精品解析：2020年湖北省黄冈市启黄中学中考二模数学试题（解析版+原卷版）

启黄中学2020年九年级第二次模拟考试数学试题

一、选择题

1.若代数式有意义，则实数的取值范围是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

分式有意义的条件是分母不为．

【详解】代数式有意义，

，

故选D．

【点睛】本题运用了分式有意义的条件知识点，关键要知道分母不为是分式有意义的条件．

2.一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据展开图推出几何体，再得出视图.

【详解】根据展开图推出几何体是四棱柱，底面是四边形.

故选B

【点睛】考核知识点：几何体的三视图.

3.一组数据3，2，4，2，5的中位数和众数分别是（  ）

A. 3，2 B. 3，3 C. 4，2 D. 4，3

【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查统计的有关知识，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．

【详解】这组数据已经按从小到大的顺序进行了排列，出现次数最多的数是2，则众数为2；这组数据一共有5个数，中间一个为3，所以这组数据的中位数为3．
故选A．

【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

4.若，，则之值为何？（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据算术平方根求出、的值，代入求解即可．

【详解】解：，，

，，

．

故选B．

【点睛】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握定义是解答本题的关键．

5.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．

【详解】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．

故选C．

【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．

6.如图，函数的图象所在坐标系的原点是（　　）

A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q

【答案】A

【解析】

【分析】

由函数解析式可知函数关于y轴对称，即可求解；

【详解】解：由已知函数可得：

函数图像关于y轴对称，且与坐标轴没有交点，

所以点M是原点；

故选：A．

【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键．

7.两个少年在绿茵场上游戏．小红从点出发沿线段运动到点，小兰从点出发，以相同的速度沿逆时针运动一周回到点，两人的运动路线如图1所示，其中．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点的距离与时间（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（   ）

A. 小红的运动路程比小兰的长

B. 两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇

C. 当小红运动到点的时候，小兰已经经过了点

D. 在4.84秒时，两人的距离正好等于的半径

【答案】D

【解析】

【分析】

利用图象信息一一判断即可解决问题．

【详解】解：、由图象可知：小红9.68秒时，到达终点，而小兰17.12秒到达终点，小红的运动路程比小兰的短，故本选项不符合题意；

、两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻与点距离相等，故本选项不符合题意；

、由小兰到点D需17.12÷2=8.56秒，而7.49秒的时刻两人与点距离相等可知：当小红运动到点的时候，小兰还没有经过了点，故本选项不符合题意；

、当小红运动到点的时候，两人的距离正好等于的半径，此时，故本选项正确；

故选：．

【点睛】此题考查的是根据函数图象，找出正确结论，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

8.已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　）

A. ﹣＜m＜3 B. ﹣＜m＜2 C. ﹣2＜m＜3 D. ﹣6＜m＜﹣2

【答案】D

【解析】

【分析】如图，解方程﹣x2+x+6=0得A（﹣2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线•y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时m的值和当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围．

【详解】如图，当y=0时，﹣x2+x+6=0，解得x1=﹣2，x2=3，则A（﹣2，0），B（3，0），

将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=（x+2）（x﹣3），

即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），

当直线y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m=0，解得m=﹣2；

当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6=﹣x+m有相等的实数解，解得m=﹣6，

所以当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2，

故选D．

【点睛】本题考查了抛物线与几何变换，抛物线与x轴的交点等，把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解决此类问题常用的方法.

二、填空题

9.分解因式：=______．

【答案】a（b+1）（b﹣1）．

【解析】

【详解】解：原式==a（b+1）（b﹣1），

故答案为a（b+1）（b﹣1）．

10.已知，则代数式的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

直接把代入代数式求值即可．

【详解】解：把代入代数式得：

故答案为：

【点睛】本题考查的是代数式的求值，同时考查了二次根式的平方运算，掌握以上知识是解题的关键．

11.关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为_______．

【答案】且

【解析】

【分析】

根据解分式方程的方法和方程的解为非负数，可以求得的取值范围．

【详解】解：，

方程两边同乘以，得

，

去括号，得

，

移项及合并同类项，得

，

关于的分式方程的解为非负数，，

，

解得，且，

故答案为且．

【点睛】本题主要考查根据分式方程的根求解参数，难度系数稍微有点大，但是是必考点.

