专题03 导数及其应用【理科】（解析版）

这是一份专题03 导数及其应用【理科】（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题03 导数及其应用一、单选题1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】设，则，，，即在上单调递减，，即，即，故选项A不正确；，即，即，故选项D不正确；，即，即．故选项B不正确；故选：C．2. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设 ，由题意知，，则，C在点M处的切线，所以所以 ，则，将代入的方程可得，即抛物线的准线方程为： 则.设与曲线C的切点为，则，解得或（舍去），则，所以的方程为.故选：D3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知函数，直线分别交函数和的图象于点A和点B.若对任意都有成立，则实数m的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，直线分别交函数和的图象于点A和点B，故设，则问题可以转化为在区间内.因为，所以在上单调递增，故.因为，其对称轴，所以在区间上， 即，所以，即.故选：D.二、填空题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】设函数满足，且，若不等式恒成立，则的取值范围是_________.【答案】【解析】由，得，所以，令，则，当时，在区间上是减函数；当时，在区间上是增函数，所以，所以.因为对恒成立，所以a的取值范围是.故答案为：2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围______.【答案】【解析】，，设，，设，，即在是减函数，又，当时，，即，当时，，即，在为增函数，在为减函数，当时，，，关于的方程在上有两个不相等的实根等价于与有两个交点，由上可知，实数的取值范围为.故答案为：.3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】已知抛物线，其准线与轴交于点，则过点的抛物线的切线方程为___________.【答案】或【解析】由题意知，抛物线的准线方程为，所以，由得，所以设切点坐标为则切线的斜率为，所以切线方程为，因为切线过点，所以，解得，当时，，切线方程为；当时，，切线方程为.故答案为：或.三、解答题1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知函数，且曲线在处的切线斜率为.（1）求实数的值；（2）证明：当时，；（3）若数列满足，且，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1），因为曲线在处的切线斜率为，所以，得.（2）证明：将代入得，若，则只需证明：在上恒成立即可.令，则，令，则在恒成立，所以在上递增，又，即在上恒成立，所以在上单调递增；又，所以在上恒成立，即在上恒成立.（3）证明：由（2）可知，当时，，因为，所以，设，则，所以.要证：，只需证，因为，所以，又，所以，则；故只需证：，即证.令，只需证当时，，则，令，则则在上单调递增，又，所以在上恒成立，即在上递增，又，所以在上恒成立，所以在上递增，又，所以当时，所以原不等式成立.2. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数.（1）当时，证明：有解；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2），．【解析】（1）证明：当时，，则.            令，            则.            又，所以，使得.            当时，单调递增；当时单调递减.所以，所以有解.            （2）解：对任意，不等式恒成立，即恒成立，即恒成立.            令，上式即为，因为，所以为R上的增函数，所以，所以.            易知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，      所以在区间上的最小值为e，所以，即实数a的取值范围是.3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知函数，其中.（Ⅰ）若，求函数的极值； （Ⅱ）设.若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）极小值0，无极大值；（Ⅱ）.【解析】当时，则，令解得(舍去)，.当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，的极小值为，无极大值.若在上恒成立，即在上恒成立.构造函数，则令.若可知恒成立.在上单调递增..当即时，在上恒成立，即在上恒成立.在上恒成立，满足条件.当即时， ，存在唯一的使得.当时，即在单调递减.，这与矛盾.若由可得(舍去)，易知在上单调递减.在上恒成立，即在上恒成立.在上单调递减.在上恒成立，这与矛盾.综上，实数的取值范围为.4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】设函数．（1）当时，求函数的最大值；（2）令，（）其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；（3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）依题意，知的定义城为，当时，，，令，解得.当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，所以的极大值为，此即为最大值.（2），则有，在上恒成立，所以，.当时，取得最大值，所以.（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一正实数解，设，则，令，，因为，，所以（舍去），，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；故时，，取最小值因为有唯一正实数解，所以，则即所以，因为，所以.设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解，因为，所以方程（*）的解为，即，解得.5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知函数，（其中是自然对数的底数），，．（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）在定义域上单调递增；（2）．【解析】（1）因为，所以.令，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．所以，又因为，，所以，在定义域上单调递增.（2）由得，即，所以，即对任意恒成立，   设，则所以，当时，，函数单调递增，且当时，，当时，，若，则，若，因为，且在上单调递增，所以，综上可知，对任意恒成立，即对任意恒成立.设，，则，所以在单调递增，所以，即a的取值范围为．7. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】已知函数．（1）求函数在处的切线方程；（2）证明：（ⅰ）；（ⅱ），．【答案】（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析．【解析】（1）的定义域为，，，，所以在处的切线方程为，即．（2）证明：（ⅰ）可化为．设，则，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，故．设，则，当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，故．因为，所以，所以．（ⅱ）由，得，令，，得，即，所以．所以，所以．8. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】已知函数．（1）若函数在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得函数的图象与轴相切？若存在，求满足条件的的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，实数.【解析】（1）∵在上单调递增，∴在上恒成立，即，易知在上为增函数，∴，∴，即实数的取值范围是.（2）存在，理由如下，，设，∴，令，解得或，当，即时，由，得；由，得，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，解得（舍去）.当，即时，∵函数的图象与轴相切，∴或，由，解得；当时，可得，设，则，，即，设，∴，再令，∴，当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴，∴，∴在上单调递增，∵，∴存在，使得，即，得，综上所述，存在实数，使得函数的图象与轴相切．9. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】设函数，.（1）若，，试判断函数的极值点个数；（2）设，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）由题意得则①当时，当时单调递增，当时单调递减.所以在处取到极大值，有唯一的极大值点②当时，极值点的个数与关于的方程的正实数根有关，即与函数与函数的图象的交点个数有关.令则所以在区间上单调递增结合图象知，（i）当时恒成立，当时单调递增，当时单调递减.所以在处取到极大值，有唯一的极大值点；（ii）当时，存在唯一的，使得若则方程1)有两个相等的实数根当时单调递减，当时单调递减，所以没有极值.若则方程有两个不相等的实数根1和此时有两个极值点.综上，当时，函数有一个极值点，当且时函数有两个极值点，当时，函数无极值点；（2）由题意知恒成立即恒成立，等价于.令则，令，易知在区间上单调递增，当时，当时，所以在区间(0，1)上存在唯一的零点且，在区间上，单调递减，在区间上单调递增，所以.又因为所以即.令，所以在区间上单调递增，所以即所以，所以，即10. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知函数.（1）求的单调区间.（2）若在区间上不单调，证明：.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）解：由题意，，令.①当时，，此时，函数在R上单调递减；②当时，，令，则，，当时，，所以单调递减，当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减.综上所述，当时，函数的单调递减区间为R，无单调递增区间；当时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为.（2）证明：由（1）知，因为，所以，得，要证，只需证.对于函数，有.因为在R上单调递增，且，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，故，即不等式恒成立，当且仅当时“=”成立，故当时，，即①.因为且，所以，可得，所以②.由①+②得，，故得证.11. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，方程有两个实根，求实数m的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）由题意知函数的定义域为，因为，所以．            ①当时，在区间上恒成立，所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间．      ②当时，令，得，令，得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．      （2）方程有两个实根，即关于x的方程有两个实根，即函数有两个零点．又，      令，由（1）得t是关于x的单调递增函数，且，所以只需函数有两个零点．      令，得，令，则，            易知当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，取得最大值．      又因为当时，，当时，，，则函数的图象如图所示，所以当，即时，函数有两个零点．所以实数m的取值范围为