2022年(辅导班适用)高二数学寒假讲义05《解三角形》（教师版）练习题

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、选择题
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=eq \r(7)，c=4，cs B=eq \f(3,4)，则△ABC的面积为( )
A.3eq \r(7) B.eq \f(3\r(7),2) C.9 D.eq \f(9,2)
【答案解析】答案为：B；
解析：由余弦定理b2=c2＋a2－2accs B，得7=16＋a2－6a，解得a=3，
∵cs B=eq \f(3,4)，∴sin B=eq \f(\r(7),4)，∴S△ABC=eq \f(1,2)casin B=eq \f(1,2)×4×3×eq \f(\r(7),4)=eq \f(3\r(7),2).故选B.
若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin 2A=asin B，且c=2b，
则eq \f(a,b)=( )
A.2 B.3 C.eq \r(2) D.eq \r(3)
【答案解析】答案为：A；
解析：由2bsin 2A=asin B，得4bsin A·cs A=asin B，
由正弦定理得4sin B·sin A·cs A=sin A·sin B，
∵sin A≠0，且sin B≠0，∴cs A=eq \f(1,4)，由余弦定理得a2=b2＋4b2－b2，
∴a2=4b2，∴eq \f(a,b)=2.故选A.
在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，若c=2a，b=4，cs B=eq \f(1,4).则c值为( )
A.4 B.2 C.5 D.6
【答案解析】答案为：A；
解析：∵c=2a，b=4，cs B=eq \f(1,4)，∴由余弦定理得b2=a2＋c2－2accs B，
即16=eq \f(1,4)c2＋c2－eq \f(1,4)c2=c2，解得c=4.
已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶eq \r(3)，则此三角形的最大内角为( )
A.60° B.90° C.120° D.135°
【答案解析】答案为：C；
解析：∵sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶eq \r(3)，∴a∶b∶c=1∶1∶eq \r(3)，
设a=m，则b=m，c=eq \r(3)m.∴cs C=eq \f(a2＋b2－c2,2ab)=eq \f(m2＋m2－3m2,2m2)=－eq \f(1,2)，∴C=120°.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若eq \f(c,b)＜cs A，则△ABC为( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形
【答案解析】答案为：A
解析：根据正弦定理得eq \f(c,b)=eq \f(sinC,sinB)＜cs A，
即sin C＜sin Bcs A，∵A＋B＋C=π，
∴sin C=sin(A＋B)＜sin Bcs A，整理得sin Acs B＜0.
又在三角形中sin A＞0，
∴cs B＜0，∴eq \f(π,2)＜B＜π.∴△ABC为钝角三角形.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b2＋c2－a2=eq \r(3)bc，且b=eq \r(3)a，
则下列关系一定不成立的是( )
A.a=c B.b=c C.2a=c D.a2＋b2=c2
【答案解析】答案为：B
解析：由余弦定理，得cs A=eq \f(b2＋c2－a2,2bc)=eq \f(\r(3)bc,2bc)=eq \f(\r(3),2)，则A=30°.又b=eq \r(3)a，
由正弦定理得sin B=eq \r(3)sin A=eq \r(3)sin 30°=eq \f(\r(3),2)，所以B=60°或120°.
当B=60°时，△ABC为直角三角形，且2a=c，可知C，D成立；
当B=120°时，C=30°，所以A=C，即a=c，可知A成立.故选B.
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq \f(c－b,c－a)=eq \f(sin A,sin C＋sin B)，则B等于( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(3π,4)
【答案解析】答案为：C；
解析：根据正弦定理eq \f(a,sin A)=eq \f(b,sin B)=eq \f(c,sin C)=2R，
得eq \f(c－b,c－a)=eq \f(sin A,sin C＋sin B)=eq \f(a,c＋b)，即a2＋c2－b2=ac，
得cs B=eq \f(a2＋c2－b2,2ac)=eq \f(1,2)，又0＜B＜π，所以B=eq \f(π,3)，故选C.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2=a2＋bc，A=eq \f(π,6)，则角C=( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,6)或eq \f(3π,4) D.eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)
【答案解析】答案为：B
解析：在△ABC中，由余弦定理得cs A=eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，即eq \f(\r(3),2)=eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
所以b2＋c2－a2=eq \r(3)bc.又b2=a2＋bc，所以c2＋bc=eq \r(3)bc，即c=(eq \r(3)－1)b＜b，
则a=eq \r(2－\r(3))b，所以cs C=eq \f(b2＋a2－c2,2ab)=eq \f(\r(2),2)，解得C=eq \f(π,4).故选B.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2=c2＋ac－bc，则eq \f(c,bsinB)=( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(2\r(3),3) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3)
【答案解析】答案为：B.
解析：由a，b，c成等比数列得b2=ac，则有a2=c2＋b2－bc，
由余弦定理得csA=eq \f(b2＋c2－a2,2bc)=eq \f(bc,2bc)=eq \f(1,2)，故A=eq \f(π,3)，对于b2=ac，由正弦定理得，
sin2B=sinAsinC=eq \f(\r(3),2)·sinC，由正弦定理得，eq \f(c,bsinB)=eq \f(sinC,sin2B)=eq \f(sinC,\f(\r(3),2)sinC)=eq \f(2\r(3),3).故选B.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cs A＋sin A－eq \f(2,cs B＋sin B)=0，
则eq \f(a＋b,c)的值是( )
A.1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D.2
【答案解析】答案为：B；
解析：因为cs A＋sin A－eq \f(2,cs B＋sin B)=0，
所以(cs A＋sin A)(cs B＋sin B)=2，
所以cs Acs B＋sin Asin B＋sin Acs B＋cs Asin B=2，
即cs(A－B)＋sin(A＋B)=2，所以cs(A－B)=1，sin(A＋B)=1，
又A，B分别为三角形的内角，所以A=B，A＋B=eq \f(π,2)，所以a=b，C=eq \f(π,2)，
所以eq \f(a＋b,c)=eq \f(\f(\r(2),2)c＋\f(\r(2),2)c,c)=eq \r(2)，故选B.
