2017年青岛市市南区中考一模数学试卷

这是一份2017年青岛市市南区中考一模数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. −3 的相反数是
A. 3B. −3C. 3D. −33

2. 画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图，其中正确的是
A. B.
C. D.

3. 2016年青岛市参加中考人数约有 162000 人，将数据 162000 用科学记数法表示为
A. 162×103B. 16.2×104C. 1.62×105D. 1.62×106

4. 已知 ⊙O 的半径为 5，直线 l 与 ⊙O 相交，则圆心 O 到直线 l 的距离 d 的取值范围是
A. 0≤d<5B. 05

5. 下列计算正确的是
A. 3a2⋅4ab=7a3bB. 2ab32=4a2b6
C. a12÷a6=a2D. 4a+4b=8ab

6. 如图，点 A，B，C 的坐标分别为 2,5，6,3，4,−1，若以点 A，B，C，D 为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则点 D 的坐标可能是
A. 0,0B. 0,1C. 3,2D. 1,0

7. 某大型商场为了吸引顾客，规定凡在本商场一次性消费 100 元的顾客可以参加一次摸奖活动，摸奖规则如下：一个不透明的纸箱里装有 1 个红球、 2 个黄球、 5 个绿球、 12 个白球，所有球除了颜色外完全相同，充分摇匀后，从中摸出一球，若摸出的球是红、黄、绿球，顾客将分别获得 50 元、 25 元、 20 元现金，若摸出白球则没有获奖．若某位顾客有机会参加摸奖活动，则他每摸一次球的平均收益为
A. 95 元B. 953 元C. 25 元D. 10 元

8. 如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=6x 的图象相交于 A2,m，Bn,1 两点，连接 OA，OB，则 △OAB 的面积为
A. 12B. 10C. 8D. 6

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 计算：12−2−24×6= ．

10. 某跳高运动员最近五次训练的成绩分别为 181 cm，177 cm，181 cm，182 cm，179 cm，则该运动员这五次成绩的方差为 ．

11. 如图，在直径为 AB 的 ⊙O 中，C，D 是 ⊙O 上的两点，∠AOD=58∘，CD∥AB，则 ∠ABC 的度数为 ∘．

12. 清明节期间，小明和小新约好同时出发到中山公园踏青，小明家、小新家到中山公园的距离分别是 4 千米和 10 千米，小明步行前往，小新则骑免费单车，已知小新骑车的速度是小明步行速度的 4 倍，结果小新提前 15 分钟到达．若设小明步行速度为 x 千米/小时，则根据题意可列方程为 ．

13. 如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=6，E 为 AB 上一点，将 △BCE 沿 CE 翻折至 △FCE，EF 与 AD 相交于点 G，且 AG=FG，则线段 AE 的长为 ．

14. 如图，已知等边三角形 OAB 的顶点 O0,0，A0,3，将该三角形绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 60∘，则旋转 2017 次后，顶点 B 的坐标为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
15. 已知：∠α，线段 a．求作：Rt△ABC，使 ∠ACB=90∘，∠A=∠α，AC=a．

16. （1）化简：xx+1+3x+1x2−1．
（2）解不等式组：x−2≥3x,x2+2<−3.

17. 小明和小丽用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，其中一个转盘转到红色，另一个转盘转到蓝色，即可配成紫色，两人商定，若能配成紫色，小明胜，否则小丽胜．这个游戏对双方公平吗?请说明理由．

18. 甲、乙两人要测量灯塔 AB 的高度，甲在 C 处用高度为 1.5 米的测角仪测得塔顶 A 的仰角为 72∘，乙在 E 处用高度为 1.8 米的测角仪测得塔顶 A 的仰角为 50∘．点 B，C，E 在同一条直线上，且甲乙两人的距离 CE=10 米．请你根据测量的数据计算灯塔 AB 的高度．（结果精确到 0.1 m）（参考数据：sin50∘≈45，cs50∘≈1625，tan50∘≈54，sin72∘≈1920，cs72∘≈310，tan72∘≈196）

19. 小刚对自己家近四年的家庭支出情况进行了统计，并制作了下列两个统计图，根据统计图回答下列问题：
（1）已知2014年小刚家教育支出为 0.27 万元，请将图1中的统计图补充完整；
（2）求近四年小刚家总支出的中位数和这四年平均每年的总支出；
（3）根据以上信息，请你估计小刚家2017年教育支出大约是多少万元?并说明你是怎样估计的．

20. 为加强体育锻炼，增强体质，班委会决定利用班费购置毽子和飞盘两种体育用品．已知购买 3 个毽子和 2 个飞盘共需 75 元；购买 5 个毽子和 3 个飞盘共需 115 元．
（1）求毽子和飞盘每个的价格分别是多少元?
（2）若要为每名同学购置 1 个毽子，每三人一组（班级学生人数恰为 3 的倍数）购置一个飞盘，将花费 630 元，则该班级共有多少名同学?