12.关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则m的值为___________.

【答案】－2

【解析】

【分析】

设x1，x2是x2+2mx+m2+m=0两个实数根，由根与系数的关系得x1+x2=-2m，x1•x2=m2+m，再由x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2代入即可；

【详解】解：设x1，x2是x2+2mx+m2+m=0的两个实数根，
∴△=-4m≥0，
∴m≤0，
∴x1+x2=-2m，x1•x2=m2+m，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=4m2-2m2-2m=2m2-2m=12，
∴m=3或m=-2；
∴m=-2.

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．

13.2017年，随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目，成功完成了高难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力．在2019年的《最强大脑》节目中，也有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字之和为_____．

【答案】11

【解析】

【分析】

根据题意要求①②可得关于所要求的两数的两个等式，解出两数即可．

【详解】解：设图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为a，b

∵外圆两直径上的四个数字之和相等

∴4+6+7+8=a+3+b+11①

∵内、外两个圆周上的四个数字之和相等

∴3+6+b+7=a+4+11+8②

联立①②解得：

a=2，b=9

∴图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为2，9

2+9=11

故答案为：11．

【点睛】此题比较简单，主要考查了二元一次方程组应用，主要依据题中的要求①②列式即可以求解．

14.如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点的坐标为 ，点在轴正半轴上，且．将先绕点逆时针旋转，再向左平移3个单位，则变换后点的对应点的坐标为______．

【答案】

【解析】

【分析】

先求出点A的坐标，然后根据旋转的性质求出旋转后点A的对应点的坐标，继而根据平移的性质即可求得答案.

【详解】∵点的坐标为，，

∴点的坐标为，

如图所示，将先绕点逆时针旋转90°，

则点的坐标为，
再向左平移3个单位长度，则变换后点的对应点坐标为，

故答案为．

【点睛】本题考查了平移变换、旋转变换，熟练掌握平移的性质以及旋转的性质是解题的关键.

15.如图，在扇形AOB中，，半径OC交弦AB于点D，且．若，则阴影部分的面积为_____．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是的面积与扇形OBC的面积之和再减去的面积，本题得以解决．

【详解】

解：作于点F，

在扇形AOB中，，半径OC交弦AB于点D，且．，

，，，

，

，，，，

，

阴影部分的面积是：，

故答案为．

【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

16.如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．给出下列判断：①∠EAG＝45°；②若DE＝a，则AG∥CF；③若E为CD的中点，则△GFC的面积为a2；④若CF＝FG，则；⑤BG•DE+AF•GE＝a2．其中正确的是____________．（写出所有正确判断的序号）

【答案】①②④⑤．

【解析】

【分析】

①由折叠得AD=AF=AB，再由HL定理证明Rt△ABG≌Rt△AFG便可判定正误；

②设BG=GF=x，由勾股定理可得求得BG=，进而得GC=GF，得∠GFC=∠GCF，再证明∠AGB=∠GCF，便可判断正误；

③设BG=GF=y，则CG=a-y，由勾股定理得y的方程求得BG，GF，EF，再由同高的两个三角形的面积比等于底边之比，求得△CGF的面积，便可判断正误；

④证明∠FEC=∠FCE，得EF=CF=GF，进而得EG=2DE，CG=CE=a-DE，由等腰直角三角形的斜边与直角边的关系式便可得结论，进而判断正误；

⑤设BG=GF=b，DE=EF=c，则CG=a-b，CE=a-c，由勾股定理得再得△CEG的面积为BG•DE，再由五边形ABGED的面积加上△CEG的面积等于正方形的面积得结论，进而判断正误．

