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湖北省鄂州市2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）
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这是一份湖北省鄂州市2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省鄂州市八年级第一学期期末数学试卷
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．下列校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．分式有意义时x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x≥3 C．x≤3 D．x＞3
3．下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12 B．（a+b）2＝a2+b2
C．（﹣a2）3＝﹣a6 D．（﹣2x3）2＝4x5
4．纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝10﹣9m．专家们研究证实，新型冠状病毒的直径大约为128纳米，即0.000000128米．该直径用科学记数法表示为（ ）米．
A．1.28×102 B．1.28×10﹣9 C．1.28×10﹣8 D．1.28×10﹣7
5．如图的三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，若△AED的周长为7cm，则AC的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
6．若等腰△ABC的两边长分别为3和7，则它的周长是（ ）
A．17 B．13 C．17或13 D．10
7．我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”．根据图中的数字排列规律，a、b、c的值分别为（ ）
A．1，6，15 B．6，15，20 C．20，15，6 D．15，6，1
8．用图1的面积可以验证多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么用图2的面积可以验证的乘法运算是（ ）
A．（a+4b）（a+b）＝a2+5ab+4b2
B．（a﹣4b）（a+b）＝a2﹣3ab+4b2
C．（a+4b）（a+b）＝a2+4ab+4b2
D．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2
9．八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（ ）
A．﹣＝20 B．﹣＝20
C．﹣＝ D．﹣＝
10．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为Rt△ABC内一点，且∠BDC＝90°，若CD长为6，则△ACD的面积为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．24
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．点（3，6）关于x轴对称的点的坐标为 ．
12．分式的值为0，则x的值是 ．
13．若n边形的内角和等于外角和的2倍，则边数n为 ．
14．如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，若∠A＝66°，则∠BGC的度数为 ．
15．计算28x4y3÷4x3y﹣2结果为 ．
16．已知多项式9x2+mx+4是完全平方式，则m的值为 ．
17．若关于x的分式方程的解为正数，则常数m的取值范围是 ．
18．如图，点A为线段BC外一动点，BC＝4，AB＝1，分别以AC、AB为边作等边△ACD、等边△ABE，连接BD．则线段BD长的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．分解因式：
（1）ax2+2axy+ay2；
（2）16y4﹣1．
20．先化简，后求值：（）；x＝5．
21．如图，将Rt△ABC的直角顶点C置于直线l上，AC＝BC，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D、E，连接AE．若BE＝3，DE＝5．求△ACE的面积．
22．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，点A（0，4），点B（2，2），点C（1，1）．
（1）将△ABC向左平移4个单位得到△A1B1C1（点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1），画出△A1B1C1．
（2）△A2B2C2和△A1B1C1关于x轴对称（点A1、B1、C1的对称点分别为A2、B2、C2），画出△A2B2C2．
（3）在x轴上画出一点P，使PA+PA1的值最小，直接写出点P的坐标为 ．
23．观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣．
将以上三个等式左、右两边分别相加得：++＝1﹣+﹣+﹣＝．
（1）若n为正整数，猜想并填空：＝ ．
（2）计算++++…+的结果为 ．
（3）解分式方程：++＝．
24．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ 度．
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
①如图2，当点D在线段BC上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
②如图3，当点D在线段BC的反向延长线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
25．鄂州市2020年被评为“全国文明城市”．创文期间，甲、乙两个工程队共同参与某段道路改造工程．如果甲工程队单独施工，恰好如期完成；如果甲、乙两工程队先共同施工10天，剩下的任务由乙工程队单独施工，也恰好能如期完成；如果乙工程队单独施工，就要超过15天才能完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需多少天？
（2）若甲工程队单独施工a天，再由甲、乙两工程队合作 天（用含有a的代数式表示）可完成此项工程．
（3）现在要求甲、乙两个工程队都必须参加这项工程．如果甲工程队每天的施工费用为2万元，乙工程队每天的施工费用为1.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，能使施工费用不超过61.5万元？
26．在平面直角坐标系中，点A（0，a），点B（b，0），点C（﹣3，0），且a、b满足a2﹣6a+9+|a﹣b|＝0．
（1）点A坐标为 ，点B坐标为 ，△ABC是 三角形．
（2）如图1，过点A作射线l（射线l与边BC有交点），过点B作BD⊥l于点D，过点C作CE⊥l于点E，过点E作EF⊥DC于点F交y轴于点G．
①求证：BD＝AE；
②求点G的坐标．
（3）如图2，点P是x轴正半轴上一动点，∠APO的角平分线交y轴于点Q，点M为线段OP上一点，过点M作MN∥PQ交y轴于点N；若∠AMN＝45°，请探究线段AP、AN、PM三者之间的数量关系，并证明你的结论．
参考答案
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．下列校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．分式有意义时x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x≥3 C．x≤3 D．x＞3
【分析】要使分式有意义，分式的分母不能为0，据此可求解．
解：∵3−x≠0，
∴x≠3．
故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12 B．（a+b）2＝a2+b2
C．（﹣a2）3＝﹣a6 D．（﹣2x3）2＝4x5
【分析】选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
选项B根据完全平方公式判断即可，完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2；
