第五章函数的应用【真题训练】-2020-2021学年高一数学单元复习一遍过（北师大版2019必修第一册）

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第五章函数的应用【真题测试】

-2020-2021学年高一数学单元复习一遍过（北师大版2019必修第一册）

一、选择题（本大题共10小题，共50分）

设a为实数，若函数有零点，则函数零点的个数是

A. 1或3 B. 2或3 C. 2或4 D. 3或4

设a，，函数若函数恰有3个零点，则

A. ， B. ， C. ， D. ，

设若，则

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数a的取值范围是 A. B. C. D.
函数的零点所在的一个区间是

A. B. C. D.

已知是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为

A. B. 1， C. 1， D. 1，

根据我国车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验规定，车辆驾驶人员100mL血液中酒精含量在单位：即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时的速度减少，为避免酒后驾车，他至少经过n小时才能开车，则n的最小整数值为

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

已知函数且满足，，则方程在上所有实根的和为

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

若方程的两实根中一个小于，另一个大于2，则a的取值范围是

A. B. C. D.

已知函数有4个零点，则a的取值范围为

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共6小题，共30分）

定义，已知函数，若恰好有3个零点，则实数m的取值范围是______．
已知函数在上有两个零点，则实数m的取值范围是________．
若函数在区间内存在一个零点，则a的取值范围是__________．
已知，函数若的图象与x轴恰好有2个交点，则的取值范围是________．
某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是______ ．
用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根区间是______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

已知函数．
当时，讨论的单调性；
若有两个零点，求a的取值范围．
已知函数，其中a，，为自然对数的底数．
设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；
若，函数在区间内有零点，求a的取值范围．
已知函数．
讨论的单调性；
若有三个零点，求k的取值范围．
已知函数．
讨论的单调性；
若有两个零点，求a的取值范围．
设，函数．
求的单调区间；
证明：在上仅有一个零点；
若曲线在点P处的切线与x轴平行，且在点处的切线与直线OP平行是坐标原点，证明：．
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当S中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为单位：分钟，
而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
求该地上班族S的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．

答案解析

1.【答案】C
解：令，，
函数有零点，即方程有根，
若方程有1个零点，则，即，
而方程化为，即，，
此时函数有2个零点；
若方程有2个零点，则，得，
此时方程的根为，
而小根在时成立，
所以函数有4个零点．
综上，函数零点的个数是2或4．
故选C．
2.【答案】C
解：当时，，最多一个零点；
当时，
，
，
当，即时，，在上递增，最多一个零点，不合题意；
当，即时，
令得，函数递增，
令得，函数递减，函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点，
所以函数在上有一个零点，在上有2个零点，
如右图：

且
解得，，，
，，
故选：C．
3.【答案】C
解：当时，
若，可得，
解得，则．
当时，，
若，
可得，显然无解．
故选C．
4.【答案】D

【解析】解：，
，；
当时，有两个零点，不成立；
当时，在上有零点，故不成立；
当时，在上有且只有一个零点；
故在上没有零点；
而当时，在上取得最小值；
故；
故；
综上所述，
实数a的取值范围是；故选：D．
5.【答案】C
解：因为在上为增函数，且是连续的，
，，
所以零点在区间上，故选C．
6.【答案】D

【解析】解：是定义在R上的奇函数，当时，，
令，则，

，

令，
当时，，解得，或，
当时，，解得，
函数的零点的集合为1，
故选：D．
7.【答案】C
解：由题意，可得，
，
，
．
故选C．
8.【答案】B
解：
，即为，
函数的周期为2，
将函数两次向右平移2个单位，向左平移2个单位，
得到函数在上的图象，每段曲线不包含右端点如右图，
又关于中心对称，
故方程在区间上的根
就是函数和的交点横坐标，
共有三个交点，
自左向右横坐标分别为，，，
其中和关于中心对称，x2和x3关于中心对称
故．故选B．
9.【答案】A
解：设，
由条件得：，解得：．
故选A．
10.【答案】A

