第一章 有理数（选拔卷）-【单元测试】2021-2022学年七年级数学上册尖子生选拔卷（人教版）

第一章  有理数（人教版）

选拔卷

（考试时间：90分钟  试卷满分：120分）

一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2021·山西临汾市·九年级二模）在人类生活中，早就存在着收入与支出，盈利与亏本等具有相反意义的现象，可以用正负数表示这些相反意义的量．我国古代数学名著《九章算术》一书中也明确提出“正负术”．最早使用负数的国家是（　　）

A．印度 B．法国 C．阿拉伯 D．中国

【答案】D

【分析】根据负数的使用历史进行解答即可．

【详解】最早使用负数的国家是中国．故选：D．

【点睛】本题考查的是正数和负数，关键是了解掌握负数的使用历史．

2．（2021·江苏南通市·九年级二模）新冠肺炎疫情阻击战中，南通是全省唯一主城区没有发本土确诊病例的安全岛．接种新冠疫苗，是巩固抗疫成果最经济、最有效的手段．截止4月24日24时，南通全市已累计接种新冠疫苗102.37万针．其中，102.37万用科学记数法表示为（  ）

A．    B．   C．   D．

【答案】C

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．

【详解】解：102.37万=，故选C．

【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．

3．（2021·河南初一期中）如图，关于、、这三部分数集的个数，下列说法正确的是（    ）

A．、两部分有无数个，部分只有一个0      B．、、三部分有无数个

C．、、三部分都只有一个        D．部分只有一个，、两部分有无数个

【答案】A

【分析】根据有理数的分类可以看出A指的是负整数，B指的是整数中除了正整数与负整数外的部分整数，C指的是正整数，最后根据各数性质进一步判断即可.

【解析】由图可得：A指的是负整数，B指的是整数中除了正整数与负整数外的部分整数，C指的是正整数，

∵整数中除了正整数与负整数外的部分整数只有0、负整数与正整数都有无数个，

∴A、C两部分有无数个，B只有一个.故选：A.

【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握相关概念是解题关键.

4．（2020·北京四中初三月考）如图，数轴上A，B两点所表示的数互为倒数，则关于原点的说法正确的是（　　）

A．一定在点A的左侧 B．一定与线段AB的中点重合

C．可能在点B的右侧 D．一定与点A或点B重合

【答案】C

【分析】根据倒数的定义可知A，B两点所表示的数符号相同，依此求解即可．

【解析】∵数轴上A，B两点所表示的数互为倒数，

∴A，B两点所表示的数符号相同，如果A，B两点所表示的数都是正数，那么原点在点A的左侧；

如果A，B两点所表示的数都是负数，那么原点在点B的右侧，

∴原点可能在点A的左侧或点B的右侧．故选C．

【点睛】本题考查了数轴，倒数的定义，由题意得到A，B两点所表示的数符号相同是解题的关键．

5．（2021·湖南株洲市·七年级期中）计算的结果是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据乘方的意义进行简便运算，再根据有理数乘法计算即可．

【详解】解：，==，

=，=，故选：D．

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练依据乘方的意义进行简便运算，准确进行计算．

6．（2021·四川达州市·中考真题）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：，；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如下表：

例：十六进制对应十进制的数为，对应十进制的数为，那么十六进制中对应十进制的数为（   ）

A．28 B．62 C．238 D．334

【答案】D

【分析】在表格中找到字母E对应的十进制数，根据满十六进一计算可得．

【详解】由题意得，十六进制中对应十进制的数为：1×16×16+4×16+14=334，故选D．

【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握十进制与十六进制间的转换及有理数的混合运算顺序和运算法则．

7．（2021·湖南永州市·七年级期末）若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，则的值等于（  ）

A．2021 B．2020 C．2021！ D．2020！

【答案】A

【分析】根据题意列出有理数混合运算的式子，进而可得出结论．

【详解】解：1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，

故选A．

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．

8．（2021·成都天府七中初一月考）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ）

（1）总是正数；（2）总是正数；（3）的最大值为5；（4）的最大值是3．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据绝对值，偶次方的非负性进行判断即可.

【解析】∵，∴>0，即总是正数，(1)正确；

∵， ，

∴当即a=0时，，故是正数；

当时，则，即，故是正数；故（2）正确；

的最小值为5，故（3）错误；的最大值是2，故（4）错误．故选：B.

【点睛】此题考查绝对值的性质，偶次方的性质，最大值及最小值的确定是难点.