选项C根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；
选项D根据积的乘方运算法则判断即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
解：A．a3•a4＝a7，故本选项不合题意；
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不合题意；
C．（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项符合题意；
D．（﹣2x3）2＝4x6，故本选项不合题意；
故选：C．
4．纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝10﹣9m．专家们研究证实，新型冠状病毒的直径大约为128纳米，即0.000000128米．该直径用科学记数法表示为（ ）米．
A．1.28×102 B．1.28×10﹣9 C．1.28×10﹣8 D．1.28×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.000000128＝1.28×10﹣7．
故选：D．
5．如图的三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，若△AED的周长为7cm，则AC的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】由沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，可得BE＝BC＝6，CD＝DE，即有AE＝2，根据△AED的周长为7cm，得AD+DE＝5，故AC＝5．
解：∵沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，
∴BE＝BC＝6，CD＝DE，
∴AE＝AB﹣BE＝2，
∵△AED的周长为7cm，
∴AD+DE＝5，
∴AD+CD＝5，即AC＝5，
故选：C．
6．若等腰△ABC的两边长分别为3和7，则它的周长是（ ）
A．17 B．13 C．17或13 D．10
【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
解：①当腰是3，底边是7时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3，腰长是7时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．
故选：A．
7．我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”．根据图中的数字排列规律，a、b、c的值分别为（ ）
A．1，6，15 B．6，15，20 C．20，15，6 D．15，6，1
【分析】由所给杨辉三角形，发现每行首尾都是1，其它数是它上方两个数字之和，由此可求解．
解：由题意可得，
a＝10+10＝20，
b＝10+5＝15，
c＝5+1＝6，
故选：C．
8．用图1的面积可以验证多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么用图2的面积可以验证的乘法运算是（ ）
A．（a+4b）（a+b）＝a2+5ab+4b2
B．（a﹣4b）（a+b）＝a2﹣3ab+4b2
C．（a+4b）（a+b）＝a2+4ab+4b2
D．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2
【分析】根据图形确定出多项式乘法算式即可．
【解答】【答案】解：根据图2的面积得：（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2，
故选：A．
9．八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（ ）
A．﹣＝20 B．﹣＝20
C．﹣＝ D．﹣＝
【分析】设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合骑车的学生比乘车的学生多用20min（即h），即可得出关于x的分式方程，此题得解．
解：设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，
依题意，得：﹣＝．
故选：C．
10．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为Rt△ABC内一点，且∠BDC＝90°，若CD长为6，则△ACD的面积为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．24
【分析】过点A作AH⊥CD，交CD的延长线于H，证明△BCD≌△CAH（AAS），由全等三角形的性质得出AH＝CD＝6，根据三角形的面积公式可得出答案．
解：如图，过点A作AH⊥CD，交CD的延长线于H，
∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，
∵AH⊥CD，
∴∠ACB＝∠BDC＝∠H＝90°，
∴∠BCD+∠CBD＝90°＝∠BCD+∠ACH，
∴∠CBD＝∠ACH，
在△BCD和△CAH中，
，
∴△BCD≌△CAH（AAS），
∴AH＝CD＝6，
∴S△ACD＝CD•AH＝×6×6＝18．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．点（3，6）关于x轴对称的点的坐标为 （3，﹣6） ．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．
解：点（3，6）关于x轴对称的点的坐标为（3，﹣6），
故答案为：（3，﹣6）．
12．分式的值为0，则x的值是 1 ．
【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣1＝0且x≠0，易得x＝1．
解：∵分式的值为0，
∴x﹣1＝0且x≠0，
∴x＝1．
故答案为1．
13．若n边形的内角和等于外角和的2倍，则边数n为 6 ．
【分析】本题应先设这个多边形的边数为n，则依题意可列出方程（n﹣2）×180°＝360°×2，从而解出n＝6，即这个多边形的边数为6．
解：设这个多边形的边数为n，则依题意可得：
（n﹣2）×180°＝360°×2，
解得n＝6．
故答案为：6
14．如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，若∠A＝66°，则∠BGC的度数为 123° ．
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠GBC+∠GCB即可．
解：∵BE，CF分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠EBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，
∴∠EBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣100°）＝40°，
∴∠BGC＝180°﹣（∠EBC+∠FCB）＝180°﹣40°＝140°．
故答案为：123°．
15．计算28x4y3÷4x3y﹣2结果为 7xy5 ．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
解：28x4y3÷4x3y﹣2＝28÷4x4﹣3y3﹣（﹣2）＝7xy5．
故答案为：7xy5．
16．已知多项式9x2+mx+4是完全平方式，则m的值为 12或﹣12 ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征解答即可．
解：∵9x2+mx+4是一个完全平方式，
∴﹣m＝±12，
∴m＝±12．
故答案是：12或﹣12．
17．若关于x的分式方程的解为正数，则常数m的取值范围是 m＜6且m≠3 ．
【分析】先去分母再解方程得x＝，由方程的解为正数，则6﹣m＞0，又由x≠3，得6﹣m≠9，求出m即可．
解：，
两边同时乘以3﹣x，得x＝2（3﹣x）﹣m，
整理得，x＝，
∵方程的解为正数，
∴6﹣m＞0，
∴m＜6，
∵x≠3，
∴6﹣m≠9，
∴m≠﹣3，
∴m＜6且m≠﹣3，
故答案为：m＜6且m≠﹣3．
18．如图，点A为线段BC外一动点，BC＝4，AB＝1，分别以AC、AB为边作等边△ACD、等边△ABE，连接BD．则线段BD长的最大值为 5 ．
【分析】连接EC，则△EAC＝△BAD（SAS），因为EC≤BE+BC＝1+4＝5，所以当E、B、C在同一直线上时，EC最长，即可求出线段BD长的最大值为5．
解：连接EC.
