1.7正切函数-【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【中档题】（北师大2019版第二册）
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2020-2021学年高一数学同步备课系列【中档题】
一、单选题
1．设，，，则下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
比较、的大小关系，并比较、、三个数与的大小关系，由此可得出、、三个数的大小关系.
【详解】
且，即，
又，因此，.
故选：B.
2．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的曲线的对称中心是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先求得平移后的解析式，根据正切函数的对称性，即可求得答案.
【详解】
函数的图象向左平移个单位长度后解析式变为，
令，解得，
所以的对称中心为.
故选：A
3．若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据三角函数的图象变换，得出与函数的图象重合，得到，即可求解.
【详解】
由函数的图像向右平移个单位长度后，
可得与函数的图象重合，
，其中，即，
当时，可得，即的最小值为.
故选：B.
4．已知，，函数图象相邻的两个对称中心之间的距离为，函数图象相邻的两个对称中心之间的距离为，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出函数、的最小正周期，结合正弦型函数和正切型函数的对称性可得出结论.
【详解】
函数的最小正周期为，则，
函数的最小正周期为，则，
因此，.
故选：C.
5．已知，，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数不为奇函数 B．函数存在反函数
C．函数具有周期性 D．函数的值域为
【答案】B
【分析】
根据，图象与性质，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
对于A：的定义域关于原点对称，且，，故为奇函数，故A错误；
对于B：，在定义域内一一对应，所以，即的反函数为，故B正确；
对于C：因为，，故图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以不具有周期性，故C错误；
对于D：因为，，所以图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以的值域为一些点构成的集合，不是R，故D错误.
故选：B
6．下列各值中，比大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
使用正切函数周期性和单调性比较大小．
【详解】
解：．
对于，，而，故．
对于，，，．
对于，，．
对于，，，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了正切函数的图象与性质，属于基础题．
7．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期是B．的值域是
C．直线是函数图像的一条对称轴D．的递减区间是，
【答案】D
【分析】
根据函数的解析式，得到其最小正周期，值域，对称轴和递减区间，然后对四个选项分别进行判断，得到答案.
【详解】
函数
所以函数的最小正周期，所以选项A错误；
由解析式可知，所以的值域为，所以选项B错误；
当时，，，
不是函数图像的对称轴，所以选项C错误.
令，，可得，，
的递减区间是，，所以选项D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查正切型函数的周期、值域、对称性和单调区间，属于简单题.
8．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则的值是（ ）
A． B．
C．1 D．
【答案】D
【分析】
由题意可知函数的周期为，进而求出，进而求出函数解析式和函数值.
【详解】
由题意可知该函数的周期为，所以，
f(x)＝tan 2x，所以
故选：D
【点睛】
本题考查了正切函数的周期，考查了运算求解能力，属于基础题目.
9．下列说法正确的是（ ）
A．正切函数在整个定义域上是增函数 B．正切函数会在某一区间内是减函数
C． D．函数的周期为2
【答案】D
【分析】
利用正切函数的单调性判断．
【详解】
正切函数在每个区间 上是增函数，A错；
正切函数不会在某一区间内是减函数，B错；
.C错；
函数的周期 ，D正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查正切函数的单调性，掌握正切函数在区间是增函数的性质是解题关键．
10．函数与的图像在上的交点有（ ）
A．9个 B．13个 C．17个 D．21个
【答案】A
【分析】
直接解方程确定．
【详解】
，则或，显然的解包含在中，
，，，∴共9个．
故选：A．
【点睛】
本题考查正弦函数与正切函数图象交点问题，可通过解方程确定解的个数．
二、多选题
11．已知函数，对任意，给出下列结论，正确的是（ ）
A． B． C．
D． E.
【答案】AD
【分析】
根据正切函数的性质,可判断ABC.根据式子表示的性质及意义,可判断DE.
【详解】
对于A,由于的周期为,所以A正确；
对于B,函数为奇函数,所以B不正确；
对于C,,所以C不正确；
对于D,式子说明函数为增函数,而为区间上的增函数,所以D正确；
对于E,由函数的图象可知,函数在区间上有,在区间上有,所以E不正确.
综上可知,正确的为AD
故选:AD
【点睛】
本题考查了正切函数的图像与性质的综合应用,属于基础题.