【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=AD=a，

∵将△ADE沿AE对折至△AFE，

∴∠AFE=∠ADE=∠ABG=90°，AF=AD=AB，EF=DE，∠DAE=∠FAE，

 在Rt△ABG和Rt△AFG中 ，

，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），

∴∠BAG=∠FAG，

∴∠GAE=∠GAF+∠EAF=×90°=45°，故①正确；

② Rt△ABG≌Rt△AFG

∴BG=GF，∠BGA=∠FGA，

设BG=GF=x，

∵DE=a，

∴EF=a， ∴CG=a-x，

在Rt△EGC中，EG=x+a，CE=a，

由勾股定理可得：

 解得：

此时BG=GF=a，CG=a，

∴GC=GF， ∴∠GFC=∠GCF，

 ∵∠BGF=∠GFC+∠GCF，

∴2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，

∴∠AGB=∠GCF，

∴AG∥CF， ∴②正确；

③若E为CD的中点，则DE=CE=EF=a，

设BG=GF=y，则CG=a-y，

由， 即

解得：y= a，

∴BG=GF=a，CG=

∴

∴S△CFG＝S△CEG＝ 故③错误；

④当CF=FG，则∠FGC=∠FCG，

∵∠FGC+∠FEC=∠FCG+∠FCE=90°，

∴∠FEC=∠FCE， ∴EF=CF=GF，

∴BG=GF=EF=DE，

∴EG=2DE，CG=CE=a-DE，

∴ CE＝EG，即(a−DE)＝2DE， ∴DE=， 故④正确；

 ⑤设BG=GF=b，DE=EF=c，则CG=a-b，CE=a-c，

由勾股定理得：

整理得：

∴S△CEG＝(a−b)(a−c)＝()=(bc+bc)＝bc，

即S△CEG=BG•DE，

∵S△ABG=S△AFG，S△AEF=S△ADE，

∴S五边形ABGED＝2S△AGE＝2×AF•EG＝AF•EG，

∵S五边形ABGED+S△CEG=S正方形ABCD，

∴BG•DE+AF•EG=故⑤正确．

故答案为：①②④⑤．

【点睛】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用折叠得到线段相等及角相等、正方形的性质的运用是解题的关键．涉及内容多而复杂，难度较大．

三、解答题

17.计算：

【答案】11.

【解析】

【分析】

根据算术平方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂的意义进行计算，最后再进行加减运算即可得解.

【详解】，

.

【点睛】本题考查了实数的运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂，解答本题的关键是明确它们的各自计算方法.

18.先化简，再将代入求值.

【答案】1.

【解析】

【分析】

直接利用分式的混合运算法则进而化简得出答案．

【详解】原式

将代入得：

【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．

19.为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩(满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分)分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表.

(1)表中m＝__________，n＝____________；

(2)请在图中补全频数直方图；

(3)甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在_________分数段内；

(4)选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率.

【答案】(1)8，0.35；(2)见解析；(3)89.5～94.5；(4).

【解析】

【分析】

(1)根据频数=总数×频率可求得m的值，利用频率=频数÷总数可求得n的值；

(2)根据m的值补全直方图即可；

(3)根据中位数的概念进行求解即可求得答案；

(4)画树状图得到所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后利用概率公式进行求解即可.

【详解】(1)m＝40×0.2＝8，n＝14÷40＝0.35，

故答案为8，0.35；

(2)补全图形如下：

(3)由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在89.5～94.5，

∴推测他的成绩落在分数段89.5～94.5内，

故答案为89.5～94.5；

(4)选手有4人，2名是男生，2名是女生，画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中一名男生一名女生的结果数有8种，

所以恰好是一名男生和一名女生的概率为.

【点睛】本题考查了频数(率)分布表，频数分布直方图，中位数，列表法或树状图法求概率，正确把握相关知识是解题的关键.

20.近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》鼓励教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．

（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；

（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？

【答案】（1）10% ；（2）2.662万人次

【解析】

【分析】

（1）设增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解；

（2）用2.42×（1+增长率），计算即可求解．

【详解】（1）设增长率为x，根据题意，得

2（1+x）2=2.42，

解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%．

答：增长率为10%．

（2）2.42（1+0.1）=2.662（万人）．

答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.