在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，π)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))
【答案解析】答案为：C；
解析：由正弦定理及sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C可得a2≤b2＋c2－bc，
即b2＋c2－a2≥bc，由余弦定理可得cs A=eq \f(b2＋c2－a2,2bc)≥eq \f(bc,2bc)=eq \f(1,2)，又0＜A＜π，
所以0＜A≤eq \f(π,3).故A的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))).故选C.
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且BC边上的高为eq \f(\r(3),6)a，则eq \f(c,b)＋eq \f(b,c)的最大值是( )
A.8 B.6 C.3eq \r(2) D.4
【答案解析】答案为：D；
解析：eq \f(b,c)＋eq \f(c,b)=eq \f(b2＋c2,bc)，这个形式很容易联想到余弦定理cs A=eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，①
而条件中的“高”容易联想到面积，eq \f(1,2)a×eq \f(\r(3),6)a=eq \f(1,2)bcsin A，即a2=2eq \r(3)bcsin A，②
将②代入①得：b2＋c2=2bc(cs A＋eq \r(3)sin A)，
所以eq \f(b,c)＋eq \f(c,b)=2(cs A＋eq \r(3)sin A)=4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))，当A=eq \f(π,3)时取得最大值4，故选D.
、填空题
在△ABC中，A=eq \f(π,4)，b2sin C=4eq \r(2)sin B，则△ABC的面积为________.
【答案解析】答案为：2
解析：因为b2sin C=4eq \r(2)sin B，所以b2c=4eq \r(2)b，即bc=4eq \r(2)，
故S△ABC=eq \f(1,2)bcsin A=eq \f(1,2)×4eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)=2.
在△ABC中，设角A，B，C对边分别是a，b，c，且C=60°，c=eq \r(3)，则eq \f(a＋2\r(3)cs A,sin B)=______.
【答案解析】答案为：4.
解析：由正弦定理知eq \f(a,sin A)=eq \f(c,sin C)=2，所以a=2sin A，
则eq \f(a＋2\r(3)cs A,sin B)=eq \f(2sin A＋2\r(3)cs A,sin B)=eq \f(4sinA＋60°,sin B)=eq \f(4sinA＋C,sin B)=4.
在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且满足4cs2eq \f(A,2)－cs[2(B＋C)]=eq \f(7,2)，若a=2，则△ABC的面积的最大值是____________.
【答案解析】答案为：eq \r(3)
解析：因为B＋C=π －A，所以cs [2(B＋C)]=cs(2π －2A)=cs 2A=2cs2A－1，
又cs2eq \f(A,2)=eq \f(1＋cs A,2)，所以4cs2eq \f(A,2)－cs [2(B＋C)]=eq \f(7,2)可化为4cs2A－4cs A＋1=0，
解得cs A=eq \f(1,2).又A为三角形的内角，所以A=eq \f(π,3)，
由余弦定理得4=b2＋c2－2bccs A≥2bc－bc=bc，即bc≤4，当且仅当b=c时取等号，
所以S△ABC=eq \f(1,2)bcsin A≤eq \f(1,2)×4×eq \f(\r(3),2)=eq \r(3)，即△ABC的面积的最大值为eq \r(3).
△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，如果△ABC的面积等于8，a=5，
tan B=－eq \f(4,3)，那么eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)=________.
【答案解析】答案为：eq \f(5\r(65),4).
解析：由tan B=－eq \f(4,3)，得sin B=eq \f(4,5)，cs B=－eq \f(3,5).
由△ABC的面积S=8，得S=eq \f(1,2)acsin B=8，解得c=4.
由余弦定理，得b2=a2＋c2－2accs B=25＋16－2×5×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))=65，则b=eq \r(65).
由正弦定理，得eq \f(a,sin A)=eq \f(b,sin B)=eq \f(c,sin C)，
则eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)=eq \f(b,sin B)=eq \f(\r(65),\f(4,5))=eq \f(5\r(65),4).
、解答题
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：(b2+c2-a2)sinC=c2sinB．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求b+c的最大值．
【答案解析】解：（1）由正弦定理得，
因为，所以，
所以由余弦定理得，
又在中，，所以．
（2）方法1：由（1）及，得，即，
因为（当且仅当时等号成立），所以，
则（当且仅当时等号成立），故的最大值为．
方法2：由正弦定理得，，
则，
因为，所以，所以，
故的最大值为（当时）．
已知函数f(x)=1＋2eq \r(3)sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)－2cs2eq \f(x,2)，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)求f(A)的取值范围；
(2)若A为锐角且f(A)=eq \r(2)，2sinA=sinB＋eq \r(2)sinC，△ABC的面积为eq \f(3＋\r(3),4)，求b的值.
【答案解析】解：(1)f(x)=eq \r(3)sinx－csx=2sin（x－eq \f(π,6)），∴f(A)=2sin（A－eq \f(π,6)），
由题意知，0