第7章概率 综合测试-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册期末复习

北师大新版数学必修第一册第七章概率综合测试题

一、单选题

1．中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（    ）

A． B． C． D．

2．一商店有奖促销活动中仅有一等奖､二等奖､鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，则不中奖的概率为（    ）

A． B． C． D．

3．若,,,则事件A与B的关系是(    )

A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B相互斥又独立

4．某小组有三名女生，两名男生，先从这个小组中任意选一人当组长，则女生小丽当选为组长的概率是（    ）．

A． B． C． D．

5．甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为和，那么在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．已知一个古典概型的样本空间和事件，如图所示. 其中，则事件与事件（    ）

A．是互斥事件，不是独立事件

B．不是互斥事件，是独立事件

C．既是互斥事件，也是独立事件

D．既不是互斥事件，也不是独立事件

7．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（ ）

A．至少有1个白球；都是白球

B．至少有1个白球；至少有1个红球

C．恰有1个白球；恰有2个白球

D．至少有1个白球；都是红球

8．在中随机选出一个数，在中随机选出一个数，则被3整除的概率为（    ）

A． B． C． D．

9．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.现有四名志愿者医生被分配到、、、四所不同的乡镇医院中，若每所医院都要分配一名医生，则医生甲恰好分配到医院的概率为（    ）

A． B． C． D．

10．下列是古典概型的个数有（    ）

①已知且，从中任取一个数，则满足的概率

②同时掷两颗骰子，点数和为11的概率；

③近一周中有一天降雨的概率；

④10个人站成一排，其中甲在乙右边的概率．

A．1 B．2 C．3 D．4

11．已知某药店只有，，三种不同品牌的N95口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，若甲、乙买品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为（    ）

A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.26

12．武汉市从2020年2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者､疑似的新冠肺炎患者､无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等四类人员，强化网格化管理，不落一户､不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，则“logmn＞0”的概率为_____．

14．已知直线：，直线：，其中，．则直线与的交点位于第一象限的概率为____．

15．一张方桌有四个座位，先坐在如图所示的座位上，三人随机坐到其他三个位置上，则与D不相邻的概率为________．

16．辛普森悖论(Simpson’sParadox)有人译为辛普森诡论，在统计学中亦有人称为“逆论”，甚至有人视之为“魔术”.辛普森悖论为英国统计学家E.H.辛普森(E.H.Simpson)于1951年提出的，辛普森悖论的内容大意是“在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论.”下面这个案例可以让我们感受到这个悖论：关于某高校法学院和商学院新学期已完成的招生情况，现有如下数据：

对于此次招生，给出下列四个结论：

①法学院的录取率小于商学院的录取率；

②这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率；

③这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率；

④法学院的录取率不一定小于这两个学院所有学生的录取率.

其中，所有正确结论的序号是___________.

三、解答题

17．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.

（1）记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求，的概率；

（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

18．张老师居住在某城镇的A处，准备开车到学校B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图，例如，算作两个路段，路段发生端车事件的数率为，路段发生堵车事件的频率为.

（1）请你为张老师选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；

（2）求路线中遇到堵车的次数为2的概率.

19．在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如图所示．

（1）计算样本的平均成绩及方差；

（2）在这10个样本中，现从不低于84分的成绩中随机抽取2个，求93分的成绩被抽中的概率．

20．为了解某学校高二学生数学学科的学习效果，现从高二学生某次考试的成绩中随机抽50名学生的数学成绩（单位：分），按分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求m的值并估计这所学校本次考试学生数学成绩的平均数；

（2）为调查某项指标，现利用分层抽样从成绩在两个分数段的学生中抽取5人，再从这5人中随机选2人进行对比，求选出的这2名学生来自同一分数段的概率.

21．为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了普法知识竞赛.统计局调查队随机抽取了甲､乙两单位中各5名职工的成绩，成绩如下表所示：

（1）根据表中的数据，分别求出甲､乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断对法律知识的掌握哪个单位更为稳定？

（2）用简单随机抽样的方法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的分数差值至少是4分的概率.

22．甲、乙两人组成“明日之星队”参加“疫情防控与生命健康”趣味知识竞赛. 每轮竞赛由甲、乙各答一道题目，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮答题中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.

（1）求甲在两轮答题中，答对一道题目的概率；

（2）求“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的概率.

参考答案

1．D

【分析】

总共有10种结果，其中相生的有5种，由古典概型的计算公式计算出概率即可

【详解】

从五种不同属性的物质中随机抽取2种，共种，

而相生的有5种，则抽到的两种物质不相生的概率

故选：D

【点睛】

本题考查的是计算古典概型的概率，较简单.

2．B

【分析】

根据对立事件的概念计算公式，结合题中条件，即可得出结果.

【详解】

中奖的概率为，中奖与不中奖互为对立事件，

所以不中奖的概率为.

故选：B.

3．C

【分析】

先求得，然后通过计算得到，从而判断出事件相互独立.