21. 已知：如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，分别过点 A，B 作 AE∥BD，BE∥AC，连接 CE，交 BD 于点 F．
（1）求证：△BEF≌△OCF；
（2）当 ∠ABC 满足什么条件时，四边形 OAEB 为菱形?请说明理由．

22. 某公司计划销售一种海产品，已知该产品市场售价每盒 20 元，每周能销售 x 盒．该公司现有两种方案，方案A：找加工厂生产，公司购买销售，每周需支付加工厂成本及其他费用 L（元）与 x 之间的关系式为 L=0.1x2+4x+200，所找加工厂每周最多能加工 70 盒；方案B：公司租赁设备自产自销，每盒的成本为 m 元（m 是常数，10≤m≤15），每周租赁设备及其他费用共计 400 元，且每周最大生产量为 100 盒．若每周生产出的产品能全部售出，请解答下面的问题：
（1）写出方案A每周利润 yA（元）与 x 之间的函数关系式，并求该方案每周的最大利润．
（2）写出方案B每周利润 yB（元）与 x 之间的函数关系式，并求该方案每周的最大利润．（含常数 m）
（3）该公司选择哪种方案可使每周的获利更多?请说明理由．

23. 问题提出：
有 n 个环环相扣的圆环形成一串线型链条，当只断开其中的 kk问题探究：
为了找出 n 与 k 之间的关系，我们运用一般问题特殊化的方法，从特殊到一般，归纳出解决问题的方法．
探究一：k=1，即断开链条其中的 1 个环，最多能得到几个环呢?
当 n=1,2,3 时，断开任何一个环，都能满足要求，分次取走；
当 n=4 时，断开第二个环，如图①，第一次取走 1 环；第二次退回 1 环换取 2 环，得 2 个环；第三次再取回 1 环，得 3 个环；第四次再取另 1 环，得 4 个环，按要求分 4 次取走．
当 n=5,6,7 时，如图②，图③，图④方式断开，可以用类似上面的方法，按要求分 5，6，7 次取走．
当 n=8 时，如图⑤，无论断开哪个环，都不可能按要求分次取走．
所以，当断开 1 个环时，从得到更多环数的角度考虑，把链条分成 3 部分，分别是 1 环、 2 环和 4 环，最多能得到 7 个环．
即当 k=1 时，最多能得到的环数 n=1+2+4=1+2×3=1+2×22−1=7．
探究二：k=2，即断开链条其中的 2 个环，最多能得到几个环呢?
从得到更多环数的角度考虑，按图⑥方式断开，把链条分成 5 部分，按照类似探究一的方法，按要求分 1，2，⋯ 23 次取走．
所以，当断开 2 个环时，把链条分成 5 部分，分别是 1 环、 1 环、 3 环、 6 环、 12 环，最多能得到 23 个环．
即当 k=2 时，最多能得到的环数 n=1+1+3+6+12=2+3×7=2+3×23−1=23．
探究三：k=3，即断开链条其中的 3 个环，最多能得到几个环呢?
从得到更多环数的角度考虑，按图⑦方式断开，把链条分成 7 部分，按照类似前面探究的方法，按要求分 1，2，⋯ 63 次取走．
所以，当断开 3 个环时，从得到更多环数的角度考虑，把链条分成 7 部分，分别是 1 环、 1 环、 1 环、 4 环、 8 环、 16 环、 32 环，最多能得到 63 个环．
即当 k=3 时，最多能得到的环数 n=1+1+1+4+8+16+32=3+4×15=3+4×24−1=63．
（1）探究四：k=4，即断开链条其中的 4 个环时，从得到更多环数的角度考虑，把链条分成 部分，分别为 ，最多能得到的环数 n= ．请画出如图⑥的示意图．
（2）模型建立：
有 n 个环环相扣的圆环形成一串线型链条，断开其中的 kk分别是：1,1,1⋯⋯1⏟ 个1，k+1， ，⋯⋯， ，最多能得到的环数 n= ．
（3）实际应用：
一天一位财主对雇工说：“你给我做两年的工，我每天付给你一个银环．不过，我用一串环环相扣的线型银链付你工钱，但你最多只能断开银链中的 6 个环．如果你无法做到每天取走一个环，那么你就得不到这两年的工钱，如果银链还有剩余，全部归你！你愿意吗?”
聪明的你是否可以运用本题的方法通过计算帮助雇工解决这个难题，雇工最多能得到总环数为多少环的银链?

24. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=BC=8 cm，长为 2 cm 的线段 DE 在边 AC 上，且点 D 与点 A 重合，点 F 是 DE 的中点．线段 DE 从点 A 出发，沿 AC 方向向点 C 匀速运动，直到点 E 与点 C 重合，速度为 1 cm/s．过 F 作 PF⊥AC，交 AB 于点 P，过 P 作 PQ∥AC，交 BC 于点 Q，连接 PD，PE，QE．设线段 DE 的运动时间为 ts．
（1）当 t 为何值时，四边形 PDEQ 为平行四边形?
（2）设四边形 PDEQ 的面积为 ycm2，求 y 与 t 之间的函数关系式．
（3）是否存在某一时刻 t，使得 S四边形PDEQ:S△ABC=5:16?若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由．
（4）是否存在某一时刻 t，使得 EP 平分 ∠AEQ?若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理由．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. C
4. A
5. B
6. B
7. D
8. C
第二部分
9. −8
10. 3.2 cm2
11. 61
12. 4x−104x=1560
13. 1
14. 323,−32
第三部分
15.
16. （1） x+1x−1．
（2） x<−10．
17. P小明胜=59，P小丽胜=49，故不公平．
18. 设 AB=x，则由题意
x−1.8×45−x−1.5×619=10,
解得
x=22.6,∴AB
为 22.6 m．
19. （1） 2014年；1.8 万元．
（2） 中位数：1.5 万元；平均每年总支出：1.5 万元．
（3） 大约为 0.3 万元．
20. （1） 毽子每个 5 元，飞盘每个 30 元．
（2） 设班级共有 x 名同学，则
5x+30×x3=630.
得
x=42.∴
班级共有 42 名同学．
21. （1） ∵ AE∥BD，BE∥AC，
∴ 四边形 AEBD 为平行四边形，∠BEF=∠FCO．
∴ BE=OA=OC．
在 △BEF 和 △OCF 中，
∠BEF=∠OCF,∠BFE=∠OFC,BE=OC,
∴ △BEF≌△OCFAAS．
（2） 当 ∠ABC=90∘ 时，四边形 OAEB 为菱形．
平行四边形 ABCD 中，∠ABC=90∘，
∴ 平行四边形 ABCD 为矩形．
∴ OA=OB．
∴ 平行四边形 AEBO 为菱形．
22. （1） yA=20x−L，
yA=−0.1x2+16x−200，
当 x=70 时，yAmax=430．
（2） yB=20−m⋅x−400，
当 x=100 时，yBmax=1600−100m．
（3） ① 10≤m<11.7 时，B获利多，
② m=11.7 时，A，B一样多，
③ 11.723. （1） 9；1，1，1，1，5，10，20，40，80；159
（2） 2k+1；k；2k+1；2kk+1；k+k+1⋅2k+1−1
（3） 6+7×27−1=895（环）．
24. （1） PQ=CF=8−t+1=7−t，PQ=DE 时，PDEQ 为平行四边形．即 7−t=2，t=5．
（2） PF=AF=t+1，DE=2，PQ=7−t．
∴y=S△PDE+S△PEQ=12×PF×DE+12×PF×PQ=12t+12+7−t,
即 y=−12t2+4t+92．
（3） S△ABC=12×8×8=32cm2，
∴ S四边形PDEQ=10cm2．令 y=10，得 −10=−12t2+4t+92，解得 t=4±5．
又 ∵ t+2≤8，t≤6，
∴ t=4+5（舍去），
∴ t=4−5．
（4） 作 PM⊥EQ，当 PE 平分 ∠AEQ 时，PF=PM．
∵ S△PEQ=PM⋅EQ2=PF⋅PQ2．
∴ EQ=PQ．Rt△ECQ 中，EQ2=EC2+CQ2=6−t2+t+12．PQ2=7−t2．
∴ 6−t2+t+12=7−t2，解得 t=2．