山东省青岛市2017年中考数学试卷（解析版）

青岛市2017年中考数学试卷

（考试时间：120分钟；满分：120分）

真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！

  本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共有24道题．第Ⅰ卷1—8题为选择题，共24分；

  第Ⅱ卷9—14题为填空题，15题为作图题，16—24题为解答题，共96分．

  要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效．

第（Ⅰ）卷

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）

下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．

1．的相反数是（    ）．

 A．8         B． C． D．

【答案】C

【解析】

试题分析：利用知识点：性质符号相反，绝对值相等的两个数是互为相反数，知：是

考点：相反数定义

2．下列四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（    ）．

【答案】A

【解析】

试题分析：利用知识点：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，知：选项A是轴对称图形，但不是中心对称图形；选项B和C,既是轴对称图形又是中心对称图形；选项D是中心对称图形，但不是轴对称图形。

考点：轴对称图形和中心对称图形的定义

3．小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法错误的是（   ）．

   A、众数是6吨

   B、平均数是5吨

   C、中位数是5吨

   D、方差是

【答案】C

【解析】

试题分析：用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．

 数据：3,4,5,6,6,6，中位数是5.5，故选C

考点：方差；平均数；中位数；众数

4．计算的结果为（    ）．

A．    B．    C．     D．

【答案】D

【解析】

试题分析：

考点：(1)、同底数幂的乘除法运算法则；(2)、积的乘方运算法则；(3)、幂的乘方运算

5. 如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转90°则顶点B的对应点

     B1的坐标为（   ）

   A.        

   B.       

   C.        

   D.

【答案】B

【解析】试题分析：将△ABC绕点O逆时针旋转90°后，图形如下图

所以B1的坐标为

考点：(1)、同底数幂的乘除法运算法则；(2)、积的乘方运算法则；(3)、幂的乘方运算

6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C，D，E 在⊙O 上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为（    ）

   A、100°    B、110°   C、115°     D、120°

【答案】B

【解析】试题分析：如下图，连接AD，AD

∵∠AED＝20°

∴∠ABD=∠AED＝20°

∵AB 是⊙O 的直径

∴∠ADB＝90°

∴∠BAD＝70°

∴∠BCD=110°

考点：圆的性质与计算

7. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，

  AE⊥BC，垂足为E，，AC＝2，BD＝4，

  则AE的长为（   ）

   A．    B．      

   C．     D．

【答案】D

【解析】试题分析：

∵平行四边形ABCD，AC＝2，BD＝4

∴AO=1，BO=2

∵

∴△ABO是直角三角形，∠BAO=90°

∴BC=

在直角△ABC中

AE=

考点：平行四边形的性质，勾股定理，面积法求线段长度

8. 一次函数的图像经过点A（），B（2,2）两点，P为反比例函数

   图像上的一个动点，O为坐标原点，过P作y轴的垂线，垂足为C，

   则△PCO的面积为（     ）

A、2            B、4         C、8        D、不确定

【答案】A

【解析】试题分析：如下图，

把点A（），B（2,2）代入得

，即k=-2,b=-2

所以反比例函数表达式为

设P（m，n）,则，即mn=4

△PCO的面积为OCPC=mn=2

考点： 一次函数、反比例函数图像与性质

第Ⅱ卷

二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

9．近年来，国家重视精准扶贫，收效显著，据统计约65 000 000人脱贫。

   65 000 000用科学计数法可表示为______________________。

【答案】

【解析】

试题分析：科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．             

所以，65 000 000用科学计数法可表示为

考点：科学记数法的表示方法

10．计算

【答案】13

【解析】

考点:无理数运算

11. 若抛物线与x轴没有交点，则m的取值范围是_____________°

【答案】

【解析】二次函数，a=1,b= -6,c = m

∵若抛物线与x轴没有交点

∴△＜0

即

解得

考点:△=0抛物线与x轴有1交点；△＞0抛物线与x轴有2交点；△＜0抛物线与x轴有0交点；

12．如图，直线AB与CD分别与⊙O 相切于B、D两点，且AB⊥CD，垂足为P，连接BD.