∵△ACD、△ABE为等边三角形，
∴AB＝AE＝BE＝1，AC＝AD，∠EAB＝∠DAC＝60°
∴∠ESC＝∠BAD，
∴△EAC＝△BAD（SAS），
BD＝EC，
∵EC≤BE+BC＝1+4＝5
∴当E、B、C在同一直线上时，EC最长，
∴线段BD长的最大值为5．
故答案为：5．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．分解因式：
（1）ax2+2axy+ay2；
（2）16y4﹣1．
【分析】（1）直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
（2）直接利用平方公差式分解因式得出答案．
解：（1）原式＝a（x2+2xy+y2）
＝a（x+y）2；
（2）原式＝（4y2+1）（4y2﹣1）
＝（4y2+1）（2y+1）（2y﹣1）．
20．先化简，后求值：（）；x＝5．
【分析】先通分，然后化除法为乘法、约分化简，最后代入求值．
解：原式＝[﹣]×，
＝×，
＝．
把x＝5代入，则原式＝＝．
21．如图，将Rt△ABC的直角顶点C置于直线l上，AC＝BC，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D、E，连接AE．若BE＝3，DE＝5．求△ACE的面积．
【分析】由AD⊥CE，BE⊥CE得到∠ADC＝∠CEB＝90°，根据等角的余角相等得到∠CAD＝∠BCE，则根据“AAS”可判断△ACD≌△CBE，所以CD＝BE＝3，AD＝CE＝CD+DE＝3+5＝8，根据三角形面积公式可得出答案．
解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，即∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝3，AD＝CE，
∵CE＝CD+DE＝3+5＝8，
∴AD＝8．
∴S△ACE＝×8×8＝32．
22．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，点A（0，4），点B（2，2），点C（1，1）．
（1）将△ABC向左平移4个单位得到△A1B1C1（点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1），画出△A1B1C1．
（2）△A2B2C2和△A1B1C1关于x轴对称（点A1、B1、C1的对称点分别为A2、B2、C2），画出△A2B2C2．
（3）在x轴上画出一点P，使PA+PA1的值最小，直接写出点P的坐标为 （﹣2，0） ．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可解决问题．
（2）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A'A1交x轴于点P，点P即为所求．
解：（1）如图所示．
（2）如图所示．
（3）如图所示．点P坐标（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
23．观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣．
将以上三个等式左、右两边分别相加得：++＝1﹣+﹣+﹣＝．
（1）若n为正整数，猜想并填空：＝ ﹣ ．
（2）计算++++…+的结果为 ．
（3）解分式方程：++＝．
【分析】（1）观察已知等式，作出猜想，写出即可；
（2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果；
（3）方程左边利用得出的规律化简，计算即可求出解．
解：（1）猜想得：＝﹣；
故答案为：﹣；
（2）原式＝1﹣+﹣+...+﹣
＝1﹣
＝；
故答案为：；
（3）原方程变形为：+﹣+﹣＝，
整理得：＝，
去分母，得：x＝7，
经检验，x＝7是原方程的解．
24．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ 90 度．
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
①如图2，当点D在线段BC上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
②如图3，当点D在线段BC的反向延长线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【分析】（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE，得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度数；
（2）①由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；
②由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论．
解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
故答案为：90；
（2）①α+β＝180°，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．
∵∠ACE+∠ACB＝β，
∴∠B+∠ACB＝β，
∵α+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+β＝180°．
②当点D在射线BC的反向延长线上移动时，α＝β．理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCE，
即α＝β．
25．鄂州市2020年被评为“全国文明城市”．创文期间，甲、乙两个工程队共同参与某段道路改造工程．如果甲工程队单独施工，恰好如期完成；如果甲、乙两工程队先共同施工10天，剩下的任务由乙工程队单独施工，也恰好能如期完成；如果乙工程队单独施工，就要超过15天才能完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需多少天？
（2）若甲工程队单独施工a天，再由甲、乙两工程队合作 （18﹣0.6a） 天（用含有a的代数式表示）可完成此项工程．
（3）现在要求甲、乙两个工程队都必须参加这项工程．如果甲工程队每天的施工费用为2万元，乙工程队每天的施工费用为1.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，能使施工费用不超过61.5万元？
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
（2）根据题意，可以列出相应的方程，然后即可用含a的代数式表示出甲、乙两工程队合作多少天可完成此项工程；
（3）根据题意和（2）中的结果，可以列出相应的不等式，然后即可求得甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，能使施工费用不超过61.5万元．
