2021-2022学年湘教版九年级上学期期末数学复习试卷( 含答案)

这是一份2021-2022学年湘教版九年级上学期期末数学复习试卷( 含答案)，共18页。试卷主要包含了若cs°＝，则α＝　 　等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湘教新版九年级上册数学期末复习试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称 D．图象经过点（﹣1，1）
2．如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点P在射线OA上，OP＝13，cosα＝，则点P的坐标为（　　）

A．（5，13） B．（5，12） C．（13，5） D．（12，5）
3．一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0，经过配方可变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝10 B．（x﹣2）2＝6 C．（x﹣4）2＝6 D．（x﹣2）2＝2
4．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为（　　）
A．16 B．20 C．24 D．28
5．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（　　）

A．2 B． C．3 D．
6．若等腰三角形的一条边长为5，另外两条边的长为一元二次方程x2﹣7x+k＝0的两个根，则k的值为（　　）
A．10 B． C．10或 D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN＝90°，则sin∠DMN为（　　）

A． B． C． D．
8．如图1，在矩形ABCD中，动点E从点A出发，沿A→B→C的路线运动，当点E到达点C时停止运动．若FE⊥AE，交CD于点F，设点E运动的路程为x，FC＝y，已知y关于x的图象如图2所示，则m的值为（　　）

A． B．2 C．1 D．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
9．若cos（α﹣15）°＝，则α＝　 　．
10．方程（x+1）2＝4的根是　 　．
11．已知＝＝，则＝　 　．
12．在直角△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB＝　 　．
13．如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，则四边形DBCE的面积是 　 　．

14．某商店将进价为30元/件的文化衫以50元/件售出，每天可卖200件，在换季时期，预计单价每降低1元，每天可多卖10件，则销售单价定为多少元时，商店可获利3000元？设销售单价定为x元/件，可列方程为　 　.（方程不需化简）
15．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是100，小正方形面积是20，则（sinθ+cosθ）2＝　 　．

16．如图，一次函数y＝﹣x+8与坐标轴交于G、B两点，反比例函数y＝（x＞0）与一次函数只有一个交点C，过点C作y轴垂线，垂足为D，若OE＝3DE，CF＝4FB，则△ECF的面积为　 　．

三．解答题（共8小题，满分64分）
17．（6分）当k取何值时，关于x的方程4x2﹣（k+2）x+（k﹣1）＝0有两个相等的实数根？并求出此时方程的根．
18．（6分）如图，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果EF：CD＝2：5，DE＝6，AE＝4，求证：AB∥CD．

19．（8分）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，8），B（8，2）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．
（1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式；
（2）当y1＜y2，时，直接写出自变量x的取值范围为 　 　；
（3）点P是x轴上一点，当S△PAC＝S△AOB时，请直接写出点P的坐标为 　 　．

20．（8分）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于cm？
（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．

21．（8分）某校组织全校2000名学生进行了时事知识竞赛．为了解成绩的分布情况，随机抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分），并绘制了频数分布表和频数分布直方图（不完整）．
分组
50.5≤x＜60.5
60.5≤x＜70.5
70.5≤x＜80.5
80.5≤x＜90.5
90.5≤x＜100.5
合计
频数
20
48
a
104
148
400
根据所给信息，回答下列问题：
（1）频数分布表中，a＝　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）学校将对分数x在90.5≤x＜100.5范围内的学生进行奖励，请你估算出全校获奖学生的人数．

22．（8分）图（1）为某大型商场的自动扶梯，图（2）中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37°，此时他的眼睛D与地面的距离AD＝1.8m，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL（BL∥MN）向正前方走了2m，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m，求日光灯C到一楼地面的高度．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°＝0.8，tan37°≈0.75）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．
（1）当∠OAD＝30°时，求OD的长度及点C的坐标；
（2）设AD的中点为M．
①连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；
②当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出其最大值．

24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点C（0，2），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）一次函数y＝x+b的图象与x轴交于B点，求△ABO的面积；
（3）设M是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，N是直线AB上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．


参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．解：A、k＝﹣1＜0，图象在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，故本选项说法错误；
B、k＝﹣1＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项说法正确；
C、由反比例函数图象的对称性，可知反比例函数y＝﹣的图象关于y＝x对称，故本选项说法正确；
D、∵﹣＝1，∴点（﹣1，1）在它的图象上，故本选项正确；
故选：A．
2．解：如图，过点P作PE⊥x轴于点E．
设点P的坐标为（x，y），
则OE＝x，PE＝y．
在Rt△OPE中，
∵cosα＝＝，OP＝13，
∴OE＝5．
∴PE＝＝12．
∴P点的坐标为（5，12）．
故选：B．