9．（2021·重庆潼南区·七年级期末）如果四个不同的正整数，，，满足，则等于（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意确定出m，n，p，q的值，代入原式计算即可求出值．

【详解】解：∵四个互不相同的正整数m，n，p，q，满足（4-m）（4-n）（4-p）（4-q）=9，

∴满足题意可能为：4-m=1，4-n=-1，4-p=3，4-q=-3，解得：m=3，n=5，p=1，q=7，

则m+n+p+q=16．故选：C．

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

10．（2021·广东省初一月考）如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到，20第2次移动到，第3次移动到，……，第n次移动到，则△O的面积是（   ）

A．504 B． C． D．505

【答案】B

【分析】根据图可得移动4次完成一个循环，观察图形得出OA4n=2n，处在数轴上的点为A4n和A4n-1.由OA2016=1008，推出OA2019=1009，由此即可解决问题．

【解析】解： 观察图形可知： OA4n=2n，且点A4n和点A4n-1在数轴上，
又2016=504×4，∴A2016在数轴上，且OA2016=1008，
∵2019=505×4-1，∴点A2019在数轴上，OA2019=1009，
∴△OA2A2019的面积=×1009×1=，故选：B．

【点睛】本题考查三角形的面积，数轴等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于常考题型．

二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。

11．（2021·北京平谷区·九年级二模）母亲节来临之际，小凡同学打算用自己平时节省出来的50元钱给母亲买束鲜花，已知花店里鲜花价格如表：

小凡想用妈妈喜欢的百合、玫瑰、康乃馨这三种花组成一个花束，若三种花都要购买且50元全部花净，请给出一种你喜欢的组成方式，百合、玫瑰、康乃馨的支数分别为_______．

【答案】1，4，6（答案不唯一）

【分析】根据题意，首先买最贵的花，数量由大到小，依此类推，凑成总钱数是50元，直到1枝为止，必须买三种花配成花束，每种花至少买一支，计算出设计的方案买的花的总价刚好是50元即可．

【详解】∵12×1+5×4+3×6=50，∴可买百合1支、玫瑰4支、康乃馨6支，

故答案为：1，4，6．（本题答案不唯一，符合要求即可）

【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，解决本题时要注意本题答案不唯一，符合要求即可．

12．（2021·四川绵阳市·东辰国际学校七年级期中）若｜x2｜2x6，则x=____；

【答案】4

【分析】分x≤2和x>2两种情况求解方程即可．

【详解】解：当x≤2，即x-2≤0时，方程｜x2｜2x6变形为：-(x-2)=2x-6

去括号整理得，-3x=-8 解得，（不符合题意，舍去）

当x>2，即x-2>0时，方程｜x2｜2x6变形为：x-2=2x-6 移项合并得，x=4．故答案为：4．

【点睛】此题主要考查了绝对值方程的解法，正确去绝对值符号是解答此题的关键．

13．（2021·东莞外国语学校九年级一模）若，则_________．

【答案】

【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

【详解】解：∵，且相加得零，∴，，

解得，，所以，．故答案为：．

【点睛】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．

14．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·七年级期末）在数轴上表示三个数的点的位置如图所示，化简式子：结果为__________．

【答案】

【分析】由数轴可知：b＞a＞0，c＜0，再由这个确定所求绝对值中的正负值就可求出此题．

【详解】解：∵b＞a＞0，c＜0， ∴，

∴．故答案为：．

【点睛】此题主要考查了数轴和绝对值的定义，即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0．数轴原点左边的为负数，原点右边的为正数，在数轴上右边的数比左边的数大．

15．（2020·湖北省初一月考）已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么______.

【答案】-6

【分析】原式根据题中的新定义化简，计算即可得到结果．

【解析】解：∵表示不超过的最大整数，

∴==；故答案为：.

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，新定义的运算，以及有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16．（2020·河北省初一期中）现有七个数将它们填人图(个圆两两相交分成个部分)中，使得每个圆内部的个数之积相等，设这个积为，如图给出了一种填法，此时__________，在所有的填法中，的最大值为__________．

【答案】64    256   

【分析】首先根据题意选取一个圆内的四个数相乘即可得出m的值；然后观察图像，七个数中，有的数被乘了1次、2次、3次，要使每个圆内部的4个数之积相等且最大，所以必须放在被乘两次的位置，则与同圆的只能为，其中放在中心位置，然后进一步计算即可.

【解析】图②中，=64；

通过观察图像，七个数中，有的数被乘了1次、2次、3次，要使每个圆内部的4个数之积相等且最大，所以必须放在被乘两次的位置，则与同圆的只能为，其中放在中心位置，如图所示：

∴=256，故答案为：64，256.

【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，正确找出相应规律是解题关键.