解：（1）设甲工程队单独施工需x天完成，则乙工程队需（x+15）天完成，
依题意得：，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，
∴x+15＝45，
答：甲工程队单独施工需30天完成，乙工程队单独施工需45天完成；
（2）甲工程队单独施工a天，设再由甲、乙两工程队合作b天可完成此项工程，
＝1，
解得b＝18﹣0.6a，
故答案为：（18﹣0.6a）；
（3）设甲工程队先单独施工m天，
依题意得：2m+（2+1.5）×（18﹣0.6m）≤61.5，
解不等式得：m≥15，
答：甲工程队至少要先单独施工15天．
26．在平面直角坐标系中，点A（0，a），点B（b，0），点C（﹣3，0），且a、b满足a2﹣6a+9+|a﹣b|＝0．
（1）点A坐标为 （0，3） ，点B坐标为 （3，0） ，△ABC是 等腰直角 三角形．
（2）如图1，过点A作射线l（射线l与边BC有交点），过点B作BD⊥l于点D，过点C作CE⊥l于点E，过点E作EF⊥DC于点F交y轴于点G．
①求证：BD＝AE；
②求点G的坐标．
（3）如图2，点P是x轴正半轴上一动点，∠APO的角平分线交y轴于点Q，点M为线段OP上一点，过点M作MN∥PQ交y轴于点N；若∠AMN＝45°，请探究线段AP、AN、PM三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）由偶次方和绝对值的非负性质得a＝b＝3，则A（0，3），B（3，0），OC＝3，再证△AOC和△AOB是等腰直角三角形，进而得AC＝AB，∠BAC＝90°即可；
（2）①证△BDA≌△AEC（AAS），即可得出BD＝AE；
②证△AGE≌△BCD（AAS），得AG＝BC＝OB+OC＝6，则OG＝AG﹣OA＝3，即可得出答案；
（3）在AP上截取AH＝AN，连接MH，证△AMN≌△AMH（SAS），得∠AMH＝∠AMN＝45°，则∠NMH＝90°，再证∠PMH＝∠PHM，得PH＝PM，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵a、b满足a2﹣6a+9+|a﹣b|＝0，
∴（a﹣3）2+|a﹣b|＝0，
∴a﹣3＝0，a﹣b＝0，
∴a＝b＝3，
∵点A（0，a），点B（b，0），点C（﹣3，0），
∴A（0，3），B（3，0），OC＝3，
∴OA＝OB＝OC，
∴△AOC和△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴AC＝AB，∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：（0，3），（3，0），等腰直角；
（2）①证明：∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
由（1）得：AC＝AB，∠BAC＝90°，∠BAD+∠CAE＝∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
∴△BDA≌△AEC（AAS），
∴BD＝AE；
②解：∵∠AOB＝∠BDA＝90°，∠GAE+∠AOB＝∠CBD+∠BDA，
∴∠GAE＝∠CBD，
同理∠AGE＝∠BCD，
又∵AE＝BD，
∴△AGE≌△BCD（AAS），
∴AG＝BC＝OB+OC＝6，
∴OG＝AG﹣OA＝6﹣3＝3，
∴点G的坐标为（0，﹣3）；
（3）解：AP＝AN+PM，理由如下：
在AP上截取AH＝AN，连接MH，
设∠NMO＝α，则∠AMO＝45°+α，
∴∠NAM＝90°﹣（45°+α）＝45°﹣α，
∵MN∥PQ，
∴∠QPO＝∠NMO＝α，
∵PQ平分∠APO，
∴∠APO＝2α，
∴∠HAM＝45°+α﹣2α＝45°﹣α，
∴∠NAM＝∠HAM，
又∵AN＝AH，AM＝AM，
∴△AMN≌△AMH（SAS），
∴∠AMH＝∠AMN＝45°，
∴∠NMH＝45°+45°＝90°，
∴∠PMH+∠NMO＝90°，
∴∠PMH＝90°﹣α，
∵∠PHM＝∠AMH+∠HAM＝45°+45°﹣α＝90°﹣α，
∴∠PMH＝∠PHM，
∴PH＝PM，
∴AP＝AH+PH＝AN+PM．
2020-2021学年湖北省鄂州市八年级第一学期期末数学试卷
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．下列校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．分式有意义时x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x≥3 C．x≤3 D．x＞3
3．下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12 B．（a+b）2＝a2+b2
C．（﹣a2）3＝﹣a6 D．（﹣2x3）2＝4x5
4．纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝10﹣9m．专家们研究证实，新型冠状病毒的直径大约为128纳米，即0.000000128米．该直径用科学记数法表示为（ ）米．
A．1.28×102 B．1.28×10﹣9 C．1.28×10﹣8 D．1.28×10﹣7
5．如图的三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，若△AED的周长为7cm，则AC的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
6．若等腰△ABC的两边长分别为3和7，则它的周长是（ ）
A．17 B．13 C．17或13 D．10
7．我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”．根据图中的数字排列规律，a、b、c的值分别为（ ）
A．1，6，15 B．6，15，20 C．20，15，6 D．15，6，1
8．用图1的面积可以验证多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么用图2的面积可以验证的乘法运算是（ ）
A．（a+4b）（a+b）＝a2+5ab+4b2
B．（a﹣4b）（a+b）＝a2﹣3ab+4b2
C．（a+4b）（a+b）＝a2+4ab+4b2
D．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2
9．八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（ ）
A．﹣＝20 B．﹣＝20
C．﹣＝ D．﹣＝
10．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为Rt△ABC内一点，且∠BDC＝90°，若CD长为6，则△ACD的面积为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．24
