第3章指数运算与指数函数 综合测试-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册期末复习

北师大新版数学必修第一册第三章指数运算与指数函数综合测试题

一、单选题

1．已知过定点，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

2．下列运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

3．已知，则（　　）

A． B． C． D．

4．若，，则（    ）

A．128 B．464 C．496 D．512

5．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{y|y＝2x}，则A∩B等于（    ）

A．(－1，2) B．(－2，1)

C．(0，1) D．(0，2)

6．（    ）

A． B． C． D．

7．如果指数函数（且）在上的最大值与最小值的差为，则实数（    ）

A．3 B． C．2或 D．或

8．如果函数满足对任意，都有成立，那么a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．函数的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

10．下列函数中，满足“对任意，当时，”的是 （    ）

A． B． C． D．

11．已知函数，若不等式（e是自然对数的底数），对任意的恒成立，则整数k的最小值是（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

12．已知函数是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．若函数（且）图象过定点，则________.

14．函数的值域为_____．

15．已知满足对于任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是________.

16．对于函数定义域中任意的、，有如下结论：

①；②；

③；④．

当时；上述结论正确的是__________．（写出所有正确的序号）

三、解答题

17．化简下列各式：

（1）；

（2）已知，且，求的值．

18．已知函数f(x)＝为奇函数．

（1）求a的值；

（2）判断函数f(x)的单调性，并加以证明．

19．已知函数的图象经过点.

（1）求实数m的值；

（2）求函数的值域；

（3）画出函数的图象.

20．已知（为常数，且）的图像过点.

（1）求的解析式； 

（2）若函数 ，试判断的奇偶性并给出证明.

21．已知定义域为的函数（且）是奇函数.

（1）求实数的值；

（2）若，求不等式对任意的恒成立时的取值范围.

22．已知函数.

（1）当时，求的值域；

（2）若在区间的最大值为，求实数的值.

参考答案

1．C

【分析】

根据指数函数恒过定点，即可求得的坐标.

【详解】

解：令，

解得：，

，

恒过定点.

故选：C.

2．C

【分析】

根据指数幂的运算性质逐项检验可得正确的选项.

【详解】

对于A，，故A错.

对于B，，故B错.

对于C，，故C正确.

对于D，，故D错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查指数幂的运算，此类问题，熟记运算规则是关键，本题属于基础题.

3．B

【分析】

算出后可得它们的大小.

【详解】

∵，，，

∴，

故选B．

【点睛】

本题考查指数幂的大小比较，属于容易题.

4．B

【分析】

利用完全平方公式求得，再由立方和公式求得.

【详解】

由两边平方得，

所以.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查立方和公式、完全平方公式，属于基础题.

5．D

【分析】

先化简集合,再求得解.

【详解】

由题得,

所以.

故选：D

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解法，考查指数函数的值域，考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

6．D

【分析】

利用分数指数幂的运算法则直接计算出结果.

【详解】

因为，

故选：D.

7．D

【分析】

讨论的范围根据指数函数的单调性可列式求解.

【详解】

当时，在单调递减，则，解得（舍去）或；

当时，在单调递增，则，解得（舍去）或，

综上，或.

故选：D.

8．C

【分析】

由分段函数递增，则每一段都为增函数，且右侧函数值不小于左侧的函数值求解.

【详解】

因为对任意都有成立，

所以单调递增，

，

解得

故选：C

9．B

【分析】

根据复合函数单调性“同增异减”的判断原则，结合二次根式有意义的条件，即可求得f(x)的单调递增区间．

【详解】

由复合函数单调性判断可知：

指数部分底数大于1，所以为增函数，

所以要求的增区间即可

令，

由二次函数单调性及二次根式有意义的条件可知

，

即的单调增区间为，也可写做.

故选：B

10．A

【分析】

对任意，当时，根据中的解析式作差分析可知正确，不正确，根据指数函数的单调性可知不正确.

【详解】

对任意，当时，

对于，，即，故正确；

对于，，即，故不正确；

对于，，即，故不正确；

对于，因为为增函数，所以当时，，故不正确.

故选：A

【点睛】

关键点点睛：根据解析式作差分析是解题关键.

11．B

【分析】

先由函数的解析式，判断函数的奇偶性和单调性，然后利用其奇偶性和单调性将对任意的恒成立，转化为对任意的恒成立求解.

【详解】

因为函数的定义域为R，关于原点对称，

又

所以是奇函数，

又在R上是增函数，

所以对任意的恒成立，等价于：

对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

令，因为，所以，

所以

解得，

所以整数k的最小值是4

故选：B

【点睛】

关键点点睛：本题关键是将函数解析式转化为，判断其单调性，进而结合奇函数，利用单调性的定义求解.

12．B

【分析】

由指数函数的单调性知，即二次函数是开口向下的，利用二次函数的对称轴与1比较，再利用分段函数的单调性，可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．

【详解】

函数是定义域上的递减函数，

当时，为减函数，故；

当时，为减函数，由，得，开口向下，对称轴为，即，解得；

当时，由分段函数单调性知，，解得；

综上三个条件都满足，实数a的取值范围是

故选：B.