3．解：∵x2﹣4x﹣6＝0，
∴x2﹣4x＝6，
∴x2﹣4x+4＝6+4，
∴（x﹣2）2＝10．
故选：A．
4．解：根据题意知＝20%，
解得a＝20，
经检验：a＝20是原分式方程的解，
故选：B．
5．解：如图：连接BE，
，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PF＝CF＝BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2．
故选：A．
6．解：当5为腰长时，将x＝5代入原方程得25﹣7×5+k＝0，
解得：k＝10，
∴原方程为x2﹣7x+10＝0，
∴x1＝2，x2＝5，
长度为2，5，5的三条边能围成三角形，
∴k＝10符合题意；
当5为底边长时，Δ＝（﹣7）2﹣4k＝0，
解得：k＝，
∴原方程为x2﹣7x+＝0，
∴x1＝x2＝，
长度为，，5的三条边能围成三角形，
∴k＝符合题意；
综上，k的值为10或，
故选：C．
7．解：连接AD，如图，

∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝10，
∵点D为边BC的中点，
∴DA＝DC＝5，
∴∠1＝∠C，
∵∠MDN＝90°，∠A＝90°，
∴点A、D在以MN为直径的圆上，
∴∠1＝∠DMN，
∴∠C＝∠DMN，
在Rt△ABC中，sinC＝＝＝，
∴sin∠DMN＝，
故选：A．
8．解：当点E在A时，即x＝0时，由图象可知y＝6，
∴AB＝CD＝6，
当点E在B点和C点时，y＝0，
根据图象可知BC＝10﹣6＝4，
∴当x＝8时，点E在BC的中点，
∴BE＝CE＝2，
如图，

∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
又∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠CEF＝∠BAE，
∵∠B＝∠C，
∴△ABE∽ECF，
∴，
∴，
∴CF＝，
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
9．解：∵cos（α﹣15）°＝，
∴（α﹣15）°＝30°，
则α＝45．
故答案为：45．
10．解：由原方程，得x+1＝±2．
解得．
故答案是：．
11．解：设＝＝＝k，
∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∴＝＝＝，
故答案为．
12．解：在直角△ABC中，∠C＝90°，
sinA＝＝＝cosB，
所以cosB＝，
故答案为：．
13．解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，
∴＝（）2＝，
∴S△ABC＝4S△ADE＝4，
∴S四边形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
14．解：设销售单价定为x元/件，由题意可得：
（x﹣30）[200+10（50﹣x）]＝3000，
故答案为：（x﹣30）[200+10（50﹣x）]＝3000．
15．解：∵大正方形的面积是100，小正方形面积是20，
∴大正方形的边长是10，小正方形的边长是2，
设AC＝BD＝a，如图，

△ABD中，由勾股定理得：
a2+（2+a）2＝102，
解得a＝2（负值舍去），
∴sinθ＝＝，则cosθ＝，
∴（sinθ+cosθ）2＝（+）2＝．
故答案为：．
16．解：∵一次函数y＝﹣x+8与坐标轴交于G、B两点，
∴B(6,0),G(0,8),
∴OB＝6,OG＝8,
∴BG＝＝10,
由﹣x+8＝整理得4x2﹣24x+3k＝0,
∵反比例函数y＝（x＞0）与一次函数只有一个交点C，
∴△＝(﹣24)2﹣4×4×3k＝0,解得k＝12,
∴4x2﹣24x+36＝0,
解得x1＝x2＝3,
把x＝3代入y＝﹣x+8得，y＝4,
∴C(3,4),
∴C是BG的中点，
∴BC＝CG＝5,
∵过点C作y轴垂线，垂足为D，
∴CD＝＝3,OD＝OG＝4,
∵OE＝3DE，CF＝4FB，
∴DE＝1,CF＝4,
∴GE＝5＝CG,
过点E作EH⊥BG于H,则EH＝CD＝3,
∴△ECF的面积为: CF•EH＝＝6,
故答案为6．

三．解答题（共8小题，满分64分）
17．解：∵关于x的方程4x2﹣（k+2）x+（k﹣1）＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×4（k﹣1）＝k2﹣12k+20＝（k﹣2）（k﹣10）＝0，
解得：k1＝2，k2＝10．
当k＝2时，原方程为4x2﹣4x+1＝0，
解得：x1＝x2＝；
当k＝10时，原方程为4x2﹣12x+9＝0，
解得：x1＝x2＝．
18．证明：∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴＝，
∵EF：CD＝2：5，
∴＝，
∴＝，
∵DE＝6，AE＝4，
∴＝＝，
∴＝，
又∵∠AEB＝∠DEC，
∴△AEB∽△DEC，
∴∠A＝∠CDE，
∴AB∥CD．
19．解：（1）将A（2，8），B（8，2）代入y＝ax+b得，
解得，
∴一次函数为y＝﹣x+10，
将A（2，8）代入y2＝得8＝，解得k＝16，
∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）由图象可知，当y1＜y2时，自变量x的取值范围为：x＞8或0＜x＜2，
故答案为x＞8或0＜x＜2；