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．点（3，6）关于x轴对称的点的坐标为 ．
12．分式的值为0，则x的值是 ．
13．若n边形的内角和等于外角和的2倍，则边数n为 ．
14．如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，若∠A＝66°，则∠BGC的度数为 ．
15．计算28x4y3÷4x3y﹣2结果为 ．
16．已知多项式9x2+mx+4是完全平方式，则m的值为 ．
17．若关于x的分式方程的解为正数，则常数m的取值范围是 ．
18．如图，点A为线段BC外一动点，BC＝4，AB＝1，分别以AC、AB为边作等边△ACD、等边△ABE，连接BD．则线段BD长的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．分解因式：
（1）ax2+2axy+ay2；
（2）16y4﹣1．
20．先化简，后求值：（）；x＝5．
21．如图，将Rt△ABC的直角顶点C置于直线l上，AC＝BC，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D、E，连接AE．若BE＝3，DE＝5．求△ACE的面积．
22．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，点A（0，4），点B（2，2），点C（1，1）．
（1）将△ABC向左平移4个单位得到△A1B1C1（点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1），画出△A1B1C1．
（2）△A2B2C2和△A1B1C1关于x轴对称（点A1、B1、C1的对称点分别为A2、B2、C2），画出△A2B2C2．
（3）在x轴上画出一点P，使PA+PA1的值最小，直接写出点P的坐标为 ．
23．观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣．
将以上三个等式左、右两边分别相加得：++＝1﹣+﹣+﹣＝．
（1）若n为正整数，猜想并填空：＝ ．
（2）计算++++…+的结果为 ．
（3）解分式方程：++＝．
24．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ 度．
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
①如图2，当点D在线段BC上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
②如图3，当点D在线段BC的反向延长线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
25．鄂州市2020年被评为“全国文明城市”．创文期间，甲、乙两个工程队共同参与某段道路改造工程．如果甲工程队单独施工，恰好如期完成；如果甲、乙两工程队先共同施工10天，剩下的任务由乙工程队单独施工，也恰好能如期完成；如果乙工程队单独施工，就要超过15天才能完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需多少天？
（2）若甲工程队单独施工a天，再由甲、乙两工程队合作 天（用含有a的代数式表示）可完成此项工程．
（3）现在要求甲、乙两个工程队都必须参加这项工程．如果甲工程队每天的施工费用为2万元，乙工程队每天的施工费用为1.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，能使施工费用不超过61.5万元？
26．在平面直角坐标系中，点A（0，a），点B（b，0），点C（﹣3，0），且a、b满足a2﹣6a+9+|a﹣b|＝0．
（1）点A坐标为 ，点B坐标为 ，△ABC是 三角形．
（2）如图1，过点A作射线l（射线l与边BC有交点），过点B作BD⊥l于点D，过点C作CE⊥l于点E，过点E作EF⊥DC于点F交y轴于点G．
①求证：BD＝AE；
②求点G的坐标．
（3）如图2，点P是x轴正半轴上一动点，∠APO的角平分线交y轴于点Q，点M为线段OP上一点，过点M作MN∥PQ交y轴于点N；若∠AMN＝45°，请探究线段AP、AN、PM三者之间的数量关系，并证明你的结论．
参考答案
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．下列校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．分式有意义时x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x≥3 C．x≤3 D．x＞3
【分析】要使分式有意义，分式的分母不能为0，据此可求解．
解：∵3−x≠0，
∴x≠3．
故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12 B．（a+b）2＝a2+b2
C．（﹣a2）3＝﹣a6 D．（﹣2x3）2＝4x5
【分析】选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
选项B根据完全平方公式判断即可，完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2；
选项C根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；
选项D根据积的乘方运算法则判断即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
解：A．a3•a4＝a7，故本选项不合题意；
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不合题意；
C．（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项符合题意；
D．（﹣2x3）2＝4x6，故本选项不合题意；
故选：C．
4．纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝10﹣9m．专家们研究证实，新型冠状病毒的直径大约为128纳米，即0.000000128米．该直径用科学记数法表示为（ ）米．
A．1.28×102 B．1.28×10﹣9 C．1.28×10﹣8 D．1.28×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.000000128＝1.28×10﹣7．
故选：D．
5．如图的三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，若△AED的周长为7cm，则AC的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】由沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，可得BE＝BC＝6，CD＝DE，即有AE＝2，根据△AED的周长为7cm，得AD+DE＝5，故AC＝5．