21.如图所示，某施工队要测量隧道长度，米，，施工队站在点处看向，测得仰角，再由走到处测量，米，测得仰角为，求隧道长.（， ，）.

【答案】隧道的长度为700米.

【解析】

【分析】

作EM⊥AC于M，解直角三角形即可得到结论．

【详解】如图，

是等腰直角三角形，，

作点，则

∴

在中，，即

∴

∴（米）

答：隧道的长度为700米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．

22.如图，在直角坐标系中，已知点B(4,0)，等边三角形OAB的顶点A在反比例函数的图象上

  (1)求反比例函数的表达式．

  (2)把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O′ A′ B′ 当这个函数图象经过△O′ A′ B′ 一边的中点时，求a 的值．

【答案】（1）；（2）的值为1或3；

【解析】

【详解】（1）如图1，过点A作于点C.

是等边三角形，

，.

，

.

，.

把点（2，）的坐标代入，得.

.

（2）（Ⅰ）如图2，点D是的中点，过点D作轴于点E.

由题意得，.

在中，，，.

.

把代入．得.

.

（Ⅱ）如图3，点F是的中点，过点F作轴于点H.

由题意得，.

在中，.

把代入，得.

.

综上,的值为1或3.

【点睛】本题考查了等边三角形性质，待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数及分类讨论等知识.掌握待定系数法是解答（1）的关键，分类讨论是解（2）的关键.

23.如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA于C，过点B作⊙O的切线BD交CE的延长线于点D．

（1）求证：DB=DE；

（2）连接AD，若AB=24，DB=10，求四边形OADB的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形OADB的面积为

【解析】

【分析】

（1）欲证明DB=DE，只要证明∠DEB=∠DBE；

（2）作DF⊥AB于F，连接OE．只要证明∠AOE=∠DEF，可得sin∠DEF=sin∠AOE=由此求出AO的长，由勾股定理可求OE的长即可解决问题．

【详解】证明：（1）∵AO=OB，

 ∴∠OAB=∠OBA，

 ∵BD是切线，

∴OB⊥BD，

∴∠OBD=90°，

 ∴∠OBE+∠EBD=90°，

 ∵EC⊥OA，

∴∠CAE+∠CEA=90°，

 ∵∠CEA=∠DEB，

∴∠EBD=∠BED，

 ∴DB=DE．

（2）作DF⊥AB于F，连接OE．

 ∵DB=DE，AE=EB=12，

∴EF=BE=6，OE⊥AB，

在Rt△EDF中，DE=BD=10，EF=6，

∴DF= 

∵∠AOE+∠OAB=90°，∠DEF+∠OAB=90°，

 ∴∠AOE=∠DEF，

∴sin∠DEF=sin∠AOE=

 ∵AE=12， ∴AO=15

∴OE=

 ∴四边形OADB的面积=

【点睛】本题考查切线的性质、勾股定理、垂径定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

24.超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件．

（1）请写出与之间的函数表达式；

（2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？

（3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？

【答案】（1）（2）当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元（3）当为20时最大，最大值是2400元

【解析】

分析】

（1）根据题意列函数关系式即可；

（2）根据题意列方程即可得到结论；

（3）根据题意得到，根据二次函数的性质得到当时，随的增大而增大，于是得到结论．

【详解】（1）根据题意得，；

（2）根据题意得，，

解得：，，

∵每件利润不能超过60元，

∴，

答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；

（3）根据题意得，，

∵，

∴当时，随的增大而增大，

∴当时，，

答：当为20时最大，最大值是2400元．

【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．

25.如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0）．

（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；

（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G．设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若△PDG的面积为，

①求点P的坐标；

②设M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y（x﹣2）2+8，抛物线对称轴为直线x＝2；（2）d＝m2m+4（2＜m＜6）；（3）①点P坐标为（5，），②M1（，），R1（2，8）；M2（，），R2（2，8）；M3（，），R3（4，6）；M4（6，3），R4（4，6）．