16．（2021·苏州新草桥中学七年级月考）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，若分裂后，其中有一个奇数是75，则的值是_______．

【答案】9

【分析】根据底数是相应的奇数的个数，然后求出75是从3开始的奇数的序数为37，再求出第37个奇数的底数即可得解．

【详解】解：23有3、5共2个奇数，33有7、9、11共3个奇数，43有13、15、17、19共4个奇数，

∵2×37+1=75，∴75是从3开始的第37个奇数，

∵1+2+3+4+5+6+7+8=36，1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，

∴m3“分裂”后，其中有一个奇数是75，则m的值9．故答案为：9．

【点睛】本题考查了有理数的乘方，观察数据特点，判断出底数是相应的奇数的个数是解题的关键．

18．（2020·宜兴外国语学校七年级月考）对于有理数a，b，n，d，若则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，则2和3关于1的“相对关系值”为3．

（1）若a和2关于1的“相对关系值”为4，则a的值_____________；

（2）若和关于1的“相对关系值”为1，则+的最大值为____________．

【答案】或    3   

【分析】（1）根据题意列出方程求解即可；

（2）先由题意建立关系式，再由关系式结合绝对值的非负性分别推出和的范围，进而化简关系式即可．

【详解】（1）由题意得：，即，解得：或，故答案为：或；

（2）由题意得：，结合绝对值得非负性，可得：，，

，，则当，时，+的值最大，

此时化简得：，故答案为：3．

【点睛】本题考查以绝对值为背景的新定义问题，理解题意并结合绝对值的非负性对题目分析是解题关键．

三、解答题：本题共8个小题，19-24每题10分，25-26每题10分，共66分。

19．（2021·内蒙古初一期中）计算：

（1）．    （2）

（3）．               （4）

【答案】（1）-75；（2）；（3）3；（4）-1270

【分析】（1）根据有理数的运算顺序和各个运算法则计算即可；

（2）根据有理数的运算顺序和各个运算法则计算即可；

（3）根据乘法分配律、有理数的运算顺序和各个运算法则计算即可；

（4）根据乘法分配律、有理数的运算顺序和各个运算法则计算即可．

【解析】（1）解：原式

（2）解：

（3）解：

（4）解：原式

【点睛】此题考查的是有理数的混合运算，掌握乘法分配律、有理数的运算顺序和各个运算法则是解决此题的关键．

20．（2021·娄底市第二中学七年级期中）请你先认真阅读材料：

计算

解：原式的倒数是

＝

＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30）

＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）

＝﹣20+3﹣5+12

＝﹣10

故原式等于﹣

再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．

【答案】．

【分析】根据题意，先计算出的倒数的结果，再算出原式结果即可．

【详解】解：原式的倒数是：

，故原式．

【点睛】本题主要考查了有理数的除法，读懂题意，并能根据题意解答题目是解决问题的关键．

21．（2021·绵阳市七年级期中）请认真阅读下面材料，并解答下列问题．

如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：logaN＝b．例如：

①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2；

②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2.

（1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：①62＝36；②43＝64；

（2）将下列对数式改为指数式：①log525＝2；②log327＝3；

（3）计算：log232

【答案】（1）①log636＝2；②log464＝3；（2）①52＝25；②33＝27；（3）5

【分析】（1）根据题意可以把指数式写成对数式；（2）根据题意可以把对数式写成指数式；

（3）根据题目中提供的信息可以计算出式子的结果．

【详解】解：（1）①62＝36；对数式记作：log636＝2；

②43＝64；对数式记作：log464＝3；

（2）①log525＝2；指数式为52＝25，②log327＝3；指数式为33＝27；

（3）∵25＝32，log232＝5.

【点睛】本题考查了对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．

22．（2021·浙江七年级期末）（阅读理解）求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作5③，读作“5的圈3次方”， 记作（－8）④，读作“的圈4次方”一般的把记作aⓝ，读作“的圈次方”．（1）直接写出计算结果：（－6）④＝__________；

[类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：

（2）（）ⓝ_________；（）ⓝ=____________．（且为正整数）；

[实践应用]（3）计算①（－）④×（－4）⑤－（）④÷

②（）②+（）③+（）④+（）⑤+……+（）ⓝ（其中）

【答案】（1）；（2）7n-2；an-2；（3）①；②

【分析】（1）根据所给定义计算即可；（2）根据所给定义计算即可；

（3）①②根据前两问得到除方的规律，从而分别计算．

【详解】解：（1）由题意可得：（－6）÷（－6）÷（－6）÷（－6）

=（－6）×（－）×（－）×（－）

=；

（2）（）ⓝ=÷÷÷... ÷=×7×7×...×7=7n-2；

（）ⓝ=÷÷÷...÷=×a×a×...×a=an-2；

（3）由题意可得：有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式等于，

①（－）④×（－4）⑤－（）④÷=

===；

②（）②+（）③+（）④+（）⑤+……+（）ⓝ=

设S=，

则5S=，

5S-S=4S==

∴S=，∴原式=．

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，充分理解新定义是解题的关键．

23．（2021·浙江鄞州初一期中）先阅读下列材料，然后解答问题：

材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为A32＝3×2＝6．

一般地，从n个不同的元素中选取m个元素的排列数记作Anm．

Anm＝n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣m+1）（m≤n）

例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一列的排列数为：A53＝5×4×3＝60．

材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数为．

一般地，从n个不同的元素中取出m个元素的组合数记作Cnm，

Cnm＝（m≤n）

例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为：．

问：（1）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有　 　种不同的选法；

（2）从7个人中选取4人，排成一列，有　   种不同的排法．

【答案】（1）56；（2）840.