解：∵沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，
∴BE＝BC＝6，CD＝DE，
∴AE＝AB﹣BE＝2，
∵△AED的周长为7cm，
∴AD+DE＝5，
∴AD+CD＝5，即AC＝5，
故选：C．
6．若等腰△ABC的两边长分别为3和7，则它的周长是（ ）
A．17 B．13 C．17或13 D．10
【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
解：①当腰是3，底边是7时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3，腰长是7时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．
故选：A．
7．我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”．根据图中的数字排列规律，a、b、c的值分别为（ ）
A．1，6，15 B．6，15，20 C．20，15，6 D．15，6，1
【分析】由所给杨辉三角形，发现每行首尾都是1，其它数是它上方两个数字之和，由此可求解．
解：由题意可得，
a＝10+10＝20，
b＝10+5＝15，
c＝5+1＝6，
故选：C．
8．用图1的面积可以验证多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么用图2的面积可以验证的乘法运算是（ ）
A．（a+4b）（a+b）＝a2+5ab+4b2
B．（a﹣4b）（a+b）＝a2﹣3ab+4b2
C．（a+4b）（a+b）＝a2+4ab+4b2
D．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2
【分析】根据图形确定出多项式乘法算式即可．
【解答】【答案】解：根据图2的面积得：（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2，
故选：A．
9．八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（ ）
A．﹣＝20 B．﹣＝20
C．﹣＝ D．﹣＝
【分析】设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合骑车的学生比乘车的学生多用20min（即h），即可得出关于x的分式方程，此题得解．
解：设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，
依题意，得：﹣＝．
故选：C．
10．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为Rt△ABC内一点，且∠BDC＝90°，若CD长为6，则△ACD的面积为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．24
【分析】过点A作AH⊥CD，交CD的延长线于H，证明△BCD≌△CAH（AAS），由全等三角形的性质得出AH＝CD＝6，根据三角形的面积公式可得出答案．
解：如图，过点A作AH⊥CD，交CD的延长线于H，
∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，
∵AH⊥CD，
∴∠ACB＝∠BDC＝∠H＝90°，
∴∠BCD+∠CBD＝90°＝∠BCD+∠ACH，
∴∠CBD＝∠ACH，
在△BCD和△CAH中，
，
∴△BCD≌△CAH（AAS），
∴AH＝CD＝6，
∴S△ACD＝CD•AH＝×6×6＝18．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．点（3，6）关于x轴对称的点的坐标为 （3，﹣6） ．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．
解：点（3，6）关于x轴对称的点的坐标为（3，﹣6），
故答案为：（3，﹣6）．
12．分式的值为0，则x的值是 1 ．
【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣1＝0且x≠0，易得x＝1．
解：∵分式的值为0，
∴x﹣1＝0且x≠0，
∴x＝1．
故答案为1．
13．若n边形的内角和等于外角和的2倍，则边数n为 6 ．
【分析】本题应先设这个多边形的边数为n，则依题意可列出方程（n﹣2）×180°＝360°×2，从而解出n＝6，即这个多边形的边数为6．
解：设这个多边形的边数为n，则依题意可得：
（n﹣2）×180°＝360°×2，
解得n＝6．
故答案为：6
14．如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，若∠A＝66°，则∠BGC的度数为 123° ．
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠GBC+∠GCB即可．
解：∵BE，CF分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠EBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，
∴∠EBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣100°）＝40°，
∴∠BGC＝180°﹣（∠EBC+∠FCB）＝180°﹣40°＝140°．
故答案为：123°．
15．计算28x4y3÷4x3y﹣2结果为 7xy5 ．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
解：28x4y3÷4x3y﹣2＝28÷4x4﹣3y3﹣（﹣2）＝7xy5．
故答案为：7xy5．
16．已知多项式9x2+mx+4是完全平方式，则m的值为 12或﹣12 ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征解答即可．
解：∵9x2+mx+4是一个完全平方式，
∴﹣m＝±12，
∴m＝±12．
故答案是：12或﹣12．
17．若关于x的分式方程的解为正数，则常数m的取值范围是 m＜6且m≠3 ．
【分析】先去分母再解方程得x＝，由方程的解为正数，则6﹣m＞0，又由x≠3，得6﹣m≠9，求出m即可．
解：，
两边同时乘以3﹣x，得x＝2（3﹣x）﹣m，
整理得，x＝，
∵方程的解为正数，
∴6﹣m＞0，
∴m＜6，
∵x≠3，
∴6﹣m≠9，
∴m≠﹣3，
∴m＜6且m≠﹣3，
故答案为：m＜6且m≠﹣3．
18．如图，点A为线段BC外一动点，BC＝4，AB＝1，分别以AC、AB为边作等边△ACD、等边△ABE，连接BD．则线段BD长的最大值为 5 ．
【分析】连接EC，则△EAC＝△BAD（SAS），因为EC≤BE+BC＝1+4＝5，所以当E、B、C在同一直线上时，EC最长，即可求出线段BD长的最大值为5．
解：连接EC.