    若BD＝4，则阴影部分的面积为___________________。

【答案】

【解析】如下图

连接OB，OD

∵直线AB与CD分别与⊙O 相切于B、D两点

∴AB⊥OB，PC⊥OD

∵AB⊥CD

∴BOPD是正方形

∴

∴

考点:弓形面积

 13，如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE、

    ED、BD，若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为__________度．

【答案】

【解析】如下图

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点

∴A，B，C，D四点共圆，圆心是E，直径AC

∵∠BAD＝58°

∴∠BED＝116°

∴∠EBD=32°

考点:圆心角性质定理，等腰三角形性质

14．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的表面积为____。

【答案】48+12

【解析】

试题分析：三视图就是主视图（正视图）、俯视图、左视图的总称。从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图（正视图）——能反映物体的前面形状；从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状；从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状。

利用知识点：主府长对正，主左高平齐，府左宽相等，得

该几何体底面正六边形，AB=4，正六边形被分成6个全等的等边三角形，边长AC=2

该几何体的表面积为2+6=48+12

考点：三视图，等边三角形，正六边形

三、作图题（本题满分4分）

用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

15．已知：四边形ABCD．

求作：点P．使∠PCB＝∠B，且点P到AD和CD的距离相等。

    结论：

考点：尺规作图，角平分线性质定理

【解析】利用基本尺规作图：“画一个角等于已知角”，∠PCB＝∠B；要使点P到AD和CD的距离相等，需作∠ADC的角平分线。

【解答】

作图过程略

四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）

16．（本小题满分8分，每题4分）

（1）解不等式组　      　（2）化简：；   

（1）

考点：解不等式组

【解析】解得，解得＜，利用知识点：同小取小，得不等式组的解集为：

【解答】

由①得：；由②得：＜。

        所以不等式组的解集为：

   （2）

考点：分式的化简

【解析】先对每个分式的分子、分母分解因式，在约分化简计算

【解答】

原式

17．（本小题满分6分）

    小华和小军做摸球游戏，A袋中装有编号为1,2,3的三个小球，B袋中装有编号为4,5,6的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同，从两个袋子中分别随机摸出一个小球，若B袋摸出的小球的编号与A袋摸出小球的编号之差为偶数，则小华胜，否则小军胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

考点：列表或画树状图求概率

【解析】通过列表，共有9种等可能结果，偶数有4种等可能结果，，

∴不公平

【解答】

列表如下

       共有9种等可能结果，其中B袋中数字减去A袋中数字为偶数有4种等可能结果

      ；则小军胜的概率为

       ∵，∴不公平。

18．（本小题满分6分）

某中学开展了“手机伴我健康行”主题活动．他们随机抽取部分学生进行“手机使用目的”和“每周使用手机时间”的问卷调查，并绘制成如图①②的统计图。已知“查资料”人人数是40人。

请你根据以上信息解答以下问题

   （1）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角度数是_______________。

   （2）补全条形统计图

   （3）该校共有学生1200人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数

考点：统计图

【解析】(1)1—40%-18%-5%=35%，360×35%=126°

（2）利用“查资料”人人数是40人，查资料”人占总人数40%

求出总人数100，再求出32人

(3)用部分估计整体

【解答】

（1）126°   （2）40÷40%－2－16－18－32＝32人   （3）1200×=768人

19．（本小题满分6分）

    如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）  

    （参考数据：）

考点：三角函数的应用

【解析】

作BD⊥AC于点D，利用和AB=520，求AD=480;利用和AB=520，求BD=200;

利用和BD=200，求CD=116;∴AC=596

【解答】

解：如图，作BD⊥AC于点D，

        在Rt△ABD中，∠ABD=67°

        ，∴

        ，∴

        在Rt△BCD中，∠CBD=30°

        ，∴

        ∴

     答：AC之间的距离约为596km。

20．（本小题满分8分）

A、B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中表示两人离A地的距离S（km）与时间t（h）的关系，结合图像回答下列问题：