【点睛】

易错点睛：本题考查分段函数的单调性，函数单调性的性质，其中解答时易忽略函数在整个定义域上为减函数，则在分界点处（）时，前一段的函数值不小于后一段的函数值，考查学生的分析能力与运算能力，属于中档题.

13．

【分析】

由指数函数的性质可得，再由指数幂的运算法则即可得解.

【详解】

因为，所以函数的图象过定点，

所以即，

所以.

故答案为：.

14．

【分析】

首先求出的范围，然后结合指数函数的图象可得答案.

【详解】

因为，所以

故答案为：

15．

【分析】

由函数单调性的定义可得函数在R上单调递减，由分段函数的单调性结合指数函数的单调性即可得解.

【详解】

因为对于任意实数，都有成立，

所以函数在R上单调递减，

所以，解得，

所以实数a的取值范围是.

故答案为：.

16．①④

【分析】

根据指数幂的运算法则判断①；采用举例子的方法判断②；根据指数函数的单调性判断③；利用指数幂的运算并采用作差法判断④.

【详解】

对于①：因为，所以，故①正确；

对于②：取，所以，所以不恒成立，故②错误；

对于③：因为是上的增函数，所以，故③错误；

对于④：因为，且，

所以，故④正确，

所以正确的有：①④，

故答案为：①④.

【点睛】

结论点睛：可直接判断函数单调性的几种变形形式：

（1）已知（为函数定义域），且，都有或 成立，则为单调递增函数；

（2）已知（为函数定义域），且，都有或 成立，则为单调递增函数.

17．（1）；（2）

【分析】

（1）利用指数的运算性质即可求解.

（2），且，可得，将原式因式分解、通分、化简即可求解.

【详解】

（1）

（2）由，且，可得，

18．（1）a＝－1；（2）函数f(x)在定义域R上单调递增，详见解析

【分析】

（1）根据定义域为R的奇函数满足f(0)＝0即可求得结果；

（2）由定义法知，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，故可证得结果.

【详解】

（1）因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R，所以f(0)＝＝0，所以a＝－1，经检验满足题意.

（2）f(x)＝＝1－，函数f(x)在定义域R上单调递增．

理由：设任意的x1，x2，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝.

因为x1<x2，所以，所以<0，

所以f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在定义域R上单调递增．

【点睛】

本题考查指数型复合函数的基本性质，要求学生会根据函数的奇偶性求参数以及利用定义法证明函数的单调性，属基础题.

19．（1）；（2）；（3）答案见解析.

【分析】

（1）点代入可得结果；

（2）利用可得结果；

（3）根据解析式作图即可.

【详解】

（1）点代入得：，所以.

（2）由（1）知，因为，所以，故函数的值域为

（3）如图：

【点睛】

关键点点睛：第二问根据求出值域是解题关键.

20．（1）；（2）奇函数；证明见解析.

【分析】

（1）将A，B两点代入函数即可求出，得出解析式；

（2）根据定义即可判断其奇偶性.

【详解】

解：（1）∵ 的图像过点

∴，解得，故；

（2）由（1）知 ，

则的定义域为R，关于原点对称，

且

故为奇函数.

21．（1）；（2）.

【分析】

（1）由求出值，代入检验是奇函数即可；

（2）由得，确定函数是上的减函数，利用奇函数与减函数的性质可把不等式变形为，然后根据一元二次不等式在给定区间上恒成立，即可得结论．

【详解】

（1）∵是定义域为的奇函数，

∴，

∴，

经检验：时，（且）是奇函数.故；

（2）（，且），

因为，所以，又，且，所以，

而在上单调递减，在上单调递增，

故判断在上单调递减，

不等式化为，所以，

所以对恒成立，

可得，

解得.

综上：的取值范围为.

【点睛】

关键点点睛：

本题的解题关键是由奇偶性与单调性把问题转化为一元二次不等式再给定区间上恒成立的问题，利用二次函数的性质，即可得解.

22．（1）；（2）.

【分析】

（1）令，可得，利用二次函数的性质可求出；

（2）令，可得，讨论对称轴的取值范围结合二次函数的性质即可求出.

【详解】

（1）.

令，，

时，在上单调递增，在上单调递减.

∴当时，，∴，

所以的值域为.

（2）令，，

其图象的对称轴为.

①当，即时，函数在区间上单调递减，

当时，，解得，与矛盾；

②当，即时，函数在区间上单调递增，

当时，，解得，与矛盾，

③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减.

当时，，解得，舍去；

综上，.

【点睛】

思路点睛：求二次函数在闭区间的最值的思路；

（1）二次函数开口向上时，求函数的最大值，讨论对称轴和的大小求解；

（2）二次函数开口向上时，求函数的最小值，讨论对称轴在三个区间的范围求解.