∵△ACD、△ABE为等边三角形，
∴AB＝AE＝BE＝1，AC＝AD，∠EAB＝∠DAC＝60°
∴∠ESC＝∠BAD，
∴△EAC＝△BAD（SAS），
BD＝EC，
∵EC≤BE+BC＝1+4＝5
∴当E、B、C在同一直线上时，EC最长，
∴线段BD长的最大值为5．
故答案为：5．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．分解因式：
（1）ax2+2axy+ay2；
（2）16y4﹣1．
【分析】（1）直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
（2）直接利用平方公差式分解因式得出答案．
解：（1）原式＝a（x2+2xy+y2）
＝a（x+y）2；
（2）原式＝（4y2+1）（4y2﹣1）
＝（4y2+1）（2y+1）（2y﹣1）．
20．先化简，后求值：（）；x＝5．
【分析】先通分，然后化除法为乘法、约分化简，最后代入求值．
解：原式＝[﹣]×，
＝×，
＝．
把x＝5代入，则原式＝＝．
21．如图，将Rt△ABC的直角顶点C置于直线l上，AC＝BC，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D、E，连接AE．若BE＝3，DE＝5．求△ACE的面积．
【分析】由AD⊥CE，BE⊥CE得到∠ADC＝∠CEB＝90°，根据等角的余角相等得到∠CAD＝∠BCE，则根据“AAS”可判断△ACD≌△CBE，所以CD＝BE＝3，AD＝CE＝CD+DE＝3+5＝8，根据三角形面积公式可得出答案．
解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，即∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝3，AD＝CE，
∵CE＝CD+DE＝3+5＝8，
∴AD＝8．
∴S△ACE＝×8×8＝32．
22．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，点A（0，4），点B（2，2），点C（1，1）．
（1）将△ABC向左平移4个单位得到△A1B1C1（点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1），画出△A1B1C1．
（2）△A2B2C2和△A1B1C1关于x轴对称（点A1、B1、C1的对称点分别为A2、B2、C2），画出△A2B2C2．
（3）在x轴上画出一点P，使PA+PA1的值最小，直接写出点P的坐标为 （﹣2，0） ．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可解决问题．
（2）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A'A1交x轴于点P，点P即为所求．
解：（1）如图所示．
（2）如图所示．
（3）如图所示．点P坐标（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
23．观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣．
将以上三个等式左、右两边分别相加得：++＝1﹣+﹣+﹣＝．
（1）若n为正整数，猜想并填空：＝ ﹣ ．
（2）计算++++…+的结果为 ．
（3）解分式方程：++＝．
【分析】（1）观察已知等式，作出猜想，写出即可；
（2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果；
（3）方程左边利用得出的规律化简，计算即可求出解．
解：（1）猜想得：＝﹣；
故答案为：﹣；
（2）原式＝1﹣+﹣+...+﹣
＝1﹣
＝；
故答案为：；
（3）原方程变形为：+﹣+﹣＝，
整理得：＝，
去分母，得：x＝7，
经检验，x＝7是原方程的解．
24．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ 90 度．
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
①如图2，当点D在线段BC上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
②如图3，当点D在线段BC的反向延长线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【分析】（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE，得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度数；
（2）①由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；
②由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论．
解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
故答案为：90；
（2）①α+β＝180°，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．
∵∠ACE+∠ACB＝β，
∴∠B+∠ACB＝β，
∵α+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+β＝180°．
②当点D在射线BC的反向延长线上移动时，α＝β．理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCE，