（3）由题意可知OA＝OC，
∴S△APC＝2S△AOP，
把y＝0代入y1＝﹣x+10得，0＝﹣x+10，解得x＝10，
∴D（10，0），
∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝﹣＝30，
∵S△PAC＝S△AOB＝×30＝24，
∴2S△AOP＝24，
∴2××yA＝24，即2×OP×8＝24，
∴OP＝3，
∴P（3，0）或P（﹣3，0），
故答案为P（3，0）或P（﹣3，0）．

20．解：（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（0＜x≤3.5）此时AP＝xcm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，
由，得，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝1或x＝4（舍）；
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；

（2）设经过t秒后，PQ的长度等于，由PQ2＝BP2+BQ2，
即40＝（5﹣t）2+（2t）2，
解得：t＝﹣1（舍去）或3．
则3秒后，PQ的长度为；

（3）假设经过t秒后，△PBQ的面积等于7cm2，即，，
整理得：t2﹣5t+7＝0，
由于b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0，
则原方程没有实数根，所以△PQB的面积不能等于7cm2．
21．解：（1）a＝400﹣148﹣104﹣48﹣20＝80，
故答案为：80；
（2）补全频数分布直方图如下：

（3）2000×＝740（人），
答：全校2000名学生中获奖的大约有740人．
22．解：过点C作CF⊥MN于F、交BL于G，过点B作BE⊥MN于E，过点D作DJ⊥CF于J、交BE于H，如图（2）所示：
则BG＝2m，四边形BEFG、四边形ADJF是矩形，∠CDJ＝37°，
∴EF＝BG＝2m，AD＝FJ＝1.8m，AF＝DJ，
设AE＝xm，
∵AB的坡度为1：2.4，
∴＝，
∴BE＝xm，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：x2+（x）2＝132，
解得：x＝12（m），
∴AF＝AE+EF＝12+2＝14（m），
∴DJ＝14m，
在Rt△CDJ中，tan∠CDJ＝，
∴≈0.75，
∴CJ＝10.5（m），
∴CF＝CJ+FJ＝10.5+1.8＝12.3（m），即日光灯C到一楼地面的高度为12.3m．

23．解：（1）如右图，过点C作CE⊥y轴于点E，
∵在矩形ABCD中，CD⊥AD，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
又∵∠OAD+∠ADO＝90°，
∴∠CDE＝∠OAD＝30°，
∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，
DE＝＝2，
∵在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，
∴OD＝AD＝3，
∴OE＝OD+DE＝3+2，
∴C点的坐标为（2，3+2）；
（2）①∵M是AD的中点，
∴DM＝3，S△DCM＝DC•CM＝＝6，
又∵S四边形OMCD＝，
∴S△ODM＝S四边形OMCD﹣S△DCM＝﹣6＝，
∴S△AOD＝2S△ODM＝9，
设OA＝x，OD＝y，则xy＝9，①
∵AO2+OD2＝AD2，
∴x2+y2＝36，②
联立①②得x＝y＝3（舍去负值），
∴OA＝3；
②∵M是AD的中点，
∴AM＝DM＝OM＝3，
在Rt△CDM中，CM＝＝5，
∴OC≤OM+CM，
即当O、M、C三点共线时，OC有最大值，
此时，OC＝OM+CM＝8．

24．解：（1）∵点C（0，2）在直线y＝x+b上，
∴b＝2，
∴一次函数的表达式为y＝x+2；
∵点A（1，a）在直线y＝x+2上，
∴a＝3，
∴点A（1，3），
∵点A（1，3）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝；

（2）在y＝x+2中，令y＝0，得x＝﹣2，令x＝0，得y＝2，
∴B（﹣2，0），C（0，2），
∴△ABO的面积＝S△AOC+S△BOC＝+＝1+2＝3；

（3）由（2）知，直线AB的表达式为y＝x+2，反比例函数的表达式为y＝，
设点M（m，），N（n，n+2），
若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，
则①以OC和MN为对角线时，
∴＝0，＝，
∴m＝，n＝﹣或m＝﹣（此时，点M不在第一象限，舍去），n＝，
∴N（﹣，﹣ +2），
②以CN和OM为对角线时，
∴＝，＝，
∴m＝n＝﹣2+或m＝n＝﹣2﹣（此时，点M不在第一象限，舍去），
∴N（﹣2+，），
③以CM和ON为对角线时，
∴，＝，
∴m＝n＝或m＝n＝﹣（此时，点M不在第一象限，舍去），
∴N（，2+），
即满足条件的点N的坐标为（﹣，﹣ +2）或（﹣2+，）或（，2+）．