【详解】

，.∴事件A与B相互独立，不是互斥、对立事件.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查相互独立事件、互斥事件、对立事件的判断，属于基础题.

4．B

【分析】

根据古典概型的概率公式可得.

【详解】

从这个小组中任选一人当组长，有5种选法，其中选小丽当组长只有一种选法，

根据古典概型的概率公式可得所求概率为.

故选：B

【点睛】

本题考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

5．D

【分析】

利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式运算即可得解.

【详解】

因为甲、乙两个气象站同时作气象预报，甲站、乙站预报的准确率分别为和，
所以在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为：

.

故选：D．

6．B

【分析】

由可判断事件是否为互斥事件，由可判断事件是否为独立事件.

【详解】

因为，

所以，，，

所以事件与事件不是互斥事件，

所以，，

所以，所以事件与事件是独立事件.

故选：B.

7．C

【分析】

根据互斥事件和对立事件的概念依次判断每个选项即可.

【详解】

至少有1个白球，都是白球，都是白球的情况两个都满足，故不是互斥事件；

至少有1个白球，至少有1个红球，一个白球一个红球都满足，故不是互斥事件；

恰有1个白球，恰有2个白球，是互斥事件不是对立事件；

至少有1个白球；都是红球，是互斥事件和对立事件.

故选：C

【点睛】

本题考查了对互斥事件和对立事件的理解，较简单.

8．D

【分析】

根据已知条件求出总的基本事件个数，再求出使得被3整除的基本事件的个数，根据古典概型的计算公式求解即可.

【详解】

根据题意可知，有如下基本事件：

；；；；

；；；；

；；；；

；；；；

共16个，其中满足被3整除的基本事件有1个，

故被3整除的概率为.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了古典概型的概率计算，属于基础题.

9．C

【分析】

先确定基本事件总数，再确定医生甲恰好分配到医院的包含的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求解.

【详解】

基本事件总数，

医生甲恰好分配到到医院包含的基本事件个数，

所以医生甲恰好分配到医院的概率为.

故选：C.

【点睛】

本题考查古典概型概率、排列，考查基本分析求解能力，属基础题.

10．C

【分析】

根据古典概型依次判断即可.

【详解】

因为古典概型的两个特点，一是结果有限个，二是每个结果等可能.

所以①为几何概型，②③④为古典概型.

故选：C

【点睛】

本题主要考查古典概型，属于简单题.

11．C

【分析】

甲、乙两人买相同品牌的N95口罩，可分为三种情况，即甲、乙两人都买品牌或品牌或品牌的N95口罩，利用独立事件的概率公式，分别求出这三种情况对应的概率，再利用互斥事件的概率公式，即可得结果．

【详解】

由题意，得甲、乙两人买品牌口罩的概率都是0.3，所以甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为．

故选：C．

【点睛】

方法点睛：利用相互独立事件的概率求复杂事件概率的解题思路：（1）把待求事件拆分成若干个彼此互斥的简单事件的和；（2）将彼此互斥的简单事件转化为若干个已知（易求）概率的相互独立事件的积；（3）代入概率公式求解．

12．A

【分析】

设事件：检测5个人确定为“感染高危户”，事件：检测6个人确定为“感染高危户”，由相互独立事件的概率乘法公式可得，，设，利用基本不等式即可求解.

【详解】

设事件：检测5个人确定为“感染高危户”，

事件：检测6个人确定为“感染高危户”，

∴，.

即，

设，则，

∴，

当且仅当，即时取等号，即，

故选：A

【点睛】

关键点点睛：此题解题关键是根据题意分别求出事件：检测5个人确定为“感染高危户”发生的概率和事件：检测6个人确定为“感染高危户”发生的概率，得出的表达式，考查概率的计算和基本不等式的应用.

13．.

【分析】

根据对数的性质、排列知识和古典概型的概率公式可得结果.

【详解】

因为等价于且，或且，

从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，共可得到个对数值，

其中对数值为正数的有个，

所以“logmn＞0”的概率为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了对数的性质、排列知识和古典概型的概率公式，属于基础题.

14．

【分析】

首先由两条直线相交，联立方程组写出两条直线的交点坐标，接下来根据交点在第一象限得到，分类讨论即可得出答案．

【详解】

由，，，

解得：，

解得：，

所以当时，b=3，4，5，6；

当时，b=5，6；共6种，

.

故答案为：.

15．

【分析】

易知三人随机坐到其他三个位置上，共有种坐法，而与D不相邻的坐法有2种，根据古典概型的概率公式，计算即可.

【详解】

由题意，三人随机坐到其他三个位置上，有种坐法，

其中与D不相邻的坐法有2种，即与D分别坐在的两边，

所以与D不相邻的概率为.

故答案为：

16．②④

【分析】

根据题意，结合古典概型的概率计算公式，逐项进行判定，即可求解.