即α＝β．
25．鄂州市2020年被评为“全国文明城市”．创文期间，甲、乙两个工程队共同参与某段道路改造工程．如果甲工程队单独施工，恰好如期完成；如果甲、乙两工程队先共同施工10天，剩下的任务由乙工程队单独施工，也恰好能如期完成；如果乙工程队单独施工，就要超过15天才能完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需多少天？
（2）若甲工程队单独施工a天，再由甲、乙两工程队合作 （18﹣0.6a） 天（用含有a的代数式表示）可完成此项工程．
（3）现在要求甲、乙两个工程队都必须参加这项工程．如果甲工程队每天的施工费用为2万元，乙工程队每天的施工费用为1.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，能使施工费用不超过61.5万元？
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
（2）根据题意，可以列出相应的方程，然后即可用含a的代数式表示出甲、乙两工程队合作多少天可完成此项工程；
（3）根据题意和（2）中的结果，可以列出相应的不等式，然后即可求得甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，能使施工费用不超过61.5万元．
解：（1）设甲工程队单独施工需x天完成，则乙工程队需（x+15）天完成，
依题意得：，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，
∴x+15＝45，
答：甲工程队单独施工需30天完成，乙工程队单独施工需45天完成；
（2）甲工程队单独施工a天，设再由甲、乙两工程队合作b天可完成此项工程，
＝1，
解得b＝18﹣0.6a，
故答案为：（18﹣0.6a）；
（3）设甲工程队先单独施工m天，
依题意得：2m+（2+1.5）×（18﹣0.6m）≤61.5，
解不等式得：m≥15，
答：甲工程队至少要先单独施工15天．
26．在平面直角坐标系中，点A（0，a），点B（b，0），点C（﹣3，0），且a、b满足a2﹣6a+9+|a﹣b|＝0．
（1）点A坐标为 （0，3） ，点B坐标为 （3，0） ，△ABC是 等腰直角 三角形．
（2）如图1，过点A作射线l（射线l与边BC有交点），过点B作BD⊥l于点D，过点C作CE⊥l于点E，过点E作EF⊥DC于点F交y轴于点G．
①求证：BD＝AE；
②求点G的坐标．
（3）如图2，点P是x轴正半轴上一动点，∠APO的角平分线交y轴于点Q，点M为线段OP上一点，过点M作MN∥PQ交y轴于点N；若∠AMN＝45°，请探究线段AP、AN、PM三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）由偶次方和绝对值的非负性质得a＝b＝3，则A（0，3），B（3，0），OC＝3，再证△AOC和△AOB是等腰直角三角形，进而得AC＝AB，∠BAC＝90°即可；
（2）①证△BDA≌△AEC（AAS），即可得出BD＝AE；
②证△AGE≌△BCD（AAS），得AG＝BC＝OB+OC＝6，则OG＝AG﹣OA＝3，即可得出答案；
（3）在AP上截取AH＝AN，连接MH，证△AMN≌△AMH（SAS），得∠AMH＝∠AMN＝45°，则∠NMH＝90°，再证∠PMH＝∠PHM，得PH＝PM，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵a、b满足a2﹣6a+9+|a﹣b|＝0，
∴（a﹣3）2+|a﹣b|＝0，
∴a﹣3＝0，a﹣b＝0，
∴a＝b＝3，
∵点A（0，a），点B（b，0），点C（﹣3，0），
∴A（0，3），B（3，0），OC＝3，
∴OA＝OB＝OC，
∴△AOC和△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴AC＝AB，∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：（0，3），（3，0），等腰直角；
（2）①证明：∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
由（1）得：AC＝AB，∠BAC＝90°，∠BAD+∠CAE＝∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
∴△BDA≌△AEC（AAS），
∴BD＝AE；
②解：∵∠AOB＝∠BDA＝90°，∠GAE+∠AOB＝∠CBD+∠BDA，
∴∠GAE＝∠CBD，
同理∠AGE＝∠BCD，
又∵AE＝BD，
∴△AGE≌△BCD（AAS），
∴AG＝BC＝OB+OC＝6，
∴OG＝AG﹣OA＝6﹣3＝3，
∴点G的坐标为（0，﹣3）；
（3）解：AP＝AN+PM，理由如下：
在AP上截取AH＝AN，连接MH，
设∠NMO＝α，则∠AMO＝45°+α，
∴∠NAM＝90°﹣（45°+α）＝45°﹣α，
∵MN∥PQ，
∴∠QPO＝∠NMO＝α，
∵PQ平分∠APO，
∴∠APO＝2α，
∴∠HAM＝45°+α﹣2α＝45°﹣α，
∴∠NAM＝∠HAM，
又∵AN＝AH，AM＝AM，
∴△AMN≌△AMH（SAS），
∴∠AMH＝∠AMN＝45°，
∴∠NMH＝45°+45°＝90°，
∴∠PMH+∠NMO＝90°，
∴∠PMH＝90°﹣α，
∵∠PHM＝∠AMH+∠HAM＝45°+45°﹣α＝90°﹣α，
∴∠PMH＝∠PHM，
∴PH＝PM，
∴AP＝AH+PH＝AN+PM．
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