2021年广东省普通高中学业水平考试数学试题含解析

广东省2021年普通高中学业水平考试数学试题

一、单选题

1．设全集U=，A=，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据补集的定义计算可得；

【详解】解：因为，

所以

故选：C

2．已知 ，则= （    ）

A． B．- C． D．-

【答案】A

【分析】直接利用诱导公式计算可得；

【详解】解：因为

所以

故选：A

3．下列函数为偶函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据偶函数的定义判断即可；

【详解】解：对于A：为非奇非偶函数，故A错误；

对于B：定义域为，且，所以为偶函数，故B正确；

对于C：定义域为，且，所以为奇函数，故C错误；

对于D：为奇函数，故D错误；

故选：B

4．已知a=0.23，b=0.32，c=0.33，则a，b，c的大小关系是（   ）

A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c

【答案】A

【分析】根据指数函数、幂函数的性质判断可得；

【详解】解：因为在定义域上单调递减，所以，又在定义域上单调递增，所以，所以，即

故选：A

5．经过点的直线的方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据直线经过两点，利用直线的两点式方程求解即可.

【详解】因为直线经过点，

利用两点式得直线的方程为，

整理得：.

故选：D.

6．连续抛掷两枚骰子，向上点数之和为6的概率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】基本事件总数，利用列举法求出向上的点数之和为6包含的基本事件有5个，由此能求出向上的点数之和为6的概率．

【详解】解：连续抛掷两枚骰子，

基本事件总数，

向上的点数之和为6包含的基本事件有：

，，，，，共5个，

向上的点数之和为6的概率是．

故选：．

7．下列函数在其定义域内为减函数的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据幂指对函数和一次函数的性质进行判定.

【详解】由幂函数的性质，可知A中函数为单调增函数，由一次函数性质可知B中函数为增函数，由对数函数性质可知C中函数为增函数，由指数函数性质，可知D中函数为单调减函数，

故选：D.

8．已知直线a，b与平面，若a平行，b在内，则下列结论正确的是（   ）

A． B．a与b是异面直线 C． D．以上情况都有可能

【答案】D

【分析】根据线面平行的性质判断可得；

【详解】解：因为，，则，或与是异面直线或，

故选：D

9．不等式4-x2≤0的解集为（   ）

A． B．或

C． D．或

【答案】B

【分析】根据一元二次不等式的求解方法直接求解即可.

【详解】不等式即，解得或，

故不等式的解集为或.

故选：B.

10．下列计算正确的是（   ）

A．52×5-2=0 B．= 1

C．+= D．

【答案】D

【分析】根据指数幂及对数的运算法则计算可得；

【详解】解：，故A错误；，故B错误；，故C错误；

，故D正确；

故选：D

11．圆心在C（4，-3），且与直线4x-3y=0相切的圆的方程为（   ）

A．x2+y2+8x+6y=0 B．x2+y2+8x-6y=0

C．x2+y2-8x+6y=0 D．x2+y2-8x-6y=0

【答案】C

【分析】求出圆心到直线的距离，即圆的半径，即可求出方程.

【详解】由题可得圆的半径为圆心到直线的距离，即，

所以圆的方程为，即.

故选：C.

12．如图是表示某班6名学生期末数学考试成绩的茎叶图，则这6名学生的平均成绩为（   ）

A．87 B．86 C．85.5 D．85

【答案】A

【分析】利用平均数公式求得平均成绩.

【详解】解：这6名学生的平均成绩为，

故选：A.

13．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯

A．1盏 B．3盏

C．5盏 D．9盏

【答案】B

【详解】设塔顶的a1盏灯，

由题意{an}是公比为2的等比数列，

∴S7==381，

解得a1=3．

故选B．

14．为了得到的图象，只需把函数的图象上的所有点（    ）

A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度

C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度

【答案】A

【分析】根据函数图象平移“左加右减”的原则，结合平移前后函数的解析式，可得答案．

【详解】解：由已知中平移前函数解析式为，

平移后函数解析式为：，

可得平移量为向右平行移动个单位长度，

故选：．

15．已知a＞0，b＞0，a+b=1，+的最小值是（    ）

A． B．6 C． D．

【答案】C

【分析】利用1的代换，整理后利用基本不等式求最小值.

【详解】+=,

当且仅当,即时取等号，

故选：C.

二、填空题

16．已知向量，若与共线，则m = ______.

【答案】

【分析】利用向量共线的坐标表示列出方程求解即可.

【详解】因为向量，且与共线，

所以，

解得：，

故答案为：.

17．设，则________.

【答案】

【分析】直接利用两角和的正切公式求出的值.

【详解】.

故答案为：.

【点睛】本题考查两角和的正切公式，属于基础题.

18．在等差数列中，已知a3=6，a5=a2+9，则a6 = ________.

【答案】15

【分析】设出公差，根据已知建立首项公差方程即可求出.

【详解】设等差数列的公差为，

，

，解得，

.

故答案为：15.

19．已知函数；设，则 _______.

【答案】

【分析】利用指数幂运算求得a的值，进而利用对数运算求得结果.

【详解】,

,

故答案为：

三、解答题

20．食品安全问题越来越引起人们的重视，为了给消费者提供放心的蔬菜，某农村合作社搭建了两个无公害蔬菜大棚，分别种植西红柿和黄瓜，根据以往的种植经验，发现种植西红柿的年利润P（单位：万元），种植黄瓜的年利润Q（单位：万元）与投入的资金x（4≤x≤16，单位：万元）满足P=+ 8，Q=.现合作社共筹集了20万元，将其中8万元投入种植西红柿，剩余资金投入种植黄瓜.求这两个大棚的年利润总和.

【答案】39（万元）

【分析】分别代入数据计算P、Q，然后求和即得

【详解】P=,Q=,

P+Q=24+15=39（万元）.

这两个大棚的年利润总和为39（万元）.

21．如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3

（1）求△CBD的面积；

（2）求边AC的长.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由余弦定理求得，即可得出，再由面积公式即可求解；

（2）由正弦定理即可求解.

【详解】（1）在中，由余弦定理可得，

则，

；

（2）在中，由正弦定理得，

即，解得.

22．如图，在四棱锥P-ABCD中，底边ABCD是边长为2的菱形，PA=AC=2，PA⊥平面ABC，E，F分别为PD，BC的中点.

（1）求三棱锥P-ABD的体积；

（2）证明：EF∥平面PAB（参考公式：锥体的体积公式为V= ，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高）

【答案】（1）；（2）证明见详解；

【分析】（1）首先计算三棱锥的底面面积，根据三棱锥的体积公式求解即可；（2）根据线面平行的判定定理证明即可；

【详解】（1）因为在四棱锥P-ABCD中，底边ABCD是边长为2的菱形，

且AC=2，所以

则，

又PA⊥平面ABC，

所以.

（2）取线段PA中点H，连接HE,BH,

因为E，F分别为PD，BC的中点，

所以,,

则,

所以四边形为平行四边形，

所以,

又面,面,

所以面.