【详解】

设申请法学院的男生人数为，女生人数为，则，

法学院的录取率为，

设申请商学院的男生人数为，女生人数为，则，

商学院的录取率为，

由，

该值的正负不确定，所以①错误，④正确；

这两个学院所有男生的录取率为，

这两个学院所有女生的录取率为，

因为，

所以②正确；③错误.

故答案为：②④.

【点睛】

本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，其中解答中正确理解题意，结合古典概型的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查数学阅读能力，属于基础题.

17．（1），；（2）

【分析】

直接利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．

【详解】

解：（1）由题意可知，.

（2）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，

则所求事件的概率为

，

所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为．

【点睛】

本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，考查计算能力，属于中档题．

18．（1）选择路线；（2）

【解析】

【分析】

（1）记路段发生堵车事件为，其余同此表示法，由题意可得路线中遇到堵车的概率，同理，路线中遇到堵车的概率，路线中遇到堵车的概率，然后比较即可；

（2）设“路城中遇到堵车的次数为2”为事件M，则，计算即可．

【详解】

解：（1）记路段发生堵车事件为，其余同此表示法.因为各路段发生堵车事件是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线中遇到堵车的概率

，

同理，路线中遇到堵车的概率，路线中遇到堵车的概率，

显然要使得A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择.

因为，所以选择路线，可使得途中发生堵车事件概率最小.

（2）设“路城中遇到堵车的次数为2”为事件M，则

.

【点睛】

本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，考查计算能力，属于中档题．

19．（1）样本的平均成绩是80分，方差是174.4；（2）.

【分析】

（1）根据茎叶图中数据计算出答案即可；

（2）列举出所有的情况和满足所求事件的情况，即可算出答案.

【详解】

（1）这10名同学的成绩是：60，60，73，74，75，84，86，93，97，98，则平均数．

方差．

即样本的平均成绩是80分，方差是174.4．

（2）设A表示随机事件“93分的成绩被抽中”，从不低于84分的成绩中随机抽取2个结果有：

，共10种．

而事件A含有4个基本事件：．

所以所求概率为．

20．（1），平均数为121.8分；（2）.

【分析】

（1）根据频率之和为，列出方程求解，即可求出；再根据频率分布直方图，由每组的中间值乘以该组频率再求和，即可得出平均数；

（2）先由频率分布直方图，按分层抽样得出分数段内抽三人，分数段内抽2人，分布标记这五个人，根据列举法写出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数比即为所求概率.

【详解】

（1）由题，

解得，

样本平均数

（分）

由此估计这所学校本次考试学生数学成绩的平均数为分；

（2）由频率分布直方图可知，

成绩在的同学有（人），

成绩在的同学有（人），

按分层抽样分数段内抽3人记为a，b，c；

分数段内抽2人记为1，2

从这5人中随机选两人2人有

共10种选法.

两人来自同一分数段有共4种选法.

所以两人来自同一组的概率为.

【点睛】

本题主要考查由频率分布直方图求平均数，考查求古典概型的概率，属于常考题型.

21．（1），，，甲单位更为稳定；（2）.

【分析】

（1）先求出甲、乙两个单位职工的考试成立的平均数，以及它们的方差，则方差小的更稳定．
（2）从乙单位抽取两名职工的分数，所有基本事件用列举法求得共10种情况，抽取的两名职工的分数差值至少是4的事件用列举法求得共有5个，
由古典概型公式求得抽取的两名职工的分数之差的绝对值至少是4的概率．

【详解】

解：（1），

因为，所以甲单位更为稳定.

（2）从5名职工中任取2人，所有的取法有：

，，，，，，，，，共10种

设抽取的2名职工的分数差值至少是4分为时间M，则M中包含的基本结果有：

，，，，，共6种

所以

即抽取的2名职工的分数差值至少是4分的概率为.

【点睛】

本题主要考查平均数和方差的定义与求法，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，古典概率的计算公式，属于中档题．

22．（1）；（2）

【分析】

（1）两轮中答对一道题的情形为：

第一种情况：甲第一轮答对1题，第二轮答错1题；

第二种情况：甲第一轮答错1题，第二轮答对1题；

然后，根据以上情况，列式求解即可

（2）答对三道题目的情况有：

第一种情况：甲答对2道题，乙答对1道题；

第二种情况：甲答对1道题，乙答对2道题；

然后，根据以上情况，列式求解即可

【详解】

（1）设表示甲每轮答错1道题目的事件，表示甲每轮答对1道题目的事件，则

，，两轮中答对一道题的情况为，甲第一轮答对1题，第二轮答错1题和甲第一轮答错1题，第二轮答对1题，故概率为

；

（2）设表示甲答对表示乙每轮答错1道题目的事件，表示乙每轮答对1道题目的事件，则

，，“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的情况有：

第一种情况：甲答对2道题，乙答对1道题：

第二种情况：甲答对1道题，乙答对2道题：

所以，“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的概率为

【点睛】

解题关键在于把情况进行分类，通过分情况再列相关式子求解即可，难度属于中档题