【分析】（1）根据材料，利用组合公式来计算即可；

（2）根据材料，利用排列公式来计算．

【解析】解：（1）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有：；

（2）从7个人中选取4人，排成一列，有：；

【点睛】本题为材料信息题，根据题中所给的排列组合公式求解．解题的关键是熟读材料.

24．（2020·湖北华一寄宿学校七年级月考）已知．

（1）求出并将这两个数在数轴上所对应的点A、B表示出来；

（2）数轴上A、B之间的距离记作．定义：．设点P在数轴上对应的数为．

① 当时,直接写出的值 　　　　　　　　．

② 设，借助数轴求出的最小取值及对应的．

【答案】（1）a=-5，b=4，数轴表示见解析；（2）①-7或6；②m最小值为9，-5≤m≤4

【分析】（1）根据非负数的性质得到a和b的值，在数轴上表示即可；

（2）①根据题意可将理解为点P到A和到B的距离之和为13，再通过计算得到点P表示的数；②根据题意得到当点P在线段AB上时，m值最小，从而求解．

【详解】解：（1）∵，∴a+5=0，b-4=0，∴a=-5，b=4，

数轴表示如下：

（2）①∵，∴，

即点P到A和到B的距离之和为13，

∵AB=4-（-5）=9，（13-9）÷2=2，∴点P表示的数为-7或6；

②∵，即点P到A和到B的距离之和为m，

根据数轴可知：当点P在线段AB上时，m最小，且为9，此时-5≤m≤4．

【点睛】本题考查了非负数的性质，数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，解题关键是理解题目的意思，结合数轴解决问题．

25．（2020·四川省内江市第六中学七年级期中）观察下面算式的演算过程：

……

（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：

______________．     ____________．

_________________．（为正整数）

（2）根据规律计算：

．

【答案】（1），，；（2）．

【分析】（1）根据已知算式的演算过程即可得；

（2）根据（1）的结论，先将各括号进行转化，再计算有理数的乘法即可得．

【详解】（1），

，

，

故答案为：，，；

（2）原式，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了有理数乘方、乘法、加法的规律型问题，根据演算过程，正确发现规律是解题关键．

26．（2021·重庆初三一模）数学不仅是一门学科，也是一种文化，即数学文化.数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面.古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣的一个要求.大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧.第格放粒米，第格放粒米，第格放粒米，然后是粒、粒、粒······一只到第格.”“你真傻！就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑.大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”国王的国库里真没有这么多米吗？题中问题就是求是多少？请同学们阅读以下解答过程就知道答案了.

设,

则

即：

事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的个格子需要粒米.那么到底多大呢?借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个位数: ，这是一个非常大的数，所以国王是不能满足大臣的要求.请用你学到的方法解决以下问题:

我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是:一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有多少盏灯?

计算:

某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：

已知一列数：，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，求满足如下条件的所有正整数，且这一数列前项和为的正整数幂.请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数的值.

【答案】（1）3；（2）；（3）

【分析】设塔的顶层共有盏灯，根据题意列出方程，进行解答即可.

参照题目中的解题方法进行计算即可.

由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn=2n+1-2-n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将-2-n消去即可，分别分别即可求得N的值

【解析】设塔的顶层共有盏灯，由题意得.

解得，顶层共有盏灯.

设,

,

即：  . 即

由题意可知：20第一项,20,21第二项,20,21,22第三项,…20,21,22…,2n−1第n项，

根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为： 

每项含有的项数为：1，2，3，…，n，

总共的项数为

所有项数的和为

由题意可知：为2的整数幂，只需将−2−n消去即可，

则①1+2+(−2−n)=0,解得：n=1,总共有，不满足N>10，

②1+2+4+(−2−n)=0,解得：n=5,总共有 满足，

③1+2+4+8+(−2−n)=0,解得：n=13,总共有 满足，

④1+2+4+8+16+(−2−n)=0,解得：n=29,总共有 不满足，

∴

【点睛】考查归纳推理，读懂题目中等比数列的求和方法是解题的关键.