解：因为有4个零点，即函数与有4个交点；
当时，，
所以：时，，单调递减；
时，，单调递增，
画出的图象如图所示：

求出的过原点的切线，
时，在处的切线的斜率为：
，
时，设的过原点的切线的切点为：，切线的斜率为，
，故：，且；
解得：，；
由图可知与有4个交点，则；
所以：．
说明：显然是的零点，故也可转化为有3个零点，即与有3个交点，也
可以画图得出答案
故选A．
11.【答案】
解：依题意可得，
令，得，
令，得或，
又恰好有3个零点，

由图可知：
解得：或，
即实数m的取值范围是．
故答案为．
12.【答案】
解：当在上有两个零点时，
此时方程在区间上有两个不相等的实根，
则
解得，
实数m的取值范围，
故答案为．
13.【答案】
解：函数在区间上存在一个零点，
因为在是连续的，
则，
即，
解得或，
故答案为．
14.【答案】
解：当时，；当时，或，
函数有2个零点，
当没有零点时，有2个零点，
当有1个零点时，有1个零点，
所以的取值范围是．
故答案为．
15.【答案】30
解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和万元．
当且仅当时取等号．
故答案为：30．
16.【答案】

【解析】解：根据题意，令，
，，，，
所以下一个有根的区间是．
故答案为：．
17.【答案】解：由题意，的定义域为，且．
当时，，令，解得．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
在上单调递减，在上单调递增；
当时，恒成立，在上单调递增，不合题意；
当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
的极小值也是最小值为．
又当时，，当时，．
要使有两个零点，只要即可，
则，可得．
综上，若有两个零点，则a的取值范围是．
18.【答案】解：，，
又，，，
当时，则，，
函数在区间上单调递增，；
当，则，
当时，，当时，，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
；
当时，则，，
函数在区间上单调递减，，
综上：函数在区间上的最小值为；
由，，又，
若函数在区间内有零点，则函数在区间内至少有三个单调区间，
由知当或时，函数在区间上单调，不可能满足“函数在区间内至少有三个单调区间”这一要求．
若，则
令
则，由
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，即恒成立，
函数在区间内至少有三个单调区间，
又，所以，
综上得：．
另解：由，解出，
再证明此时由于最小时，，
故有且知，
则，
开口向下，最大值，分母为正，
只需看分子正负，分子时取最大，
故，
故．
19.【答案】解：．，
时，，在R递增，
时，令，解得：或，
令，解得：，
在递增，在递减，在递增，
综上，时，在R递增，
时，在递增，在递减，在递增；
由得：，，，
若有三个零点，
只需，解得：，
故
20.【答案】解：由，
则
，
导函数中恒成立，
当时，恒成立，
所以在上有，
所以在上单调递减；
当时，令，，
令，解得，
在上，单调递减，
在上，单调递增．
综上可知：当时，在R单调递减，
当时，在是减函数，在是增函数；
若时，由可知：最多有一个零点，
所以不符合题意；
当时，，
函数有两个零点，的最小值必须小于0，
由知，，
，即，
令，，
所以在上单调递增，
又因为，
．
接下来说明时，存在两个零点：
当时，，，
此时，故，
又在上单调递减，，
故存在，使得，
当时，易证，
此时，
故，且满足，
又在上单调递增，，
故存在使得，
所以当时，存在两个零点．
综上所述，a的取值范围是．
21.【答案】解：，
，
在上为增函数．
证明：，，
，即，
，，
，，即，
由知函数在上为增函数，
在上有且只有一个零点．
证明：，
设点，则，
在点P处的切线与x轴平行，
，即，
，
将代入得，即，
，
，
要证，只需证，
只需证，
显然，只需证，
构造函数，则，
由，得．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
的最小值为，
，
，
．
22.【答案】解；由题意知，当时，
，
即，
解得或，
，
时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
当时，
；
当时，
；
；
的对称轴为，
当时，，，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增；
说明该地上班族S中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；
有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；
当自驾人数为时，人均通勤时间最少．