2018年1月广东省学业水平考试数学试题含答案

2018年1月广东省学业水平考试

数学试卷(B卷)  考试时间90分满分100分

一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分）

1.已知集合, ,则=（     ）

  A.    B.        C.         D.

2.对于任意的正实数、, 下列等式不成立的是（     ）

  A.        B.    

 C.             D.

3.已知函数  ,设,则（     ）

  A.             B.           C.          D.

4. 设i 为虚数单位, 是实数, 若复数的虚部是, 则=（     ）

  A.             B.          C.         D.

5. 设实数 为常数, 则函数存在零点的充分必要条件是（     ）

A.     B.     C.     D.

6. 已知向量, ,则下列结论正确的是(   )

A.           B. 2      

     C.          D.

7. 某校高一(1)班有男、女学生共50人，其中男生20 人。用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女学生人数分别是（     ）

A. 6和9          B. 9和6       

C. 7和8       D. 8和7

8.如图1所示，一个空间几何体的正（主）视图和侧（左）视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（    ）

A.   1       B.   2       

C.   4       D.   8

9. 若实数x, y满足,则的最小值为（     ）

A. 0          B.          C.        D.

10. 如图2所示，是平行四边形的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（   ）

A.        

B.         

C.         

D.

11. 设的内角A, B, C的对边分别为a, b, c，若，，，则（     ）

A.           B.          C.        D.

12. 已知函数, 则的最大值和最小正周期是（    ）

A.       B.       C.       D.

13. 设点P为椭圆上的一点， F1 和F2是该椭圆的两个焦点，若则（     ）

A. 4          B. 8          C.        D.

14. 设函数是定义在R上的减函数，且为奇函数,

    若, ,则下列结论不正确的是(  )

   A.               B.      

   C.       D.

15. 已知数列前n项之和，则(  )

A.    B.     C.     D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分．）

16.双曲线的离心率为          

17. 若,且,则=       

18.笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从筒中随机取出1支笔,使用后放回笔筒，第二次再从筒中随机取出1支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率是           

19.圆心为两直线和的交点，且与直线相切的圆的标准方程是                      

三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，满分24分．）

20. 若等差数列满足,且 ，

(1)求数列的通项公式 ;

(2)设数列满足,且, 求数列的前n项和.

21.如图3所示，在三棱锥P-ABC中,, , F是BC的中点，, 且,

(1) 证明: ;

 (2) 证明:

2018年1月广东省普通高中学业水平考试

数学试卷（B卷）答案解析

一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、B  解析：，故选B.

2、B  解析：对于B项，令，则，而，显然不成立，故选B.

3、C  解析：  ，故选C.

4、D  解析：  ，故选D.

5、C  解析：由已知可得，，故选C.

6、B  解析：对于A项，，错误；

对于B项，，，则，正确；

对于C项，，错误；

对于D项，，错误. 故选B.

7、A  解析：抽样比为，则应抽取的男生人数为，应抽取的女生人数为，故选A.

8、C  解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为，故选C.

9、D  解析：（快速验证法）交点为，则分别为，所以的最小值为，故选D.

10、D  解析：对于A项，，错误；

对于B项，，错误；

对于C项，，错误；

对于D项，，正确. 故选D.

11、A  解析：由余弦定理，得，又  ，故选A.

12、A  解析：，最小正周期为，故选A. 

13、B  解析：

，故选B.

14、D  解析：对于A项，为上的奇函数 ，正确；

对于B项，为上的减函数 ，正确；

对于C项，

，正确；

对于D项，

，错误. 故选D.

15、C  解析：当时，；当时，适合上式. 是首项为，公比为的等比数列  ，故选C.

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.

16、  解析：由已知，得 

双曲线的离心率为.

17、  解析：，且

.

18、  解析：.

19、  解析：联立得

则圆心到直线的距离为，故圆的半径为

圆的标准方程为.

三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

20、解：（1）设等差数列的公差为.

  数列的通项公式为.

（2）由（1）知，

又适合上式 

数列是首项为，公差为的等差数列.

21、解：（1）证明：垂直平分  为的中点

又为的中点  为的中位线 

又 

（2）证明：连接

，为的中点 

垂直平分 

又， 

又 

又， 

又