12．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象最小正周期为
C．函数的图象在上单调递增 D．函数的图象关于直线对称
【答案】AC
【分析】
先根据函数图像的变换求得的解析式，再求其函数性质即可.
【详解】
由题可知，.
因为，故正确；因为的周期为，故错误；
因为，故可得，故正确；
因为正切函数不是轴对称函数，故错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查函数图像的变换以及正切型函数的性质，属综合基础题.
三、填空题
13．已知函数，若，则__________.
【答案】0
【分析】
由解析式可得，即可求解.
【详解】
，
，则，.
故答案为：0.
14．函数，的值域为________．
【答案】
【分析】
令，由，求得，根据正切函数的单调性，即可求解.
【详解】
令，因为，可得，即，
此时函数在区间为单调递增函数，
可得，
即函数，的值域为
故答案为：
15．已知函数与函数在区间上的图象的交点为，过点作轴的垂线，垂足为，与函数的图象交于点，则线段的长为______.
【答案】
【分析】
先由题意，设，则，，根据题中条件，得到，再由同角三角函数基本关系，计算出，即可求出结果.
【详解】
设，则，，
因为函数与函数在区间上的图象的交点为，
所以，其中，，
由，解得，
因此，所以.
故答案为：
16．若函数，求_____.
【答案】0
【分析】
先求得函数的周期，再由求解.
【详解】
因为函数的周期，
而，，
则，
则，
故答案为：0
17．若函数的最小正周期满足，则整数的值的集合为_______________.
【答案】
【分析】
由周期公式求出的范围，最后由为整数确定的值.
【详解】
函数的最小正周期，则
解得或，由于为整数，则整数的值为
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了已知正切型函数周期的范围求参数的范围，属于基础题.
四、解答题
18．已知，，求的最大值和最小值，并求出相应的值．
【答案】当时，有最小值；当时，有最大值.
【分析】
将函数的解析式变形为，由计算得出，利用二次函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值及其对应的的值.
【详解】
，且，.
当时，即当时，函数取最小值；
当时，即当时，函数取最大值.
【点睛】
本题考查正切型二次函数最值的求解，考查二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题.
19．函数在上的最大值和最小值分别为和，
求a，b的值．
【答案】
【分析】
根据在上单调递增或单调递减，可代入区间端点值，列出关于的等式再求解即可.
【详解】
当时，在上单调递增，故 ，即，解得.
当时，在上单调递减，故 ，即，解得.
故
【点睛】
本题主要考查了根据正切型函数的单调性与最值求解参数的问题，属于基础题.
20．已知函数最小正周期为.
（1）求的定义域及的值；（2）已知，求的值.
【答案】(1) ，的定义域为；(2).
【分析】
（1）根据函数的最小正周期，求得，再求函数的定义域即可；
（2）根据，求得，再利用正切的倍角公式，求得.
【详解】
（1）因为的最小正周期为，故可得；
故，，解得
故，的定义域为.
（2）因为，故可得
由正切的和角公式可得，解得.
故可得.
【点睛】
本题考查正切型函数定义域的求解，正切的和角公式和倍角公式，属中档题.
21．已知函数的图象经过点，函数的部分图象如图所示.
（1）求，；（2）若，求.
【答案】（1）， （2）
【分析】
（1）由得图象可得其最小正周期，即可求出，再根据过点代入可求．
（2）由（1）可得、的解析式，由已知条件求出，根据同角三角函数的基本关系计算出、，再由二倍角正切公式求解．
【详解】
解：（1）由图可知，的最小正周期，
则，即
将代入，得.
又，所以.
（2）由（1）得，因为，所以，
根据，所以，
，故.即
【点睛】
本题考查三角函数图象的应用，同角三角函数的基本关系及二倍角正切公式，属于中档题．
22．已知函数．
求最小正周期、定义域；若，求x的取值范围．
【答案】（1）最小正周期为，定义域为（2），
【解析】
【分析】
利用正切函数的周期性、定义域，得出结论．
不等式即，再利用正切函数的图象性质，求得x的取值范围．
【详解】
解：对于函数，它的最小正周期为，
由，求得，可得它的定义域为．
，即，故，
求得，故x的取值范围为，．
【点睛】
本题主要考查正切函数的周期性、定义域，正切函数的图象性质，属于中档题．
