∵∠D＝∠OBP，
∴∠OPB＝∠D，
∴AD∥BE；

（2）证明：∵AC是⊙O的切线，
∴∠CAB＝90°，
∴∠BAP+∠PAC＝90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∴∠ABP+∠BAP＝90°，
∴∠ABP＝∠PAC，
∵∠ABP＝∠D，
∴∠D＝∠PAC，
∵∠C＝∠C，
∴△DAC∽△APC，
∴，
∵AB＝AC，
∴；

（3）解：设PC＝x，（x＞0），⨀O的直径为d，则DP＝AB＝AC＝d
由切割线定理，得PC•CD＝AC2，
即x（x+d）＝d2，整理，得x2+dx﹣d2＝0，
解得
∴，，
∵DE∥DA，
∴
即＝，
∵∠CPE＝∠DPB＝∠B，
∴tan∠CPE＝tanB＝＝＝．
25．（11分）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝+1，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝1，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），如图2，连接CE，BD，CD．
（1）当0°＜α＜180°时，求证：CE＝BD；
（2）如图3，当α＝90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；
（3）在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．

【分析】（1）利用“SAS”证得△ACE≌△ABD即可得到结论；
（2）利用“SAS”证得△ACE≌△ABD，推出∠ACE＝∠ABD，计算得出CD＝BC＝，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；
（3）观察图形，当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．
【解答】（1）证明：如图2中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90°，
∵∠CAE+∠BAE＝∠BAD+∠BAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴CE＝BD；
（2）证明：如图3中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90°，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠ACE+∠AEC＝90°，且∠AEC＝∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB＝90°，
∴∠EFB＝90°，
∴CF⊥BD，
∵AB＝AC＝，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴BC＝AB＝，CD＝AC+AD＝，
∴BC＝CD，
∵CF⊥BD，
∴CF是线段BD的垂直平分线；
解法二：通过计算证明CD＝DB，ED＝EB，可得结论．
（3）解：△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时△BCD的面积有最大值，
∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，如图4中：

∵AB＝AC＝，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，DG⊥BC于G，
∴AG＝BC＝，∠GAB＝45°，
∴DG＝AG+AD＝，∠DAB＝180°﹣45°＝135°，
∴△BCD的面积的最大值为：，
旋转角α＝135°．
26．（13分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣6，点P是抛物线上位于直线AB上方的一动点（不与点A，B重合）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接PA，PB，在点P运动的过程中，是否存在某一位置，使得△PAB恰好是一个以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，以PD为直径的⊙E与直线AB相交于点G，求DG的最大值．

【分析】（1）在函数y＝x﹣1中，求出A（2，0）、B（﹣6，﹣4），将A（2，0），B（﹣6，﹣4）代入y＝﹣x2+bx+c中，即可求解；
（2）存在，理由：由A、B点坐标得：则点E（﹣2，﹣2），则AE＝＝2，tan∠OAC＝，即：＝，则AF＝5，可得直线EF的表达式为：y＝﹣2x﹣6…②，联立①②即可求解；
（3）GD＝PDsin∠DPG＝（﹣x2﹣x+4﹣x+1），即可求解．
【解答】解：（1）在函数y＝x﹣1中，
当y＝0时，x＝2，∴A（2，0），
当x＝﹣6时，y＝﹣4，∴B（﹣6，﹣4），
将A（2，0），B（﹣6，﹣4）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得，
解得，
∴该抛物线得解析式为y＝﹣x2﹣x+4…①；
（2）存在，理由：
设直线AB交y轴于点C，则点C（0，﹣1），
如图所示，作线段AB的垂直平分线交x轴于点F、交线段AB于点E，

由A、B点坐标得：则点E（﹣2，﹣2），则AE＝＝2，
由，即：＝，则AF＝5，
故点F（﹣3，0），
由点E（﹣2，﹣2）、F（﹣3，0）得直线EF的表达式为：y＝﹣2x﹣6…②，
联立①②并解得：x＝﹣4或6（舍去x＝6），
故点P 的坐标为（﹣4，2），
PE＝＝2，
∵AB＝4，
∴PE＝BE＝AE，
∴△PAB是等腰直角三角形，符合题意．
（3）如下图所示，PD为直径，则∠PGD＝90°，
即：PG⊥AC

∠OAC＝90°﹣∠PDC＝∠DPG，
在Rt△AOC中，sin∠OAC＝＝sin∠DPG，
则GD＝PDsin∠DPG，
设点P坐标为（x，﹣x2﹣x+4），则点D（x，x﹣1），
GD＝PDsin∠DPG＝（﹣x2﹣x+4﹣x+1），
当x＝﹣＝﹣2时，GD最大，最大值为：．