【解析】

【分析】

(1)已知抛物线与x轴交点B、C，故可设交点式，再把点A代入即求得抛物线解析式．用配方法或公式求得对称轴．

(2)过点P作PH⊥x轴于点H，由PD⊥AD于点E易证∠PDH＝45°，故DH＝PH＝n．由PG∥AB易证△PGH∽△ABO，利用对应边成比例可得GHn，把含m的式子代入d＝DH﹣GH即得到d与m的函数关系式，再由点P的位置确定2＜m＜6．

(3)①用n表示DG、PH，代入S△PDGDG•PH，求得n的值(舍去负值)，再利用nm2+2m+6解关于m的方程即求得点P坐标．

②因为△ARS为等腰直角三角形且AS与y轴夹角为45°，故AR与y轴夹角为45°或90°．由于不确定△ARS哪个为直角顶点，故需分3种情况讨论，画出图形，利用45°或90°来确定点R、S的位置，进而求点R、S坐标，再由S的坐标求直线OM解析式，把直线OM与直线AP解析式联立方程组，解得点M坐标．

【详解】解：(1)∵抛物线与x轴交于点B(﹣2，0)，C(6，0)

∴设交点式y＝a(x+2)(x﹣6)

∵抛物线过点A(0，6)

∴﹣12a＝6

∴a

∴抛物线解析式为y(x+2)(x﹣6)x2+2x+6(x﹣2)2+8

∴抛物线对称轴为直线x＝2．

(2)过点P作PH⊥x轴于点H，如图1

∴∠PHD＝90°

∵点P(m，n)是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴右侧

∴2＜m＜6，PH＝nm2+2m+6，n＞0

∵OA＝OC＝6，∠AOC＝90°

∴∠ACO＝45°

∵PD⊥AC于点E

∴∠CED＝90°

∴∠CDE＝90°﹣∠ACO＝45°

∴DH＝PH＝n

∵PG∥AB

∴∠PGH＝∠ABO

∴△PGH∽△ABO

∴

∴GHn

∴d＝DH﹣GH＝nnn(m2+2m+6)m2m+4(2＜m＜6)

(3)①∵S△PDGDG•PH

∴n•n

解得：n1，n2(舍去)

∴m2+2m+6

解得：m1＝﹣1(舍去)，m2＝5

∴点P坐标为(5，)

②在抛物线上存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形．

设直线AP解析式为y＝kx+6

把点P代入得：5k+6

∴k

∴直线AP：yx+6

i)若∠RAS＝90°，且S在线段AC上，如图2

∵直线AC解析式为y＝﹣x+6

∴直线AR解析式为y＝x+6

   解得：(即点A)

∴R(2，8)

∵∠ASR＝∠OAC＝45°

∴RS∥y轴

∴xS＝xR＝2

∴S(2，4)

∴直线OM：y＝2x

∵   解得：

∴M(，)

ii)若∠RAS＝90°，且S线段CA延长线上，如图3

∴R(2，8)

∴yS＝yR＝8

∴S(﹣2，8)

∴直线OM：y＝﹣4x

∵   解得：

∴M(，)

iii)若∠ASR＝90°，如图4

∴∠SAR＝∠ACO＝45°

∴AR∥x轴

∴R(4，6)

∵S在AR的垂直平分线上

∴S(2，4)

∴M(，)

iiii)若∠ARS＝90°，如图5

∴∠SAR＝∠ACO＝45°，RS∥y轴

∴AR∥x轴

∴R(4，6)

∴S(4，2)

∴直线OM：yx

∵   解得：

∴M(6，3)

综上所述，M1(，)，R1(2，8)；M2(，)，R2(2，8)；M3(，)，R3(4，6)；M4(6，3)，R4(4，6)．

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，一次函数的图象与性质，二元一次方程组的解法．第(3)题②要充分利用等腰直角三角形的性质和直线AC与y轴夹角为45°来解题，画出图形进行分类讨论，先确定点R、S的位置并计算坐标，再求直线OM解析式与AP联立求M．