   （1）表示乙离开A地的距离与时间关系的图像是________(填）；

        甲的速度是__________km/h；乙的速度是________km/h。

   （2）甲出发后多少时间两人恰好相距5km？

考点：一次函数的应用

【解析】

（1）乙离开A地的距离越来越远，图像是； 甲的速度60÷2=30；乙的速度60÷（3.5-0.5）=20

（2）分类讨论：①相遇前：得；②相遇后：由得

【解答】

解：（1）；  30；  20；

   （2）由图可求出，

        由得；由得

    答：甲出发后1.3h或者1.5h时，甲乙相距5km。

21．（本小题满分8分）

已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F 分别是边AB，AC，AD的中点，

      连接CE、CF、OF．

（1）求证：△ BCE≌△DCF；

（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF正方形？请说明理由．

考点：菱形，全等三角形，正方形

【解析】

（1）利用SAS证明△ BCE≌△DCF

（2）先证明AEOF为菱形，当BC⊥AB，得∠BAD＝90°，再利用知识点：有一个角是90°的菱形是正方形。

【解答】

（1）证明：∵四边形ABCD为菱形

              ∴AB=BC=CD=DA，∠B=∠D

              又E、F分别是AB、AD中点，∴BE=DF

        ∴△ABE≌△CDF（SAS）

（2）若AB⊥AD，则AEOF为正方形，理由如下

         ∵E、O分别是AB、AC中点，∴EO∥BC，

         又BC∥AD，∴OE∥AD，即：OE∥AF

         同理可证OF∥AE，所以四边形AEOF为平行四边形

         由（1）可得AE＝AF

         所以平行四边AEOF为菱形

         因为BC⊥AB，所以∠BAD＝90°，所以菱形AEOF为正方形。

22．（本小题满分10分）

青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间比淡季上涨，下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：

（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元

（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变。经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间。不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？

考点：列分式方程解应用题，二次函数最值问题

【解析】

（1）∵旺季每间比淡季上涨，∴旺季每间是淡季1，根据此等量关系列分式方程解应用题

（2）设上涨m元，利润为。价格每增加25元，每天入住房间数减少1间，∴入住房间数

，得利润表达式，再求最值！

【解答】

解：（1）设有间豪华间，由题可得

            解得，经检验是原方程的根

            则：

            答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元。

    （2）设上涨m元，利润为，则

          因为，所以抛物线开口向下

          所以当时，

23．（本小题满分10分）

    数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题。下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．

探究一：求不等式的解集

   （1）探究的几何意义

如图①，在以O为原点的数轴上，设点A＇对应点的数为，

由绝对值的定义可知，点A＇与O的距离为，

可记为：A＇O=。将线段A＇O向右平移一个单位，

得到线段AB，，此时点A对应的数为，点B的对应数是1，

因为AB= A＇O，所以AB=。

因此，的几何意义可以理解为数轴上所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB。  

   （2）求方程=2的解

因为数轴上3与所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为

   （3）求不等式的解集

因为表示数轴上所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点所对应的数的范围。

请在图②的数轴上表示的解集，并写出这个解集

探究二：探究的几何意义

   （1）探究的几何意义

如图③，在直角坐标系中，设点M的坐标为，过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则点P点坐标（），Q点坐标（），|OP|=，|OQ|=，

在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y，则

因此的几何意义可以理解为点M与原点O（0,0）之间的距离OM

（2）探究的几何意义

如图④，在直角坐标系中，设点 A＇的坐标为，由探究（二）（1）可知，

 A＇O=，将线段 A＇O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时A的坐标为（），点B的坐标为（1,5）。

因为AB= A＇O，所以 AB=，因此的几何意义可以理解为点A（）与点B（1,5）之间的距离。

   （3）探究的几何意义

请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程。

（4）的几何意义可以理解为：_________________________.

拓展应用：

   （1）+的几何意义可以理解为：点A与点E的距离与点AA与点F____________（填写坐标）的距离之和。

   （2）+的最小值为____________(直接写出结果)

考点：信息题

【解析】

探究一（3）：的解集就是数轴上所对应的点与1所对应的点之间的距离小于2的点所对应的数，利用数轴可知

探究二（3）：根据题目信息，的几何意义可以理解为点A（）与点B（）之间的距离。

拓展应用：根据题目信息知是与点F（）的距离之和。

+表示点A与点E的距离与点A与点F（）的距离之和。∴最小值为E与点F（）的距离5

【解答】

解：探究一（3）  解集为：

    探究二（3）

如图⑤，在直角坐标系中，设点 A＇的坐标为，

由探究（二）（1）可知， A＇O=，

将线段 A＇O先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，

得到线段AB，此时A的坐标为（），点B的坐标为（）。

因为AB= A＇O，所以 AB=，

因此的几何意义可以理解为点A（）与点B（）之间的距离。

拓展应用

    （1）（）   （2）5

24．（本小题满分12分）

已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一条直线上，AB＝EF＝6cm，BC＝FP＝8cm，∠EFP＝90°。如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；EP与AB交于点G．同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s。过Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于M，连接AF，PQ，当点Q停止运动时，△EFP也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：

（1）当 t 为何值时，PQ∥BD？

（2）设五边形 AFPQM 的面积为 y（cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使？

     若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使点M在PG的垂直平分线上？

     若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．

（3）假使存在t，使

        则，即

        整理得，解得

        答：当t=2，

   （4）易证△PBG∽△PEF，

        ∴，即，∴

        则

        作MN⊥BC于N点，则四边形MNCD为矩形

        所以MN=CD=6，CN=，故：PN=

        若M在PG的垂直平分线上，则GM=PM，

        所以，所以

        即：

        整理得：，解得。